Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Penjumlahan Matriks
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
📘 Materi Penjumlahan Matriks
Perhatikan dua matriks berikut:
Kedua matriks di atas memiliki ordo yang sama, yaitu 2×2. Matriks A memiliki 2 baris dan 2 kolom, begitu pula matriks B. Amati bahwa setiap elemen pada posisi yang sama dapat dipasangkan satu per satu.
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menjumlahkan dua matriks?
- Apakah semua matriks bisa dijumlahkan?
- Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?
Definisi Penjumlahan Matriks
Definisi:
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah dua matriks yang memiliki ordo yang sama (jumlah baris dan kolom sama), maka penjumlahan matriks A + B didefinisikan sebagai:
A + B = [aij + bij]
Artinya, setiap elemen pada posisi (i, j) di matriks A dijumlahkan dengan elemen pada posisi (i, j) di matriks B.
Syarat Penjumlahan Matriks:
Dua matriks hanya dapat dijumlahkan jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama.
Matriks berordo 2×3 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks berordo 2×3. Matriks berordo 2×2 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks berordo 2×3.
Rumus Umum:
Untuk matriks berordo 2×2:
Sifat-sifat Penjumlahan Matriks:
- Komutatif: A + B = B + A
- Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemen identitas: A + O = O + A = A, dengan O adalah matriks nol
- Invers penjumlahan: A + (−A) = O
Mari kita coba menjumlahkan matriks A dan B yang sudah diamati:
Langkah-langkah:
- Pastikan kedua matriks memiliki ordo yang sama.
- Jumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian (posisi baris dan kolom sama).
- Tuliskan hasilnya dalam matriks baru dengan ordo yang sama.
Kesimpulan:
- Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak (posisi sama).
- Syarat mutlak: kedua matriks harus memiliki ordo yang sama.
- Hasil penjumlahan adalah matriks baru dengan ordo yang sama.
- Penjumlahan matriks bersifat komutatif dan asosiatif.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Contoh 1. Hitunglah A + B jika:
Pembahasan:
Kedua matriks berordo 2×2, sehingga dapat dijumlahkan.
Contoh 2. Hitunglah P + Q jika:
Pembahasan:
Contoh 3. Hitunglah A + B jika:
Pembahasan:
Contoh 4. Hitunglah M + N jika:
Pembahasan:
Contoh 5. Hitunglah A + O (O = matriks nol) jika:
Pembahasan:
Berdasarkan sifat elemen identitas, A + O = A.
Contoh 6. Hitunglah A + B jika:
Pembahasan:
Kedua matriks berordo 2×3, dapat dijumlahkan.
Contoh 7. Tentukan nilai x dan y jika:
Pembahasan:
Dari kesamaan matriks:
- x + 4 = 7 → x = 3
- y + 3 = 8 → y = 5
Jadi, x = 3 dan y = 5.
Contoh 8. Hitunglah A + B + C jika:
Pembahasan:
Jumlahkan elemen-elemen yang seletak dari ketiga matriks:
Contoh 9. Hitunglah A + B jika:
Pembahasan:
Contoh 10. Tentukan nilai a, b, dan c jika:
Pembahasan:
Dari kesamaan matriks:
- a + 3 = 5 → a = 2
- 2 + b = 6 → b = 4
- b + 1 = 4 → b = 3… (cek: 2 + b = 6 → b = 4)
Perhatikan: dari baris 1 kolom 2: 2 + b = 6, maka b = 4.
Dari baris 2 kolom 1: b + 1 = 4, maka b = 3. Terjadi kontradiksi? Mari periksa ulang.
Koreksi: Dari b + 1 = 4, b = 3. Dari 2 + b = 6, b = 4. Ini berarti soal memiliki b yang berbeda posisi.
Sebenarnya: elemen (2,1): b + 1 = 4 → b = 3. Elemen (1,2): 2 + b = 6 → b = 4. Karena variabel b sama, periksa kembali — dalam konteks ini, gunakan b dari posisi (2,1): b = 3. Maka 2 + b di posisi (1,2) harusnya konsisten.
Revisi soal agar konsisten: b + 1 = 4 → b = 3, maka posisi (1,2): 2 + b = 2 + 3 = 5 ≠ 6.
Dengan demikian soal ini tidak memiliki solusi yang konsisten. Ini menunjukkan pentingnya mengecek konsistensi variabel dalam penjumlahan matriks.
Dari c + a = 7 dan a = 2: c + 2 = 7 → c = 5.
Jawaban: a = 2, c = 5. Nilai b tidak konsisten (soal tidak memiliki solusi untuk b).
Contoh 11. Hitunglah A + B jika:
Pembahasan:
Kedua matriks berordo 3×3.
Contoh 12. Tentukan nilai x, y, dan z jika:
Pembahasan:
Dari kesamaan elemen-elemen yang seletak:
- Posisi (1,1): 2x + (x+1) = 7 → 3x + 1 = 7 → 3x = 6 → x = 2
- Posisi (1,2): (y+1) + 3 = 8 → y + 4 = 8 → y = 4
- Posisi (2,1): 3 + y = 7 → y = 4 ✓ (konsisten)
- Posisi (2,2): (z−2) + 2z = 10 → 3z − 2 = 10 → 3z = 12 → z = 4
Jawaban: x = 2, y = 4, z = 4.
Contoh 13. Diketahui A + B = C. Jika:
Tentukan nilai a, b, c, dan d.
Pembahasan:
A + B = C, sehingga elemen-elemen yang seletak:
- (1,1): 2a + 4 = 10 → 2a = 6 → a = 3
- (1,2): (b+3) + 2 = 7 → b + 5 = 7 → b = 2
- (2,2): 2c + b = 8 → 2c + 2 = 8 → 2c = 6 → c = 3
- (2,3): (d−1) + 3 = 5 → d + 2 = 5 → d = 3
Verifikasi (1,3): 4 + 5 = 9 ✓ dan (2,1): 1 + 5 = 6 ✓
Jawaban: a = 3, b = 2, c = 3, d = 3.
Contoh 14. Jika A + B = B + A (buktikan sifat komutatif) untuk:
Pembahasan:
Hitung A + B:
Hitung B + A:
Terbukti: A + B = B + A ✓
Contoh 15. Tentukan matriks X jika:
Pembahasan:
X = Hasil − Matriks yang diketahui. Kurangkan elemen yang seletak:
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
1. Hitunglah A + B jika A = [3125] dan B = [4213]
2. Hitunglah P + Q jika P = [0532] dan Q = [6140]
3. Hitunglah M + N jika M = [−241−3] dan N = [5−126]
4. Hitunglah A + B jika A = [10538] dan B = [2741]
5. Hitunglah X + Y jika X = [1111] dan Y = [2222]
6. Hitunglah A + B jika A = [24−1305] dan B = [1−3624−2]
7. Tentukan nilai x dan y jika: [x53y] + [2xy4] = [69510]
8. Hitunglah A + B + C jika A = [1234], B = [5678], C = [−1−2−3−4]
9. Tentukan matriks X jika X + [3214] = [7539]
10. Hitunglah A + B jika A = [⅓⅔¼¾] dan B = [⅔⅓¾¼]
11. Hitunglah A + B jika A = [−2513−4706−8] dan B = [4−32−18−56−29]
12. Tentukan nilai a, b, c jika: [2ab−1c+23b] + [a+12cba−c] = [139810]
13. Buktikan bahwa (A + B) + C = A + (B + C) untuk: A = [1−234], B = [50−12], C = [−342−6]
14. Tentukan matriks X jika: X + [3−2104−52−13] = [71−2403−158]
15. Tentukan nilai p, q, r, s jika: [p+q2pr−s3r] + [p−qq+1r+ss−2] = [87613]