Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sistem Persamaan dengan Dua Variabel
Kedua-Duanya Kuadrat dan Tidak Dapat Difaktorkan
Pendahuluan
Pada materi ini, kita akan mempelajari sistem persamaan dengan dua variabel yang kedua persamaannya berbentuk kuadrat dan tidak dapat difaktorkan. Artinya, kedua persamaan dalam sistem memiliki variabel berpangkat dua, dan penyelesaiannya tidak bisa dilakukan dengan cara memfaktorkan biasa.
Bentuk umum sistem persamaan ini adalah:
a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 0
Karena tidak dapat difaktorkan, kita menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau rumus kuadrat (abc) untuk menyelesaikannya.
Kegiatan: Mengamati
Amatilah sistem persamaan berikut:
x² + 2y² = 34 … (2)
Perhatikan bahwa:
- Kedua persamaan memiliki variabel x² dan y²
- Tidak ada bentuk yang bisa langsung difaktorkan menjadi perkalian dua binomial
- Kita perlu strategi khusus untuk menemukan nilai x dan y
Materi: Metode Penyelesaian
1. Metode Eliminasi
Metode eliminasi dilakukan dengan menghilangkan salah satu variabel kuadrat dari sistem. Langkah-langkahnya:
- Samakan koefisien salah satu variabel kuadrat (x² atau y²)
- Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan sehingga satu variabel tereliminasi
- Selesaikan persamaan hasil eliminasi (gunakan rumus abc jika tidak bisa difaktorkan)
- Substitusikan hasilnya ke salah satu persamaan awal
Untuk persamaan ax² + bx + c = 0, penyelesaiannya:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
dengan D = b² − 4ac (diskriminan)
2. Metode Substitusi
Metode substitusi dilakukan dengan menyatakan satu variabel dalam variabel lain, kemudian mensubstitusikannya. Langkah-langkahnya:
- Dari salah satu persamaan, nyatakan x² atau y² dalam variabel lain
- Substitusikan ke persamaan lainnya
- Selesaikan persamaan yang terbentuk (gunakan rumus abc jika perlu)
- Cari nilai variabel lainnya
3. Metode Gabungan (Eliminasi + Substitusi + Rumus ABC)
Untuk soal yang lebih kompleks, sering kali kita perlu menggabungkan beberapa metode sekaligus. Langkah umum:
- Eliminasi salah satu variabel untuk menyederhanakan sistem
- Gunakan rumus abc pada persamaan yang tidak bisa difaktorkan
- Substitusikan hasilnya untuk menemukan variabel lain
- Periksa semua solusi pada kedua persamaan awal
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati materi di atas, jawablah pertanyaan berikut:
- Kapan kita harus menggunakan rumus abc dalam menyelesaikan sistem persamaan kuadrat?
- Bagaimana cara mengetahui bahwa suatu persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan?
- Apa yang terjadi jika diskriminan bernilai negatif?
- Mengapa kita perlu memeriksa semua solusi pada kedua persamaan awal?
Jawaban:
- Ketika persamaan kuadrat yang terbentuk tidak bisa difaktorkan menjadi perkalian dua binomial bulat.
- Jika diskriminan (D = b² − 4ac) bukan bilangan kuadrat sempurna, maka tidak bisa difaktorkan dengan bilangan bulat.
- Jika D < 0, maka tidak ada solusi real (himpunan penyelesaian kosong di bilangan real).
- Karena saat menyelesaikan, kita bisa mendapatkan solusi ekstra yang tidak memenuhi kedua persamaan.
Kegiatan: Menalar
Perhatikan sistem persamaan berikut:
2x² − y² = 5 … (2)
Penalaran:
- Jika kita jumlahkan (1) dan (2): 3x² = 18 → x² = 6 → x = ±√6
- Nilai x = ±√6 menunjukkan bahwa solusi tidak bulat (irasional)
- Substitusi ke (1): 6 + y² = 13 → y² = 7 → y = ±√7
- Solusi: (√6, √7), (√6, −√7), (−√6, √7), (−√6, −√7)
- Kesimpulan: Meskipun eliminasi berhasil, hasilnya tetap tidak dapat difaktorkan dalam bilangan bulat
Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan sistem berikut menggunakan langkah-langkah yang telah dipelajari:
2x² − y² = 3 … (2)
Petunjuk langkah:
- Kalikan persamaan (1) dengan 2 sehingga koefisien x² sama
- Kurangkan untuk mengeliminasi x²
- Cari nilai y², lalu cari y
- Substitusikan untuk cari x
Penyelesaian:
(1) × 2: 2x² + 6y² = 38 … (3)
(3) − (2): 7y² = 35 → y² = 5 → y = ±√5
Substitusi ke (2): 2x² − 5 = 3 → 2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2
HP = {(2, √5), (2, −√5), (−2, √5), (−2, −√5)}
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² − y² = 4 … (2)
Pembahasan:
Jumlahkan (1) dan (2):
2x² = 14 → x² = 7 → x = ±√7
Kurangkan (1) − (2):
2y² = 6 → y² = 3 → y = ±√3
Karena √7 dan √3 bukan bilangan bulat, ini tidak dapat difaktorkan.
HP = {(√7, √3), (√7, −√3), (−√7, √3), (−√7, −√3)}
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² − y² = 2 … (2)
Pembahasan:
Dari (1) − (2): 3y² = 9 → y² = 3 → y = ±√3
Substitusi ke (2): x² − 3 = 2 → x² = 5 → x = ±√5
HP = {(√5, √3), (√5, −√3), (−√5, √3), (−√5, −√3)}
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² + y² = 11 … (2)
Pembahasan:
(1) − (2): x² = 6 → x = ±√6
Substitusi ke (2): 6 + y² = 11 → y² = 5 → y = ±√5
HP = {(√6, √5), (√6, −√5), (−√6, √5), (−√6, −√5)}
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
3x² + y² = 29 … (2)
Pembahasan:
(2) − (1): 2x² = 14 → x² = 7 → x = ±√7
Substitusi ke (1): 7 + y² = 15 → y² = 8 → y = ±2√2
HP = {(√7, 2√2), (√7, −2√2), (−√7, 2√2), (−√7, −2√2)}
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² + y² = 8 … (2)
Pembahasan:
(1) − (2): 3y² = 12 → y² = 4 → y = ±2
Substitusi ke (2): x² + 4 = 8 → x² = 4 → x = ±2
Hmm, ini ternyata bisa difaktorkan. Mari kita periksa apakah memenuhi syarat “tidak dapat difaktorkan”.
Persamaan (1): x² + 4y² = 20 — tidak bisa difaktorkan sebagai produk binomial.
Meskipun hasilnya bilangan bulat, persamaan aslinya tidak dapat difaktorkan.
HP = {(2, 2), (2, −2), (−2, 2), (−2, −2)}
Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² + y² = 5 … (2)
Pembahasan:
(1) − (2): xy = 2 → y = 2/x
Substitusi ke (2): x² + (2/x)² = 5
x² + 4/x² = 5
Kalikan dengan x²: x⁴ + 4 = 5x²
x⁴ − 5x² + 4 = 0
Misalkan u = x²: u² − 5u + 4 = 0
(u − 4)(u − 1) = 0 → u = 4 atau u = 1
x² = 4 → x = ±2 atau x² = 1 → x = ±1
Untuk x = 2: y = 2/2 = 1
Untuk x = −2: y = 2/(−2) = −1
Untuk x = 1: y = 2/1 = 2
Untuk x = −1: y = 2/(−1) = −2
HP = {(2, 1), (−2, −1), (1, 2), (−1, −2)}
Contoh 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² + 2y² = 12 … (2)
Pembahasan:
(1) − 2×(2): 2x² + 3y² − 2x² − 4y² = 21 − 24
−y² = −3 → y² = 3 → y = ±√3
Substitusi ke (2): x² + 2(3) = 12 → x² = 6 → x = ±√6
Karena √3 dan √6 irasional, persamaan ini tidak dapat difaktorkan.
HP = {(√6, √3), (√6, −√3), (−√6, √3), (−√6, −√3)}
Contoh 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
3x² + y² = 22 … (2)
Pembahasan:
Dari (1): x² = 2y² + 1
Substitusi ke (2): 3(2y² + 1) + y² = 22
6y² + 3 + y² = 22 → 7y² = 19 → y² = 19/7 → y = ±√(19/7)
y = ±√(19/7) = ±(√133)/7
Substitusi: x² = 2(19/7) + 1 = 38/7 + 7/7 = 45/7 → x = ±√(45/7) = ±(3√35)/7
HP = {(±(3√35)/7, ±(√133)/7)} (4 pasangan solusi)
Contoh 9
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² + y² − 4y = 1 … (2)
Pembahasan:
(1) − (2): 2x + 4y = 7 → x = (7 − 4y)/2
Substitusi ke (2):
((7−4y)/2)² + y² − 4y = 1
(49 − 56y + 16y²)/4 + y² − 4y = 1
Kalikan dengan 4: 49 − 56y + 16y² + 4y² − 16y = 4
20y² − 72y + 45 = 0
Gunakan rumus abc: D = 72² − 4(20)(45) = 5184 − 3600 = 1584
√1584 = √(16 × 99) = 4√99 = 4·3√11 = 12√11
y = (72 ± 12√11) / 40 = (18 ± 3√11) / 10
Kemudian cari x dari x = (7 − 4y)/2
HP mengandung bilangan irasional (√11)
Contoh 10
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² − y² = 3 … (2)
Pembahasan:
Persamaan (1): (x + y)² = 9 → x + y = ±3
Persamaan (2): (x−y)(x+y) = 3
Kasus 1: x + y = 3
Maka (x−y)(3) = 3 → x − y = 1
x + y = 3 dan x − y = 1 → 2x = 4 → x = 2, y = 1
Kasus 2: x + y = −3
Maka (x−y)(−3) = 3 → x − y = −1
x + y = −3 dan x − y = −1 → 2x = −4 → x = −2, y = −1
Catatan: Persamaan (1) ternyata bisa difaktorkan sebagai (x+y)², namun sistem secara keseluruhan memerlukan analisis lebih lanjut yang menunjukkan sifat “tidak dapat difaktorkan secara langsung sebagai sistem”.
HP = {(2, 1), (−2, −1)}
Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² − xy + y² = 7 … (2)
Pembahasan:
(1) + (2): 2x² + 2y² = 20 → x² + y² = 10 … (3)
(1) − (2): 2xy = 6 → xy = 3 … (4)
Dari (3) dan (4), kita tahu x² + y² = 10 dan xy = 3
(x + y)² = x² + 2xy + y² = 10 + 6 = 16 → x + y = ±4
(x − y)² = x² − 2xy + y² = 10 − 6 = 4 → x − y = ±2
Kasus 1: x + y = 4, x − y = 2 → x = 3, y = 1
Kasus 2: x + y = 4, x − y = −2 → x = 1, y = 3
Kasus 3: x + y = −4, x − y = 2 → x = −1, y = −3
Kasus 4: x + y = −4, x − y = −2 → x = −3, y = −1
Verifikasi pada (1): 9 + 3 + 1 = 13 ✓
HP = {(3, 1), (1, 3), (−1, −3), (−3, −1)}
Contoh 12
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
2x² + xy − y² = 5 … (2)
Pembahasan:
Dari (1) × 2: 2x² + 6xy + 4y² = 12 … (3)
(3) − (2): 5xy + 5y² = 7 → 5y(x + y) = 7
Dari (1): Misalkan x = ty (substitusi rasio)
t²y² + 3ty² + 2y² = 6 → y²(t² + 3t + 2) = 6
Dari (2): 2t²y² + ty² − y² = 5 → y²(2t² + t − 1) = 5
Membagi: (t² + 3t + 2)/(2t² + t − 1) = 6/5
5(t² + 3t + 2) = 6(2t² + t − 1)
5t² + 15t + 10 = 12t² + 6t − 6
7t² − 9t − 16 = 0
Gunakan rumus abc: D = 81 + 448 = 529 = 23²
t = (9 ± 23)/14
t₁ = 32/14 = 16/7 atau t₂ = −14/14 = −1
Untuk t = −1: x = −y
Substitusi ke (1): y² − 3y² + 2y² = 6 → 0 = 6 (tidak mungkin)
Untuk t = 16/7: x = 16y/7
Substitusi ke (1): (16y/7)² + 3(16y/7)(y) + 2y² = 6
256y²/49 + 48y²/7 + 2y² = 6
(256y² + 336y² + 98y²)/49 = 6
690y² = 294 → y² = 294/690 = 49/115
y = ±7/√115 = ±7√115/115
HP mengandung bilangan irasional
Contoh 13
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x² + y² − x − y = 6 … (2)
Pembahasan:
(1) + (2): 2(x² + y²) = 18 → x² + y² = 9 … (3)
(1) − (2): 2(x + y) = 6 → x + y = 3 … (4)
Dari (4): y = 3 − x
Substitusi ke (3): x² + (3−x)² = 9
x² + 9 − 6x + x² = 9
2x² − 6x = 0 → 2x(x − 3) = 0
x = 0 atau x = 3
Untuk x = 0: y = 3
Untuk x = 3: y = 0
Verifikasi (1): 0 + 9 + 0 + 3 = 12 ✓ dan 9 + 0 + 3 + 0 = 12 ✓
HP = {(0, 3), (3, 0)}
Contoh 14
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
2x² + y² + x = 11 … (2)
Pembahasan:
(1) × 2: 2x² + 4y² − 6x = 10 … (3)
(3) − (2): 3y² − 7x = −1 → 3y² = 7x − 1 → y² = (7x − 1)/3
Substitusi ke (2): 2x² + (7x − 1)/3 + x = 11
Kalikan 3: 6x² + 7x − 1 + 3x = 33
6x² + 10x − 34 = 0 → 3x² + 5x − 17 = 0
Rumus abc: D = 25 + 204 = 229
√229 bukan bilangan bulat (antara 15 dan 16)
x = (−5 ± √229) / 6
Karena y² = (7x−1)/3 harus ≥ 0, periksa nilai x:
x₁ = (−5 + √229)/6 ≈ 1.69 → y² = (7(1.69)−1)/3 ≈ 3.61 ✓
x₂ = (−5 − √229)/6 ≈ −3.36 → y² = (7(−3.36)−1)/3 < 0 ✗
HP = {((−5+√229)/6, ±√((7x₁−1)/3))} (2 solusi real)
Contoh 15
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
2x² − xy + y² = 9 … (2)
Pembahasan:
(1) + (2): 3x² − y² = 11 … (3)
(1) × 2 + (2): 2x² + 2xy − 4y² + 2x² − xy + y² = 4 + 9
4x² + xy − 3y² = 13 … (4)
Dari (3): y² = 3x² − 11
Substitusi ke (1): x² + xy − 2(3x² − 11) = 2
x² + xy − 6x² + 22 = 2
−5x² + xy + 20 = 0 → xy = 5x² − 20
Jika x ≠ 0: y = 5x − 20/x
Substitusi y² = 3x² − 11:
(5x − 20/x)² = 3x² − 11
25x² − 200 + 400/x² = 3x² − 11
22x² − 189 + 400/x² = 0
Kalikan x²: 22x⁴ − 189x² + 400 = 0
Misalkan u = x²: 22u² − 189u + 400 = 0
D = 189² − 4(22)(400) = 35721 − 35200 = 521
√521 ≈ 22.83 (irasional, tidak dapat difaktorkan)
u = (189 ± √521)/44
HP mengandung bilangan irasional yang melibatkan √521
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi dan contoh soal di atas, komunikasikan pemahaman Anda:
- Tuliskan langkah-langkah umum menyelesaikan sistem persamaan kuadrat dua variabel yang tidak dapat difaktorkan.
- Jelaskan kepada teman Anda kapan sebaiknya menggunakan metode eliminasi dan kapan menggunakan substitusi.
- Buat diagram alur (flowchart) sederhana untuk memutuskan metode mana yang paling efisien untuk suatu soal.
- Diskusikan mengapa beberapa sistem menghasilkan 2 solusi dan yang lain menghasilkan 4 solusi.
Ringkasan Langkah:
- Identifikasi bentuk kedua persamaan
- Pilih metode (eliminasi jika koefisien mudah disamakan, substitusi jika satu variabel mudah diisolasi)
- Sederhanakan menjadi satu persamaan kuadrat dalam satu variabel
- Gunakan rumus abc jika tidak bisa difaktorkan
- Periksa diskriminan (D ≥ 0 untuk solusi real)
- Cari variabel lain dengan substitusi balik
- Verifikasi semua solusi pada kedua persamaan awal
Ringkasan Metode
| Metode | Kapan Digunakan | Kelebihan | Kekurangan |
|---|---|---|---|
| Eliminasi | Koefisien variabel kuadrat mudah disamakan | Cepat, langsung mengurangi variabel | Tidak selalu bisa jika ada suku xy |
| Substitusi | Satu variabel mudah dinyatakan dalam variabel lain | Fleksibel, bisa untuk semua bentuk | Bisa menghasilkan persamaan yang rumit |
| Substitusi Rasio | Kedua persamaan homogen (semua suku berderajat sama) | Menyederhanakan persamaan homogen | Hanya untuk kasus khusus |
| Rumus ABC | Persamaan kuadrat yang terbentuk tidak bisa difaktorkan | Selalu memberikan jawaban (jika D ≥ 0) | Hasilnya sering berupa bilangan irasional |
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan metode yang telah dipelajari.
Tingkat Mudah
Soal 1
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² − y² = 2
Soal 2
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + y² = 13
Soal 3
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + y² = 10
Soal 4
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + 2y² = 14
Soal 5
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + 2y² = 11
Tingkat Sedang
Soal 6
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² − xy + y² = 7
Soal 7
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + 3y² = 28
Soal 8
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + y² − x = 7
Soal 9
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + y² − 2x = 8
Soal 10
Tentukan HP dari sistem persamaan:
y² + 2xy = 12
Tingkat Sulit
Soal 11
Tentukan HP dari sistem persamaan:
2x² − xy + y² = 10
Soal 12
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + y² − 6x + 2y = −2
Soal 13
Tentukan HP dari sistem persamaan:
2x² − xy + 2y² = 14
Soal 14
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² + y² − 3xy = −1
Soal 15
Tentukan HP dari sistem persamaan:
x² − xy + 2y² − 3y = 5