1. Tentukan penyelesaian: x + 3 < 7

Pembahasan: Kurangkan 3 pada kedua ruas:
x + 3 − 3 < 7 − 3
x < 4
Himpunan penyelesaian: {x | x < 4, x ∈ ℝ}

2. Tentukan penyelesaian: x − 5 ≥ 2

Pembahasan: Tambahkan 5 pada kedua ruas:
x − 5 + 5 ≥ 2 + 5
x ≥ 7
HP: {x | x ≥ 7}

3. Tentukan penyelesaian: x + 10 ≤ 15

Pembahasan: Kurangkan 10:
x ≤ 5
HP: {x | x ≤ 5}

4. Tentukan penyelesaian: x − 1 > 0

Pembahasan: Tambahkan 1:
x > 1
HP: {x | x > 1}

5. Tentukan penyelesaian: x + 8 < 3

Pembahasan: Kurangkan 8:
x < −5
HP: {x | x < −5}

6. Tentukan penyelesaian: 2x + 3 < x + 7

Pembahasan: Kurangkan x pada kedua ruas:
x + 3 < 7
Kurangkan 3:
x < 4
HP: {x | x < 4}

7. Tentukan penyelesaian: 3x − 2 ≥ 2x + 5

Pembahasan: Kurangkan 2x:
x − 2 ≥ 5
Tambahkan 2:
x ≥ 7
HP: {x | x ≥ 7}

8. Tentukan penyelesaian: 5x + 1 ≤ 4x − 3

Pembahasan: Kurangkan 4x:
x + 1 ≤ −3
Kurangkan 1:
x ≤ −4
HP: {x | x ≤ −4}

9. Tentukan penyelesaian: 4x − 7 > 3x + 2

Pembahasan: Kurangkan 3x:
x − 7 > 2
Tambahkan 7:
x > 9
HP: {x | x > 9}

10. Tentukan penyelesaian: 6x + 4 < 5x − 1

Pembahasan: Kurangkan 5x:
x + 4 < −1
Kurangkan 4:
x < −5
HP: {x | x < −5}

11. Tentukan penyelesaian: 3(x + 2) − 4 < 2(x + 5) + x

Pembahasan:
Ruas kiri: 3x + 6 − 4 = 3x + 2
Ruas kanan: 2x + 10 + x = 3x + 10
3x + 2 < 3x + 10
Kurangkan 3x: 2 < 10 ✓ (selalu benar)
HP: seluruh bilangan real, ℝ

12. Tentukan penyelesaian: 2(x + 3) + 5 ≥ 2x + 12

Pembahasan:
2x + 6 + 5 ≥ 2x + 12
2x + 11 ≥ 2x + 12
Kurangkan 2x: 11 ≥ 12 ✗ (tidak pernah benar)
HP: himpunan kosong, ∅

13. Tentukan penyelesaian: 5(x − 1) + 3 ≤ 3(x + 1) + 2x

Pembahasan:
Kiri: 5x − 5 + 3 = 5x − 2
Kanan: 3x + 3 + 2x = 5x + 3
5x − 2 ≤ 5x + 3
Kurangkan 5x: −2 ≤ 3 ✓ (selalu benar)
HP: ℝ

14. Tentukan penyelesaian: (x + 4) + (2x − 1) > (3x + 6)

Pembahasan:
Kiri: 3x + 3
Kanan: 3x + 6
3x + 3 > 3x + 6
Kurangkan 3x: 3 > 6 ✗
HP: ∅

15. Jika a < b dan c < d, buktikan bahwa a + c < b + d.

Pembahasan:
Dari a < b, tambahkan c: a + c < b + c … (i)
Dari c < d, tambahkan b: b + c < b + d … (ii)
Dari (i) dan (ii) dengan sifat transitif:
a + c < b + d   (terbukti) ∎

1. Tentukan penyelesaian: 2x < 10

Pembahasan: Bagi kedua ruas dengan 2 (positif, tanda tetap):
x < 5
HP: {x | x < 5}

2. Tentukan penyelesaian: 5x ≥ 20

Pembahasan: Bagi 5:
x ≥ 4
HP: {x | x ≥ 4}

3. Tentukan penyelesaian: 3x ≤ 9

Pembahasan: Bagi 3:
x ≤ 3
HP: {x | x ≤ 3}

4. Tentukan penyelesaian: 4x > 12

Pembahasan: Bagi 4:
x > 3
HP: {x | x > 3}

5. Tentukan penyelesaian: 7x < 21

Pembahasan: Bagi 7:
x < 3
HP: {x | x < 3}

6. Tentukan penyelesaian: 3x + 4 < 19

Pembahasan:
Kurangkan 4: 3x < 15
Bagi 3: x < 5
HP: {x | x < 5}

7. Tentukan penyelesaian: 5x − 7 ≥ 18

Pembahasan:
Tambahkan 7: 5x ≥ 25
Bagi 5: x ≥ 5
HP: {x | x ≥ 5}

8. Tentukan penyelesaian: 2x + 6 ≤ 3x − 1 (himpunan penyelesaian dengan sifat 2)

Pembahasan:
Kurangkan 2x: 6 ≤ x − 1
Tambahkan 1: 7 ≤ x
atau x ≥ 7
HP: {x | x ≥ 7}

9. Tentukan penyelesaian: x/3 > 4

Pembahasan: Kalikan 3 (positif, tanda tetap):
x > 12
HP: {x | x > 12}

10. Tentukan penyelesaian: x/5 + 2 ≤ 6

Pembahasan:
Kurangkan 2: x/5 ≤ 4
Kalikan 5: x ≤ 20
HP: {x | x ≤ 20}

11. Tentukan penyelesaian: 2(3x − 1) + 4 < 5(x + 2)

Pembahasan:
6x − 2 + 4 < 5x + 10
6x + 2 < 5x + 10
Kurangkan 5x: x + 2 < 10
Kurangkan 2: x < 8
HP: {x | x < 8}

12. Tentukan penyelesaian: (2x + 1)/3 ≥ (x − 2)/2

Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 6 (KPK, positif):
2(2x + 1) ≥ 3(x − 2)
4x + 2 ≥ 3x − 6
Kurangkan 3x: x + 2 ≥ −6
Kurangkan 2: x ≥ −8
HP: {x | x ≥ −8}

13. Tentukan penyelesaian: (x + 3)/4 < (x − 1)/2 + 1

Pembahasan: Kalikan 4:
x + 3 < 2(x − 1) + 4
x + 3 < 2x − 2 + 4
x + 3 < 2x + 2
Kurangkan x: 3 < x + 2
Kurangkan 2: 1 < x
atau x > 1
HP: {x | x > 1}

14. Tentukan penyelesaian: (5x − 3)/6 + 1 ≤ (2x + 7)/3

Pembahasan: Kalikan 6:
5x − 3 + 6 ≤ 2(2x + 7)
5x + 3 ≤ 4x + 14
Kurangkan 4x: x + 3 ≤ 14
Kurangkan 3: x ≤ 11
HP: {x | x ≤ 11}

15. Jika 0 < a < b, buktikan bahwa a² < b².

Pembahasan:
Karena a < b dan a > 0, kalikan kedua ruas dengan a:
a² < ab … (i)
Karena a < b dan b > 0, kalikan kedua ruas dengan b:
ab < b² … (ii)
Dari (i) dan (ii) dengan sifat transitif:
a² < b²   (terbukti) ∎

1. Tentukan penyelesaian: −x < 4

Pembahasan: Kalikan −1 (negatif, tanda berbalik):
x > −4
HP: {x | x > −4}

2. Tentukan penyelesaian: −2x ≥ 6

Pembahasan: Bagi −2 (negatif, tanda berbalik):
x ≤ −3
HP: {x | x ≤ −3}

3. Tentukan penyelesaian: −3x > 12

Pembahasan: Bagi −3 (tanda berbalik):
x < −4
HP: {x | x < −4}

4. Tentukan penyelesaian: −5x ≤ 15

Pembahasan: Bagi −5 (tanda berbalik):
x ≥ −3
HP: {x | x ≥ −3}

5. Tentukan penyelesaian: −4x < 20

Pembahasan: Bagi −4 (tanda berbalik):
x > −5
HP: {x | x > −5}

6. Tentukan penyelesaian: 3 − 2x > 7

Pembahasan:
Kurangkan 3: −2x > 4
Bagi −2 (tanda berbalik): x < −2
HP: {x | x < −2}

7. Tentukan penyelesaian: 5 − 3x ≤ −4

Pembahasan:
Kurangkan 5: −3x ≤ −9
Bagi −3 (tanda berbalik): x ≥ 3
HP: {x | x ≥ 3}

8. Tentukan penyelesaian: 1 − 4x ≥ 9

Pembahasan:
Kurangkan 1: −4x ≥ 8
Bagi −4 (tanda berbalik): x ≤ −2
HP: {x | x ≤ −2}

9. Tentukan penyelesaian: 10 − x < 3

Pembahasan:
Kurangkan 10: −x < −7
Kalikan −1 (tanda berbalik): x > 7
HP: {x | x > 7}

10. Tentukan penyelesaian: −x/2 + 3 ≥ 5

Pembahasan:
Kurangkan 3: −x/2 ≥ 2
Kalikan −2 (tanda berbalik): x ≤ −4
HP: {x | x ≤ −4}

11. Tentukan penyelesaian: 2(1 − 3x) + 4 > 3(2 − x)

Pembahasan:
Kiri: 2 − 6x + 4 = 6 − 6x
Kanan: 6 − 3x
6 − 6x > 6 − 3x
Kurangkan 6: −6x > −3x
Tambahkan 6x: 0 > 3x
Bagi 3: 0 > x, atau x < 0
HP: {x | x < 0}

12. Tentukan penyelesaian: (1 − 2x)/3 ≤ (4 − x)/2

Pembahasan: Kalikan 6:
2(1 − 2x) ≤ 3(4 − x)
2 − 4x ≤ 12 − 3x
Kurangkan 2: −4x ≤ 10 − 3x
Tambahkan 4x: 0 ≤ 10 + x
Kurangkan 10: −10 ≤ x
atau x ≥ −10
HP: {x | x ≥ −10}

13. Tentukan penyelesaian: −2(3x + 1) > 4(1 − 2x)

Pembahasan:
−6x − 2 > 4 − 8x
Tambahkan 8x: 2x − 2 > 4
Tambahkan 2: 2x > 6
Bagi 2: x > 3
HP: {x | x > 3}

14. Tentukan penyelesaian: (3 − 5x)/4 ≥ (2x + 1)/3 − 1

Pembahasan: Kalikan 12:
3(3 − 5x) ≥ 4(2x + 1) − 12
9 − 15x ≥ 8x + 4 − 12
9 − 15x ≥ 8x − 8
Tambahkan 15x: 9 ≥ 23x − 8
Tambahkan 8: 17 ≥ 23x
Bagi 23: x ≤ 17/23
HP: {x | x ≤ 17/23}

15. Jika a < b < 0, buktikan bahwa 1/a > 1/b.

Pembahasan:
Karena a < 0 dan b < 0, maka ab > 0 (hasil kali dua bilangan negatif positif).
Dari a < b, bagi kedua ruas dengan ab > 0 (tanda tetap):
a/(ab) < b/(ab)
1/b < 1/a
atau 1/a > 1/b   (terbukti) ∎

1. Jika x < 3 dan 3 < 7, tentukan hubungan x dengan 7.

Pembahasan: Dengan sifat transitif: x < 7.

2. Jika a ≤ 5 dan 5 ≤ b, apa hubungan a dan b?

Pembahasan: Transitif: a ≤ b.

3. Diketahui −2 < x dan x < 4. Nyatakan dalam satu pertidaksamaan.

Pembahasan: −2 < x < 4.

4. Jika p > q dan q > 10, apa yang bisa disimpulkan tentang p?

Pembahasan: Transitif: p > 10.

5. Diketahui x ≥ 0 dan 0 ≥ −3. Hubungan x dan −3?

Pembahasan: Transitif: x ≥ −3.

6. Tentukan penyelesaian: 1 < 2x − 3 < 7

Pembahasan: Tambahkan 3 pada ketiga ruas:
4 < 2x < 10
Bagi 2: 2 < x < 5
HP: {x | 2 < x < 5}

7. Tentukan penyelesaian: −5 ≤ 3x + 1 ≤ 10

Pembahasan: Kurangkan 1:
−6 ≤ 3x ≤ 9
Bagi 3: −2 ≤ x ≤ 3
HP: {x | −2 ≤ x ≤ 3}

8. Tentukan penyelesaian: 0 < 4 − x < 6

Pembahasan: Kurangkan 4:
−4 < −x < 2
Kalikan −1 (tanda berbalik, urutan juga berbalik):
−2 < x < 4
HP: {x | −2 < x < 4}

9. Tentukan penyelesaian: 2 ≤ (2x + 1)/3 ≤ 5

Pembahasan: Kalikan 3:
6 ≤ 2x + 1 ≤ 15
Kurangkan 1: 5 ≤ 2x ≤ 14
Bagi 2: 5/2 ≤ x ≤ 7
HP: {x | 5/2 ≤ x ≤ 7}

10. Jika x + 2 < 5 dan x − 1 > 0, tentukan HP gabungan.

Pembahasan:
Pertidaksamaan pertama: x < 3
Pertidaksamaan kedua: x > 1
Irisan: 1 < x < 3
HP: {x | 1 < x < 3}

11. Tentukan penyelesaian: −3 < 1 − 2x ≤ 7

Pembahasan: Kurangkan 1:
−4 < −2x ≤ 6
Bagi −2 (tanda berbalik, urutan berbalik):
−3 ≤ x < 2
HP: {x | −3 ≤ x < 2}

12. Tentukan penyelesaian: −1 ≤ (3 − 4x)/5 < 3

Pembahasan: Kalikan 5:
−5 ≤ 3 − 4x < 15
Kurangkan 3: −8 ≤ −4x < 12
Bagi −4 (berbalik): −3 < x ≤ 2
HP: {x | −3 < x ≤ 2}

13. Jika 1 < x < 4 dan 2 < y < 5, tentukan batas dari x + y.

Pembahasan:
Jumlahkan pertidaksamaan (sifat aditif + transitif):
1 + 2 < x + y < 4 + 5
3 < x + y < 9

14. Jika −2 ≤ x ≤ 3, tentukan batas dari 2x − 5.

Pembahasan:
Kalikan 2: −4 ≤ 2x ≤ 6
Kurangkan 5: −9 ≤ 2x − 5 ≤ 1
Jadi −9 ≤ 2x − 5 ≤ 1

15. Jika 1 < a < 3 dan −4 < b < −1, tentukan batas a − b.

Pembahasan:
Dari −4 < b < −1, kalikan −1 (berbalik):
1 < −b < 4
Jumlahkan dengan 1 < a < 3:
1 + 1 < a − b < 3 + 4
2 < a − b < 7

1. Bandingkan: karena 3 < 5 (keduanya positif), apa hubungan 3² dan 5²?

Pembahasan: 3² = 9, 5² = 25. Karena kedua bilangan positif, 9 < 25. ✓

2. Bandingkan √9 dan √16.

Pembahasan: 9 < 16 dan keduanya non-negatif, maka √9 < √16, yaitu 3 < 4. ✓

3. Jika x ≥ 0 dan x² < 25, tentukan batas x.

Pembahasan: x² < 25 dan x ≥ 0, maka x < 5.
Jadi 0 ≤ x < 5.

4. Jika x ≥ 0, tentukan penyelesaian √x ≤ 3.

Pembahasan: Kuadratkan (kedua ruas non-negatif): x ≤ 9.
Dengan syarat x ≥ 0: HP = {x | 0 ≤ x ≤ 9}.

5. Benar atau salah: jika a² < b² maka a < b?

Pembahasan: Salah. Contoh: (−1)² = 1 < 4 = 2², tapi −1 < 2 (kebetulan benar). Namun (−3)² = 9 < 16 = (−4)²? Tidak, 9 < 16 tapi −3 > −4. Sifat ini hanya berlaku jika kedua bilangan non-negatif.

6. Tentukan penyelesaian: x² ≤ 16, x ≥ 0.

Pembahasan: Akar kuadratkan: x ≤ 4. Dengan syarat x ≥ 0:
HP: {x | 0 ≤ x ≤ 4}

7. Tentukan penyelesaian: √x > 2, x ≥ 0.

Pembahasan: Kuadratkan: x > 4.
HP: {x | x > 4}

8. Jika 0 < x < 1, bandingkan x dengan x².

Pembahasan: Karena 0 < x < 1, kalikan pertidaksamaan x < 1 dengan x (positif):
x² < x
Jadi x² < x untuk 0 < x < 1.

9. Jika 0 < x < 1, bandingkan x dengan √x.

Pembahasan: Misalkan x = 0,25. Maka √0,25 = 0,5 > 0,25.
Secara umum, untuk 0 < x < 1: √x > x.
(Bukti: √x − x = √x(1 − √x) > 0 karena 0 < √x < 1)

10. Tentukan penyelesaian: 1 ≤ √(2x + 1) ≤ 3.

Pembahasan: Kuadratkan (semua ruas non-negatif):
1 ≤ 2x + 1 ≤ 9
Kurangkan 1: 0 ≤ 2x ≤ 8
Bagi 2: 0 ≤ x ≤ 4
HP: {x | 0 ≤ x ≤ 4}

11. Tentukan penyelesaian: √(3x − 2) < 4.

Pembahasan: Syarat: 3x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2/3.
Kuadratkan: 3x − 2 < 16
3x < 18 → x < 6
Gabungan dengan syarat: HP = {x | 2/3 ≤ x < 6}

12. Buktikan: untuk x > 1, berlaku x² > x.

Pembahasan:
x > 1 dan x > 0. Kalikan x > 1 dengan x (positif):
x² > x ∎

13. Jika 2 ≤ x ≤ 5, tentukan batas dari x².

Pembahasan: Kedua batas non-negatif. Kuadratkan:
2² ≤ x² ≤ 5²
4 ≤ x² ≤ 25

14. Tentukan penyelesaian: x² + 2x − 3 < 0 (gunakan sifat pertidaksamaan).

Pembahasan:
Faktorkan: (x + 3)(x − 1) < 0
Tanda negatif jika satu faktor positif dan satu negatif:
Kasus: x + 3 > 0 dan x − 1 < 0 → x > −3 dan x < 1
HP: {x | −3 < x < 1}

15. Buktikan bahwa untuk semua bilangan real a dan b: a² + b² ≥ 2ab.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa (a − b)² ≥ 0 (kuadrat selalu ≥ 0).
a² − 2ab + b² ≥ 0
a² + b² ≥ 2ab   (terbukti) ∎