Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat
A. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat
Perhatikan persamaan dan pertidaksamaan berikut:
- x² + 3x − 10 = 0 → Persamaan kuadrat
- x² + 3x − 10 > 0 → Pertidaksamaan kuadrat
- x² + 3x − 10 < 0 → Pertidaksamaan kuadrat
- x² + 3x − 10 ≥ 0 → Pertidaksamaan kuadrat
- x² + 3x − 10 ≤ 0 → Pertidaksamaan kuadrat
Perbedaan utama: persamaan menggunakan tanda “=”, sedangkan pertidaksamaan menggunakan tanda “>”, “<“, “≥”, atau “≤”.
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel berpangkat tertinggi dua (kuadrat). Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
dengan ketentuan:
- a, b, c ∈ bilangan real dan a ≠ 0
- a = koefisien x²
- b = koefisien x
- c = konstanta
- x = variabel (yang dicari himpunan penyelesaiannya)
Pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara menentukan nilai a, b, dan c dari suatu pertidaksamaan kuadrat?
- Apa perbedaan tanda “>” dengan “≥” dalam penyelesaian?
- Bagaimana bentuk umum jika pertidaksamaan belum dalam bentuk standar?
Identifikasi Koefisien dan Konstanta
Untuk mengidentifikasi a, b, dan c, pastikan pertidaksamaan sudah dalam bentuk umum (semua suku di ruas kiri, ruas kanan = 0).
Contoh identifikasi:
| Pertidaksamaan | a | b | c | Tanda |
|---|---|---|---|---|
| 2x² + 5x − 3 > 0 | 2 | 5 | −3 | > |
| −x² + 4x − 1 ≤ 0 | −1 | 4 | −1 | ≤ |
| 3x² − 7 < 0 | 3 | 0 | −7 | < |
| x² + 6x ≥ 0 | 1 | 6 | 0 | ≥ |
Mengubah ke Bentuk Umum
Jika pertidaksamaan belum dalam bentuk umum, lakukan langkah-langkah berikut:
- Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan = 0
- Sederhanakan suku-suku sejenis
- Tulis dalam urutan pangkat tertinggi: ax² + bx + c
Contoh: Ubah 3x² + 2x > 5 − x ke bentuk umum.
Langkah 1: Pindahkan semua ke ruas kiri
3x² + 2x − 5 + x > 0
Langkah 2: Sederhanakan
3x² + 3x − 5 > 0
Jadi: a = 3, b = 3, c = −5
Kesimpulan: Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c (dengan tanda >, <, ≥, atau ≤) 0, di mana a ≠ 0. Setiap pertidaksamaan kuadrat dapat diubah ke bentuk umum dengan memindahkan seluruh suku ke satu ruas.
B. Jenis Tanda Pertidaksamaan dan Artinya
| Tanda | Dibaca | Arti | Himpunan Penyelesaian |
|---|---|---|---|
| > | lebih dari | Nilai di ruas kiri lebih besar, tidak termasuk titik nol | Interval terbuka |
| < | kurang dari | Nilai di ruas kiri lebih kecil, tidak termasuk titik nol | Interval terbuka |
| ≥ | lebih dari atau sama dengan | Nilai di ruas kiri lebih besar atau sama, termasuk titik nol | Interval tertutup |
| ≤ | kurang dari atau sama dengan | Nilai di ruas kiri lebih kecil atau sama, termasuk titik nol | Interval tertutup |
Penting: Perbedaan “>” dan “≥” terletak pada apakah nilai pembuat nol (akar) termasuk dalam penyelesaian atau tidak.
- Tanda “>” atau “<” → akar tidak termasuk (gunakan kurung biasa atau lingkaran terbuka pada garis bilangan)
- Tanda “≥” atau “≤” → akar termasuk (gunakan kurung siku atau lingkaran tertutup pada garis bilangan)
Notasi Penulisan Himpunan Penyelesaian
| Notasi | Contoh | Arti |
|---|---|---|
| Notasi himpunan | {x | −2 < x < 5} | Semua x antara −2 dan 5 (tidak termasuk) |
| Notasi interval | (−2, 5) | Interval terbuka dari −2 sampai 5 |
| Notasi interval tertutup | [−2, 5] | Interval tertutup dari −2 sampai 5 (termasuk) |
| Gabungan interval | (−∞, −2) ∪ (5, ∞) | Semua x kurang dari −2 atau lebih dari 5 |
Visualisasi pada Garis Bilangan
Contoh: HP dari x² − 3x − 10 > 0 dengan akar x = −2 dan x = 5
HP: x < −2 atau x > 5 → Notasi: (−∞, −2) ∪ (5, ∞)
C. Syarat dan Ketentuan Bentuk Umum
Perhatikan beberapa kasus khusus berikut:
1. Koefisien a harus ≠ 0
Jika a = 0, maka bukan pertidaksamaan kuadrat melainkan pertidaksamaan linear.
2. Koefisien b boleh = 0
Contoh: x² − 9 > 0 (bentuk ax² + c > 0)
3. Konstanta c boleh = 0
Contoh: x² + 4x ≤ 0 (bentuk ax² + bx ≤ 0)
4. Koefisien a negatif
Jika a < 0, biasanya dikalikan (−1) pada kedua ruas. Ingat: mengalikan dengan bilangan negatif membalik tanda pertidaksamaan!
Contoh: −x² + 4x − 3 > 0
Kalikan (−1): x² − 4x + 3 < 0 (tanda > berubah menjadi <)
Ringkasan: Bentuk umum ax² + bx + c (tanda) 0 berlaku dengan syarat a ≠ 0. Nilai b dan c boleh nol. Jika a negatif, dapat dikalikan −1 dengan catatan tanda pertidaksamaan dibalik.
D. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Soal 1. Tentukan nilai a, b, dan c dari pertidaksamaan x² + 5x − 6 > 0.
Lihat Pembahasan
Bandingkan dengan bentuk umum ax² + bx + c > 0
a = 1, b = 5, c = −6
Soal 2. Tentukan nilai a, b, dan c dari 3x² − 12 ≤ 0.
Lihat Pembahasan
Bentuk: 3x² + 0x − 12 ≤ 0
a = 3, b = 0, c = −12
Soal 3. Apakah 5x + 3 > 0 merupakan pertidaksamaan kuadrat? Jelaskan!
Lihat Pembahasan
Bukan pertidaksamaan kuadrat karena pangkat tertinggi variabel adalah 1 (linear), bukan 2.
Syarat pertidaksamaan kuadrat: harus ada suku x² dengan koefisien ≠ 0.
Soal 4. Tentukan nilai a, b, dan c dari −2x² + 8x ≥ 0.
Lihat Pembahasan
Bentuk: −2x² + 8x + 0 ≥ 0
a = −2, b = 8, c = 0
Soal 5. Ubah x² > 9 ke bentuk umum pertidaksamaan kuadrat.
Lihat Pembahasan
Pindahkan 9 ke ruas kiri:
x² − 9 > 0
Bentuk umum: a = 1, b = 0, c = −9
📙 Tingkat Sedang
Soal 1. Ubah 2x² + 3x > 4x + 5 ke bentuk umum dan tentukan koefisiennya.
Lihat Pembahasan
Pindahkan semua ke ruas kiri:
2x² + 3x − 4x − 5 > 0
2x² − x − 5 > 0
a = 2, b = −1, c = −5
Soal 2. Ubah −3x² + 6x − 2 > 0 agar koefisien a positif.
Lihat Pembahasan
Kalikan kedua ruas dengan (−1), tanda pertidaksamaan dibalik:
3x² − 6x + 2 < 0
Sekarang a = 3 (positif), tanda berubah dari “>” menjadi “<“.
Soal 3. Ubah (x + 2)(x − 3) ≤ 0 ke bentuk umum.
Lihat Pembahasan
Jabarkan:
x² − 3x + 2x − 6 ≤ 0
x² − x − 6 ≤ 0
a = 1, b = −1, c = −6
Soal 4. Ubah x(x + 4) ≥ 12 ke bentuk umum.
Lihat Pembahasan
Jabarkan ruas kiri: x² + 4x ≥ 12
Pindahkan 12: x² + 4x − 12 ≥ 0
a = 1, b = 4, c = −12
Soal 5. Tentukan bentuk umum dari 5 − 2x² < 3x.
Lihat Pembahasan
Pindahkan semua ke ruas kiri:
5 − 2x² − 3x < 0
Urutkan: −2x² − 3x + 5 < 0
Kalikan (−1) agar a positif, tanda dibalik:
2x² + 3x − 5 > 0
a = 2, b = 3, c = −5
📕 Tingkat Sulit
Soal 1. Ubah (2x − 1)² > x² + 3x + 7 ke bentuk umum.
Lihat Pembahasan
Jabarkan ruas kiri: (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1
Sehingga: 4x² − 4x + 1 > x² + 3x + 7
Pindahkan: 4x² − 4x + 1 − x² − 3x − 7 > 0
Sederhanakan: 3x² − 7x − 6 > 0
a = 3, b = −7, c = −6
Soal 2. Ubah (x + 3)/(x − 1) ≤ 2 menjadi pertidaksamaan kuadrat jika diketahui x ≠ 1 dan x − 1 > 0.
Lihat Pembahasan
Karena x − 1 > 0, kita boleh kalikan kedua ruas dengan (x − 1) tanpa membalik tanda:
x + 3 ≤ 2(x − 1)
x + 3 ≤ 2x − 2
0 ≤ x − 5 → ini linear, bukan kuadrat.
Kasus umum (tanpa syarat x − 1 > 0): kalikan dengan (x−1)² (selalu positif):
(x + 3)(x − 1) ≤ 2(x − 1)²
x² + 2x − 3 ≤ 2x² − 4x + 2
0 ≤ x² − 6x + 5
Bentuk umum: x² − 6x + 5 ≥ 0
a = 1, b = −6, c = 5
Soal 3. Tentukan bentuk umum pertidaksamaan kuadrat yang terbentuk dari (x² + 2x)² − 5(x² + 2x) + 4 < 0 jika dimisalkan u = x² + 2x.
Lihat Pembahasan
Misalkan u = x² + 2x, maka:
u² − 5u + 4 < 0
Ini adalah pertidaksamaan kuadrat dalam variabel u:
a = 1, b = −5, c = 4 (dalam variabel u)
Faktorisasi: (u − 1)(u − 4) < 0 → 1 < u < 4
Substitusi kembali: 1 < x² + 2x < 4
Ini menghasilkan dua pertidaksamaan kuadrat:
• x² + 2x − 1 > 0 (dari x² + 2x > 1)
• x² + 2x − 4 < 0 (dari x² + 2x < 4)
Soal 4. Ubah |x² − 4x| > 3 menjadi pertidaksamaan kuadrat.
Lihat Pembahasan
Sifat nilai mutlak: |A| > k ⟺ A > k atau A < −k
Kasus 1: x² − 4x > 3
x² − 4x − 3 > 0 → a = 1, b = −4, c = −3
Kasus 2: x² − 4x < −3
x² − 4x + 3 < 0 → a = 1, b = −4, c = 3
Penyelesaian akhir: gabungan (union) dari kedua himpunan penyelesaian.
Soal 5. Tentukan nilai k agar x² − kx + (k + 3) > 0 berlaku untuk semua x bilangan real. Nyatakan syaratnya dalam bentuk pertidaksamaan kuadrat terhadap k.
Lihat Pembahasan
Agar ax² + bx + c > 0 untuk semua x, syaratnya:
- a > 0 ✓ (karena a = 1 > 0)
- Diskriminan D < 0
D = b² − 4ac = k² − 4(1)(k + 3) < 0
k² − 4k − 12 < 0
Ini adalah pertidaksamaan kuadrat dalam variabel k:
a = 1, b = −4, c = −12
Faktorisasi: (k − 6)(k + 2) < 0
HP: −2 < k < 6
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai a, b, dan c dari 4x² − 7x + 2 < 0.
2. Tentukan nilai a, b, dan c dari x² − 16 ≥ 0.
3. Apakah 2x³ − x + 1 > 0 merupakan pertidaksamaan kuadrat? Jelaskan!
4. Tentukan nilai a, b, dan c dari −5x² + 10x ≤ 0.
5. Ubah x² ≤ 25 ke bentuk umum pertidaksamaan kuadrat.
📙 Tingkat Sedang
1. Ubah 3x² − 2x < x² + 4x − 6 ke bentuk umum.
2. Ubah −4x² + x + 3 ≥ 0 agar koefisien a positif.
3. Ubah (x − 5)(x + 1) > 0 ke bentuk umum.
4. Ubah x(2x − 3) ≤ 10 ke bentuk umum.
5. Tentukan bentuk umum dari 7 + x > 2x².
📕 Tingkat Sulit
1. Ubah (3x + 2)² ≤ (x − 1)² + 20 ke bentuk umum.
2. Ubah |x² − 5x| ≤ 6 menjadi pertidaksamaan kuadrat.
3. Tentukan bentuk umum pertidaksamaan dari (x² − x)² − 8(x² − x) + 12 > 0 dengan substitusi u = x² − x.
4. Tentukan syarat terhadap m (dalam bentuk pertidaksamaan kuadrat) agar x² + mx + (2m − 3) ≥ 0 berlaku untuk semua bilangan real x.
5. Ubah (x + 1)/(x − 2) + (x − 2)/(x + 1) > 2 menjadi pertidaksamaan kuadrat (asumsikan penyebutnya positif).