Vektor – Vektor pada Bidang Kartesius

1. Sistem Koordinat Kartesius

🔍 Mengamati ❓ Menanya 💡 Menalar ✏️ Mencoba 📢 Mengkomunikasikan

📖 Materi

🔍 Mengamati

Perhatikan gambar bidang koordinat Kartesius berikut:

Sistem Koordinat Kartesius adalah sistem yang digunakan untuk menentukan posisi suatu titik pada bidang datar menggunakan dua garis bilangan yang saling tegak lurus.

📌 Komponen Utama:

Sumbu-x (sumbu horizontal/absis): garis bilangan mendatar
Sumbu-y (sumbu vertikal/ordinat): garis bilangan tegak
Titik asal O(0,0): perpotongan sumbu-x dan sumbu-y
Kuadran I: x > 0, y > 0 (kanan atas)
Kuadran II: x < 0, y > 0 (kiri atas)
Kuadran III: x < 0, y < 0 (kiri bawah)
Kuadran IV: x > 0, y < 0 (kanan bawah)

❓ Menanya

Pertanyaan yang muncul:

Bagaimana cara menentukan koordinat suatu titik pada bidang Kartesius?
Apa perbedaan antara absis dan ordinat?
Mengapa sistem koordinat Kartesius penting dalam mempelajari vektor?

💡 Menalar

Setiap titik pada bidang Kartesius dinyatakan sebagai pasangan terurut (x, y) di mana:

x = absis (jarak horizontal dari sumbu-y)
y = ordinat (jarak vertikal dari sumbu-x)

Contoh: Titik A(3, 2) berarti titik A berada 3 satuan ke kanan dari sumbu-y dan 2 satuan ke atas dari sumbu-x.

✏️ Mencoba

Cobalah tentukan letak titik-titik berikut pada bidang Kartesius:

P(4, 3) → Kuadran I
Q(-2, 5) → Kuadran II
R(-3, -4) → Kuadran III
S(5, -1) → Kuadran IV

📢 Mengkomunikasikan

Sistem koordinat Kartesius memungkinkan kita menyatakan posisi titik secara tepat menggunakan angka. Ini menjadi dasar penting untuk mempelajari vektor, karena vektor dinyatakan melalui komponen-komponen pada sumbu-x dan sumbu-y.

📝 Contoh Soal

Soal Mudah (1–10)

1. Tentukan kuadran dari titik A(2, 5)!

Pembahasan: Karena x = 2 > 0 dan y = 5 > 0, maka titik A berada di Kuadran I.

2. Tentukan kuadran dari titik B(-3, 4)!

Pembahasan: Karena x = -3 < 0 dan y = 4 > 0, maka titik B berada di Kuadran II.

3. Tentukan kuadran dari titik C(-1, -7)!

Pembahasan: Karena x = -1 < 0 dan y = -7 < 0, maka titik C berada di Kuadran III.

4. Tentukan kuadran dari titik D(6, -2)!

Pembahasan: Karena x = 6 > 0 dan y = -2 < 0, maka titik D berada di Kuadran IV.

5. Tentukan absis dan ordinat dari titik E(7, 3)!

Pembahasan: Absis = 7, Ordinat = 3.

6. Di manakah letak titik F(0, 4)?

Pembahasan: Karena x = 0, titik F terletak pada sumbu-y, yaitu 4 satuan di atas titik asal.

7. Di manakah letak titik G(5, 0)?

Pembahasan: Karena y = 0, titik G terletak pada sumbu-x, yaitu 5 satuan di kanan titik asal.

8. Tentukan koordinat titik asal!

Pembahasan: Titik asal memiliki koordinat O(0, 0).

9. Titik H(-4, 0) terletak di mana?

Pembahasan: Karena y = 0, titik H terletak pada sumbu-x, yaitu 4 satuan di kiri titik asal.

10. Tentukan kuadran dari titik I(1, 1)!

Pembahasan: Karena x = 1 > 0 dan y = 1 > 0, maka titik I berada di Kuadran I.

Soal Sedang (1–5)

1. Titik P(a, 2a-1) berada di Kuadran II. Tentukan nilai a yang mungkin!

Pembahasan: Kuadran II: x < 0 dan y > 0. Maka a < 0 dan 2a – 1 > 0 → a > 1/2. Tidak ada nilai a yang memenuhi keduanya secara bersamaan (a < 0 dan a > 1/2 kontradiksi). Jadi tidak ada nilai a yang memenuhi.

2. Titik Q(2k+1, k-3) berada di Kuadran IV. Tentukan rentang nilai k!

Pembahasan: Kuadran IV: x > 0 dan y < 0. Maka 2k+1 > 0 → k > -1/2, dan k-3 < 0 → k < 3. Jadi -1/2 < k < 3.

3. Jarak titik A(3, 4) ke titik asal O(0,0) adalah…

Pembahasan: Jarak = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 satuan.

4. Tentukan titik tengah dari A(2, 6) dan B(8, -2)!

Pembahasan: Titik tengah = ((2+8)/2, (6+(-2))/2) = (10/2, 4/2) = (5, 2).

5. Titik R(m, m²-4) terletak pada sumbu-x. Tentukan nilai m!

Pembahasan: Pada sumbu-x, y = 0. Maka m² – 4 = 0 → m² = 4 → m = 2 atau m = -2.

Soal Sulit (1–5)

1. Titik A(a, b) berada di Kuadran I dan memenuhi a + b = 7 serta a² + b² = 25. Tentukan koordinat A!

Pembahasan: Dari a + b = 7 → b = 7 – a. Substitusi: a² + (7-a)² = 25 → a² + 49 – 14a + a² = 25 → 2a² – 14a + 24 = 0 → a² – 7a + 12 = 0 → (a-3)(a-4) = 0. Maka a = 3, b = 4 atau a = 4, b = 3. Keduanya di Kuadran I. Jadi A(3, 4) atau A(4, 3).

2. Tiga titik A(1, 2), B(4, 6), C(7, 10). Buktikan ketiga titik tersebut segaris (kolinear)!

Pembahasan: Gradien AB = (6-2)/(4-1) = 4/3. Gradien BC = (10-6)/(7-4) = 4/3. Karena gradien AB = gradien BC dan melewati titik yang sama (B), maka A, B, C segaris (kolinear).

3. Titik P(x, y) berjarak sama dari A(1, 0) dan B(0, 3). Jika P terletak pada garis y = x, tentukan koordinat P!

Pembahasan: PA = PB → √((x-1)² + y²) = √(x² + (y-3)²). Kuadratkan: (x-1)² + y² = x² + (y-3)². Ekspansi: x² – 2x + 1 + y² = x² + y² – 6y + 9 → -2x + 1 = -6y + 9 → -2x + 6y = 8 → -x + 3y = 4. Substitusi y = x: -x + 3x = 4 → 2x = 4 → x = 2, y = 2. Jadi P(2, 2).

4. Tentukan luas segitiga dengan titik sudut A(0, 0), B(6, 0), dan C(4, 5)!

Pembahasan: Luas = ½|x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)| = ½|0(0-5) + 6(5-0) + 4(0-0)| = ½|0 + 30 + 0| = 15 satuan luas.

5. Titik D(a, a+1) berjarak 5 satuan dari titik E(1, -2). Tentukan semua nilai a!

Pembahasan: DE = 5 → (a-1)² + (a+1-(-2))² = 25 → (a-1)² + (a+3)² = 25 → a²-2a+1 + a²+6a+9 = 25 → 2a²+4a+10 = 25 → 2a²+4a-15 = 0. Dengan rumus abc: a = (-4 ± √(16+120))/4 = (-4 ± √136)/4 = (-4 ± 2√34)/4 = (-2 ± √34)/2.

🏋️ Latihan Soal

Mudah (1–10)

Tentukan kuadran dari titik (4, -3)!
Tentukan kuadran dari titik (-5, -2)!
Tentukan absis dan ordinat dari titik (8, -1)!
Di manakah letak titik (0, -6)?
Tentukan kuadran dari titik (-7, 9)!
Di manakah letak titik (3, 0)?
Tentukan kuadran dari titik (10, 2)!
Tentukan koordinat titik yang terletak 4 satuan di kanan dan 3 satuan di atas titik asal!
Tentukan kuadran dari titik (-1, 8)!
Apakah titik (0, 0) termasuk dalam salah satu kuadran?

Sedang (1–5)

Titik A(2m, m-5) berada di Kuadran III. Tentukan rentang nilai m!
Tentukan jarak antara titik P(1, 2) dan Q(4, 6)!
Tentukan titik tengah dari M(-3, 7) dan N(5, -1)!
Titik R(k+1, 2k-6) terletak pada sumbu-y. Tentukan nilai k!
Tentukan jarak titik S(-3, 4) ke titik asal!

Sulit (1–5)

Tentukan luas segitiga dengan titik sudut P(1, 1), Q(5, 1), dan R(3, 7)!
Titik A(a, 2a) berjarak √45 dari titik B(0, 0). Tentukan nilai a!
Buktikan bahwa titik-titik D(2, 1), E(6, 3), F(10, 5) segaris!
Titik P equidistant dari A(0, 4) dan B(6, 0), serta terletak pada sumbu-x. Tentukan P!
Tentukan persamaan himpunan titik yang berjarak sama dari titik (2, 0) dan (0, 4)!

2. Menentukan Vektor dari Dua Titik

🔍 Mengamati ❓ Menanya 💡 Menalar ✏️ Mencoba 📢 Mengkomunikasikan

📖 Materi

🔍 Mengamati

Perhatikan dua titik A dan B pada bidang Kartesius. Vektor dari A ke B menunjukkan perpindahan dari titik A menuju titik B.

❓ Menanya

Bagaimana cara menentukan vektor jika diketahui dua titik?
Apa perbedaan vektor AB dan vektor BA?

💡 Menalar

📌 Rumus Vektor dari Dua Titik

Jika A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂), maka:

AB = (x₂ – x₁, y₂ – y₁)

Dalam notasi kolom:

AB = (^{x₂ – x₁}⁄_{y₂ – y₁})

Penting: Vektor AB ≠ Vektor BA

BA = (x₁ – x₂, y₁ – y₂) = –AB

✏️ Mencoba

Contoh: A(1, 2) dan B(4, 6)

AB = (4-1, 6-2) = (3, 4)

BA = (1-4, 2-6) = (-3, -4)

📢 Mengkomunikasikan

Vektor dari dua titik menunjukkan arah dan besar perpindahan. Komponen vektor diperoleh dengan mengurangkan koordinat titik awal dari koordinat titik akhir. Vektor AB dan BA memiliki besar yang sama tetapi arah berlawanan.

📝 Contoh Soal

Soal Mudah (1–10)

1. Tentukan vektor AB jika A(1, 3) dan B(4, 7)!

Pembahasan: AB = (4-1, 7-3) = (3, 4)

2. Tentukan vektor PQ jika P(2, 5) dan Q(6, 1)!

Pembahasan: PQ = (6-2, 1-5) = (4, -4)

3. Tentukan vektor AB jika A(0, 0) dan B(3, 5)!

Pembahasan: AB = (3-0, 5-0) = (3, 5)

4. Tentukan vektor CD jika C(-2, 3) dan D(1, -1)!

Pembahasan: CD = (1-(-2), -1-3) = (3, -4)

5. Tentukan vektor BA jika A(2, 1) dan B(5, 4)!

Pembahasan: BA = (2-5, 1-4) = (-3, -3)

6. Tentukan vektor EF jika E(3, -2) dan F(3, 4)!

Pembahasan: EF = (3-3, 4-(-2)) = (0, 6)

7. Tentukan vektor GH jika G(-4, -3) dan H(-1, -1)!

Pembahasan: GH = (-1-(-4), -1-(-3)) = (3, 2)

8. Tentukan vektor AB jika A(5, 0) dan B(0, 5)!

Pembahasan: AB = (0-5, 5-0) = (-5, 5)

9. Tentukan vektor MN jika M(7, 2) dan N(7, 8)!

Pembahasan: MN = (7-7, 8-2) = (0, 6)

10. Tentukan vektor RS jika R(1, 1) dan S(4, 1)!

Pembahasan: RS = (4-1, 1-1) = (3, 0)

Soal Sedang (1–5)

1. Jika AB = (5, -2) dan A(1, 3), tentukan koordinat B!

Pembahasan: B = A + AB = (1+5, 3+(-2)) = B(6, 1)

2. Jika PQ = (-3, 7) dan Q(2, 4), tentukan koordinat P!

Pembahasan: P = Q – PQ = (2-(-3), 4-7) = P(5, -3)

3. Diketahui A(2, 1), B(5, 4), C(3, -1), D(6, 2). Apakah AB = CD?

Pembahasan: AB = (5-2, 4-1) = (3, 3). CD = (6-3, 2-(-1)) = (3, 3). Karena AB = CD, maka ya, keduanya sama.

4. Tentukan vektor AB + BC jika A(1, 2), B(3, 5), C(7, 1)!

Pembahasan: AB + BC = AC = (7-1, 1-2) = (6, -1)

5. Jika AB = (4, -6) dan titik tengah AB adalah M(3, 2), tentukan A dan B!

Pembahasan: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = (3,2), jadi x₁+x₂=6, y₁+y₂=4. Juga x₂-x₁=4, y₂-y₁=-6. Dari: x₁+x₂=6 dan x₂-x₁=4 → x₂=5, x₁=1. y₁+y₂=4 dan y₂-y₁=-6 → y₂=-1, y₁=5. Jadi A(1, 5) dan B(5, -1).

Soal Sulit (1–5)

1. Titik A(1, 2), B(4, 6), C(a, b) sedemikian sehingga AC = 2AB. Tentukan C!

Pembahasan: AB = (3, 4). 2AB = (6, 8). AC = (a-1, b-2) = (6, 8). Maka a = 7, b = 10. Jadi C(7, 10).

2. Diketahui AB = (2, 5), BC = (-1, 3), CD = (4, -2). Tentukan AD!

Pembahasan: AD = AB + BC + CD = (2+(-1)+4, 5+3+(-2)) = (5, 6).

3. Jika A(2, -1), B(5, 3), dan C adalah titik sehingga ABCD parallelogram dengan D(0, 1), tentukan C!

Pembahasan: Pada parallelogram ABCD, AB = DC. AB = (3, 4). DC = (c₁-0, c₂-1) = (3, 4). Jadi C(3, 5).

4. Titik P membagi AB dengan perbandingan 2:3 dari A. Jika A(1, 2) dan B(6, 7), tentukan vektor OP!

Pembahasan: P = A + (2/5)AB = (1, 2) + (2/5)(5, 5) = (1, 2) + (2, 2) = (3, 4). Jadi OP = (3, 4).

5. Diketahui A(a, 1), B(3, b). Jika AB sejajar dengan vektor (2, -3) dan |AB| = √13, tentukan a dan b!

Pembahasan: AB = (3-a, b-1) sejajar (2, -3) → (3-a)/2 = (b-1)/(-3) = k. Maka 3-a = 2k, b-1 = -3k. |AB|² = (2k)² + (-3k)² = 4k² + 9k² = 13k² = 13 → k² = 1 → k = ±1. Jika k=1: a=1, b=-2. Jika k=-1: a=5, b=4. Jadi (a,b) = (1,-2) atau (5,4).

🏋️ Latihan Soal

Mudah (1–10)

Tentukan AB jika A(2, 3) dan B(5, 8)!
Tentukan PQ jika P(0, 4) dan Q(3, -1)!
Tentukan CD jika C(-1, 2) dan D(4, 6)!
Tentukan BA jika A(3, 7) dan B(1, 2)!
Tentukan EF jika E(0, 0) dan F(-3, 4)!
Tentukan GH jika G(5, -2) dan H(5, 3)!
Tentukan MN jika M(-2, -3) dan N(1, 0)!
Tentukan AB jika A(4, 4) dan B(4, -2)!
Tentukan RS jika R(6, 1) dan S(2, 1)!
Tentukan UV jika U(-3, 5) dan V(2, -1)!

Sedang (1–5)

Jika AB = (3, -5) dan B(7, 2), tentukan A!
Jika PQ = (-2, 4) dan P(1, -3), tentukan Q!
Buktikan AB + BA = 0!
Jika A(1,1), B(4,5), C(2,3), D(5,7), tunjukkan AB = CD!
Tentukan vektor AC jika AB = (2, 3) dan BC = (4, -1)!

Sulit (1–5)

A(1, 3), B(4, 7), C(a, b) sehingga AC = 3AB. Tentukan C!
Jika ABCD jajaran genjang dengan A(0,0), B(3,1), D(1,4), tentukan C!
Titik P membagi AB perbandingan 3:2 dari A(2,1) ke B(7,6). Tentukan P!
Vektor AB sejajar (1,2) dengan |AB|=√5 dan A(0,0). Tentukan B!
Diketahui AB=(a,3), CD=(4,b). Jika AB=CD, tentukan a dan b!

3. Komponen Vektor

🔍 Mengamati ❓ Menanya 💡 Menalar ✏️ Mencoba 📢 Mengkomunikasikan

📖 Materi

🔍 Mengamati

Setiap vektor pada bidang datar dapat diuraikan menjadi dua komponen: komponen arah-x dan komponen arah-y.

❓ Menanya

Apa yang dimaksud dengan komponen vektor?
Bagaimana cara menuliskan vektor dalam bentuk komponen?
Apa itu vektor satuan?

💡 Menalar

📌 Notasi Vektor

Vektor v⃗ dengan komponen (a, b) dapat ditulis sebagai:

Notasi pasangan terurut: v⃗ = (a, b)
Notasi vektor satuan: v⃗ = aî + bĵ
Notasi kolom: v⃗ = (^a⁄_b)

📌 Vektor Satuan

î = (1, 0) → vektor satuan arah sumbu-x positif
ĵ = (0, 1) → vektor satuan arah sumbu-y positif

Contoh: v⃗ = (3, 4) = 3î + 4ĵ

✏️ Mencoba

Nyatakan vektor berikut dalam notasi vektor satuan:

(5, -2) = 5î – 2ĵ
(-3, 7) = -3î + 7ĵ
(0, 4) = 4ĵ

📢 Mengkomunikasikan

Komponen vektor adalah proyeksi vektor pada masing-masing sumbu koordinat. Komponen-x menunjukkan perpindahan horizontal, sedangkan komponen-y menunjukkan perpindahan vertikal. Notasi vektor satuan (î dan ĵ) memudahkan operasi aljabar vektor.

📌 Operasi pada Komponen Vektor

Jika u⃗ = (a₁, b₁) dan v⃗ = (a₂, b₂), maka:

Penjumlahan: u⃗ + v⃗ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)
Pengurangan: u⃗ – v⃗ = (a₁ – a₂, b₁ – b₂)
Perkalian skalar: k·u⃗ = (ka₁, kb₁)

📝 Contoh Soal

Soal Mudah (1–10)

1. Nyatakan vektor (3, 5) dalam notasi vektor satuan!

Pembahasan: (3, 5) = 3î + 5ĵ

2. Nyatakan vektor (-2, 4) dalam notasi vektor satuan!

Pembahasan: (-2, 4) = -2î + 4ĵ

3. Tentukan komponen-x dan komponen-y dari vektor 7î – 3ĵ!

Pembahasan: Komponen-x = 7, Komponen-y = -3

4. Hitunglah u⃗ + v⃗ jika u⃗ = (2, 3) dan v⃗ = (4, 1)!

Pembahasan: u⃗ + v⃗ = (2+4, 3+1) = (6, 4)

5. Hitunglah u⃗ – v⃗ jika u⃗ = (5, 7) dan v⃗ = (2, 3)!

Pembahasan: u⃗ – v⃗ = (5-2, 7-3) = (3, 4)

6. Hitunglah 3v⃗ jika v⃗ = (2, -1)!

Pembahasan: 3v⃗ = (3×2, 3×(-1)) = (6, -3)

7. Hitunglah -2u⃗ jika u⃗ = (-1, 4)!

Pembahasan: -2u⃗ = (-2×(-1), -2×4) = (2, -8)

8. Nyatakan 4î – ĵ dalam bentuk pasangan terurut!

Pembahasan: 4î – ĵ = (4, -1)

9. Jika a⃗ = (1, 2) dan b⃗ = (3, -1), tentukan a⃗ + b⃗!

Pembahasan: a⃗ + b⃗ = (1+3, 2+(-1)) = (4, 1)

10. Tentukan vektor yang berlawanan dari (6, -3)!

Pembahasan: Vektor berlawanan = (-1)×(6, -3) = (-6, 3)

Soal Sedang (1–5)

1. Jika u⃗ = (3, -2) dan v⃗ = (-1, 5), tentukan 2u⃗ + 3v⃗!

Pembahasan: 2u⃗ = (6, -4). 3v⃗ = (-3, 15). 2u⃗ + 3v⃗ = (6+(-3), -4+15) = (3, 11)

2. Tentukan nilai k jika vektor (k, 6) dan (2, 3) sejajar!

Pembahasan: Dua vektor sejajar jika k/2 = 6/3 → k/2 = 2 → k = 4

3. Jika a⃗ = 2î + 3ĵ dan b⃗ = î – 4ĵ, tentukan a⃗ – 2b⃗!

Pembahasan: 2b⃗ = 2î – 8ĵ. a⃗ – 2b⃗ = (2-2)î + (3-(-8))ĵ = 0î + 11ĵ = (0, 11)

4. Tentukan vektor satuan dari vektor (3, 4)!

Pembahasan: |v⃗| = √(9+16) = 5. Vektor satuan = (1/5)(3, 4) = (3/5, 4/5)

5. Jika u⃗ + v⃗ = (7, 1) dan u⃗ – v⃗ = (3, 5), tentukan u⃗ dan v⃗!

Pembahasan: Jumlahkan: 2u⃗ = (10, 6) → u⃗ = (5, 3). Kurangkan: 2v⃗ = (4, -4) → v⃗ = (2, -2). Jadi u⃗ = (5, 3) dan v⃗ = (2, -2).

Soal Sulit (1–5)

1. Jika a⃗ = (2, -1), b⃗ = (1, 3), dan c⃗ = ma⃗ + nb⃗ = (7, 5), tentukan m dan n!

Pembahasan: (2m + n, -m + 3n) = (7, 5). Dari persamaan: 2m + n = 7 …(1) dan -m + 3n = 5 …(2). Dari (2): m = 3n – 5. Substitusi ke (1): 2(3n-5) + n = 7 → 6n – 10 + n = 7 → 7n = 17 → n = 17/7. m = 3(17/7) – 5 = 51/7 – 35/7 = 16/7. Jadi m = 16/7, n = 17/7.

2. Tentukan vektor satuan yang membuat sudut 60° terhadap sumbu-x positif!

Pembahasan: Vektor satuan = (cos 60°, sin 60°) = (1/2, √3/2)

3. Jika |a⃗| = 5 dan a⃗ membuat sudut 120° dengan sumbu-x, tentukan komponen a⃗!

Pembahasan: a⃗ = (5cos120°, 5sin120°) = (5×(-1/2), 5×(√3/2)) = (-5/2, 5√3/2)

4. Vektor p⃗ = (a, 2) dan q⃗ = (3, a-1) saling tegak lurus. Tentukan nilai a!

Pembahasan: Tegak lurus → p⃗ · q⃗ = 0. 3a + 2(a-1) = 0 → 3a + 2a – 2 = 0 → 5a = 2 → a = 2/5

5. Tentukan semua vektor v⃗ = (x, y) yang memenuhi |v⃗| = √10 dan v⃗ sejajar dengan (1, -3)!

Pembahasan: Sejajar (1,-3): v⃗ = k(1,-3) = (k, -3k). |v⃗| = √(k² + 9k²) = √(10k²) = |k|√10 = √10 → |k| = 1 → k = ±1. Jadi v⃗ = (1, -3) atau v⃗ = (-1, 3).

🏋️ Latihan Soal

Mudah (1–10)

Nyatakan (7, -1) dalam notasi vektor satuan!
Nyatakan -3î + 6ĵ dalam pasangan terurut!
Hitunglah (2, 5) + (3, -2)!
Hitunglah (4, 1) – (1, 3)!
Hitunglah 4 × (2, -3)!
Tentukan vektor berlawanan dari (-5, 2)!
Nyatakan (0, -8) dalam notasi vektor satuan!
Hitunglah (1, 1) + (2, 2) + (3, 3)!
Tentukan komponen-x dari 5î – 9ĵ!
Hitunglah ½ × (6, -4)!

Sedang (1–5)

Jika u⃗ = (4, -1) dan v⃗ = (2, 3), tentukan 3u⃗ – 2v⃗!
Tentukan k agar (6, k) dan (3, -2) sejajar!
Tentukan vektor satuan dari (-5, 12)!
Jika a⃗ + b⃗ = (8, 2) dan a⃗ = (3, 5), tentukan b⃗!
Tentukan vektor yang searah dengan (1, 2) dan panjangnya 10!

Sulit (1–5)

Tentukan m dan n jika m(1,2) + n(3,1) = (9, 7)!
Vektor u⃗ = (a, 3) tegak lurus v⃗ = (6, -2a). Tentukan a!
Tentukan vektor satuan yang membuat sudut 135° dengan sumbu-x!
Jika |v⃗|=13 dan v⃗ sejajar (5, 12), tentukan semua kemungkinan v⃗!
Tentukan a⃗ jika 2a⃗ + 3(1, -2) = (7, 4)!

4. Menggambar Vektor pada Bidang

🔍 Mengamati ❓ Menanya 💡 Menalar ✏️ Mencoba 📢 Mengkomunikasikan

📖 Materi

🔍 Mengamati

Vektor digambar sebagai anak panah (ruas garis berarah) pada bidang Kartesius. Titik awal (pangkal) dan titik akhir (ujung) menentukan arah dan besar vektor.

❓ Menanya

Bagaimana cara menggambar vektor pada bidang Kartesius?
Apakah vektor harus selalu dimulai dari titik asal?
Bagaimana menggambar penjumlahan dan pengurangan vektor?

💡 Menalar

📌 Langkah Menggambar Vektor

Tentukan titik pangkal (biasanya titik asal O, atau titik tertentu)
Dari titik pangkal, bergerak sejauh komponen-x ke arah horizontal (kanan jika positif, kiri jika negatif)
Dari posisi tersebut, bergerak sejauh komponen-y ke arah vertikal (atas jika positif, bawah jika negatif)
Gambar anak panah dari titik pangkal ke titik akhir

📌 Penjumlahan Vektor (Metode Segitiga)

Untuk menggambar a⃗ + b⃗:

Gambar vektor a⃗ dari titik pangkal
Gambar vektor b⃗ dari ujung vektor a⃗
Vektor resultan (a⃗ + b⃗) adalah vektor dari pangkal a⃗ ke ujung b⃗

📌 Penjumlahan Vektor (Metode Jajaran Genjang)

Untuk menggambar a⃗ + b⃗:

Gambar kedua vektor dari titik pangkal yang sama
Lengkapi menjadi jajaran genjang
Diagonal dari titik pangkal adalah vektor resultan

✏️ Mencoba

Gambarlah vektor-vektor berikut dari titik asal:

v⃗₁ = (4, 3): 4 ke kanan, 3 ke atas
v⃗₂ = (-2, 5): 2 ke kiri, 5 ke atas
v⃗₃ = (3, -2): 3 ke kanan, 2 ke bawah

📢 Mengkomunikasikan

Vektor digambar sebagai anak panah. Vektor yang sama dapat digambar di posisi manapun selama arah dan panjangnya tetap sama (vektor bebas). Vektor posisi selalu dimulai dari titik asal O.

📝 Contoh Soal

Soal Mudah (1–10)

1. Gambarlah vektor (2, 3) dari titik asal. Tentukan koordinat titik ujungnya!

Pembahasan: Dari O(0,0), bergerak 2 ke kanan dan 3 ke atas. Titik ujung = (2, 3).

2. Gambarlah vektor (-3, 1) dari titik asal. Di kuadran manakah ujung vektor?

Pembahasan: Ujung vektor = (-3, 1). Karena x < 0 dan y > 0, berada di Kuadran II.

3. Gambarlah vektor (4, 0) dari titik asal. Ke arah manakah vektor ini?

Pembahasan: Vektor (4, 0) bergerak 4 ke kanan tanpa perpindahan vertikal. Arahnya sejajar sumbu-x positif.

4. Gambarlah vektor (0, -5) dari titik asal. Ke arah manakah vektor ini?

Pembahasan: Vektor (0, -5) bergerak 5 ke bawah. Arahnya sejajar sumbu-y negatif.

5. Gambarlah vektor (1, 1) dari titik A(2, 3). Tentukan titik ujungnya!

Pembahasan: Dari A(2,3): titik ujung = (2+1, 3+1) = (3, 4).

6. Gambarlah vektor (3, -2) dari titik B(1, 4). Tentukan titik ujungnya!

Pembahasan: Dari B(1,4): titik ujung = (1+3, 4+(-2)) = (4, 2).

7. Vektor v⃗ dimulai dari A(1, 2) dan berakhir di B(4, 6). Tentukan v⃗!

Pembahasan: v⃗ = (4-1, 6-2) = (3, 4).

8. Gambarlah vektor (-2, -3) dari titik asal. Di kuadran manakah ujungnya?

Pembahasan: Ujung = (-2, -3). x < 0, y < 0 → Kuadran III.

9. Vektor (5, 2) digambar dari titik C(-1, 3). Di manakah ujungnya?

Pembahasan: Ujung = (-1+5, 3+2) = (4, 5).

10. Gambarlah dua vektor: a⃗ = (3, 0) dan b⃗ = (0, 4) dari titik asal. Ke arah manakah masing-masing?

Pembahasan: a⃗ = (3,0) → sejajar sumbu-x (ke kanan). b⃗ = (0,4) → sejajar sumbu-y (ke atas). Keduanya saling tegak lurus.

Soal Sedang (1–5)

1. Gambarkan penjumlahan a⃗ = (3, 1) dan b⃗ = (1, 3) dengan metode segitiga. Tentukan vektor resultan!

Pembahasan: Gambar a⃗ dari O ke (3,1). Lalu gambar b⃗ dari (3,1) ke (3+1, 1+3) = (4, 4). Resultan = (4, 4).

2. Gambarkan pengurangan a⃗ – b⃗ jika a⃗ = (4, 3) dan b⃗ = (1, 2)!

Pembahasan: a⃗ – b⃗ = (4-1, 3-2) = (3, 1). Secara grafis: gambar a⃗, lalu -b⃗ = (-1, -2) dari ujung a⃗. Atau langsung gambar vektor (3, 1) dari O.

3. Gambarkan vektor 2a⃗ jika a⃗ = (2, 1). Bandingkan arahnya dengan a⃗!

Pembahasan: 2a⃗ = (4, 2). Arahnya sama dengan a⃗ tetapi panjangnya 2 kali lipat.

4. Gambarkan vektor -a⃗ jika a⃗ = (3, 2). Bagaimana hubungan arahnya?

Pembahasan: -a⃗ = (-3, -2). Arahnya berlawanan dengan a⃗, panjangnya sama.

5. Tiga vektor: a⃗=(2,1), b⃗=(1,3), c⃗=(-3,-4). Gambarkan a⃗+b⃗+c⃗ dan tentukan hasilnya!

Pembahasan: a⃗+b⃗+c⃗ = (2+1+(-3), 1+3+(-4)) = (0, 0). Ketiga vektor membentuk segitiga tertutup.

Soal Sulit (1–5)

1. Gambarkan dan tentukan resultan dari a⃗ = (4, 2), b⃗ = (-1, 3), c⃗ = (2, -5) menggunakan metode poligon!

Pembahasan: Resultan = a⃗+b⃗+c⃗ = (4-1+2, 2+3-5) = (5, 0). Vektor resultan sejajar sumbu-x ke kanan.

2. Dua vektor membentuk sudut 90° satu sama lain: a⃗ = (3, 0) dan b⃗ = (0, 4). Gambarkan dan tentukan panjang diagonal jajaran genjangnya!

Pembahasan: Diagonal = a⃗ + b⃗ = (3, 4). |a⃗+b⃗| = √(9+16) = 5.

3. Vektor v⃗ membuat sudut 45° dengan sumbu-x dan memiliki panjang 4√2. Tentukan komponen v⃗ dan gambarkan!

Pembahasan: v⃗ = (4√2 cos45°, 4√2 sin45°) = (4√2 × √2/2, 4√2 × √2/2) = (4, 4).

4. Gambarkan vektor posisi titik P yang membagi ruas garis dari A(1, 1) ke B(7, 4) dengan perbandingan 2:1!

Pembahasan: P = A + (2/3)AB = (1,1) + (2/3)(6,3) = (1,1) + (4,2) = (5, 3). Gambar vektor dari O ke (5,3).

5. Tentukan dan gambarkan vektor resultan gaya F₁ = (5, 0) dan F₂ = (3, 4) serta sudut yang dibentuk resultan terhadap sumbu-x!

Pembahasan: R = F₁ + F₂ = (8, 4). |R| = √(64+16) = √80 = 4√5. Sudut θ = arctan(4/8) = arctan(1/2) ≈ 26,57°.

🏋️ Latihan Soal

Mudah (1–10)

Gambarkan vektor (5, 2) dari titik asal dan tentukan titik ujungnya!
Gambarkan vektor (-4, 3) dari titik asal. Di kuadran mana ujungnya?
Gambarkan vektor (0, 6) dari titik asal. Sejajar sumbu apa?
Gambarkan vektor (2, -4) dari titik A(1, 5). Tentukan ujungnya!
Gambarkan vektor (-1, -1) dari titik B(3, 3). Tentukan ujungnya!
Vektor dimulai dari (2, 1) ke (5, 4). Tentukan vektornya!
Gambarkan vektor (3, 3) dari O. Di kuadran manakah?
Gambarkan vektor (-5, 0) dari O. Ke arah mana?
Gambarkan vektor (1, 6) dari titik (2, -1). Ujungnya di mana?
Gambarkan vektor (4, -3) dan (-4, 3) dari O. Apa hubungannya?

Sedang (1–5)

Gambarkan a⃗=(2,4) dan b⃗=(3,-1), lalu tentukan dan gambar a⃗+b⃗!
Gambarkan a⃗=(5,1) dan b⃗=(2,3) menggunakan metode jajaran genjang!
Gambarkan 3a⃗ jika a⃗ = (1, 2). Bandingkan panjangnya!
Gambarkan a⃗-b⃗ dengan a⃗=(4,5) dan b⃗=(2,3)!
Gambar resultan a⃗=(1,4), b⃗=(3,-2), c⃗=(-2,1)!

Sulit (1–5)

Gambarkan vektor yang membuat sudut 30° dengan sumbu-x dan panjang 6!
Gambarkan vektor posisi titik yang membagi AB (A(0,0), B(8,6)) perbandingan 3:1!
Gambarkan resultan 4 gaya: (2,0), (0,3), (-1,2), (-1,-5) dan tentukan hasilnya!
Gambar dan tentukan dua diagonal jajaran genjang ABCD jika A(0,0), B(4,1), D(1,3)!
Vektor v⃗ membuat sudut 150° dengan sumbu-x, |v⃗|=6. Gambarkan dan tentukan komponennya!

5. Panjang atau Magnitudo Vektor

🔍 Mengamati ❓ Menanya 💡 Menalar ✏️ Mencoba 📢 Mengkomunikasikan

📖 Materi

🔍 Mengamati

Perhatikan vektor v⃗ = (3, 4) pada bidang Kartesius. Panjang vektor ini dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras.

❓ Menanya

Bagaimana cara menghitung panjang (magnitudo) vektor?
Apa hubungan panjang vektor dengan teorema Pythagoras?
Apa itu vektor satuan dan bagaimana menentukannya?

💡 Menalar

📌 Rumus Panjang Vektor

Jika v⃗ = (a, b), maka panjang (magnitudo) vektor:

|v⃗| = √(a² + b²)

Jika vektor ditentukan dari titik A(x₁, y₁) ke B(x₂, y₂):

|AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

📌 Vektor Satuan

Vektor satuan dari v⃗ adalah vektor yang searah dengan v⃗ dan memiliki panjang 1:

v̂ = v⃗ / |v⃗| = (a/|v⃗|, b/|v⃗|)

Contoh: v⃗ = (3, 4), |v⃗| = 5. Maka v̂ = (3/5, 4/5)

📌 Sifat-sifat Panjang Vektor

|v⃗| ≥ 0 (selalu non-negatif)
|v⃗| = 0 hanya jika v⃗ = (0, 0)
|kv⃗| = |k| × |v⃗| untuk skalar k
|v⃗| = |-v⃗| (vektor berlawanan panjangnya sama)

✏️ Mencoba

Hitunglah panjang vektor-vektor berikut:

v⃗ = (6, 8) → |v⃗| = √(36+64) = √100 = 10
u⃗ = (5, 12) → |u⃗| = √(25+144) = √169 = 13
w⃗ = (1, 1) → |w⃗| = √(1+1) = √2 ≈ 1,41

📢 Mengkomunikasikan

Panjang atau magnitudo vektor menunjukkan “besar” suatu vektor tanpa memperhatikan arah. Rumus ini merupakan penerapan langsung teorema Pythagoras. Vektor satuan berguna untuk menentukan arah vektor tanpa mempedulikan besarnya.

📝 Contoh Soal

Soal Mudah (1–10)

1. Tentukan panjang vektor v⃗ = (3, 4)!

Pembahasan: |v⃗| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5

2. Tentukan panjang vektor u⃗ = (5, 12)!

Pembahasan: |u⃗| = √(25+144) = √169 = 13

3. Tentukan panjang vektor w⃗ = (6, 8)!

Pembahasan: |w⃗| = √(36+64) = √100 = 10

4. Tentukan panjang vektor a⃗ = (1, 0)!

Pembahasan: |a⃗| = √(1+0) = √1 = 1

5. Tentukan panjang vektor b⃗ = (0, 7)!

Pembahasan: |b⃗| = √(0+49) = √49 = 7

6. Tentukan panjang vektor c⃗ = (-4, 3)!

Pembahasan: |c⃗| = √(16+9) = √25 = 5

7. Tentukan panjang vektor d⃗ = (2, 2)!

Pembahasan: |d⃗| = √(4+4) = √8 = 2√2

8. Tentukan |AB| jika A(0,0) dan B(8, 6)!

Pembahasan: |AB| = √(64+36) = √100 = 10

9. Tentukan panjang vektor e⃗ = (-3, -4)!

Pembahasan: |e⃗| = √(9+16) = √25 = 5

10. Tentukan panjang vektor f⃗ = (7, 24)!

Pembahasan: |f⃗| = √(49+576) = √625 = 25

Soal Sedang (1–5)

1. Tentukan vektor satuan dari v⃗ = (6, 8)!

Pembahasan: |v⃗| = 10. v̂ = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5)

2. Tentukan |AB| jika A(1, 3) dan B(4, 7)!

Pembahasan: AB = (3, 4). |AB| = √(9+16) = 5

3. Jika |v⃗| = 10 dan v⃗ = (6, b) dengan b > 0, tentukan b!

Pembahasan: √(36 + b²) = 10 → 36 + b² = 100 → b² = 64 → b = 8

4. Tentukan panjang vektor 3u⃗ – 2v⃗ jika u⃗ = (2, 1) dan v⃗ = (1, -1)!

Pembahasan: 3u⃗ – 2v⃗ = (6, 3) – (2, -2) = (4, 5). |(4,5)| = √(16+25) = √41

5. Vektor v⃗ = (a, a) memiliki panjang 6. Tentukan nilai a (a > 0)!

Pembahasan: √(a² + a²) = 6 → √(2a²) = 6 → a√2 = 6 → a = 6/√2 = 3√2

Soal Sulit (1–5)

1. Tentukan semua vektor v⃗ = (x, y) dengan |v⃗| = 5 dan x = 2y!

Pembahasan: v⃗ = (2y, y). |(2y, y)| = √(4y² + y²) = √(5y²) = |y|√5 = 5 → |y| = √5 → y = ±√5. Jadi v⃗ = (2√5, √5) atau v⃗ = (-2√5, -√5).

2. Vektor u⃗ = (3, 4) dan v⃗ = (a, b). Jika |u⃗ + v⃗| = |u⃗ – v⃗|, buktikan u⃗ ⊥ v⃗ (u⃗ tegak lurus v⃗)!

Pembahasan: |u⃗+v⃗|² = |u⃗-v⃗|² → |u⃗|² + 2u⃗·v⃗ + |v⃗|² = |u⃗|² – 2u⃗·v⃗ + |v⃗|² → 4u⃗·v⃗ = 0 → u⃗·v⃗ = 0. Jadi u⃗ ⊥ v⃗ (terbukti).

3. Tentukan panjang vektor v⃗ = (cos θ + sin θ, cos θ – sin θ)!

Pembahasan: |v⃗|² = (cosθ+sinθ)² + (cosθ-sinθ)² = cos²θ + 2sinθcosθ + sin²θ + cos²θ – 2sinθcosθ + sin²θ = 1 + 1 = 2. Jadi |v⃗| = √2.

4. Titik A(1, 2) dan B(4, 6). Tentukan titik C pada garis AB sehingga |AC| = 2|CB|!

Pembahasan: C membagi AB dengan perbandingan 2:1 dari A. C = A + (2/3)AB = (1,2) + (2/3)(3,4) = (1,2) + (2, 8/3) = (3, 14/3).

5. Diketahui |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, dan |a⃗ + b⃗| = 5. Tentukan sudut antara a⃗ dan b⃗!

Pembahasan: |a⃗+b⃗|² = |a⃗|² + 2a⃗·b⃗ + |b⃗|² → 25 = 9 + 2a⃗·b⃗ + 16 → 2a⃗·b⃗ = 0 → a⃗·b⃗ = 0. Karena a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cosθ = 0 → cosθ = 0 → θ = 90°.

🏋️ Latihan Soal

Mudah (1–10)

Tentukan |v⃗| jika v⃗ = (5, 12)!
Tentukan |u⃗| jika u⃗ = (8, 15)!
Tentukan |w⃗| jika w⃗ = (9, 40)!
Tentukan |a⃗| jika a⃗ = (-3, 4)!
Tentukan |b⃗| jika b⃗ = (0, -9)!
Tentukan |c⃗| jika c⃗ = (1, 1)!
Tentukan |d⃗| jika d⃗ = (12, 5)!
Tentukan |AB| jika A(0,0) dan B(3,4)!
Tentukan |e⃗| jika e⃗ = (-6, 8)!
Tentukan |f⃗| jika f⃗ = (2, -2)!

Sedang (1–5)

Tentukan vektor satuan dari (5, 12)!
Jika |v⃗| = 13 dan v⃗ = (5, b), b > 0. Tentukan b!
Tentukan panjang 2a⃗ – b⃗ jika a⃗=(3,1) dan b⃗=(2,-2)!
Vektor (a, 3a) panjangnya √40. Tentukan a > 0!
Tentukan |PQ| jika P(2,-1) dan Q(-1,3)!

Sulit (1–5)

Tentukan semua v⃗ = (x, y) dengan |v⃗| = 10 dan y = 3x/4!
Jika |a⃗| = 5, |b⃗| = 7, dan |a⃗-b⃗| = 8, tentukan a⃗·b⃗!
Tentukan panjang vektor (2cosα – sinα, cosα + 2sinα)!
Vektor v⃗ = (a, a+2) panjangnya √20. Tentukan semua a!
Jika |u⃗+v⃗|=7 dan |u⃗-v⃗|=3, tentukan |u⃗|²+|v⃗|²!