Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Skalar
Pengertian Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks persegi (jumlah baris = jumlah kolom) yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai sama, sedangkan semua elemen di luar diagonal utama bernilai nol (0).
Dengan kata lain, matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal utamanya memiliki nilai yang sama.
Bentuk Umum Matriks Skalar
Matriks skalar berorde 2×2:
Matriks skalar berorde 3×3:
dengan k adalah suatu konstanta (bilangan skalar) dan k ∈ ℝ.
Notasi Matematika
Secara formal, matriks skalar A berorde n×n dapat ditulis sebagai:
aij = k jika i = j
aij = 0 jika i ≠ j
Atau dapat ditulis: A = kI, di mana I adalah matriks identitas berorde n×n.
Pertanyaan Kunci
- Apa perbedaan matriks skalar dengan matriks diagonal?
- Apakah matriks identitas termasuk matriks skalar?
- Bagaimana sifat-sifat matriks skalar dalam operasi perkalian?
Jawaban:
- Perbedaan: Matriks diagonal memiliki elemen diagonal yang bisa berbeda-beda nilainya, sedangkan matriks skalar memiliki elemen diagonal yang semuanya sama.
- Matriks identitas: Ya, matriks identitas adalah matriks skalar dengan k = 1.
- Sifat perkalian: Matriks skalar kI dikalikan dengan matriks A menghasilkan kA (seperti perkalian skalar biasa).
Sifat-Sifat Matriks Skalar
1. Matriks Skalar = Perkalian Skalar dengan Matriks Identitas
Jika S adalah matriks skalar dengan elemen diagonal k, maka S = kI.
2. Perkalian Matriks Skalar dengan Matriks Lain
S × A = kI × A = kA
Mengalikan matriks skalar sama dengan mengalikan skalar biasa.
3. Komutatif terhadap Perkalian
S × A = A × S (matriks skalar komutatif terhadap semua matriks berorde sama).
4. Determinan Matriks Skalar
Untuk matriks skalar berorde n×n dengan elemen diagonal k:
det(S) = kn
5. Invers Matriks Skalar
Jika k ≠ 0, maka invers matriks skalar S = kI adalah:
S−1 = (1/k)I
Cara Mengidentifikasi Matriks Skalar
Langkah-langkah menentukan apakah suatu matriks adalah matriks skalar:
- Pastikan matriks tersebut adalah matriks persegi (jumlah baris = jumlah kolom).
- Periksa apakah semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0.
- Periksa apakah semua elemen pada diagonal utama bernilai sama.
Contoh Identifikasi:
✓ Matriks Skalar
Diagonal sama (3), luar diagonal = 0
✗ Bukan Matriks Skalar
Diagonal tidak sama (3 ≠ 5)
Kesimpulan Materi
- ✅ Matriks skalar adalah matriks persegi dengan semua elemen diagonal utama sama dan elemen lainnya nol.
- ✅ Matriks skalar = kI (k kali matriks identitas).
- ✅ Matriks identitas adalah kasus khusus matriks skalar dengan k = 1.
- ✅ Matriks nol adalah kasus khusus matriks skalar dengan k = 0.
- ✅ Matriks skalar bersifat komutatif terhadap perkalian dengan matriks berorde sama.
Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Tentukan apakah matriks berikut adalah matriks skalar!
Pembahasan:
Matriks berorde 2×2 (persegi) ✓
Elemen diagonal utama: a₁₁ = 4, a₂₂ = 4 → sama ✓
Elemen luar diagonal: a₁₂ = 0, a₂₁ = 0 → semua nol ✓
Jawaban: Ya, matriks tersebut adalah matriks skalar dengan k = 4.
Soal 2:
Tuliskan matriks skalar berorde 2×2 dengan k = 7!
Pembahasan:
Matriks skalar = kI, maka:
Soal 3:
Tentukan apakah matriks berikut adalah matriks skalar!
Pembahasan:
Elemen diagonal utama: a₁₁ = 2, a₂₂ = 2 → sama ✓
Elemen luar diagonal: a₁₂ = 1 → tidak nol ✗
Jawaban: Bukan matriks skalar karena terdapat elemen di luar diagonal yang tidak nol.
Soal 4:
Tuliskan matriks skalar berorde 3×3 dengan k = −2!
Pembahasan:
Soal 5:
Tentukan nilai k pada matriks skalar berikut!
Pembahasan:
Elemen diagonal utama semuanya bernilai 9.
Jawaban: k = 9
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Hitunglah hasil perkalian matriks skalar S dengan matriks A berikut!
Pembahasan:
S = 3I, maka S × A = 3I × A = 3A
Soal 7:
Hitunglah determinan matriks skalar berikut!
Pembahasan:
Determinan matriks skalar berorde n×n dengan k: det(S) = kn
n = 3, k = 4
det(S) = 4³ = 64
Jawaban: det(S) = 64
Soal 8:
Tentukan invers dari matriks skalar berikut!
Pembahasan:
Invers matriks skalar S = kI adalah S−1 = (1/k)I
k = 5, maka S−1 = (1/5)I
Soal 9:
Jika S adalah matriks skalar berorde 2×2 dan det(S) = 25, tentukan nilai k!
Pembahasan:
det(S) = kn = k² = 25
k = ±5
Jawaban: k = 5 atau k = −5
Soal 10:
Buktikan bahwa S × A = A × S untuk:
Pembahasan:
S × A:
= (2)(1)+(0)(4), (2)(3)+(0)(2) ; (0)(1)+(2)(4), (0)(3)+(2)(2)
A × S:
= (1)(2)+(3)(0), (1)(0)+(3)(2) ; (4)(2)+(2)(0), (4)(0)+(2)(2)
Terbukti S × A = A × S = 2A ✓
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Jika S adalah matriks skalar berorde 3×3 dengan k = 2, dan A adalah matriks 3×3 dengan det(A) = 5, hitunglah det(S × A)!
Pembahasan:
det(S × A) = det(S) × det(A)
det(S) = k³ = 2³ = 8
det(S × A) = 8 × 5 = 40
Jawaban: det(S × A) = 40
Soal 12:
Tentukan matriks skalar S berorde 2×2 sedemikian sehingga S² = 16I!
Pembahasan:
Misalkan S = kI, maka:
S² = (kI)² = k²I² = k²I
k²I = 16I
k² = 16
k = ±4
Soal 13:
Diketahui S adalah matriks skalar 2×2 dengan k > 0. Jika S3 − 27I = O (matriks nol), tentukan S!
Pembahasan:
S = kI, maka S³ = k³I
k³I − 27I = O
(k³ − 27)I = O
k³ = 27
k = 3 (karena k > 0)
Soal 14:
Jika S₁ dan S₂ adalah matriks skalar berorde 2×2 dengan k₁ = 3 dan k₂ = −2, hitunglah (S₁ + S₂)² !
Pembahasan:
S₁ = 3I, S₂ = −2I
S₁ + S₂ = 3I + (−2I) = (3−2)I = 1I = I
(S₁ + S₂)² = I² = I
Soal 15:
Tentukan semua matriks skalar S berorde 2×2 yang memenuhi S² − 5S + 6I = O!
Pembahasan:
Misalkan S = kI:
S² − 5S + 6I = O
k²I − 5kI + 6I = O
(k² − 5k + 6)I = O
k² − 5k + 6 = 0
(k − 2)(k − 3) = 0
k = 2 atau k = 3
Latihan Soal
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1.
Tentukan apakah matriks berikut adalah matriks skalar!
2.
Tuliskan matriks skalar berorde 2×2 dengan k = −3!
3.
Tentukan apakah matriks berikut adalah matriks skalar!
4.
Tentukan nilai k dari matriks skalar berikut!
5.
Tuliskan matriks skalar berorde 3×3 dengan k = 5!
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6.
Hitunglah hasil perkalian:
7.
Hitunglah determinan matriks skalar berorde 2×2 dengan k = −6!
8.
Tentukan invers dari matriks skalar berorde 2×2 dengan k = 8!
9.
Jika S adalah matriks skalar berorde 3×3 dan det(S) = −8, tentukan nilai k!
10.
Buktikan bahwa perkalian dua matriks skalar berorde sama menghasilkan matriks skalar. Gunakan S₁ dengan k₁ = 3 dan S₂ dengan k₂ = 4 (berorde 2×2).
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11.
Jika S adalah matriks skalar 3×3 dengan k = −3, dan det(A) = 4, hitunglah det(S²A)!
12.
Tentukan matriks skalar S berorde 2×2 yang memenuhi S³ = 64I!
13.
Jika S₁ = 2I dan S₂ = 5I (keduanya berorde 2×2), hitunglah det(S₁² + S₂)!
14.
Tentukan semua matriks skalar S berorde 2×2 yang memenuhi S² − 10S + 9I = O!
15.
Diketahui S adalah matriks skalar 2×2 dengan k > 0. Jika S−1 + S = (13/6)I, tentukan S!