Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Integral Tak Tentu
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan hubungan berikut:
- Jika \( F(x) = x^2 \), maka \( F'(x) = 2x \)
- Jika \( F(x) = x^2 + 5 \), maka \( F'(x) = 2x \)
- Jika \( F(x) = x^2 – 3 \), maka \( F'(x) = 2x \)
Amati bahwa ketiga fungsi tersebut memiliki turunan yang sama, yaitu \( 2x \). Ini berarti proses kebalikan dari turunan (diferensial) menghasilkan banyak kemungkinan fungsi asal yang berbeda oleh suatu konstanta.
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menemukan fungsi asal jika diketahui turunannya?
- Mengapa muncul konstanta \( C \) dalam hasil integral?
- Apa hubungan antara integral dan turunan (diferensial)?
💡 Kegiatan: Menalar
Integral tak tentu adalah proses kebalikan (invers) dari turunan (diferensial). Jika turunan dari \( F(x) \) adalah \( f(x) \), maka integral dari \( f(x) \) adalah \( F(x) + C \).
Definisi Integral Tak Tentu
Jika \( F'(x) = f(x) \), maka:
Keterangan:
- \( \int \) = tanda integral (simbol integral)
- \( f(x) \) = integran (fungsi yang diintegralkan)
- \( dx \) = variabel pengintegralan
- \( F(x) \) = fungsi hasil integral (anti turunan)
- \( C \) = konstanta integrasi (bilangan real sembarang)
📌 Catatan Penting
Konstanta \( C \) selalu ditambahkan karena turunan dari konstanta adalah nol. Sehingga, ada tak hingga banyaknya fungsi yang memiliki turunan yang sama.
2. Rumus Dasar Integral Fungsi Aljabar
🧪 Kegiatan: Mencoba
Cobalah menurunkan fungsi-fungsi berikut, lalu temukan polanya:
- \( F(x) = x^3 \Rightarrow F'(x) = 3x^2 \)
- \( F(x) = \frac{x^4}{4} \Rightarrow F'(x) = x^3 \)
- \( F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} \Rightarrow F'(x) = x^n \)
Dari pola tersebut, kita menemukan rumus dasar integral pangkat.
Rumus-Rumus Dasar Integral Fungsi Aljabar
1. Integral Konstanta
2. Integral Fungsi Pangkat
3. Integral dengan Koefisien Konstanta
4. Integral Penjumlahan dan Pengurangan
5. Integral Fungsi Linear Berpangkat
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompokmu:
- Jelaskan dengan bahasa sendiri mengapa rumus integral pangkat mensyaratkan \( n \neq -1 \).
- Buatlah contoh penerapan masing-masing rumus di atas.
- Verifikasi hasil integralmu dengan menurunkan kembali hasilnya.
Contoh Soal: Rumus Dasar Integral
MUDAH
Contoh 1:
Tentukan \( \int 5\, dx \)
Lihat Pembahasan
Menggunakan rumus integral konstanta: \( \int k\, dx = kx + C \)
Contoh 2:
Tentukan \( \int x^3\, dx \)
Lihat Pembahasan
Menggunakan rumus: \( \int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) dengan \( n = 3 \)
Contoh 3:
Tentukan \( \int 4x^2\, dx \)
Lihat Pembahasan
Keluarkan konstanta: \( \int 4x^2\, dx = 4 \int x^2\, dx \)
Contoh 4:
Tentukan \( \int (3x + 2)\, dx \)
Lihat Pembahasan
Integralkan suku per suku:
Contoh 5:
Tentukan \( \int x^{-2}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus pangkat dengan \( n = -2 \):
SEDANG
Contoh 6:
Tentukan \( \int (2x^3 – 5x^2 + 3x – 1)\, dx \)
Lihat Pembahasan
Integralkan suku per suku:
Contoh 7:
Tentukan \( \int \frac{3}{x^4}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke bentuk pangkat negatif: \( \frac{3}{x^4} = 3x^{-4} \)
Contoh 8:
Tentukan \( \int \sqrt{x}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke bentuk pangkat: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)
Contoh 9:
Tentukan \( \int \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) dx \)
Lihat Pembahasan
Ubah dan integralkan suku per suku:
Contoh 10:
Tentukan \( \int (2x+1)^4\, dx \)
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus: \( \int (ax+b)^n\, dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \) dengan \( a=2, b=1, n=4 \)
SULIT
Contoh 11:
Tentukan \( \int \frac{x^3 + 2x^2 – x}{x^2}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Bagi setiap suku dengan \( x^2 \):
Perhatikan bahwa \( \int x^{-1}\, dx = \ln|x| + C \), namun karena kita fokus pada fungsi aljabar dan rumus pangkat mensyaratkan \( n \neq -1 \), maka soal ini perlu ditinjau kembali.
Koreksi: Seharusnya suku terakhir adalah \( \frac{-x}{x^2} = -\frac{1}{x} = -x^{-1} \). Karena \( n = -1 \) tidak memenuhi syarat rumus pangkat aljabar, kita selesaikan suku yang bisa:
Catatan: \( \int x^{-1}\, dx = \ln|x| + C \) merupakan kasus khusus yang sering muncul saat menyederhanakan fungsi aljabar.
Contoh 12:
Tentukan \( \int (x+1)(x-3)\, dx \)
Lihat Pembahasan
Jabarkan terlebih dahulu:
Integralkan:
Contoh 13:
Tentukan \( \int \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{x}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Jabarkan pembilang: \( (\sqrt{x}+1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \)
Contoh 14:
Tentukan \( \int x^2 \sqrt{x}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke bentuk pangkat: \( x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} \)
Contoh 15:
Tentukan \( \int (3x-2)^{-3}\, dx \)
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus fungsi linear berpangkat dengan \( a=3, b=-2, n=-3 \):
Latihan Soal: Rumus Dasar Integral
MUDAH
- Tentukan \( \int 7\, dx \)
- Tentukan \( \int x^5\, dx \)
- Tentukan \( \int 6x^2\, dx \)
- Tentukan \( \int (4x – 1)\, dx \)
- Tentukan \( \int x^{-3}\, dx \)
SEDANG
- Tentukan \( \int (3x^4 – 2x^2 + x)\, dx \)
- Tentukan \( \int \frac{5}{x^3}\, dx \)
- Tentukan \( \int \sqrt[3]{x}\, dx \)
- Tentukan \( \int (5x-3)^6\, dx \)
- Tentukan \( \int \left( 2\sqrt{x} – \frac{3}{x^2} \right) dx \)
SULIT
- Tentukan \( \int (2x+1)(x-4)\, dx \)
- Tentukan \( \int \frac{x^4 – 3x^2 + 2}{x^3}\, dx \)
- Tentukan \( \int x^3 \sqrt[3]{x^2}\, dx \)
- Tentukan \( \int \frac{(x+2)^2}{\sqrt{x}}\, dx \)
- Tentukan \( \int (4x+1)^{-5/2}\, dx \)
3. Sifat-Sifat Integral Tak Tentu
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan sifat-sifat berikut dan amati pola yang terbentuk dari hubungan antara integral dan turunan:
Sifat-Sifat Integral Tak Tentu
Sifat 1: Turunan dari Integral
Sifat 2: Integral dari Turunan
Sifat 3: Integral Konstanta kali Fungsi
Sifat 4: Integral Jumlah/Selisih Fungsi
💡 Kegiatan: Menalar
Sifat 1 dan 2 menunjukkan bahwa integral dan turunan adalah operasi yang saling invers. Jika kita mengintegralkan suatu fungsi lalu menurunkan hasilnya, kita kembali ke fungsi semula.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buktikan bahwa sifat-sifat di atas benar dengan menggunakan contoh fungsi \( f(x) = 3x^2 + 2x \). Presentasikan hasilmu di depan kelas.
4. Menentukan Fungsi jika Diketahui Turunannya dan Nilai Fungsi
❓ Kegiatan: Menanya
Jika kita mengetahui turunan suatu fungsi dan satu titik yang dilalui kurva fungsi tersebut, bisakah kita menentukan fungsinya secara tunggal (tanpa konstanta C yang belum diketahui)?
Langkah-langkah Menentukan Fungsi
- Integralkan \( f'(x) \) untuk mendapatkan \( f(x) + C \)
- Substitusikan nilai \( x \) dan \( f(x) \) yang diketahui ke dalam persamaan
- Selesaikan untuk mendapatkan nilai \( C \)
- Tuliskan fungsi \( f(x) \) yang lengkap
🧪 Kegiatan: Mencoba
Diketahui \( f'(x) = 6x + 2 \) dan \( f(1) = 7 \). Cobalah tentukan fungsi \( f(x) \) dengan langkah-langkah di atas.
Langkah 1: \( f(x) = \int (6x+2)\, dx = 3x^2 + 2x + C \)
Langkah 2: Substitusi \( f(1) = 7 \): \( 3(1)^2 + 2(1) + C = 7 \)
Langkah 3: \( 3 + 2 + C = 7 \Rightarrow C = 2 \)
Langkah 4: \( f(x) = 3x^2 + 2x + 2 \)
Contoh Soal: Menentukan Fungsi & Sifat Integral
MUDAH
Contoh 1:
Diketahui \( f'(x) = 4x \) dan \( f(2) = 10 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
\( f(x) = \int 4x\, dx = 2x^2 + C \)
Substitusi \( f(2) = 10 \): \( 2(4) + C = 10 \Rightarrow C = 2 \)
Jadi \( f(x) = 2x^2 + 2 \)
Contoh 2:
Diketahui \( f'(x) = 3 \) dan \( f(0) = 5 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
\( f(x) = \int 3\, dx = 3x + C \)
Substitusi \( f(0) = 5 \): \( 0 + C = 5 \Rightarrow C = 5 \)
Jadi \( f(x) = 3x + 5 \)
Contoh 3:
Diketahui \( f'(x) = x^2 \) dan \( f(3) = 12 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
\( f(x) = \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C \)
Substitusi \( f(3) = 12 \): \( \frac{27}{3} + C = 12 \Rightarrow 9 + C = 12 \Rightarrow C = 3 \)
Jadi \( f(x) = \frac{x^3}{3} + 3 \)
Contoh 4:
Diketahui \( f'(x) = 2x + 1 \) dan \( f(1) = 4 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
\( f(x) = \int (2x+1)\, dx = x^2 + x + C \)
Substitusi \( f(1) = 4 \): \( 1 + 1 + C = 4 \Rightarrow C = 2 \)
Jadi \( f(x) = x^2 + x + 2 \)
Contoh 5:
Buktikan bahwa \( \frac{d}{dx}\left[\int (5x^3)\, dx\right] = 5x^3 \)
Lihat Pembahasan
Hitung integral: \( \int 5x^3\, dx = \frac{5x^4}{4} + C \)
Turunkan: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{5x^4}{4} + C\right) = \frac{5 \cdot 4x^3}{4} = 5x^3 \) ✓
Terbukti.
SEDANG
Contoh 6:
Diketahui \( f'(x) = 6x^2 – 4x + 3 \) dan \( f(1) = 8 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
\( f(x) = \int (6x^2 – 4x + 3)\, dx = 2x^3 – 2x^2 + 3x + C \)
Substitusi \( f(1) = 8 \): \( 2 – 2 + 3 + C = 8 \Rightarrow C = 5 \)
Jadi \( f(x) = 2x^3 – 2x^2 + 3x + 5 \)
Contoh 7:
Diketahui \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} \) dan \( f(4) = 10 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
Ubah: \( \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2} \)
\( f(x) = \int 2x^{-1/2}\, dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{x} + C \)
Substitusi \( f(4) = 10 \): \( 4\sqrt{4} + C = 10 \Rightarrow 8 + C = 10 \Rightarrow C = 2 \)
Jadi \( f(x) = 4\sqrt{x} + 2 \)
Contoh 8:
Gradien garis singgung suatu kurva di titik \( (x, y) \) adalah \( m = 3x^2 – 2 \). Jika kurva melalui titik \( (1, 3) \), tentukan persamaan kurva.
Lihat Pembahasan
Gradien = turunan, maka \( y’ = 3x^2 – 2 \)
\( y = \int (3x^2 – 2)\, dx = x^3 – 2x + C \)
Melalui \( (1, 3) \): \( 1 – 2 + C = 3 \Rightarrow C = 4 \)
Persamaan kurva: \( y = x^3 – 2x + 4 \)
Contoh 9:
Diketahui \( f”(x) = 6x \), \( f'(0) = 2 \), dan \( f(0) = 1 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Integralkan \( f”(x) \):
\( f'(x) = \int 6x\, dx = 3x^2 + C_1 \)
Substitusi \( f'(0) = 2 \): \( 0 + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2 \)
Jadi \( f'(x) = 3x^2 + 2 \)
Langkah 2: Integralkan \( f'(x) \):
\( f(x) = \int (3x^2 + 2)\, dx = x^3 + 2x + C_2 \)
Substitusi \( f(0) = 1 \): \( 0 + 0 + C_2 = 1 \Rightarrow C_2 = 1 \)
Jadi \( f(x) = x^3 + 2x + 1 \)
Contoh 10:
Diketahui \( f'(x) = (2x-1)^3 \) dan \( f(1) = 2 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
Gunakan rumus fungsi linear berpangkat:
\( f(x) = \int (2x-1)^3\, dx = \frac{(2x-1)^4}{2 \cdot 4} + C = \frac{(2x-1)^4}{8} + C \)
Substitusi \( f(1) = 2 \): \( \frac{(2-1)^4}{8} + C = 2 \Rightarrow \frac{1}{8} + C = 2 \Rightarrow C = \frac{15}{8} \)
Jadi \( f(x) = \frac{(2x-1)^4}{8} + \frac{15}{8} \)
SULIT
Contoh 11:
Diketahui \( f”(x) = 12x^2 – 6x + 2 \), \( f'(1) = 5 \), dan \( f(0) = 3 \). Tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: \( f'(x) = \int (12x^2 – 6x + 2)\, dx = 4x^3 – 3x^2 + 2x + C_1 \)
\( f'(1) = 5 \): \( 4 – 3 + 2 + C_1 = 5 \Rightarrow C_1 = 2 \)
Jadi \( f'(x) = 4x^3 – 3x^2 + 2x + 2 \)
Langkah 2: \( f(x) = \int (4x^3 – 3x^2 + 2x + 2)\, dx = x^4 – x^3 + x^2 + 2x + C_2 \)
\( f(0) = 3 \): \( C_2 = 3 \)
Jadi \( f(x) = x^4 – x^3 + x^2 + 2x + 3 \)
Contoh 12:
Gradien garis singgung kurva \( y = f(x) \) di titik \( (x,y) \) adalah \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 – 4}{\sqrt{x}} \). Jika kurva melalui \( (4, 10) \), tentukan \( f(x) \).
Lihat Pembahasan
Sederhanakan: \( \frac{x^2 – 4}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x^{1/2}} – \frac{4}{x^{1/2}} = x^{3/2} – 4x^{-1/2} \)
\( f(x) = \int (x^{3/2} – 4x^{-1/2})\, dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} – 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \)
\( = \frac{2}{5}x^{5/2} – 8\sqrt{x} + C \)
Substitusi \( (4, 10) \): \( \frac{2}{5}(32) – 8(2) + C = 10 \)
\( \frac{64}{5} – 16 + C = 10 \Rightarrow \frac{64}{5} – \frac{80}{5} + C = 10 \Rightarrow -\frac{16}{5} + C = 10 \Rightarrow C = \frac{66}{5} \)
Jadi \( f(x) = \frac{2}{5}x^{5/2} – 8\sqrt{x} + \frac{66}{5} \)
Contoh 13:
Suatu partikel bergerak dengan percepatan \( a(t) = 6t – 4 \) m/s². Jika kecepatan awal \( v(0) = 5 \) m/s dan posisi awal \( s(0) = 2 \) m, tentukan fungsi posisi \( s(t) \).
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Kecepatan: \( v(t) = \int (6t – 4)\, dt = 3t^2 – 4t + C_1 \)
\( v(0) = 5 \Rightarrow C_1 = 5 \), jadi \( v(t) = 3t^2 – 4t + 5 \)
Langkah 2: Posisi: \( s(t) = \int (3t^2 – 4t + 5)\, dt = t^3 – 2t^2 + 5t + C_2 \)
\( s(0) = 2 \Rightarrow C_2 = 2 \)
Jadi \( s(t) = t^3 – 2t^2 + 5t + 2 \)
Contoh 14:
Tentukan fungsi \( f(x) \) jika \( f'(x) = \frac{x^2 + 3x – 4}{x+4} \) dan \( f(1) = 0 \).
Lihat Pembahasan
Faktorkan pembilang: \( x^2 + 3x – 4 = (x+4)(x-1) \)
Sederhanakan: \( \frac{(x+4)(x-1)}{x+4} = x – 1 \) (untuk \( x \neq -4 \))
\( f(x) = \int (x-1)\, dx = \frac{x^2}{2} – x + C \)
Substitusi \( f(1) = 0 \): \( \frac{1}{2} – 1 + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} \)
Jadi \( f(x) = \frac{x^2}{2} – x + \frac{1}{2} = \frac{(x-1)^2}{2} \)
Contoh 15:
Diketahui \( f'(x) = 3\sqrt{x}(x+2) \) dan \( f(1) = 5 \). Tentukan \( f(4) \).
Lihat Pembahasan
Jabarkan: \( 3\sqrt{x}(x+2) = 3x^{1/2} \cdot x + 3x^{1/2} \cdot 2 = 3x^{3/2} + 6x^{1/2} \)
\( f(x) = \int (3x^{3/2} + 6x^{1/2})\, dx = 3 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + 6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \)
\( = \frac{6}{5}x^{5/2} + 4x^{3/2} + C \)
Substitusi \( f(1) = 5 \): \( \frac{6}{5} + 4 + C = 5 \Rightarrow C = 5 – \frac{6}{5} – 4 = -\frac{1}{5} \)
\( f(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} + 4x^{3/2} – \frac{1}{5} \)
Hitung \( f(4) \): \( = \frac{6}{5}(32) + 4(8) – \frac{1}{5} = \frac{192}{5} + 32 – \frac{1}{5} = \frac{191}{5} + 32 = \frac{351}{5} = 70{,}2 \)
Jadi \( f(4) = \frac{351}{5} = 70{,}2 \)
Latihan Soal: Menentukan Fungsi & Sifat Integral
MUDAH
- Diketahui \( f'(x) = 6x \) dan \( f(1) = 5 \). Tentukan \( f(x) \).
- Diketahui \( f'(x) = 5 \) dan \( f(3) = 20 \). Tentukan \( f(x) \).
- Diketahui \( f'(x) = 3x^2 \) dan \( f(2) = 10 \). Tentukan \( f(x) \).
- Diketahui \( f'(x) = x + 4 \) dan \( f(0) = 1 \). Tentukan \( f(x) \).
- Buktikan bahwa \( \frac{d}{dx}\left[\int (2x^3 + x)\, dx\right] = 2x^3 + x \)
SEDANG
- Diketahui \( f'(x) = 4x^3 – 6x + 1 \) dan \( f(2) = 7 \). Tentukan \( f(x) \).
- Gradien garis singgung kurva di titik \( (x,y) \) adalah \( m = 2x – 3 \). Jika kurva melalui \( (2, 1) \), tentukan persamaan kurva.
- Diketahui \( f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} \) dan \( f(9) = 20 \). Tentukan \( f(x) \).
- Diketahui \( f”(x) = 4 \), \( f'(0) = -1 \), dan \( f(0) = 3 \). Tentukan \( f(x) \).
- Diketahui \( f'(x) = (3x+1)^2 \) dan \( f(0) = 2 \). Tentukan \( f(x) \).
SULIT
- Diketahui \( f”(x) = 6x + 2 \), \( f'(1) = 7 \), dan \( f(2) = 15 \). Tentukan \( f(x) \).
- Suatu partikel bergerak dengan percepatan \( a(t) = 10 – 6t \). Jika \( v(0) = 0 \) dan \( s(0) = 0 \), tentukan \( s(t) \).
- Diketahui \( f'(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3} \) dan \( f(0) = 4 \). Tentukan \( f(5) \).
- Diketahui \( f'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \) dan \( f(1) = 3 \). Tentukan \( f(x) \).
- Gradien garis singgung kurva adalah \( m = \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{x}} \). Jika kurva melalui \( (1, 0) \), tentukan persamaan kurva.
5. Tabel Ringkasan Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
| No | Bentuk Fungsi | Hasil Integral | Syarat |
|---|---|---|---|
| 1 | \( \int k\, dx \) | \( kx + C \) | \( k \) konstanta |
| 2 | \( \int x^n\, dx \) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) | \( n \neq -1 \) |
| 3 | \( \int k \cdot f(x)\, dx \) | \( k \int f(x)\, dx \) | \( k \) konstanta |
| 4 | \( \int [f(x) \pm g(x)]\, dx \) | \( \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx \) | — |
| 5 | \( \int (ax+b)^n\, dx \) | \( \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \) | \( n \neq -1, a \neq 0 \) |
| 6 | \( \int \sqrt{x}\, dx = \int x^{1/2}\, dx \) | \( \frac{2}{3}x^{3/2} + C \) | — |
Tips Mengerjakan Integral Fungsi Aljabar
- Sederhanakan terlebih dahulu — Jika integran berbentuk pecahan atau perkalian, sederhanakan ke bentuk \( ax^n \) sebelum mengintegralkan.
- Ubah akar ke pangkat pecahan — \( \sqrt{x} = x^{1/2} \), \( \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \), \( \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \)
- Ubah pecahan ke pangkat negatif — \( \frac{1}{x^n} = x^{-n} \)
- Verifikasi hasil — Turunkan hasil integral. Jika hasilnya sama dengan integran, maka jawabanmu benar.
- Jangan lupa konstanta C — Selalu tambahkan \( + C \) pada hasil integral tak tentu.