Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Penerapan Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, serta Kuadrat dan Kuadrat
A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
1. Pengertian SPLK
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) adalah sistem yang terdiri dari satu persamaan linear dan satu persamaan kuadrat dengan dua variabel yang sama.
Bentuk Umum SPLK:
Persamaan linear: ax + by + c = 0
Persamaan kuadrat: y = px² + qx + r
dengan a, b, c, p, q, r ∈ ℝ dan a ≠ 0 atau b ≠ 0, serta p ≠ 0.
2. Metode Penyelesaian SPLK
Penyelesaian SPLK dapat dilakukan dengan metode substitusi atau grafik.
a. Metode Substitusi
Langkah-langkah:
- Nyatakan salah satu variabel dari persamaan linear dalam variabel lain.
- Substitusikan ke persamaan kuadrat.
- Selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk.
- Tentukan nilai variabel yang lain.
b. Metode Grafik
Titik potong garis (persamaan linear) dengan parabola (persamaan kuadrat) merupakan penyelesaian sistem.
3. Jumlah Penyelesaian SPLK
Setelah substitusi, kita memperoleh persamaan kuadrat. Diskriminan (D = b² − 4ac) menentukan jumlah penyelesaian:
| Diskriminan | Jumlah Titik Potong | Keterangan |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 titik | Garis memotong parabola di dua titik |
| D = 0 | 1 titik | Garis menyinggung parabola |
| D < 0 | 0 titik | Garis tidak memotong parabola |
🔬 Kegiatan Pembelajaran: SPLK
📌 Mengamati:
Perhatikan sistem berikut:
y = x + 1 …(1)
y = x² − 2x − 3 …(2)
Amati bahwa persamaan (1) adalah garis lurus dan persamaan (2) adalah parabola.
❓ Menanya:
Berapa titik potong garis dan parabola tersebut? Bagaimana cara menentukan koordinat titik potongnya?
🧠 Menalar:
Titik potong terjadi saat nilai y pada kedua persamaan sama. Maka kita substitusi persamaan (1) ke (2):
x + 1 = x² − 2x − 3
0 = x² − 3x − 4
0 = (x − 4)(x + 1)
🔧 Mencoba:
Selesaikan:
x = 4 → y = 4 + 1 = 5 → titik (4, 5)
x = −1 → y = −1 + 1 = 0 → titik (−1, 0)
📢 Mengkomunikasikan:
Himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(4, 5), (−1, 0)}. Artinya garis y = x + 1 memotong parabola y = x² − 2x − 3 di dua titik.
MUDAH
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
y = 2x − 1
y = x²
▶ Pembahasan
Substitusi: 2x − 1 = x²
x² − 2x + 1 = 0
(x − 1)² = 0
x = 1
y = 2(1) − 1 = 1
HP = {(1, 1)}
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
y = x + 2
y = x²
▶ Pembahasan
Substitusi: x + 2 = x²
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 → y = 4
x = −1 → y = 1
HP = {(2, 4), (−1, 1)}
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
y = 3x
y = x² + 2x
▶ Pembahasan
Substitusi: 3x = x² + 2x
x² − x = 0
x(x − 1) = 0
x = 0 → y = 0
x = 1 → y = 3
HP = {(0, 0), (1, 3)}
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
y = x − 1
y = x² − 3x + 1
▶ Pembahasan
Substitusi: x − 1 = x² − 3x + 1
x² − 4x + 2 = 0
Gunakan rumus abc: x = (4 ± √(16−8))/2 = (4 ± 2√2)/2 = 2 ± √2
x = 2 + √2 → y = 1 + √2
x = 2 − √2 → y = 1 − √2
HP = {(2+√2, 1+√2), (2−√2, 1−√2)}
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
y = −x + 5
y = x² − 4x + 3
▶ Pembahasan
Substitusi: −x + 5 = x² − 4x + 3
x² − 3x − 2 = 0
x = (3 ± √(9+8))/2 = (3 ± √17)/2
Untuk x₁ = (3+√17)/2: y₁ = −x₁ + 5 = (7−√17)/2
Untuk x₂ = (3−√17)/2: y₂ = −x₂ + 5 = (7+√17)/2
HP = {((3+√17)/2, (7−√17)/2), ((3−√17)/2, (7+√17)/2)}
SEDANG
6. Tentukan nilai k agar garis y = 2x + k menyinggung parabola y = x² + 3x + 5.
▶ Pembahasan
Substitusi: 2x + k = x² + 3x + 5
x² + x + (5 − k) = 0
Menyinggung berarti D = 0
D = 1 − 4(5 − k) = 0
1 − 20 + 4k = 0
4k = 19
k = 19/4
7. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
2x − y + 3 = 0
y = x² + x − 1
▶ Pembahasan
Dari persamaan linear: y = 2x + 3
Substitusi: 2x + 3 = x² + x − 1
x² − x − 4 = 0
x = (1 ± √17)/2
Untuk x₁ = (1+√17)/2: y₁ = 2·(1+√17)/2 + 3 = 4 + √17
Untuk x₂ = (1−√17)/2: y₂ = 4 − √17
HP = {((1+√17)/2, 4+√17), ((1−√17)/2, 4−√17)}
8. Garis y = mx + 2 memotong parabola y = x² − x di dua titik. Tentukan rentang nilai m.
▶ Pembahasan
Substitusi: mx + 2 = x² − x
x² − (m+1)x − 2 = 0
Memotong di dua titik berarti D > 0
D = (m+1)² + 8 > 0
Karena (m+1)² ≥ 0, maka (m+1)² + 8 > 0 selalu benar untuk semua m ∈ ℝ.
Jadi garis selalu memotong parabola di dua titik untuk semua nilai m real.
9. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
x + y = 4
y = x² − 2x − 3
▶ Pembahasan
Dari persamaan linear: y = 4 − x
Substitusi: 4 − x = x² − 2x − 3
x² − x − 7 = 0
x = (1 ± √29)/2
Untuk x₁ = (1+√29)/2: y₁ = 4 − (1+√29)/2 = (7−√29)/2
Untuk x₂ = (1−√29)/2: y₂ = (7+√29)/2
HP = {((1+√29)/2, (7−√29)/2), ((1−√29)/2, (7+√29)/2)}
10. Tentukan titik potong garis y = 3x − 5 dengan parabola y = 2x² − 4x + 1.
▶ Pembahasan
Substitusi: 3x − 5 = 2x² − 4x + 1
2x² − 7x + 6 = 0
(2x − 3)(x − 2) = 0
x = 3/2 → y = 3(3/2) − 5 = −1/2
x = 2 → y = 3(2) − 5 = 1
Titik potong: (3/2, −1/2) dan (2, 1)
SULIT
11. Tentukan nilai a agar garis y = ax + 1 menyinggung parabola y = 2x² − 3x + 4.
▶ Pembahasan
Substitusi: ax + 1 = 2x² − 3x + 4
2x² − (a+3)x + 3 = 0
Menyinggung: D = 0
(a+3)² − 24 = 0
(a+3)² = 24
a + 3 = ±2√6
a = −3 + 2√6 atau a = −3 − 2√6
12. Diketahui SPLK:
y − 2x = k
y = x² + 4x + 7
Tentukan nilai k agar sistem mempunyai tepat satu penyelesaian.
▶ Pembahasan
Dari persamaan linear: y = 2x + k
Substitusi: 2x + k = x² + 4x + 7
x² + 2x + (7 − k) = 0
D = 4 − 4(7 − k) = 0
4 − 28 + 4k = 0
4k = 24
k = 6
13. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan menyinggung parabola y = x² + 1.
▶ Pembahasan
Persamaan garis melalui (0,3): y = mx + 3
Substitusi: mx + 3 = x² + 1
x² − mx − 2 = 0
Menyinggung: D = 0
m² + 8 = 0
Karena m² + 8 > 0 untuk semua m, maka D > 0 selalu. Artinya tidak ada garis melalui (0,3) yang menyinggung parabola tersebut.
Periksa ulang: D = m² − 4(1)(−2) = m² + 8 > 0 selalu.
Tidak ada garis melalui (0, 3) yang menyinggung parabola y = x² + 1.
14. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan menyinggung parabola y = x² − 4x + 3.
▶ Pembahasan
Persamaan garis melalui (1,0): y = m(x − 1) yaitu y = mx − m
Substitusi: mx − m = x² − 4x + 3
x² − (m+4)x + (m+3) = 0
Menyinggung: D = 0
(m+4)² − 4(m+3) = 0
m² + 8m + 16 − 4m − 12 = 0
m² + 4m + 4 = 0
(m + 2)² = 0 → m = −2
Persamaan garis: y = −2x + 2
15. Tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh titik potong garis y = x + 1 dengan parabola y = x² − x − 2 dan titik puncak parabola.
▶ Pembahasan
Titik potong: x + 1 = x² − x − 2
x² − 2x − 3 = 0 → (x−3)(x+1) = 0
A = (3, 4) dan B = (−1, 0)
Titik puncak parabola: x = −b/(2a) = 1/(2) = 1/2
y = (1/2)² − 1/2 − 2 = 1/4 − 1/2 − 2 = −9/4
C = (1/2, −9/4)
Luas = ½|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
= ½|3(0 − (−9/4)) + (−1)(−9/4 − 4) + 1/2(4 − 0)|
= ½|3(9/4) + (−1)(−25/4) + 1/2(4)|
= ½|27/4 + 25/4 + 2|
= ½|52/4 + 2| = ½|13 + 2| = ½ · 15 = 15/2 satuan luas
MUDAH
- Tentukan HP dari: y = x + 3 dan y = x²
- Tentukan HP dari: y = 2x dan y = x² − x
- Tentukan HP dari: y = −x + 4 dan y = x²
- Tentukan HP dari: y = x − 2 dan y = x² − 4x + 2
- Tentukan HP dari: y = 3x + 1 dan y = x² + x + 1
SEDANG
- Tentukan nilai k agar y = x + k menyinggung y = x² + 2x + 3.
- Tentukan HP dari: 3x − y = 1 dan y = 2x² − x − 3
- Tentukan rentang nilai m agar y = mx − 1 memotong y = x² + x + 2 di dua titik.
- Tentukan HP dari: x + 2y = 6 dan y = x² − x + 1
- Tentukan titik potong y = −2x + 7 dengan y = x² − 3x + 1.
SULIT
- Tentukan persamaan garis yang melalui (2, 1) dan menyinggung y = x² − 2x + 3.
- Tentukan nilai p agar y = px + p² menyinggung y = x².
- Tentukan luas daerah yang dibatasi garis y = 2x dan parabola y = x².
- Garis y = ax + b menyinggung y = x² − 6x + 10 di titik (3, 1). Tentukan a dan b.
- Tentukan semua garis melalui titik asal yang menyinggung y = x² + 4x + 5.
B. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
1. Pengertian SPKK
Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan kuadrat dengan dua variabel yang sama.
Bentuk Umum SPKK:
y = a₁x² + b₁x + c₁ …(1)
y = a₂x² + b₂x + c₂ …(2)
dengan a₁ ≠ 0 dan a₂ ≠ 0.
2. Metode Penyelesaian SPKK
Penyelesaian SPKK dilakukan dengan menyamakan kedua persamaan, kemudian menyelesaikan persamaan yang terbentuk.
Langkah-langkah:
- Samakan ruas kanan: a₁x² + b₁x + c₁ = a₂x² + b₂x + c₂
- Sederhanakan menjadi persamaan dalam x (bisa linear atau kuadrat).
- Selesaikan nilai x.
- Substitusikan x ke salah satu persamaan untuk mendapatkan y.
3. Kemungkinan Penyelesaian SPKK
| Hasil Penyamaan | Jumlah Titik Potong |
|---|---|
| Terbentuk persamaan kuadrat, D > 0 | 2 titik |
| Terbentuk persamaan kuadrat, D = 0 | 1 titik |
| Terbentuk persamaan kuadrat, D < 0 | 0 titik |
| Terbentuk persamaan linear | 1 titik |
| Identitas (0 = 0) | Tak hingga (parabola berimpit) |
🔬 Kegiatan Pembelajaran: SPKK
📌 Mengamati:
Perhatikan sistem berikut:
y = x² + 2x − 3 …(1)
y = 2x² − x − 6 …(2)
Amati bahwa kedua persamaan merupakan parabola.
❓ Menanya:
Di mana kedua parabola tersebut berpotongan? Berapa titik potongnya?
🧠 Menalar:
Titik potong terjadi saat y sama pada kedua persamaan:
x² + 2x − 3 = 2x² − x − 6
0 = x² − 3x − 3
🔧 Mencoba:
Gunakan rumus abc:
x = (3 ± √(9+12))/2 = (3 ± √21)/2
Substitusi kembali ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai y.
📢 Mengkomunikasikan:
Kedua parabola berpotongan di dua titik karena D = 21 > 0. Titik potong diperoleh dengan menghitung y untuk masing-masing nilai x.
MUDAH
1. Tentukan HP dari:
y = x²
y = 2x² − 3
▶ Pembahasan
Samakan: x² = 2x² − 3
x² = 3
x = ±√3
x = √3 → y = 3
x = −√3 → y = 3
HP = {(√3, 3), (−√3, 3)}
2. Tentukan HP dari:
y = x² + 1
y = 2x² − x − 1
▶ Pembahasan
Samakan: x² + 1 = 2x² − x − 1
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 → y = 4 + 1 = 5
x = −1 → y = 1 + 1 = 2
HP = {(2, 5), (−1, 2)}
3. Tentukan HP dari:
y = x² + x
y = 3x² − x − 4
▶ Pembahasan
Samakan: x² + x = 3x² − x − 4
2x² − 2x − 4 = 0
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 → y = 4 + 2 = 6
x = −1 → y = 1 − 1 = 0
HP = {(2, 6), (−1, 0)}
4. Tentukan HP dari:
y = x² − 4
y = −x² + 4
▶ Pembahasan
Samakan: x² − 4 = −x² + 4
2x² = 8
x² = 4 → x = ±2
x = 2 → y = 4 − 4 = 0
x = −2 → y = 4 − 4 = 0
HP = {(2, 0), (−2, 0)}
5. Tentukan HP dari:
y = x² + 3x + 2
y = 2x² + x
▶ Pembahasan
Samakan: x² + 3x + 2 = 2x² + x
x² − 2x − 2 = 0
x = (2 ± √(4+8))/2 = (2 ± 2√3)/2 = 1 ± √3
Untuk x = 1+√3: y = 2(1+√3)² + (1+√3) = 2(4+2√3) + 1+√3 = 9 + 5√3
Untuk x = 1−√3: y = 2(1−√3)² + (1−√3) = 2(4−2√3) + 1−√3 = 9 − 5√3
HP = {(1+√3, 9+5√3), (1−√3, 9−5√3)}
SEDANG
6. Tentukan nilai k agar parabola y = x² + k dan y = 2x² − 4x + 1 mempunyai tepat satu titik potong.
▶ Pembahasan
Samakan: x² + k = 2x² − 4x + 1
x² − 4x + (1 − k) = 0
Tepat satu titik potong: D = 0
16 − 4(1 − k) = 0
16 − 4 + 4k = 0
4k = −12
k = −3
7. Tentukan HP dari:
y = x² − 5x + 6
y = −x² + 3x − 2
▶ Pembahasan
Samakan: x² − 5x + 6 = −x² + 3x − 2
2x² − 8x + 8 = 0
x² − 4x + 4 = 0
(x − 2)² = 0 → x = 2
y = 4 − 10 + 6 = 0
HP = {(2, 0)} — kedua parabola bersinggungan di titik ini.
8. Tentukan HP dari:
y = 3x² − 2x + 1
y = x² + 4x − 5
▶ Pembahasan
Samakan: 3x² − 2x + 1 = x² + 4x − 5
2x² − 6x + 6 = 0
x² − 3x + 3 = 0
D = 9 − 12 = −3 < 0
Tidak ada penyelesaian real (kedua parabola tidak berpotongan).
9. Tentukan HP dari:
y = 2x² + x − 3
y = x² + 3x + 1
▶ Pembahasan
Samakan: 2x² + x − 3 = x² + 3x + 1
x² − 2x − 4 = 0
x = (2 ± √(4+16))/2 = (2 ± √20)/2 = 1 ± √5
Untuk x = 1+√5: y = (1+√5)² + 3(1+√5) + 1 = 6+2√5+3+3√5+1 = 10+5√5
Untuk x = 1−√5: y = (1−√5)² + 3(1−√5) + 1 = 6−2√5+3−3√5+1 = 10−5√5
HP = {(1+√5, 10+5√5), (1−√5, 10−5√5)}
10. Tentukan HP dari:
y = −x² + 6x − 5
y = x² − 2x + 3
▶ Pembahasan
Samakan: −x² + 6x − 5 = x² − 2x + 3
2x² − 8x + 8 = 0
x² − 4x + 4 = 0
(x − 2)² = 0 → x = 2
y = 4 − 4 + 3 = 3
HP = {(2, 3)}
SULIT
11. Tentukan nilai a dan b agar parabola y = x² + ax + b dan y = 2x² − x + 3 bersinggungan di titik dengan absis 1.
▶ Pembahasan
Di titik absis 1: kedua parabola memiliki nilai y sama.
Dari persamaan kedua: y = 2(1) − 1 + 3 = 4
Dari persamaan pertama: 1 + a + b = 4 → a + b = 3 …(i)
Bersinggungan berarti penyamaan menghasilkan akar kembar di x = 1:
x² + ax + b = 2x² − x + 3
x² − (a+1)x + (3 − b) = 0
Akar kembar di x = 1: (x − 1)² = x² − 2x + 1 = 0
Koefisien: −(a+1) = −2 → a = 1
Dan: 3 − b = 1 → b = 2
Cek: a + b = 1 + 2 = 3 ✓
a = 1, b = 2
12. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² dan y = 6 − x².
▶ Pembahasan
Titik potong: x² = 6 − x² → 2x² = 6 → x = ±√3
Luas = ∫ dari −√3 ke √3 [(6 − x²) − x²] dx
= ∫ dari −√3 ke √3 (6 − 2x²) dx
= [6x − (2x³)/3] dari −√3 ke √3
= [6√3 − 2(3√3)/3] − [−6√3 + 2(3√3)/3]
= [6√3 − 2√3] − [−6√3 + 2√3]
= 4√3 − (−4√3) = 8√3
Luas = 8√3 satuan luas
13. Tentukan HP dari:
x² + y² = 25 (lingkaran)
y = x² − 5 (parabola)
▶ Pembahasan
Substitusi y = x² − 5 ke lingkaran:
x² + (x² − 5)² = 25
x² + x⁴ − 10x² + 25 = 25
x⁴ − 9x² = 0
x²(x² − 9) = 0
x = 0 → y = −5
x = 3 → y = 4
x = −3 → y = 4
HP = {(0, −5), (3, 4), (−3, 4)}
14. Tentukan HP dari:
y = x² + 2x + c
y = −x² + 4x + 1
jika diketahui keduanya berpotongan di titik dengan absis x = 2. Tentukan nilai c dan titik potong lainnya.
▶ Pembahasan
Di x = 2: persamaan kedua → y = −4 + 8 + 1 = 5
Persamaan pertama: 4 + 4 + c = 5 → c = −3
Sistem menjadi: x² + 2x − 3 = −x² + 4x + 1
2x² − 2x − 4 = 0
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 → y = 5 (sudah diketahui)
x = −1 → y = 1 − 2 − 3 = −4
c = −3, HP = {(2, 5), (−1, −4)}
15. Dua parabola y = ax² + 2 dan y = x² + bx + 1 bersinggungan di titik (1, 3). Tentukan nilai a dan b, lalu tentukan apakah ada titik potong lain.
▶ Pembahasan
Titik (1, 3) pada parabola pertama: a(1) + 2 = 3 → a = 1
Titik (1, 3) pada parabola kedua: 1 + b + 1 = 3 → b = 1
Persamaan menjadi: y = x² + 2 dan y = x² + x + 1
Samakan: x² + 2 = x² + x + 1
x = 1 (persamaan linear, hanya satu penyelesaian)
Sehingga hanya ada satu titik potong yaitu (1, 3).
Catatan: Karena koefisien x² sama, penyamaan menghasilkan persamaan linear, bukan kuadrat. Sehingga kedua parabola hanya berpotongan di satu titik (bukan bersinggungan dalam arti klasik).
a = 1, b = 1. Tidak ada titik potong lain.
MUDAH
- Tentukan HP dari: y = x² dan y = 3x² − 8
- Tentukan HP dari: y = x² + 2 dan y = 2x²
- Tentukan HP dari: y = x² − 1 dan y = −x² + 7
- Tentukan HP dari: y = x² + x dan y = 2x² − x − 2
- Tentukan HP dari: y = −x² + 4 dan y = x² − 4
SEDANG
- Tentukan nilai k agar y = x² + k dan y = 3x² − 4x + 2 bersinggungan.
- Tentukan HP dari: y = 2x² − 3x + 1 dan y = x² + x − 2
- Tentukan HP dari: y = −x² + 4x dan y = x² − 2x + 4
- Tentukan apakah y = x² + 3x + 5 dan y = 2x² + x + 4 berpotongan.
- Tentukan HP dari: y = 3x² − x − 2 dan y = x² + 3x − 4
SULIT
- Tentukan nilai a agar y = ax² + 1 dan y = x² + 2x + a bersinggungan.
- Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x² − 2x dan y = −x² + 4x − 4.
- Tentukan HP dari: x² + y² = 10 dan y = x² − 2.
- Parabola y = x² + px + q dan y = 2x² − 3x + 1 berpotongan di titik (2, 3). Tentukan p, q, dan titik potong lainnya.
- Tentukan semua nilai c agar y = x² + c dan y = −x² + 4x + 1 memiliki tepat satu titik potong.