Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Segitiga
A. Pengertian Matriks Segitiga
Perhatikan matriks-matriks berikut:
Matriks P
Matriks Q
Amati pola elemen-elemen nol pada kedua matriks di atas. Perhatikan posisi elemen nol terhadap diagonal utama.
- Apa perbedaan pola elemen nol pada Matriks P dan Matriks Q?
- Mengapa matriks-matriks tersebut disebut matriks segitiga?
- Apa syarat suatu matriks disebut matriks segitiga atas atau segitiga bawah?
1. Matriks Segitiga Atas
Definisi: Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Secara umum, matriks segitiga atas A = [aij] berukuran n × n memenuhi:
aij = 0 untuk semua i > j
Bentuk umum matriks segitiga atas 3×3:
2. Matriks Segitiga Bawah
Definisi: Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Secara umum, matriks segitiga bawah A = [aij] berukuran n × n memenuhi:
aij = 0 untuk semua i < j
Bentuk umum matriks segitiga bawah 3×3:
3. Diagonal Utama
Diagonal utama adalah elemen-elemen aij dengan i = j, yaitu elemen a11, a22, a33, …, ann.
4. Sifat-Sifat Matriks Segitiga
- Determinan matriks segitiga (atas maupun bawah) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya: det(A) = a11 × a22 × a33 × … × ann
- Hasil kali dua matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
- Hasil kali dua matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah.
- Transpose matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah, dan sebaliknya.
- Matriks diagonal adalah matriks yang sekaligus segitiga atas dan segitiga bawah.
Tentukan apakah matriks berikut merupakan matriks segitiga atas, segitiga bawah, atau bukan matriks segitiga:
Matriks A
→ Segitiga Bawah ✓
Matriks B
→ Segitiga Atas ✓
Matriks C
→ Bukan Segitiga ✗
Rangkuman penting:
- Matriks segitiga atas: semua elemen di bawah diagonal utama = 0 (aij = 0, i > j)
- Matriks segitiga bawah: semua elemen di atas diagonal utama = 0 (aij = 0, i < j)
- Determinan: det = a11 × a22 × … × ann
- Matriks segitiga harus merupakan matriks persegi.
B. Contoh Soal dan Pembahasan
● Contoh Soal Mudah
Soal 1
Tentukan apakah matriks berikut merupakan matriks segitiga atas, segitiga bawah, atau bukan matriks segitiga!
Pembahasan:
Periksa elemen di bawah diagonal utama: a21 = 0, a31 = 0, a32 = 0. Semua elemen di bawah diagonal utama bernilai nol.
Jawaban: Matriks segitiga atas.
Soal 2
Tentukan jenis matriks segitiga dari matriks berikut!
Pembahasan:
Elemen di atas diagonal utama: a12 = 0. Semua elemen di atas diagonal utama = 0.
Jawaban: Matriks segitiga bawah.
Soal 3
Hitunglah determinan matriks segitiga atas berikut!
Pembahasan:
Determinan matriks segitiga = hasil kali diagonal utama.
det = 2 × 3 × 7 = 42
Jawaban: det = 42
Soal 4
Hitunglah determinan matriks segitiga bawah berikut!
Pembahasan:
det = 5 × 4 = 20
Jawaban: det = 20
Soal 5
Tentukan transpose matriks segitiga atas berikut dan sebutkan jenis matriks hasilnya!
Pembahasan:
Transpose diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom:
Jawaban: Hasilnya adalah matriks segitiga bawah.
● Contoh Soal Sedang
Soal 1
Tentukan nilai x agar matriks berikut merupakan matriks segitiga atas!
Pembahasan:
Syarat segitiga atas: elemen di bawah diagonal = 0
a21 = x − 3 = 0 → x = 3
a31 = 2x − 6 = 2(3) − 6 = 0 ✓
a32 = x² − 9 = 9 − 9 = 0 ✓
Jawaban: x = 3
Soal 2
Hitunglah determinan matriks segitiga atas berikut berukuran 4×4!
Pembahasan:
det = 1 × (−2) × 4 × (−3) = 24
Jawaban: det = 24
Soal 3
Diketahui A dan B adalah matriks segitiga atas. Tentukan apakah AB juga matriks segitiga atas!
Pembahasan:
AB =
Baris 1: (2×4 + 3×0, 2×5 + 3×2) = (8, 16)
Baris 2: (0×4 + 1×0, 0×5 + 1×2) = (0, 2)
Jawaban: Ya, AB adalah matriks segitiga atas (elemen di bawah diagonal = 0).
Soal 4
Tentukan nilai a dan b agar matriks berikut merupakan matriks segitiga bawah!
Pembahasan:
Syarat segitiga bawah: elemen di atas diagonal = 0
a12 = a + 1 = 0 → a = −1
a13 = b − 2 = 0 → b = 2
a23 = 2b − 4 = 2(2) − 4 = 0 ✓
Jawaban: a = −1, b = 2
Soal 5
Diketahui matriks segitiga atas A memiliki determinan = 0. Jika elemen diagonal utamanya adalah 3, x, dan −2, tentukan nilai x!
Pembahasan:
det(A) = 3 × x × (−2) = −6x
Karena det(A) = 0, maka −6x = 0 → x = 0
Jawaban: x = 0
● Contoh Soal Sulit
Soal 1
Tentukan semua nilai x agar matriks berikut merupakan matriks segitiga atas DAN memiliki determinan = 12!
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat segitiga atas (elemen bawah diagonal = 0):
a21 = x² − 4 = 0 → x = 2 atau x = −2
a31 = x − 2 = 0 → x = 2
a32 = x² − x − 2 = (x−2)(x+1) = 0 → x = 2 atau x = −1
Agar semua terpenuhi sekaligus: x = 2 (satu-satunya nilai yang memenuhi ketiga syarat)
Langkah 2: Cek determinan dengan x = 2:
det = x × (x+1) × 2 = 2 × 3 × 2 = 12 ✓
Jawaban: x = 2
Soal 2
Buktikan bahwa jika A adalah matriks segitiga atas berukuran n×n, maka A² juga matriks segitiga atas!
Pembahasan:
Misalkan C = A² = A·A, maka cij = Σk=1n aik · akj
Untuk i > j, kita perlu buktikan cij = 0.
Perhatikan pada penjumlahan cij = Σ aik · akj:
- Jika k < i: maka i > k, sehingga aik = 0 (karena A segitiga atas)
- Jika k ≥ i: karena i > j, maka k ≥ i > j, sehingga k > j, maka akj = 0
Dalam semua kasus, salah satu faktor = 0, sehingga setiap suku = 0.
Maka cij = 0 untuk semua i > j.
Kesimpulan: A² adalah matriks segitiga atas. (Terbukti)
Soal 3
Tentukan invers matriks segitiga atas berikut!
Pembahasan:
Gunakan eliminasi Gauss-Jordan [A|I]:
det = 1 × 1 × 1 = 1 ≠ 0, jadi invers ada.
Misalkan A⁻¹ =
Dari AA⁻¹ = I, kita selesaikan kolom per kolom:
Kolom 3 (dari bawah): i = 1, e + 4(1) = 0 → e = −4… dst (back substitution)
Hasil:
Jawaban: Inversnya juga matriks segitiga atas (sifat penting!).
Soal 4
Diketahui A matriks segitiga bawah 3×3 dengan elemen-elemen:
Jika A² memiliki elemen diagonal utama 4, 9, dan 25, serta a, c, f > 0, tentukan nilai a, c, dan f!
Pembahasan:
A² juga matriks segitiga bawah. Elemen diagonal A² adalah:
(A²)11 = a² = 4 → a = 2 (karena a > 0)
(A²)22 = c² = 9 → c = 3 (karena c > 0)
(A²)33 = f² = 25 → f = 5 (karena f > 0)
Jawaban: a = 2, c = 3, f = 5
Soal 5
Tentukan semua matriks segitiga atas A berukuran 2×2 yang memenuhi A² = A (idempoten)!
Pembahasan:
Misalkan A =
A² =
Syarat A² = A:
a² = a → a(a−1) = 0 → a = 0 atau a = 1
d² = d → d(d−1) = 0 → d = 0 atau d = 1
ab + bd = b → b(a + d − 1) = 0
Kasus-kasus:
- a = 0, d = 0: b(−1) = 0 → b = 0 → A = matriks nol
- a = 1, d = 1: b(1) = 0 → b = 0 → A = I (matriks identitas)
- a = 1, d = 0: b(0) = 0 → b bebas → A = [[1,b],[0,0]]
- a = 0, d = 1: b(0) = 0 → b bebas → A = [[0,b],[0,1]]
Jawaban: Terdapat 4 keluarga solusi: matriks nol, matriks identitas, [[1,b],[0,0]] untuk sembarang b, dan [[0,b],[0,1]] untuk sembarang b.
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
● Latihan Mudah
1.
Tentukan jenis matriks segitiga dari matriks berikut!
2.
Hitunglah determinan matriks berikut!
3.
Apakah matriks berikut merupakan matriks segitiga? Jelaskan!
4.
Tentukan transpose matriks segitiga bawah berikut dan sebutkan jenis hasilnya!
5.
Hitunglah determinan matriks segitiga bawah berikut!
● Latihan Sedang
1.
Tentukan nilai p agar matriks berikut merupakan matriks segitiga atas!
2.
Diketahui matriks segitiga bawah A berukuran 3×3 dengan elemen diagonal 2, −3, dan k. Jika det(A) = 18, tentukan nilai k!
3.
Hitunglah hasil perkalian dua matriks segitiga atas berikut dan buktikan hasilnya juga segitiga atas!
4.
Tentukan nilai m dan n agar matriks berikut merupakan matriks segitiga bawah dengan determinan = −6!
5.
Tentukan determinan matriks segitiga atas berukuran 4×4 berikut!
● Latihan Sulit
1.
Tentukan semua matriks segitiga bawah A berukuran 2×2 yang memenuhi A² = 2A!
2.
Diketahui matriks segitiga atas:
Tentukan inversnya dalam bentuk a, b, dan c!
3.
Buktikan bahwa determinan matriks segitiga bawah berukuran n×n sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya menggunakan ekspansi kofaktor!
4.
Diketahui A adalah matriks segitiga atas 3×3 dengan det(A) = 8 dan det(A³) = 512. Jika elemen diagonal berupa bilangan bulat positif yang membentuk barisan geometri, tentukan matriks diagonal A!
5.
Tentukan semua nilai x agar matriks berikut merupakan matriks segitiga atas yang memiliki invers (invertible)!