Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Variabel Baru dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
📘 Materi: Pengenalan Variabel Baru dalam SPLDV
A. Pengertian
Dalam beberapa soal SPLDV, persamaan yang diberikan tidak langsung berbentuk linear terhadap variabel aslinya. Misalnya, persamaan mengandung bentuk pecahan seperti 1/x dan 1/y, atau bentuk akar, atau bentuk pangkat lainnya.
Untuk menyelesaikannya, kita melakukan substitusi variabel baru (pemisalan) sehingga persamaan berubah menjadi bentuk linear biasa yang dapat diselesaikan dengan metode eliminasi, substitusi, atau campuran.
Ide Utama:
Jika diberikan sistem persamaan yang tidak linear, misalnya:
a/x + b/y = c
d/x + e/y = f
Maka kita memisalkan:
u = 1/x dan v = 1/y
Sehingga sistem menjadi:
au + bv = c
du + ev = f
Setelah mendapat nilai u dan v, kita kembalikan ke variabel semula.
B. Jenis-Jenis Pemisalan Variabel Baru
| Bentuk Asli | Pemisalan | Keterangan |
|---|---|---|
| 1/x , 1/y | u = 1/x, v = 1/y | Paling umum |
| √x , √y | u = √x, v = √y | Bentuk akar |
| x² , y² | u = x², v = y² | Bentuk kuadrat |
| 2x , 3y | u = 2x, v = 3y | Bentuk eksponen |
| 1/(x+1), 1/(y-2) | u = 1/(x+1), v = 1/(y-2) | Pecahan dengan ekspresi |
C. Langkah-Langkah Penyelesaian
- Identifikasi bentuk non-linear dalam sistem persamaan.
- Misalkan variabel baru untuk mengubah sistem menjadi linear.
- Selesaikan SPLDV baru dengan eliminasi/substitusi/campuran.
- Kembalikan nilai variabel baru ke variabel semula.
- Periksa jawaban dengan substitusi ke persamaan awal.
D. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Perhatikan sistem persamaan berikut:
3/x + 2/y = 7
5/x − 1/y = 4
Amati bahwa variabel x dan y berada di penyebut. Persamaan ini bukan linear terhadap x dan y.
❓ Menanya
- Bagaimana cara mengubah persamaan di atas menjadi SPLDV biasa?
- Variabel baru apa yang tepat digunakan?
- Apakah semua sistem non-linear bisa diubah dengan cara ini?
💡 Menalar
Karena 1/x dan 1/y muncul berulang, kita bisa menganggapnya sebagai “variabel tunggal”. Jika u = 1/x dan v = 1/y, maka:
3u + 2v = 7
5u − v = 4
Ini sudah berbentuk SPLDV biasa yang bisa kita selesaikan.
🧪 Mencoba
Selesaikan SPLDV di atas:
Dari pers. (2): v = 5u − 4
Substitusi ke pers. (1): 3u + 2(5u − 4) = 7
3u + 10u − 8 = 7 → 13u = 15 → u = 15/13
v = 5(15/13) − 4 = 75/13 − 52/13 = 23/13
Maka: x = 1/u = 13/15 dan y = 1/v = 13/23
📣 Mengkomunikasikan
Dengan pemisalan u = 1/x dan v = 1/y, sistem persamaan pecahan berubah menjadi SPLDV biasa. Setelah diperoleh nilai u dan v, kita membaliknya untuk mendapat x dan y. Metode ini mempermudah penyelesaian sistem non-linear tertentu.
📗 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan:
1/x + 1/y = 5
1/x − 1/y = 1
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x dan v = 1/y
Sistem menjadi: u + v = 5 … (1) dan u − v = 1 … (2)
Jumlahkan (1) dan (2): 2u = 6 → u = 3
Dari (1): v = 5 − 3 = 2
Maka: x = 1/u = 1/3 dan y = 1/v = 1/2
Contoh 2
Selesaikan:
2/x + 3/y = 12
4/x + 1/y = 10
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x, v = 1/y
2u + 3v = 12 … (1)
4u + v = 10 … (2)
Dari (2): v = 10 − 4u
Substitusi ke (1): 2u + 3(10 − 4u) = 12
2u + 30 − 12u = 12 → −10u = −18 → u = 9/5
v = 10 − 4(9/5) = 10 − 36/5 = 14/5
x = 5/9 dan y = 5/14
Contoh 3
Selesaikan:
1/x + 1/y = 3
2/x + 3/y = 8
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x, v = 1/y
u + v = 3 … (1) → u = 3 − v
2u + 3v = 8 … (2)
Substitusi: 2(3 − v) + 3v = 8 → 6 − 2v + 3v = 8 → v = 2
u = 3 − 2 = 1
x = 1/1 = 1 dan y = 1/2
Contoh 4
Selesaikan:
√x + √y = 5
√x − √y = 1
Lihat Pembahasan
Misalkan u = √x, v = √y
u + v = 5 dan u − v = 1
Jumlahkan: 2u = 6 → u = 3, v = 2
x = u² = 9 dan y = v² = 4
Contoh 5
Selesaikan:
3/x + 1/y = 7
1/x + 2/y = 6
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x, v = 1/y
3u + v = 7 … (1)
u + 2v = 6 … (2)
Dari (1): v = 7 − 3u. Substitusi ke (2): u + 2(7 − 3u) = 6
u + 14 − 6u = 6 → −5u = −8 → u = 8/5
v = 7 − 3(8/5) = 35/5 − 24/5 = 11/5
x = 5/8 dan y = 5/11
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Selesaikan:
4/(x+1) + 3/(y−1) = 2
2/(x+1) − 5/(y−1) = −4
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/(x+1), v = 1/(y−1)
4u + 3v = 2 … (1)
2u − 5v = −4 … (2)
Eliminasi u: (1) − 2×(2): 4u + 3v − 4u + 10v = 2 + 8
13v = 10 → v = 10/13
Dari (2): 2u = −4 + 5(10/13) = −52/13 + 50/13 = −2/13 → u = −1/13
x + 1 = 1/u = −13 → x = −14
y − 1 = 1/v = 13/10 → y = 23/10
Contoh 7
Selesaikan:
2√x + 3√y = 13
4√x − √y = 5
Lihat Pembahasan
Misalkan u = √x, v = √y
2u + 3v = 13 … (1)
4u − v = 5 … (2) → v = 4u − 5
Substitusi: 2u + 3(4u − 5) = 13 → 2u + 12u − 15 = 13 → 14u = 28 → u = 2
v = 4(2) − 5 = 3
x = 4 dan y = 9
Contoh 8
Selesaikan:
5/x − 2/y = 1
3/x + 4/y = 14
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x, v = 1/y
5u − 2v = 1 … (1)
3u + 4v = 14 … (2)
Dari (1) ×2: 10u − 4v = 2 … (3)
(3) + (2): 13u = 16 → u = 16/13
Dari (1): 2v = 5(16/13) − 1 = 80/13 − 13/13 = 67/13 → v = 67/26
x = 13/16 dan y = 26/67
Contoh 9
Selesaikan:
1/(2x) + 1/(3y) = 1
1/(4x) − 1/(6y) = 0
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x, v = 1/y
Persamaan menjadi: u/2 + v/3 = 1 → kalikan 6: 3u + 2v = 6 … (1)
u/4 − v/6 = 0 → kalikan 12: 3u − 2v = 0 … (2)
Jumlahkan: 6u = 6 → u = 1
Dari (2): 2v = 3 → v = 3/2
x = 1 dan y = 2/3
Contoh 10
Selesaikan:
2x + 2y = 12
2x − 2y = 4
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 2x, v = 2y
u + v = 12 dan u − v = 4
Jumlahkan: 2u = 16 → u = 8 = 2³ → x = 3
v = 12 − 8 = 4 = 2² → y = 2
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Selesaikan:
3/(x−2) + 4/(y+3) = 1
5/(x−2) − 2/(y+3) = 3
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/(x−2), v = 1/(y+3)
3u + 4v = 1 … (1)
5u − 2v = 3 … (2)
(2)×2: 10u − 4v = 6 … (3)
(1)+(3): 13u = 7 → u = 7/13
Dari (1): 4v = 1 − 3(7/13) = 13/13 − 21/13 = −8/13 → v = −2/13
x − 2 = 13/7 → x = 27/7
y + 3 = −13/2 → y = −19/2
Contoh 12
Selesaikan:
√(x+1) + 2√(y−2) = 7
3√(x+1) − √(y−2) = 7
Lihat Pembahasan
Misalkan u = √(x+1), v = √(y−2)
u + 2v = 7 … (1)
3u − v = 7 … (2) → v = 3u − 7
Substitusi: u + 2(3u − 7) = 7 → 7u − 14 = 7 → u = 3
v = 3(3) − 7 = 2
x + 1 = 9 → x = 8
y − 2 = 4 → y = 6
Contoh 13
Selesaikan:
2/(x+y) + 3/(x−y) = 7
4/(x+y) − 1/(x−y) = 1
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/(x+y), v = 1/(x−y)
2u + 3v = 7 … (1)
4u − v = 1 … (2) → v = 4u − 1
Substitusi: 2u + 3(4u − 1) = 7 → 14u − 3 = 7 → u = 5/7
v = 4(5/7) − 1 = 20/7 − 7/7 = 13/7
x + y = 7/5 … (A)
x − y = 7/13 … (B)
Jumlahkan A+B: 2x = 7/5 + 7/13 = 91/65 + 35/65 = 126/65 → x = 63/65
y = 7/5 − 63/65 = 91/65 − 63/65 = 28/65
Contoh 14
Selesaikan:
3x + 2·3y = 15
2·3x − 3y = 5
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 3x, v = 3y
u + 2v = 15 … (1)
2u − v = 5 … (2) → v = 2u − 5
Substitusi: u + 2(2u − 5) = 15 → 5u − 10 = 15 → u = 5
Hmm, 3x = 5 → x = log₃5 = ln5/ln3
v = 2(5) − 5 = 5 → 3y = 5 → y = log₃5
Jadi x = y = log₃5 ≈ 1,465
Contoh 15
Selesaikan:
1/x² + 1/y² = 13
1/x² − 1/y² = 5
Lihat Pembahasan
Misalkan u = 1/x², v = 1/y²
u + v = 13 dan u − v = 5
Jumlahkan: 2u = 18 → u = 9, v = 4
x² = 1/9 → x = ±1/3
y² = 1/4 → y = ±1/2
Himpunan penyelesaian: (x, y) ∈ {(1/3, 1/2), (1/3, −1/2), (−1/3, 1/2), (−1/3, −1/2)}
📝 Latihan Soal
🟢 Tingkat Mudah
- Selesaikan: 1/x + 1/y = 4 dan 1/x − 1/y = 2
- Selesaikan: √x + √y = 7 dan √x − √y = 3
- Selesaikan: 3/x + 2/y = 8 dan 1/x + 1/y = 3
- Selesaikan: 2/x + 1/y = 5 dan 4/x − 1/y = 3
- Selesaikan: 2x + 2y = 10 dan 2x − 2y = 6
🟡 Tingkat Sedang
- Selesaikan: 2/(x+1) + 3/(y−2) = 5 dan 4/(x+1) − 1/(y−2) = 1
- Selesaikan: 3√x − 2√y = 1 dan √x + 4√y = 11
- Selesaikan: 1/(2x) + 1/(3y) = 2 dan 1/(x) − 1/(y) = 1
- Selesaikan: 5/x + 3/y = 11 dan 2/x − 4/y = −2
- Selesaikan: 3·2x + 2·2y = 20 dan 2x − 2y = 0
🔴 Tingkat Sulit
- Selesaikan: 3/(x+y) + 2/(x−y) = 5 dan 1/(x+y) − 4/(x−y) = −3
- Selesaikan: √(2x+1) + 3√(y−1) = 10 dan 2√(2x+1) − √(y−1) = 3
- Selesaikan: 2/(x²) + 3/(y²) = 11 dan 4/(x²) − 1/(y²) = 7
- Selesaikan: 1/(x+2) + 2/(y−3) = 3 dan 3/(x+2) − 1/(2(y−3)) = 2
- Selesaikan: 5x + 3·5y = 28 dan 2·5x − 5y = 9