Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Persamaan Kurva
Aplikasi Integral Tak Tentu
📘 Materi: Menentukan Persamaan Kurva
A. Pengertian
Menentukan persamaan kurva adalah proses mencari fungsi \( y = f(x) \) jika diketahui turunan (gradien) dari kurva tersebut, yaitu \( f'(x) \) atau \(\frac{dy}{dx}\), beserta suatu titik yang dilalui kurva.
Konsep dasarnya adalah integral merupakan kebalikan dari turunan (anti-turunan). Jika kita mengetahui turunan suatu fungsi, maka fungsi asalnya dapat diperoleh dengan mengintegralkan turunan tersebut.
Rumus Dasar:
\[ f(x) = \int f'(x)\, dx \]
Karena hasil integral memiliki konstanta \( C \), maka diperlukan syarat tambahan (titik yang dilalui kurva) untuk menentukan nilai \( C \).
B. Langkah-Langkah Menentukan Persamaan Kurva
- Integralkan \( f'(x) \) untuk mendapatkan \( f(x) + C \).
- Substitusikan titik yang dilalui kurva ke persamaan \( f(x) + C \) untuk menentukan nilai \( C \).
- Tuliskan persamaan kurva lengkap \( y = f(x) \).
Contoh Sederhana:
Diketahui \( f'(x) = 2x \) dan kurva melalui titik \((1, 3)\).
\[ f(x) = \int 2x\, dx = x^2 + C \]
Substitusi \((1,3)\): \( 3 = 1^2 + C \Rightarrow C = 2 \)
Jadi, \( f(x) = x^2 + 2 \)
C. Kasus dengan Turunan Kedua
Jika yang diketahui adalah turunan kedua \( f”(x) \), maka perlu dilakukan dua kali integral dan memerlukan dua syarat (misalnya dua titik, atau satu titik dan gradien di titik tertentu).
\[ f'(x) = \int f”(x)\, dx \quad \text{(integral pertama, muncul } C_1\text{)} \]
\[ f(x) = \int f'(x)\, dx \quad \text{(integral kedua, muncul } C_2\text{)} \]
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik berikut secara konseptual:
- Jika gradien kurva di setiap titik \( x \) adalah \( 2x \), maka kurva berbentuk parabola \( y = x^2 + C \).
- Nilai \( C \) menentukan posisi vertikal kurva. Tanpa titik yang dilalui, terdapat tak hingga banyak kurva yang memenuhi.
- Dengan satu titik yang diketahui, kurva menjadi tunggal (unik).
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa hasil integral selalu memiliki konstanta \( C \)?
- Mengapa diperlukan titik yang dilalui kurva untuk menentukan persamaan kurva yang tunggal?
- Bagaimana jika diketahui turunan kedua? Berapa syarat yang diperlukan?
- Apa hubungan antara gradien garis singgung dan turunan fungsi?
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita analisis mengapa konstanta \( C \) muncul:
- Turunan dari \( x^2 + 5 \) adalah \( 2x \).
- Turunan dari \( x^2 – 3 \) juga \( 2x \).
- Turunan dari \( x^2 + 100 \) juga \( 2x \).
Artinya, semua fungsi berbentuk \( x^2 + C \) memiliki turunan yang sama, yaitu \( 2x \). Oleh karena itu, ketika kita mengintegralkan \( 2x \), hasilnya bisa salah satu dari fungsi-fungsi tersebut. Titik yang dilalui kurva membantu kita menentukan nilai \( C \) yang tepat.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan persamaan kurva berikut:
- \( f'(x) = 3x^2 \), kurva melalui \((2, 10)\). Tentukan \( f(x) \)!
- \( \frac{dy}{dx} = 4x – 1 \), kurva melalui \((1, 5)\). Tentukan \( y \)!
- \( f”(x) = 6 \), \( f'(0) = 2 \), dan \( f(1) = 7 \). Tentukan \( f(x) \)!
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah menyelesaikan kegiatan Mencoba, diskusikan dengan teman:
- Jelaskan langkah-langkah yang kamu gunakan untuk menentukan persamaan kurva.
- Mengapa setiap soal memerlukan syarat (titik/gradien) selain turunan?
- Presentasikan hasilmu di depan kelas dengan menuliskan langkah secara runtut.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Soal 1:
Gradien garis singgung suatu kurva di titik \((x, y)\) adalah \( f'(x) = 2x + 1 \). Jika kurva melalui titik \((1, 4)\), tentukan persamaan kurva tersebut!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int (2x + 1)\, dx = x^2 + x + C \]
Substitusi titik \((1, 4)\):
\[ 4 = 1^2 + 1 + C = 2 + C \]
\[ C = 2 \]
Jadi, persamaan kurva: \( y = x^2 + x + 2 \)
Soal 2:
Diketahui \( f'(x) = 3x^2 \) dan kurva melalui titik \((1, 5)\). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int 3x^2\, dx = x^3 + C \]
Substitusi \((1, 5)\): \( 5 = 1 + C \Rightarrow C = 4 \)
Jadi, \( f(x) = x^3 + 4 \)
Soal 3:
Diketahui \(\frac{dy}{dx} = 4\) dan kurva melalui titik \((2, 11)\). Tentukan persamaan kurva!
Pembahasan:
\[ y = \int 4\, dx = 4x + C \]
Substitusi \((2, 11)\): \( 11 = 8 + C \Rightarrow C = 3 \)
Jadi, \( y = 4x + 3 \)
Soal 4:
Diketahui \( f'(x) = 6x – 2 \) dan \( f(0) = 3 \). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int (6x – 2)\, dx = 3x^2 – 2x + C \]
Substitusi \( f(0) = 3 \): \( 3 = 0 – 0 + C \Rightarrow C = 3 \)
Jadi, \( f(x) = 3x^2 – 2x + 3 \)
Soal 5:
Diketahui \( f'(x) = 4x^3 \) dan kurva melalui titik \((1, 2)\). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int 4x^3\, dx = x^4 + C \]
Substitusi \((1, 2)\): \( 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1 \)
Jadi, \( f(x) = x^4 + 1 \)
Sedang
Soal 1:
Gradien garis singgung kurva \( y = f(x) \) di titik \((x, y)\) adalah \( f'(x) = 3x^2 – 4x + 1 \). Jika kurva melalui titik \((2, 3)\), tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int (3x^2 – 4x + 1)\, dx = x^3 – 2x^2 + x + C \]
Substitusi \((2, 3)\):
\[ 3 = 8 – 8 + 2 + C = 2 + C \Rightarrow C = 1 \]
Jadi, \( f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 1 \)
Soal 2:
Diketahui \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} \) dan \( f(4) = 10 \). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\( f'(x) = 2x^{-1/2} \)
\[ f(x) = \int 2x^{-1/2}\, dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{x} + C \]
Substitusi \( f(4) = 10 \): \( 10 = 4\sqrt{4} + C = 8 + C \Rightarrow C = 2 \)
Jadi, \( f(x) = 4\sqrt{x} + 2 \)
Soal 3:
Diketahui \( f'(x) = (2x-1)(x+3) \) dan kurva melalui titik \((1, 0)\). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
Jabarkan: \( f'(x) = 2x^2 + 6x – x – 3 = 2x^2 + 5x – 3 \)
\[ f(x) = \int (2x^2 + 5x – 3)\, dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} – 3x + C \]
Substitusi \((1, 0)\):
\[ 0 = \frac{2}{3} + \frac{5}{2} – 3 + C = \frac{4 + 15 – 18}{6} + C = \frac{1}{6} + C \]
\[ C = -\frac{1}{6} \]
Jadi, \( f(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} – 3x – \frac{1}{6} \)
Soal 4:
Diketahui \( f'(x) = 6x^2 – 4x \), \( f(1) = 2 \), dan \( f(-1) = -6 \). Verifikasi apakah kedua syarat konsisten, lalu tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int (6x^2 – 4x)\, dx = 2x^3 – 2x^2 + C \]
Substitusi \( f(1) = 2 \): \( 2 = 2 – 2 + C \Rightarrow C = 2 \)
Verifikasi \( f(-1) \): \( f(-1) = -2 – 2 + 2 = -2 \neq -6 \)
Syarat tidak konsisten. Dengan menggunakan \( f(1) = 2 \):
Jadi, \( f(x) = 2x^3 – 2x^2 + 2 \)
Soal 5:
Suatu kurva memiliki gradien \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 1}{x^2} \) untuk \( x \neq 0 \). Kurva melalui titik \((1, 3)\). Tentukan persamaan kurva!
Pembahasan:
Sederhanakan: \( \frac{dy}{dx} = 1 + x^{-2} \)
\[ y = \int (1 + x^{-2})\, dx = x – \frac{1}{x} + C \]
Substitusi \((1, 3)\): \( 3 = 1 – 1 + C = C \Rightarrow C = 3 \)
Jadi, \( y = x – \frac{1}{x} + 3 \)
Sulit
Soal 1:
Diketahui \( f”(x) = 12x – 6 \), \( f'(1) = 2 \), dan \( f(0) = 1 \). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
Langkah 1: Integral pertama:
\[ f'(x) = \int (12x – 6)\, dx = 6x^2 – 6x + C_1 \]
Substitusi \( f'(1) = 2 \): \( 2 = 6 – 6 + C_1 \Rightarrow C_1 = 2 \)
Jadi \( f'(x) = 6x^2 – 6x + 2 \)
Langkah 2: Integral kedua:
\[ f(x) = \int (6x^2 – 6x + 2)\, dx = 2x^3 – 3x^2 + 2x + C_2 \]
Substitusi \( f(0) = 1 \): \( 1 = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 1 \)
Jadi, \( f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 2x + 1 \)
Soal 2:
Diketahui \( f”(x) = 6x \), kurva melalui titik \((1, 2)\) dan \((2, 10)\). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f'(x) = \int 6x\, dx = 3x^2 + C_1 \]
\[ f(x) = \int (3x^2 + C_1)\, dx = x^3 + C_1 x + C_2 \]
Substitusi \((1, 2)\): \( 2 = 1 + C_1 + C_2 \) → \( C_1 + C_2 = 1 \) … (i)
Substitusi \((2, 10)\): \( 10 = 8 + 2C_1 + C_2 \) → \( 2C_1 + C_2 = 2 \) … (ii)
Dari (ii) – (i): \( C_1 = 1 \), maka \( C_2 = 0 \)
Jadi, \( f(x) = x^3 + x \)
Soal 3:
Gradien garis singgung kurva \( y = f(x) \) di titik \((x, y)\) memenuhi \( f'(x) = 3x^2 – 2x + k \). Kurva melalui titik \((1, 3)\) dan \((2, 9)\). Tentukan nilai \( k \) dan persamaan kurva!
Pembahasan:
\[ f(x) = \int (3x^2 – 2x + k)\, dx = x^3 – x^2 + kx + C \]
Substitusi \((1, 3)\): \( 3 = 1 – 1 + k + C = k + C \) … (i)
Substitusi \((2, 9)\): \( 9 = 8 – 4 + 2k + C = 4 + 2k + C \) → \( 2k + C = 5 \) … (ii)
Dari (ii) – (i): \( k = 2 \), maka \( C = 1 \)
Jadi, \( k = 2 \) dan \( f(x) = x^3 – x^2 + 2x + 1 \)
Soal 4:
Diketahui \( f”(x) = \cos x \), \( f'(0) = 1 \), dan \( f(\pi) = \pi \). Tentukan \( f(x) \)!
Pembahasan:
\[ f'(x) = \int \cos x\, dx = \sin x + C_1 \]
Substitusi \( f'(0) = 1 \): \( 1 = 0 + C_1 \Rightarrow C_1 = 1 \)
Jadi \( f'(x) = \sin x + 1 \)
\[ f(x) = \int (\sin x + 1)\, dx = -\cos x + x + C_2 \]
Substitusi \( f(\pi) = \pi \): \( \pi = -\cos\pi + \pi + C_2 = 1 + \pi + C_2 \)
\( C_2 = -1 \)
Jadi, \( f(x) = -\cos x + x – 1 \)
Soal 5:
Suatu kurva \( y = f(x) \) memenuhi \( f'(x) = \frac{2x^3 – 3x^2 + 1}{x^2} \) untuk \( x > 0 \). Kurva melalui titik \((1, 0)\). Tentukan \( f(x) \) dan nilai \( f(2) \)!
Pembahasan:
Sederhanakan: \( f'(x) = 2x – 3 + x^{-2} \)
\[ f(x) = \int (2x – 3 + x^{-2})\, dx = x^2 – 3x – \frac{1}{x} + C \]
Substitusi \((1, 0)\): \( 0 = 1 – 3 – 1 + C = -3 + C \Rightarrow C = 3 \)
Jadi \( f(x) = x^2 – 3x – \frac{1}{x} + 3 \)
\( f(2) = 4 – 6 – \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2} \)
Jadi, \( f(x) = x^2 – 3x – \frac{1}{x} + 3 \) dan \( f(2) = \frac{1}{2} \)
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
1. Diketahui \( f'(x) = 4x \) dan kurva melalui titik \((2, 7)\). Tentukan \( f(x) \)!
2. Diketahui \( \frac{dy}{dx} = 3 \) dan kurva melalui titik \((1, 5)\). Tentukan persamaan kurva!
3. Diketahui \( f'(x) = 2x – 4 \) dan \( f(3) = 1 \). Tentukan \( f(x) \)!
4. Diketahui \( f'(x) = 5x^4 \) dan kurva melalui titik \((1, 3)\). Tentukan \( f(x) \)!
5. Diketahui \( f'(x) = -2 \) dan \( f(0) = 7 \). Tentukan \( f(x) \)!
Sedang
1. Diketahui \( f'(x) = 6x^2 – 2x + 3 \) dan kurva melalui titik \((-1, 0)\). Tentukan \( f(x) \)!
2. Diketahui \( f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} \) dan \( f(9) = 20 \). Tentukan \( f(x) \)!
3. Gradien kurva di titik \((x,y)\) adalah \( (x+1)(x-2) \). Kurva melalui titik \((3, 5)\). Tentukan persamaan kurva!
4. Diketahui \( f'(x) = \frac{x^2 – 4}{x^2} \) untuk \( x \neq 0 \) dan \( f(2) = 5 \). Tentukan \( f(x) \)!
5. Diketahui \( f'(x) = \sin x + 2 \) dan \( f(0) = 1 \). Tentukan \( f(x) \)!
Sulit
1. Diketahui \( f”(x) = 12x + 2 \), \( f'(0) = -1 \), dan \( f(1) = 5 \). Tentukan \( f(x) \)!
2. Diketahui \( f”(x) = 6x – 4 \), kurva melalui titik \((0, 1)\) dan \((1, 2)\). Tentukan \( f(x) \)!
3. Diketahui \( f'(x) = ax^2 + bx \), kurva melalui titik \((1, 1)\), \((2, 4)\), dan \( f'(1) = 5 \). Tentukan \( a, b \), dan \( f(x) \)!
4. Diketahui \( f”(x) = -\sin x \), \( f'(\pi) = 2 \), dan \( f(0) = 3 \). Tentukan \( f(x) \)!
5. Suatu kurva memenuhi \( f”(x) = 2 – \frac{2}{x^3} \) untuk \( x > 0 \), \( f'(1) = 3 \), dan \( f(1) = 2 \). Tentukan \( f(x) \) dan nilai \( f(2) \)!