Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Fungsi F(x) jika F'(x) dan F(a) Diketahui
📘 Materi
Pada materi ini, kita akan mempelajari cara menentukan fungsi F(x) apabila diketahui turunan pertamanya F'(x) dan nilai fungsi pada suatu titik tertentu F(a) = b.
📌 Konsep Dasar
Jika diketahui F'(x) maka untuk mendapatkan F(x), kita melakukan integral tak tentu (antiturunan) dari F'(x):
F(x) = ∫ F'(x) dx
Hasil integral akan menghasilkan konstanta C. Untuk menentukan nilai C, kita substitusikan syarat awal F(a) = b.
📌 Langkah-langkah Penyelesaian
- Integralkan F'(x) untuk mendapatkan F(x) + C
- Substitusikan nilai x = a ke dalam F(x) + C
- Gunakan syarat F(a) = b untuk mencari nilai C
- Tuliskan F(x) lengkap dengan nilai C yang sudah ditemukan
📌 Rumus Integral Dasar yang Digunakan
| ∫ xn dx | = 1n+1 xn+1 + C, (n ≠ −1) |
| ∫ k dx | = kx + C |
| ∫ k·f(x) dx | = k · ∫ f(x) dx |
| ∫ [f(x) ± g(x)] dx | = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx |
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan contoh berikut:
Diketahui F'(x) = 2x dan F(1) = 5.
Amati bahwa jika kita integralkan 2x, hasilnya adalah x² + C. Kemudian jika x = 1 maka F(1) = 1 + C = 5, sehingga C = 4.
Jadi F(x) = x² + 4
Amatilah bahwa konstanta C berfungsi sebagai “pengoreksi” agar fungsi melewati titik yang ditentukan.
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa hasil integral selalu memiliki konstanta C?
- Bagaimana jika F'(x) berupa fungsi polinomial berderajat tinggi?
- Apakah syarat F(a) = b selalu menghasilkan satu nilai C yang unik?
- Bagaimana cara memeriksa kebenaran jawaban kita?
Jawaban singkat: Konstanta C muncul karena turunan dari konstanta adalah nol, sehingga ada tak hingga banyak fungsi yang memiliki turunan sama. Syarat F(a)=b membuat solusinya tunggal. Untuk memeriksa, turunkan kembali F(x) dan pastikan hasilnya F'(x).
💡 Kegiatan: Menalar
Dari konsep di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Integral adalah operasi kebalikan dari turunan.
- Tanpa syarat awal, ada tak hingga banyak F(x) yang memenuhi (berbeda nilai C).
- Dengan satu syarat F(a) = b, kita mendapat tepat satu fungsi F(x).
- Verifikasi dilakukan dengan menurunkan F(x) dan memeriksa F(a) = b.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan secara mandiri:
Diketahui F'(x) = 3x² − 4x + 1 dan F(2) = 3. Tentukan F(x)!
Petunjuk: Integralkan suku per suku, lalu substitusi x=2.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah menyelesaikan soal di atas, tuliskan langkah-langkah penyelesaianmu secara runtut, kemudian presentasikan di depan kelas atau diskusikan dengan teman. Pastikan kamu menjelaskan:
- Mengapa setiap suku diintegralkan secara terpisah
- Bagaimana cara menentukan nilai C
- Bagaimana cara memverifikasi jawaban
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Diketahui F'(x) = 4x dan F(1) = 5. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Integralkan F'(x) = 4x
F(x) = ∫ 4x dx = 4 · x²2 + C = 2x² + C
Langkah 2: Substitusi F(1) = 5
2(1)² + C = 5 → 2 + C = 5 → C = 3
Langkah 3: Jadi F(x) = 2x² + 3
Verifikasi: F'(x) = 4x ✓ dan F(1) = 2+3 = 5 ✓
Contoh 2:
Diketahui F'(x) = 6 dan F(2) = 7. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ 6 dx = 6x + C
Langkah 2: F(2) = 6(2) + C = 7 → 12 + C = 7 → C = −5
Langkah 3: Jadi F(x) = 6x − 5
Verifikasi: F'(x) = 6 ✓ dan F(2) = 12−5 = 7 ✓
Contoh 3:
Diketahui F'(x) = 3x² dan F(0) = 4. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ 3x² dx = x³ + C
Langkah 2: F(0) = 0 + C = 4 → C = 4
Langkah 3: Jadi F(x) = x³ + 4
Contoh 4:
Diketahui F'(x) = 2x + 3 dan F(1) = 6. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ (2x + 3) dx = x² + 3x + C
Langkah 2: F(1) = 1 + 3 + C = 6 → 4 + C = 6 → C = 2
Langkah 3: Jadi F(x) = x² + 3x + 2
Contoh 5:
Diketahui F'(x) = 5x⁴ dan F(1) = 2. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ 5x⁴ dx = x⁵ + C
Langkah 2: F(1) = 1 + C = 2 → C = 1
Langkah 3: Jadi F(x) = x⁵ + 1
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Diketahui F'(x) = 6x² − 4x + 2 dan F(1) = 3. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ (6x² − 4x + 2) dx = 2x³ − 2x² + 2x + C
Langkah 2: F(1) = 2 − 2 + 2 + C = 3 → 2 + C = 3 → C = 1
Langkah 3: Jadi F(x) = 2x³ − 2x² + 2x + 1
Contoh 7:
Diketahui F'(x) = 4x³ + 6x dan F(−1) = 0. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ (4x³ + 6x) dx = x⁴ + 3x² + C
Langkah 2: F(−1) = (−1)⁴ + 3(−1)² + C = 1 + 3 + C = 0 → C = −4
Langkah 3: Jadi F(x) = x⁴ + 3x² − 4
Contoh 8:
Diketahui F'(x) = 1x² = x−2 dan F(1) = 2. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ x−2 dx = x−1−1 + C = −1x + C
Langkah 2: F(1) = −1 + C = 2 → C = 3
Langkah 3: Jadi F(x) = −1x + 3
Contoh 9:
Diketahui F'(x) = 2√x = 2x½ dan F(4) = 10. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F(x) = ∫ 2x½ dx = 2 · x³⁄₂3/2 + C = 43x³⁄₂ + C
Langkah 2: F(4) = 43(4)³⁄₂ + C = 43·8 + C = 323 + C = 10
C = 10 − 323 = 30−323 = −23
Langkah 3: Jadi F(x) = 43x³⁄₂ − 23
Contoh 10:
Diketahui F'(x) = (2x+1)(x−3) dan F(0) = 1. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Jabarkan: F'(x) = 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3
Langkah 2: F(x) = ∫ (2x² − 5x − 3) dx = 23x³ − 52x² − 3x + C
Langkah 3: F(0) = 0 − 0 − 0 + C = 1 → C = 1
Langkah 4: Jadi F(x) = 23x³ − 52x² − 3x + 1
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Diketahui F'(x) = 3x² − 2x² dan F(1) = 4. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Sederhanakan: F'(x) = 3 − 2x−2
Langkah 2: F(x) = ∫ (3 − 2x−2) dx = 3x + 2x−1 + C = 3x + 2x + C
Langkah 3: F(1) = 3 + 2 + C = 4 → C = −1
Langkah 4: Jadi F(x) = 3x + 2x − 1
Contoh 12:
Diketahui F'(x) = 3x² + 4√x dan F(1) = 5. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tulis ulang: F'(x) = 3x² + 4x−½
Langkah 2: F(x) = ∫ (3x² + 4x−½) dx = x³ + 4·x½½ + C = x³ + 8√x + C
Langkah 3: F(1) = 1 + 8 + C = 5 → C = −4
Langkah 4: Jadi F(x) = x³ + 8√x − 4
Contoh 13:
Diketahui F”(x) = 12x, F'(0) = 2, dan F(1) = 7. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Integralkan F”(x) untuk mendapat F'(x):
F'(x) = ∫ 12x dx = 6x² + C₁
F'(0) = 0 + C₁ = 2 → C₁ = 2, jadi F'(x) = 6x² + 2
Langkah 2: Integralkan F'(x) untuk mendapat F(x):
F(x) = ∫ (6x² + 2) dx = 2x³ + 2x + C₂
Langkah 3: F(1) = 2 + 2 + C₂ = 7 → C₂ = 3
Langkah 4: Jadi F(x) = 2x³ + 2x + 3
Contoh 14:
Diketahui F'(x) = (x−1)² / √x dan F(4) = 20. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Jabarkan: (x−1)² = x²−2x+1
F'(x) = x²−2x+1x½ = x³⁄₂ − 2x½ + x−½
Langkah 2: Integralkan masing-masing:
∫ x³⁄₂ dx = 25x⁵⁄₂
∫ 2x½ dx = 43x³⁄₂
∫ x−½ dx = 2x½
F(x) = 25x⁵⁄₂ − 43x³⁄₂ + 2√x + C
Langkah 3: F(4): x=4, √4=2, 4³⁄₂=8, 4⁵⁄₂=32
= 25·32 − 43·8 + 2·2 + C = 645 − 323 + 4 + C
= 192−160+6015 + C = 9215 + C = 20
C = 20 − 9215 = 300−9215 = 20815
Langkah 4: Jadi F(x) = 25x⁵⁄₂ − 43x³⁄₂ + 2√x + 20815
Contoh 15:
Diketahui F”(x) = 6x − 2, F'(1) = 4, dan F(0) = −1. Tentukan F(x)!
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: F'(x) = ∫ (6x − 2) dx = 3x² − 2x + C₁
F'(1) = 3 − 2 + C₁ = 4 → C₁ = 3
Jadi F'(x) = 3x² − 2x + 3
Langkah 2: F(x) = ∫ (3x² − 2x + 3) dx = x³ − x² + 3x + C₂
Langkah 3: F(0) = 0 − 0 + 0 + C₂ = −1 → C₂ = −1
Langkah 4: Jadi F(x) = x³ − x² + 3x − 1
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Tingkat Mudah
1. Diketahui F'(x) = 8x dan F(2) = 20. Tentukan F(x)!
2. Diketahui F'(x) = 5 dan F(3) = 11. Tentukan F(x)!
3. Diketahui F'(x) = 9x² dan F(1) = 6. Tentukan F(x)!
4. Diketahui F'(x) = 4x − 1 dan F(0) = 3. Tentukan F(x)!
5. Diketahui F'(x) = 6x⁵ dan F(1) = 2. Tentukan F(x)!
Tingkat Sedang
6. Diketahui F'(x) = 4x³ − 6x² + 2x dan F(1) = 0. Tentukan F(x)!
7. Diketahui F'(x) = 3√x dan F(9) = 20. Tentukan F(x)!
8. Diketahui F'(x) = 2x³ dan F(1) = −3. Tentukan F(x)!
9. Diketahui F'(x) = (x+2)(x−1) dan F(0) = 5. Tentukan F(x)!
10. Diketahui F'(x) = x² − 1x² dan F(1) = 1. Tentukan F(x)!
Tingkat Sulit
11. Diketahui F”(x) = 6x + 4, F'(0) = 1, dan F(1) = 5. Tentukan F(x)!
12. Diketahui F'(x) = x² + 4x + 4√x dan F(1) = 10. Tentukan F(x)!
13. Diketahui F”(x) = 12x² − 6, F'(1) = 3, dan F(0) = 2. Tentukan F(x)!
14. Diketahui F'(x) = (√x − 1)²x dan F(1) = 0. Tentukan F(x)!
15. Diketahui F”(x) = 2x−³⁄₂, F'(4) = 1, dan F(1) = 3. Tentukan F(x)!