Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
A. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat
📖 MengamatiPerhatikan bentuk-bentuk berikut:
- ax² + bx + c > 0
- ax² + bx + c < 0
- ax² + bx + c ≥ 0
- ax² + bx + c ≤ 0
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0.
Bentuk-bentuk di atas disebut pertidaksamaan kuadrat. Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah himpunan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
❓ MenanyaBagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat? Apakah ada langkah-langkah sistematis yang bisa digunakan?
B. Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
💡 MenalarBerikut langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat:
- Ubah bentuk pertidaksamaan sehingga ruas kanan = 0.
- Faktorkan ruas kiri (jika bisa) atau gunakan rumus abc untuk mencari akar-akar.
- Tentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Misalkan akar-akarnya x₁ dan x₂ dengan x₁ ≤ x₂.
- Buat garis bilangan dan tandai akar-akar tersebut.
- Tentukan tanda (+ atau −) pada setiap interval menggunakan uji titik atau tabel tanda.
- Pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan dan tuliskan himpunan penyelesaiannya.
Aturan Tanda pada Pertidaksamaan Kuadrat
Jika a > 0 (parabola terbuka ke atas) dan akar-akar x₁ < x₂:
| Pertidaksamaan | Himpunan Penyelesaian | Notasi Interval |
|---|---|---|
| ax² + bx + c > 0 | x < x₁ atau x > x₂ | (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞) |
| ax² + bx + c ≥ 0 | x ≤ x₁ atau x ≥ x₂ | (−∞, x₁] ∪ [x₂, +∞) |
| ax² + bx + c < 0 | x₁ < x < x₂ | (x₁, x₂) |
| ax² + bx + c ≤ 0 | x₁ ≤ x ≤ x₂ | [x₁, x₂] |
Jika a < 0 (parabola terbuka ke bawah), aturan tandanya berkebalikan.
Ilustrasi Garis Bilangan
Contoh: Penyelesaian x² − 5x + 6 > 0 → akar: x₁ = 2, x₂ = 3
HP: {x | x < 2 atau x > 3} = (−∞, 2) ∪ (3, +∞)
C. Metode Tabel Tanda (Uji Interval)
🔬 MencobaSetelah memfaktorkan, kita buat tabel tanda untuk menentukan interval positif dan negatif.
Contoh: Selesaikan (x − 1)(x + 3) < 0
Akar-akar: x = 1 dan x = −3
| Interval | x + 3 | x − 1 | (x+3)(x−1) |
|---|---|---|---|
| x < −3 | − | − | + |
| −3 < x < 1 | + | − | − |
| x > 1 | + | + | + |
Karena kita mencari (x−1)(x+3) < 0, pilih interval yang hasilnya negatif (−).
HP: {x | −3 < x < 1} = (−3, 1)
D. Kasus Khusus
💡 Menalar1. Diskriminan Negatif (D < 0)
Jika D = b² − 4ac < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.
- Jika a > 0: grafik selalu di atas sumbu-x → ax² + bx + c > 0 untuk semua x ∈ ℝ
- Jika a < 0: grafik selalu di bawah sumbu-x → ax² + bx + c < 0 untuk semua x ∈ ℝ
2. Diskriminan Nol (D = 0)
Jika D = 0, maka persamaan memiliki satu akar kembar x₁ = x₂.
- Jika a > 0: ax² + bx + c ≥ 0 untuk semua x ∈ ℝ, dan sama dengan nol hanya saat x = x₁
3. Koefisien a Negatif
Jika a < 0, kalikan kedua ruas dengan −1 (ingat: tanda pertidaksamaan berbalik!), lalu selesaikan seperti biasa.
E. Mengkomunikasikan Penyelesaian
📢 MengkomunikasikanPenyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk:
| Bentuk Penyajian | Contoh |
|---|---|
| Notasi Himpunan | {x | −3 < x < 1, x ∈ ℝ} |
| Notasi Interval | (−3, 1) |
| Garis Bilangan | Arsiran pada garis bilangan antara −3 dan 1 |
Keterangan notasi interval:
- ( ) → tanda kurung biasa = titik ujung tidak termasuk (terbuka)
- [ ] → tanda kurung siku = titik ujung termasuk (tertutup)
- ∪ → gabungan (union) dua himpunan
- ∞ → tak hingga (selalu menggunakan kurung biasa)
F. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 4 > 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (x − 2)(x + 2) > 0
Akar-akar: x = 2 dan x = −2
Karena a > 0 dan tanda >, penyelesaian di luar akar-akar:
x < −2 atau x > 2
HP: (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 9 ≤ 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (x − 3)(x + 3) ≤ 0
Akar-akar: x = 3 dan x = −3
Karena a > 0 dan tanda ≤, penyelesaian di antara akar-akar (termasuk titik ujung):
HP: [−3, 3] atau {x | −3 ≤ x ≤ 3}
Contoh 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 5x + 6 < 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (x − 2)(x − 3) < 0
Akar-akar: x = 2 dan x = 3
Karena a > 0 dan tanda <, penyelesaian di antara akar-akar:
HP: (2, 3) atau {x | 2 < x < 3}
Contoh 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + x − 6 ≥ 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (x + 3)(x − 2) ≥ 0
Akar-akar: x = −3 dan x = 2
Karena a > 0 dan tanda ≥, penyelesaian di luar akar-akar (termasuk titik ujung):
HP: (−∞, −3] ∪ [2, +∞)
Contoh 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 4x < 0.
Pembahasan:
Faktorkan: x(x − 4) < 0
Akar-akar: x = 0 dan x = 4
Karena a > 0 dan tanda <, penyelesaian di antara akar-akar:
HP: (0, 4) atau {x | 0 < x < 4}
Contoh 6. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x² − 7x + 3 ≤ 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (2x − 1)(x − 3) ≤ 0
Akar-akar: x = ½ dan x = 3
Karena a > 0 dan tanda ≤, penyelesaian di antara akar-akar:
HP: [½, 3] atau {x | ½ ≤ x ≤ 3}
Contoh 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari −x² + 4x − 3 > 0.
Pembahasan:
Kalikan dengan −1 (tanda berbalik): x² − 4x + 3 < 0
Faktorkan: (x − 1)(x − 3) < 0
Akar-akar: x = 1 dan x = 3
Karena a > 0 (setelah dikalikan −1) dan tanda <, penyelesaian di antara akar-akar:
HP: (1, 3)
Contoh 8. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x² + 5x − 2 > 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (3x − 1)(x + 2) > 0
Akar-akar: x = ⅓ dan x = −2
Karena a > 0 dan tanda >, penyelesaian di luar akar-akar:
HP: (−∞, −2) ∪ (⅓, +∞)
Contoh 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² − 2x − 8 ≥ 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (x − 4)(x + 2) ≥ 0
Akar-akar: x = 4 dan x = −2
Karena a > 0 dan tanda ≥, penyelesaian di luar akar-akar:
HP: (−∞, −2] ∪ [4, +∞)
Contoh 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 2x + 1 > 0.
Pembahasan:
Faktorkan: (x + 1)² > 0
Akar kembar: x = −1 (D = 0)
Karena kuadrat sempurna, (x + 1)² ≥ 0 untuk semua x, dan sama dengan 0 hanya saat x = −1.
Maka (x + 1)² > 0 untuk semua x ≠ −1.
HP: (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) atau ℝ \ {−1}
Contoh 11. Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x − 1)(x + 4) ≤ (x + 2)(x − 1).
Pembahasan:
Kiri: 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4
Kanan: x² − x + 2x − 2 = x² + x − 2
Pindahkan ke kiri: 2x² + 7x − 4 − x² − x + 2 ≤ 0
x² + 6x − 2 ≤ 0 — tidak bisa difaktorkan, gunakan rumus abc:
x = (−6 ± √(36 + 8)) / 2 = (−6 ± √44) / 2 = (−6 ± 2√11) / 2 = −3 ± √11
x₁ = −3 − √11 ≈ −6,32 dan x₂ = −3 + √11 ≈ 0,32
HP: [−3 − √11, −3 + √11]
Contoh 12. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x² − 1)/(x − 3) ≥ 0 (untuk konteks pertidaksamaan kuadrat pada pembilang).
Pembahasan:
Pembilang: x² − 1 = (x−1)(x+1), akar: x = −1, 1
Penyebut: x − 3 = 0 → x = 3 (bukan akar, tapi pembatas karena penyebut ≠ 0)
Titik-titik kritis: x = −1, 1, 3
| Interval | x+1 | x−1 | x−3 | Hasil |
|---|---|---|---|---|
| x < −1 | − | − | − | − |
| −1 < x < 1 | + | − | − | + |
| 1 < x < 3 | + | + | − | − |
| x > 3 | + | + | + | + |
Kita cari ≥ 0 (positif atau nol). Nol terjadi saat pembilang = 0: x = −1 atau x = 1.
HP: [−1, 1] ∪ (3, +∞)
Contoh 13. Tentukan nilai x yang memenuhi x² − 6x + 5 < 2x − 1.
Pembahasan:
Pindahkan ke kiri: x² − 6x + 5 − 2x + 1 < 0
x² − 8x + 6 < 0
Gunakan rumus abc: x = (8 ± √(64 − 24)) / 2 = (8 ± √40) / 2 = (8 ± 2√10) / 2 = 4 ± √10
x₁ = 4 − √10 ≈ 0,84 dan x₂ = 4 + √10 ≈ 7,16
HP: (4 − √10, 4 + √10)
Contoh 14. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x² − 4x| < 5.
Pembahasan:
|x² − 4x| < 5 berarti −5 < x² − 4x < 5
Bagian 1: x² − 4x < 5 → x² − 4x − 5 < 0 → (x−5)(x+1) < 0
HP₁: −1 < x < 5
Bagian 2: x² − 4x > −5 → x² − 4x + 5 > 0
D = 16 − 20 = −4 < 0, dan a > 0, maka selalu positif untuk semua x ∈ ℝ.
HP₂: ℝ (semua bilangan real)
HP = HP₁ ∩ HP₂ = (−1, 5)
HP: (−1, 5)
Contoh 15. Tentukan semua nilai m agar persamaan x² + mx + (m+3) = 0 memiliki dua akar real berbeda yang keduanya positif.
Pembahasan:
Syarat dua akar real berbeda: D > 0
D = m² − 4(m+3) > 0 → m² − 4m − 12 > 0 → (m−6)(m+2) > 0
HP₁: m < −2 atau m > 6
Syarat kedua akar positif (Vieta):
• x₁ + x₂ = −m > 0 → m < 0
• x₁ · x₂ = m + 3 > 0 → m > −3
HP₂: m < 0
HP₃: m > −3
Irisan HP₁ ∩ HP₂ ∩ HP₃:
Dari HP₁: m < −2 atau m > 6
Dari HP₂: m < 0
Dari HP₃: m > −3
Irisan: −3 < m < −2
HP: (−3, −2)
G. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan jawaban dalam notasi himpunan dan notasi interval.
1. Tentukan HP dari x² − 16 > 0.
2. Tentukan HP dari x² − 3x + 2 ≤ 0.
3. Tentukan HP dari x² + 5x < 0.
4. Tentukan HP dari x² − 25 ≥ 0.
5. Tentukan HP dari x² − 7x + 12 > 0.
6. Tentukan HP dari 2x² − x − 6 ≤ 0.
7. Tentukan HP dari −x² + 6x − 8 > 0.
8. Tentukan HP dari 3x² − 10x + 3 < 0.
9. Tentukan HP dari x² − 6x + 9 ≤ 0.
10. Tentukan HP dari 4x² − 4x − 3 ≥ 0.
11. Tentukan HP dari (x + 1)(2x − 3) > (x − 2)(x + 5).
12. Tentukan HP dari |x² − 3x| ≤ 4.
13. Tentukan semua nilai k agar x² − 2kx + k + 6 > 0 untuk semua x ∈ ℝ.
14. Tentukan HP dari x² + 2x − 3 < |x + 1|.
15. Tentukan HP dari (x² − 4x + 3)/(x² − 1) ≤ 0.