Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Pendahuluan
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang memuat hubungan ketidaksamaan (lebih besar, lebih kecil, lebih besar atau sama dengan, lebih kecil atau sama dengan) dengan variabel berpangkat satu.
Pada materi ini, kita akan fokus pada cara menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.
Simbol-simbol yang digunakan:
| Simbol | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| < | kurang dari | x < 5 |
| > | lebih dari | x > 3 |
| ≤ | kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 |
| ≥ | lebih dari atau sama dengan | x ≥ −2 |
Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pertidaksamaan berikut dan amati pola penyelesaiannya:
- x + 3 < 7 → kurangi kedua ruas dengan 3 → x < 4
- 2x ≥ 10 → bagi kedua ruas dengan 2 → x ≥ 5
- −3x > 9 → bagi kedua ruas dengan −3, tanda berbalik → x < −3
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan penting:
- Kapan tanda pertidaksamaan tetap?
- Kapan tanda pertidaksamaan berbalik?
- Bagaimana menuliskan himpunan penyelesaian?
💡 Kegiatan: Menalar
Berdasarkan pengamatan, kita dapat menyimpulkan sifat-sifat berikut:
Sifat 1: Penjumlahan/Pengurangan
Kedua ruas boleh ditambah atau dikurangi bilangan yang sama tanpa mengubah tanda.
Jika a < b, maka a + c < b + c
Sifat 2: Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Positif
Kedua ruas boleh dikali/dibagi bilangan positif tanpa mengubah tanda.
Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
Sifat 3: Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Negatif
Kedua ruas boleh dikali/dibagi bilangan negatif, tetapi tanda BERBALIK.
Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear
- Pindahkan suku yang memuat variabel ke ruas kiri dan konstanta ke ruas kanan (atau sebaliknya).
- Sederhanakan masing-masing ruas.
- Bagi atau kalikan kedua ruas dengan koefisien variabel. Jika koefisien negatif, balikkan tanda!
- Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi himpunan atau notasi interval.
Cara Menuliskan Himpunan Penyelesaian:
| Pertidaksamaan | Notasi Himpunan | Notasi Interval |
|---|---|---|
| x < a | {x | x < a, x ∈ ℝ} | (−∞, a) |
| x ≤ a | {x | x ≤ a, x ∈ ℝ} | (−∞, a] |
| x > a | {x | x > a, x ∈ ℝ} | (a, ∞) |
| x ≥ a | {x | x ≥ a, x ∈ ℝ} | [a, ∞) |
| a < x < b | {x | a < x < b, x ∈ ℝ} | (a, b) |
✋ Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan pertidaksamaan berikut dengan langkah-langkah di atas:
3x − 5 < 10
Langkah:
HP = {x | x < 5, x ∈ ℝ} = (−∞, 5)
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Dari kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Penyelesaian pertidaksamaan linear adalah himpunan semua nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan.
- Saat mengalikan/membagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.
- Himpunan penyelesaian dapat dinyatakan dalam notasi himpunan, notasi interval, atau garis bilangan.
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 4 < 9
Lihat Pembahasan
HP = {x | x < 5, x ∈ ℝ} = (−∞, 5)
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x ≥ 8
Lihat Pembahasan
HP = {x | x ≥ 4, x ∈ ℝ} = [4, ∞)
Contoh 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 3 > 2
Lihat Pembahasan
HP = {x | x > 5, x ∈ ℝ} = (5, ∞)
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x < 12
Lihat Pembahasan
HP = {x | x < 4, x ∈ ℝ} = (−∞, 4)
Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 7 ≤ 10
Lihat Pembahasan
HP = {x | x ≤ 3, x ∈ ℝ} = (−∞, 3]
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x − 7 ≥ 2x + 5
Lihat Pembahasan
HP = {x | x ≥ 6, x ∈ ℝ} = [6, ∞)
Contoh 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari −2x + 3 > 9
Lihat Pembahasan
HP = {x | x < −3, x ∈ ℝ} = (−∞, −3)
Contoh 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 5(x − 2) < 3x + 4
Lihat Pembahasan
HP = {x | x < 7, x ∈ ℝ} = (−∞, 7)
Contoh 9:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 − 4x ≤ 2x + 15
Lihat Pembahasan
HP = {x | x ≥ −2, x ∈ ℝ} = [−2, ∞)
Contoh 10:
Tentukan himpunan penyelesaian dari −1 < 2x + 3 ≤ 9
Lihat Pembahasan
HP = {x | −2 < x ≤ 3, x ∈ ℝ} = (−2, 3]
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x + 1)/3 > (x − 2)/2
Lihat Pembahasan
HP = {x | x > −8, x ∈ ℝ} = (−8, ∞)
Contoh 12:
Tentukan himpunan penyelesaian dari (3x − 1)/4 − (x + 2)/3 ≤ 1
Lihat Pembahasan
HP = {x | x ≤ 23/5, x ∈ ℝ} = (−∞, 23/5]
Contoh 13:
Tentukan himpunan penyelesaian dari −3 ≤ (4x − 5)/3 < 7
Lihat Pembahasan
HP = {x | −1 ≤ x < 13/2, x ∈ ℝ} = [−1, 13/2)
Contoh 14:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2(3x − 4) − 5(x + 1) ≥ 3(2 − x) + 7
Lihat Pembahasan
HP = {x | x ≥ 13/2, x ∈ ℝ} = [13/2, ∞)
Contoh 15:
Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x − 3)/5 + (x + 1)/2 > (3x − 4)/10 + 1
Lihat Pembahasan
HP = {x | x > 7/6, x ∈ ℝ} = (7/6, ∞)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut dan tentukan himpunan penyelesaiannya!
Tingkat Mudah
- Tentukan HP dari x + 6 < 11
- Tentukan HP dari 3x ≤ 15
- Tentukan HP dari x − 4 > 1
- Tentukan HP dari 5x ≥ 20
- Tentukan HP dari x + 2 ≤ 8
Tingkat Sedang
- Tentukan HP dari 3x − 5 > x + 7
- Tentukan HP dari −4x + 2 ≤ 18
- Tentukan HP dari 2(x + 3) ≥ 5x − 9
- Tentukan HP dari −2 < 3x − 5 ≤ 10
- Tentukan HP dari 7 − 2x < 3x + 2
Tingkat Sulit
- Tentukan HP dari (3x + 2)/4 > (2x − 1)/3
- Tentukan HP dari (x − 1)/2 − (2x + 3)/5 ≤ 2
- Tentukan HP dari −5 ≤ (3x + 1)/2 < 8
- Tentukan HP dari 3(2x − 1) − 4(x + 2) ≥ 2(x − 5) + 1
- Tentukan HP dari (4x − 3)/6 + (x + 2)/3 > (5x − 1)/4