📐 Materi Vektor
Fisika Kelas X — Besaran Vektor
1. Pengertian Vektor
Perhatikan ilustrasi berikut. Seorang siswa mendorong meja ke arah kanan dengan gaya 50 N. Perhatikan bahwa informasi ini memiliki nilai (50 N) dan arah (ke kanan).
Gambar: Ilustrasi gaya dorong pada meja (besaran vektor memiliki nilai dan arah)
- Apa yang dimaksud dengan vektor?
- Mengapa arah penting dalam suatu besaran?
- Bagaimana cara menuliskan dan menggambarkan vektor?
Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (besar) dan arah. Vektor digambarkan sebagai anak panah, di mana:
- Panjang anak panah menyatakan besar vektor
- Arah anak panah menyatakan arah vektor
- Titik pangkal adalah titik awal vektor
- Titik ujung adalah ujung anak panah
Notasi Vektor:
Vektor dapat ditulis dengan beberapa cara:
| Notasi | Penulisan | Keterangan |
|---|---|---|
| Huruf tebal | F, v, a | Digunakan dalam buku cetak |
| Tanda panah di atas | F , v , a | Digunakan dalam tulisan tangan |
| Dua huruf | AB | Vektor dari titik A ke titik B |
| Besar vektor | |F| atau F | Nilai skalar (tanpa arah) |
Kegiatan: Gambarlah vektor-vektor berikut pada kertas berpetak:
- Vektor gaya 10 N ke arah kanan (skala: 1 cm = 2 N)
- Vektor perpindahan 6 m ke arah timur laut (45°)
- Vektor kecepatan 20 m/s ke arah atas
Kesimpulan:
Vektor adalah besaran fisika yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction). Vektor dilambangkan dengan anak panah, di mana panjang panah menunjukkan besar dan arah panah menunjukkan arah vektor. Notasi vektor menggunakan huruf tebal atau tanda panah di atas huruf.
Contoh Soal — Pengertian Vektor
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Apa yang dimaksud dengan vektor?
Pembahasan: Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Contoh: gaya, kecepatan, perpindahan.
2. Sebutkan dua informasi yang harus dimiliki oleh suatu vektor!
Pembahasan: Dua informasi yang harus dimiliki vektor adalah: (1) Besar/nilai (magnitude), dan (2) Arah (direction).
3. Bagaimana cara menggambarkan vektor?
Pembahasan: Vektor digambarkan sebagai anak panah. Panjang anak panah menunjukkan besar vektor, dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
4. Tuliskan notasi vektor gaya F dengan dua cara berbeda!
Pembahasan: (1) Huruf tebal: F, dan (2) Dengan tanda panah di atas: F
5. Apa yang dimaksud dengan titik pangkal dan titik ujung vektor?
Pembahasan: Titik pangkal adalah titik awal (permulaan) vektor. Titik ujung adalah ujung anak panah yang menunjukkan arah vektor.
6. Jika vektor AB digambar dari titik A ke titik B, mana yang menjadi titik pangkal?
Pembahasan: Titik A adalah titik pangkal, dan titik B adalah titik ujung vektor.
7. Apa arti |F| dalam notasi vektor?
Pembahasan: |F| menyatakan besar (magnitude) dari vektor F, yaitu nilai skalarnya tanpa memperhatikan arah.
8. Manakah yang termasuk vektor: massa 5 kg, gaya 10 N ke kanan, suhu 30°C?
Pembahasan: Yang termasuk vektor adalah gaya 10 N ke kanan, karena memiliki besar (10 N) dan arah (ke kanan). Massa dan suhu hanya memiliki besar tanpa arah.
9. Mengapa kecepatan termasuk besaran vektor?
Pembahasan: Kecepatan termasuk besaran vektor karena memiliki besar (misalnya 60 km/jam) dan arah (misalnya ke utara). Tanpa arah, besaran tersebut disebut kelajuan (skalar).
10. Gambarlah vektor gaya 20 N ke arah kanan dengan skala 1 cm = 5 N. Berapa panjang anak panah?
Pembahasan: Panjang = 20 N ÷ 5 N/cm = 4 cm ke arah kanan.
🟡 Soal Sedang (1–5)
1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 80 km/jam ke arah barat daya. Tuliskan vektor kecepatan tersebut dalam notasi vektor dan jelaskan komponennya!
Pembahasan: Vektor kecepatan: v = 80 km/jam, arah barat daya (225° dari utara atau 45° di bawah sumbu x negatif). Besar: |v| = 80 km/jam. Arah: barat daya (membentuk sudut 225° terhadap utara).
2. Dua vektor dikatakan sama jika memenuhi syarat tertentu. Sebutkan dan jelaskan syarat dua vektor dikatakan sama!
Pembahasan: Dua vektor dikatakan sama jika: (1) Memiliki besar yang sama, (2) Memiliki arah yang sama. Posisi vektor tidak harus sama (vektor bebas). Misalnya vektor AB dan CD sama jika panjang dan arahnya identik.
3. Apa perbedaan antara vektor negatif dan vektor nol? Berikan contoh masing-masing!
Pembahasan:
• Vektor negatif: Vektor yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan. Contoh: jika A = 5 N ke kanan, maka −A = 5 N ke kiri.
• Vektor nol: Vektor yang besarnya nol dan tidak memiliki arah tertentu. Contoh: resultan gaya pada benda yang diam seimbang = 0.
4. Sebuah vektor perpindahan memiliki besar 10 m dan membentuk sudut 60° terhadap sumbu x positif. Gambarkan vektor tersebut dan tentukan komponen x dan y-nya!
Pembahasan:
Komponen x: dₓ = 10 cos 60° = 10 × 0,5 = 5 m
Komponen y: dᵧ = 10 sin 60° = 10 × 0,866 = 8,66 m
5. Jelaskan perbedaan antara perpindahan dan jarak tempuh! Manakah yang merupakan vektor?
Pembahasan:
• Perpindahan (vektor): Perubahan posisi dari titik awal ke titik akhir, memiliki besar dan arah. Contoh: berpindah 5 m ke timur.
• Jarak tempuh (skalar): Panjang total lintasan yang dilalui, hanya memiliki besar. Contoh: menempuh jarak 10 m.
Perpindahan adalah vektor karena memiliki arah, sedangkan jarak tempuh adalah skalar.
🔴 Soal Sulit (1–5)
1. Sebuah vektor A memiliki besar 13 satuan dan membentuk sudut α terhadap sumbu x positif. Jika komponen x vektor tersebut adalah 5 satuan, tentukan: (a) sudut α, (b) komponen y, (c) gambarkan vektor tersebut!
Pembahasan:
(a) cos α = Aₓ/|A| = 5/13 → α = arccos(5/13) = 67,38°
(b) Aᵧ = |A| sin α = 13 × sin 67,38° = 13 × 12/13 = 12 satuan
Atau: Aᵧ = √(13² – 5²) = √(169 – 25) = √144 = 12 satuan
(c) Vektor membentuk sudut 67,38° dari sumbu x, dengan komponen (5, 12).
2. Buktikan bahwa jika dua vektor A dan B memiliki besar sama dan arah sama, maka kedua vektor tersebut identik meskipun titik tangkapnya berbeda! Jelaskan konsep vektor bebas!
Pembahasan:
Konsep vektor bebas: Dalam matematika dan fisika, vektor didefinisikan oleh besar dan arahnya saja, bukan oleh posisinya. Dua vektor A dan B identik jika:
1. |A| = |B| (besar sama)
2. Arah A = Arah B (arah sama)
Ini disebut vektor bebas karena dapat dipindahkan ke mana saja tanpa mengubah sifatnya. Dalam diagram, dua anak panah dengan panjang dan arah sama mewakili vektor yang sama, terlepas dari posisinya di bidang. Hal ini berbeda dengan vektor terikat yang titik tangkapnya tetap (misal: gaya pada suatu titik benda).
3. Sebuah pesawat terbang ke arah timur laut (45°) dengan kelajuan 500 km/jam. Angin bertiup ke arah utara dengan kecepatan 100 km/jam. Tentukan besar dan arah kecepatan resultan pesawat terhadap tanah!
Pembahasan:
Vektor kecepatan pesawat: vₓ = 500 cos 45° = 353,55 km/jam; vᵧ = 500 sin 45° = 353,55 km/jam
Vektor angin: wₓ = 0; wᵧ = 100 km/jam
Resultan: Rₓ = 353,55 + 0 = 353,55 km/jam
Rᵧ = 353,55 + 100 = 453,55 km/jam
Besar resultan: |R| = √(353,55² + 453,55²) = √(125,017 + 205,707) = √(330,724) ≈ 575,1 km/jam
Arah: θ = arctan(453,55/353,55) = arctan(1,283) ≈ 52,1° dari arah timur (lebih ke utara dari 45°).
4. Tiga vektor gaya bekerja pada satu titik: F₁ = 10 N ke arah timur, F₂ = 15 N ke arah 120° dari sumbu x, dan F₃ = 8 N ke arah selatan. Tentukan besar dan arah resultan ketiga gaya tersebut!
Pembahasan:
Uraikan masing-masing ke komponen x dan y:
F₁: F₁ₓ = 10 cos 0° = 10 N; F₁ᵧ = 10 sin 0° = 0 N
F₂: F₂ₓ = 15 cos 120° = 15 × (−0,5) = −7,5 N; F₂ᵧ = 15 sin 120° = 15 × 0,866 = 12,99 N
F₃: F₃ₓ = 8 cos 270° = 0 N; F₃ᵧ = 8 sin 270° = −8 N
Resultan: Rₓ = 10 + (−7,5) + 0 = 2,5 N
Rᵧ = 0 + 12,99 + (−8) = 4,99 N
|R| = √(2,5² + 4,99²) = √(6,25 + 24,9) = √31,15 ≈ 5,58 N
θ = arctan(4,99/2,5) = arctan(1,996) ≈ 63,4° dari sumbu x positif.
5. Jelaskan mengapa vektor tidak dapat dijumlahkan secara langsung seperti bilangan biasa! Berikan contoh di mana penjumlahan skalar memberikan hasil yang salah untuk besaran vektor!
Pembahasan:
Vektor tidak dapat dijumlahkan secara aljabar biasa karena memiliki arah. Penjumlahan vektor harus mempertimbangkan arah masing-masing vektor.
Contoh: Seseorang berjalan 3 m ke timur, lalu 4 m ke utara.
• Jika dijumlahkan secara skalar: 3 + 4 = 7 m (SALAH untuk perpindahan)
• Dengan penjumlahan vektor: |R| = √(3² + 4²) = √25 = 5 m ke arah arctan(4/3) = 53,1° dari timur (BENAR)
Perpindahan total hanya 5 m (bukan 7 m), karena kedua vektor tegak lurus. Ini menunjukkan bahwa arah sangat mempengaruhi hasil penjumlahan vektor.
Latihan Soal — Pengertian Vektor
🟢 Mudah (1–10)
- Definisikan vektor dengan kata-katamu sendiri!
- Sebutkan 3 contoh besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari!
- Apa perbedaan vektor dan skalar?
- Tuliskan notasi vektor percepatan dengan dua cara berbeda!
- Gambarlah vektor 8 N ke arah kanan dengan skala 1 cm = 2 N!
- Apa yang ditunjukkan oleh panjang anak panah pada gambar vektor?
- Apa yang ditunjukkan oleh arah anak panah pada gambar vektor?
- Apakah kecepatan 50 km/jam tanpa menyebutkan arah termasuk vektor? Jelaskan!
- Tuliskan vektor dari titik P ke titik Q dalam notasi vektor!
- Apa yang dimaksud dengan besar (magnitude) suatu vektor?
🟡 Sedang (1–5)
- Jelaskan perbedaan vektor terikat, vektor geser, dan vektor bebas!
- Sebuah vektor memiliki besar 10 satuan dan membentuk sudut 30° dengan sumbu x. Tentukan komponen x dan y!
- Dua vektor memiliki besar sama tetapi arahnya berlawanan. Bagaimana hubungan kedua vektor tersebut?
- Jelaskan mengapa suhu tidak termasuk vektor meskipun bisa bernilai negatif!
- Sebuah vektor perpindahan memiliki komponen x = 6 m dan komponen y = 8 m. Tentukan besar dan arah vektor!
🔴 Sulit (1–5)
- Sebuah vektor A = 20 satuan membentuk sudut 150° terhadap sumbu x positif. Tentukan komponen x, komponen y, dan gambarkan vektor beserta proyeksinya!
- Buktikan bahwa besar vektor resultan dua vektor yang tegak lurus selalu lebih kecil dari jumlah aljabar keduanya!
- Seorang pelaut berlayar 30 km ke arah N30°E, kemudian 40 km ke arah timur. Tentukan perpindahan total pelaut tersebut!
- Tiga vektor memiliki besar sama (masing-masing 10 satuan) dan membentuk sudut 120° satu sama lain. Tentukan resultan ketiga vektor tersebut!
- Jelaskan secara konseptual mengapa penjumlahan vektor bersifat komutatif (A + B = B + A) dengan menggunakan metode jajargenjang!
2. Besaran Vektor dan Besaran Skalar
Perhatikan tabel berikut yang membandingkan besaran vektor dan besaran skalar:
| Aspek | Besaran Vektor | Besaran Skalar |
|---|---|---|
| Definisi | Besaran yang memiliki besar dan arah | Besaran yang hanya memiliki besar (nilai) |
| Contoh | Gaya, kecepatan, perpindahan, percepatan, momentum | Massa, suhu, waktu, energi, jarak, kelajuan |
| Penggambaran | Anak panah | Bilangan dengan satuan |
| Operasi penjumlahan | Menggunakan aturan vektor (segitiga/jajargenjang) | Penjumlahan aljabar biasa |
| Nilai negatif | Menunjukkan arah berlawanan | Menunjukkan nilai di bawah nol (misal suhu −5°C) |
- Apa perbedaan mendasar antara besaran vektor dan besaran skalar?
- Bagaimana cara membedakan besaran vektor dari besaran skalar?
- Mengapa beberapa besaran memerlukan arah sedangkan yang lain tidak?
A. Besaran Skalar
Besaran skalar adalah besaran fisika yang cukup dinyatakan dengan besar (nilai) saja, tanpa memerlukan arah. Operasi pada besaran skalar menggunakan aljabar biasa.
Contoh besaran skalar:
- Massa: 5 kg (tidak ada “massa ke kanan”)
- Suhu: 30°C (tidak ada “suhu ke utara”)
- Waktu: 10 detik
- Energi: 100 Joule
- Jarak: 15 km (total lintasan, tanpa arah)
- Kelajuan: 60 km/jam (tanpa arah)
- Volume: 2 liter
- Usaha: 500 Joule
B. Besaran Vektor
Besaran vektor adalah besaran fisika yang dinyatakan dengan besar dan arah. Operasi pada besaran vektor harus mengikuti aturan penjumlahan vektor.
Contoh besaran vektor:
- Gaya: 50 N ke arah kanan
- Kecepatan: 80 km/jam ke utara
- Perpindahan: 10 m ke timur
- Percepatan: 9,8 m/s² ke bawah (gravitasi)
- Momentum: 200 kg·m/s ke depan
- Medan listrik: 100 N/C ke kanan
- Medan magnet: 0,5 T ke atas
C. Pasangan Vektor-Skalar
Beberapa besaran memiliki “pasangan” vektor dan skalar:
| Besaran Vektor | Besaran Skalar Terkait |
|---|---|
| Kecepatan (velocity) | Kelajuan (speed) |
| Perpindahan (displacement) | Jarak (distance) |
| Percepatan (acceleration) | — |
| Gaya (force) | — |
Kegiatan: Klasifikasikan besaran-besaran berikut ke dalam vektor atau skalar:
Energi kinetik, gaya gesek, tekanan, berat, impuls, daya, tegangan listrik, medan gravitasi, kuat arus, momen gaya.
Kesimpulan: Besaran vektor memerlukan besar DAN arah untuk dideskripsikan secara lengkap, sedangkan besaran skalar cukup dinyatakan dengan besar saja. Cara mudah membedakan: jika mengubah arah besaran menghasilkan situasi fisika yang berbeda, maka besaran tersebut adalah vektor.
Contoh Soal — Besaran Vektor dan Skalar
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Tentukan apakah “massa 10 kg” termasuk vektor atau skalar!
Pembahasan: Massa adalah besaran skalar karena hanya memiliki besar (10 kg) tanpa arah.
2. Tentukan apakah “gaya 20 N ke atas” termasuk vektor atau skalar!
Pembahasan: Gaya adalah besaran vektor karena memiliki besar (20 N) dan arah (ke atas).
3. Apakah energi kinetik termasuk besaran vektor? Jelaskan!
Pembahasan: Energi kinetik adalah besaran skalar. Meskipun dihitung dari kecepatan (vektor), hasilnya (½mv²) hanya memiliki besar tanpa arah.
4. Apa perbedaan kecepatan dan kelajuan?
Pembahasan: Kecepatan (vektor) memiliki besar dan arah (misal 60 km/jam ke utara). Kelajuan (skalar) hanya memiliki besar (misal 60 km/jam) tanpa informasi arah.
5. Sebutkan 3 contoh besaran skalar!
Pembahasan: Tiga contoh besaran skalar: massa, suhu, dan waktu. Ketiganya hanya memiliki nilai tanpa arah.
6. Apakah berat termasuk vektor atau skalar?
Pembahasan: Berat adalah besaran vektor karena merupakan gaya gravitasi yang memiliki besar (W = mg) dan arah (selalu ke bawah/menuju pusat bumi).
7. Mengapa waktu bukan besaran vektor?
Pembahasan: Waktu hanya memiliki besar (durasi), misalnya 5 detik. Waktu tidak memiliki arah dalam ruang, sehingga termasuk besaran skalar.
8. Seorang siswa berlari dengan kelajuan 5 m/s. Apakah informasi ini cukup untuk menentukan vektor kecepatannya?
Pembahasan: Tidak cukup. Kelajuan 5 m/s hanya memberikan besar. Untuk vektor kecepatan, diperlukan arah, misalnya “5 m/s ke utara”.
9. Apakah tekanan termasuk vektor atau skalar?
Pembahasan: Tekanan adalah besaran skalar. Meskipun gaya (vektor) terlibat dalam perhitungannya (P = F/A), tekanan bekerja merata ke segala arah pada suatu titik dalam fluida.
10. Klasifikasikan besaran berikut: percepatan gravitasi, volume, impuls, daya!
Pembahasan:
• Percepatan gravitasi → Vektor (9,8 m/s² ke bawah)
• Volume → Skalar (hanya besar)
• Impuls → Vektor (I = F·Δt, memiliki arah)
• Daya → Skalar (P = W/t, hanya besar)
🟡 Soal Sedang (1–5)
1. Sebuah mobil bergerak melingkar dengan kelajuan tetap 40 km/jam. Apakah kecepatan mobil berubah? Jelaskan perbedaan skalar dan vektor dalam konteks ini!
Pembahasan: Ya, kecepatan mobil berubah meskipun kelajuannya tetap. Kelajuan (skalar) tetap 40 km/jam, tetapi kecepatan (vektor) berubah karena arah gerak terus berubah pada gerak melingkar. Ini membuktikan bahwa perubahan arah saja sudah mengubah vektor kecepatan, yang berarti ada percepatan (sentripetal).
2. Jelaskan mengapa usaha (W = F·d·cos θ) merupakan besaran skalar meskipun melibatkan dua besaran vektor (gaya dan perpindahan)!
Pembahasan: Usaha adalah hasil perkalian dot (skalar) antara vektor gaya dan vektor perpindahan: W = F·d = F·d·cos θ. Perkalian dot selalu menghasilkan besaran skalar (bilangan tunggal tanpa arah). Inilah sifat operasi dot product — mengambil informasi arah dari kedua vektor dan menghasilkan nilai skalar.
3. Arus listrik memiliki arah (dari kutub positif ke negatif). Mengapa arus listrik tetap dianggap besaran skalar?
Pembahasan: Meskipun arus listrik “mengalir” ke suatu arah, arus listrik tidak memenuhi aturan penjumlahan vektor. Di titik percabangan, arus dijumlahkan secara aljabar (Hukum Kirchhoff: I₁ = I₂ + I₃), bukan dengan aturan segitiga/jajargenjang. Syarat besaran vektor bukan hanya “memiliki arah” tetapi juga harus memenuhi aturan penjumlahan vektor.
4. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan 20 m/s. Tentukan kecepatan bola sebagai vektor saat: (a) dilempar, (b) di titik tertinggi, (c) saat kembali ke posisi awal!
Pembahasan:
(a) Saat dilempar: v = 20 m/s ke atas (positif)
(b) Di titik tertinggi: v = 0 m/s (vektor nol, bola sesaat diam)
(c) Saat kembali: v = 20 m/s ke bawah (negatif, −20 m/s)
Kelajuan di (a) dan (c) sama (20 m/s), tetapi vektor kecepatannya berbeda karena arahnya berlawanan.
5. Momen gaya (torsi) τ = r × F. Apakah momen gaya vektor atau skalar? Ke mana arahnya?
Pembahasan: Momen gaya adalah besaran vektor karena merupakan hasil perkalian silang (cross product) dari vektor posisi dan vektor gaya. Arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh r dan F, ditentukan oleh aturan tangan kanan. Contoh: jika r ke kanan dan F ke atas, maka τ mengarah keluar bidang (ke arah pengamat).
🔴 Soal Sulit (1–5)
1. Jelaskan mengapa energi potensial gravitasi bukan vektor meskipun bergantung pada posisi (ketinggian memiliki arah)! Gunakan argumen formal terkait transformasi koordinat!
Pembahasan: Energi potensial gravitasi (Ep = mgh) adalah skalar karena: (1) Nilainya tidak berubah ketika sistem koordinat dirotasi — hanya bergantung pada jarak vertikal, bukan pada orientasi sumbu. (2) Ep tidak mengikuti aturan transformasi vektor. Saat koordinat diputar, komponen vektor berubah menurut matriks rotasi, tetapi Ep tetap sama. (3) Ketinggian h memang merupakan komponen posisi (vektor), tetapi Ep = mgh menghasilkan skalar melalui operasi yang mengeliminasi sifat vektor.
2. Berikan argumen mengapa resultan dua vektor yang besarnya sama (|A| = |B| = F) selalu memiliki besar R = 2F cos(θ/2), di mana θ adalah sudut antara kedua vektor!
Pembahasan:
Gunakan hukum cosinus: R² = A² + B² + 2AB cos θ
Karena |A| = |B| = F: R² = F² + F² + 2F² cos θ = 2F²(1 + cos θ)
Gunakan identitas: 1 + cos θ = 2 cos²(θ/2)
Maka: R² = 2F² · 2cos²(θ/2) = 4F² cos²(θ/2)
R = 2F cos(θ/2) ∎
Verifikasi: θ = 0° → R = 2F (sejajar); θ = 90° → R = 2F cos 45° = F√2; θ = 180° → R = 0 (berlawanan).
3. Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada t = 0, posisinya r₀ = (2, 3) m dan kecepatannya v = (4, −2) m/s (konstan). Tentukan: (a) posisi pada t = 5 s, (b) jarak tempuh, (c) besar perpindahan. Jelaskan mengapa (b) dan (c) sama dalam kasus ini!
Pembahasan:
(a) r = r₀ + vt = (2+4×5, 3+(−2)×5) = (22, −7) m
(b) Jarak = |v|×t = √(4²+(−2)²) × 5 = √20 × 5 = 2√5 × 5 = 10√5 ≈ 22,36 m
(c) Perpindahan = |r − r₀| = |(20, −10)| = √(400+100) = √500 = 10√5 ≈ 22,36 m
(b) dan (c) sama karena benda bergerak lurus beraturan (kecepatan konstan). Pada gerak lurus, lintasan dan perpindahan berimpit sehingga jarak = besar perpindahan.
4. Jelaskan mengapa momentum angular L = r × p disebut vektor aksial (pseudovektor), berbeda dari vektor polar biasa seperti gaya. Apa implikasi praktisnya?
Pembahasan: Momentum angular disebut pseudovektor (vektor aksial) karena:
1. Diperoleh dari cross product dua vektor polar (r dan p)
2. Arahnya ditentukan oleh konvensi (aturan tangan kanan), bukan arah fisik sesungguhnya
3. Saat dilakukan pencerminan (refleksi) koordinat, vektor polar berubah tanda, tetapi pseudovektor TIDAK berubah tanda
Implikasi: Dalam fisika partikel dan transformasi paritas, pseudovektor berperilaku berbeda. Hukum fisika yang melibatkan pseudovektor (seperti gaya Lorentz) memiliki sifat simetri khusus terhadap pencerminan.
5. Dalam relativitas khusus, energi dan momentum membentuk four-vector (E/c, pₓ, pᵧ, p_z). Jelaskan mengapa energi yang biasanya skalar menjadi bagian dari vektor dalam konteks ini, dan apa invariannya!
Pembahasan: Dalam relativitas khusus, ruang dan waktu bersatu menjadi ruangwaktu 4-dimensi. Begitu pula energi (komponen temporal) dan momentum (komponen spasial) membentuk four-momentum: p^μ = (E/c, pₓ, pᵧ, p_z).
Energi menjadi “komponen” vektor-4 karena bertransformasi bersama momentum saat mengubah kerangka acuan (transformasi Lorentz). Invariannya adalah: E² − (pc)² = (m₀c²)², yang sama di semua kerangka acuan. Ini analog dengan |r|² yang invarian terhadap rotasi dalam 3D. Jadi, “skalar” dalam relativitas adalah kuantitas yang invarian terhadap transformasi Lorentz, bukan sekadar besaran tanpa arah.
Latihan Soal — Besaran Vektor dan Skalar
🟢 Mudah (1–10)
- Klasifikasikan: suhu, percepatan, volume, perpindahan, waktu!
- Mengapa massa bukan vektor?
- Apakah kelajuan termasuk vektor? Jelaskan!
- Sebutkan pasangan vektor-skalar untuk besaran gerak!
- Apakah frekuensi termasuk vektor atau skalar?
- Mengapa gaya termasuk vektor?
- Klasifikasikan: momentum, energi, percepatan, tekanan!
- Sebuah benda memiliki massa 2 kg dan berat 19,6 N ke bawah. Mana yang vektor?
- Apakah panjang gelombang termasuk vektor?
- Sebutkan 3 besaran vektor dalam elektromagnetisme!
🟡 Sedang (1–5)
- Jelaskan mengapa resultan kecepatan pada gerak melingkar berubah meskipun kelajuannya tetap!
- Berikan contoh operasi matematika yang mengubah vektor menjadi skalar!
- Jelaskan perbedaan antara jarak dan perpindahan menggunakan contoh perjalanan!
- Apakah resultan dua vektor selalu lebih besar dari masing-masing vektor? Jelaskan!
- Mengapa gradien suhu adalah vektor meskipun suhu sendiri skalar?
🔴 Sulit (1–5)
- Jelaskan kriteria formal untuk menentukan apakah suatu besaran merupakan vektor (terkait dengan aturan transformasi)!
- Berikan argumen mengapa kerapatan massa (ρ) tetap skalar meskipun memiliki variasi spasial!
- Jelaskan perbedaan vektor polar dan vektor aksial serta berikan contoh masing-masing!
- Dalam konteks tensor, jelaskan hubungan antara skalar (tensor orde-0), vektor (tensor orde-1), dan matriks (tensor orde-2)!
- Sebuah elektron bergerak dalam medan listrik E dan medan magnet B. Tentukan sifat besaran (vektor/skalar): gaya Lorentz, energi potensial listrik, fluks magnetik, dan kuat medan!
3. Unsur-Unsur Vektor
Perhatikan diagram vektor berikut dan identifikasi unsur-unsurnya:
- Apa saja unsur-unsur yang menyusun sebuah vektor?
- Bagaimana cara menentukan komponen-komponen vektor?
- Apa fungsi titik pangkal, titik ujung, besar, dan arah dalam vektor?
Unsur-Unsur Vektor:
1. Titik Pangkal (Titik Tangkap)
Titik awal vektor, tempat vektor mulai bekerja. Dilambangkan dengan titik atau lingkaran kecil pada pangkal anak panah.
2. Titik Ujung
Titik akhir vektor, ditandai dengan ujung anak panah. Menunjukkan “ke mana” vektor mengarah.
3. Besar (Magnitude / Panjang)
Nilai numerik vektor, ditunjukkan oleh panjang anak panah (dalam skala tertentu). Dilambangkan |A| atau A.
Rumus: Jika vektor memiliki komponen (Aₓ, Aᵧ), maka:
|A| = √(Aₓ² + Aᵧ²)
4. Arah (Direction)
Ditunjukkan oleh sudut yang dibentuk vektor terhadap suatu sumbu acuan (biasanya sumbu x positif). Dilambangkan θ.
Rumus: θ = arctan(Aᵧ / Aₓ)
5. Komponen Vektor
Proyeksi vektor pada sumbu-sumbu koordinat:
- Komponen x: Aₓ = |A| cos θ (proyeksi pada sumbu x)
- Komponen y: Aᵧ = |A| sin θ (proyeksi pada sumbu y)
6. Vektor Satuan
Vektor dengan besar 1 yang menunjukkan arah saja. Dilambangkan dengan tanda topi (^) di atas huruf.
Rumus: â = A / |A|
Vektor satuan pada sumbu koordinat: î (arah x), ĵ (arah y), k̂ (arah z)
Notasi komponen: A = Aₓî + Aᵧĵ
Ringkasan Unsur-Unsur Vektor:
| Unsur | Simbol | Keterangan | Cara Menentukan |
|---|---|---|---|
| Titik Pangkal | O, A | Titik awal vektor | Ditentukan dari konteks soal |
| Titik Ujung | B, P | Ujung anak panah | Ditentukan dari besar dan arah |
| Besar | |A| atau A | Panjang vektor | √(Aₓ² + Aᵧ²) |
| Arah | θ | Sudut terhadap sumbu x | arctan(Aᵧ/Aₓ) |
| Komponen x | Aₓ | Proyeksi pada sumbu x | |A| cos θ |
| Komponen y | Aᵧ | Proyeksi pada sumbu y | |A| sin θ |
| Vektor Satuan | â, î, ĵ | Vektor besar 1 | A / |A| |
Kegiatan: Tentukan semua unsur vektor berikut:
- Vektor gaya F = 10 N membentuk sudut 30° terhadap sumbu x. Tentukan: titik pangkal, besar, arah, komponen x, komponen y, dan vektor satuannya!
- Vektor perpindahan memiliki komponen (3, 4) m. Tentukan besar dan arahnya!
Kesimpulan: Unsur-unsur vektor meliputi: (1) titik pangkal, (2) titik ujung, (3) besar/magnitude, (4) arah, (5) komponen-komponen vektor, dan (6) vektor satuan. Semua unsur ini saling berkaitan dan dapat dihitung satu sama lain menggunakan fungsi trigonometri dan teorema Pythagoras.
Contoh Soal — Unsur-Unsur Vektor
🟢 Soal Mudah (1–10)
1. Sebutkan unsur-unsur yang menyusun sebuah vektor!
Pembahasan: Unsur-unsur vektor: (1) Titik pangkal, (2) Titik ujung, (3) Besar/magnitude, (4) Arah, (5) Komponen-komponen (x dan y), (6) Vektor satuan.
2. Vektor A = 6 N membentuk sudut 0° terhadap sumbu x. Tentukan komponen x dan y!
Pembahasan: Aₓ = 6 cos 0° = 6 × 1 = 6 N; Aᵧ = 6 sin 0° = 6 × 0 = 0 N. Vektor sepenuhnya searah sumbu x.
3. Vektor B = 8 m membentuk sudut 90° terhadap sumbu x. Tentukan komponen x dan y!
Pembahasan: Bₓ = 8 cos 90° = 8 × 0 = 0 m; Bᵧ = 8 sin 90° = 8 × 1 = 8 m. Vektor sepenuhnya searah sumbu y.
4. Tentukan besar vektor yang memiliki komponen (3, 4)!
Pembahasan: |A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 satuan
5. Tentukan besar vektor yang memiliki komponen (5, 12)!
Pembahasan: |A| = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 satuan
6. Vektor C = 10 N membentuk sudut 45° terhadap sumbu x. Tentukan komponen x!
Pembahasan: Cₓ = 10 cos 45° = 10 × 0,707 = 7,07 N
7. Apa yang dimaksud dengan vektor satuan?
Pembahasan: Vektor satuan adalah vektor yang besarnya tepat 1 satuan dan hanya menunjukkan arah. Diperoleh dengan membagi vektor dengan besarnya: â = A/|A|.
8. Tentukan vektor satuan dari vektor A = (3, 4)!
Pembahasan: |A| = √(9+16) = 5. Vektor satuan: â = (3/5, 4/5) = (0,6; 0,8). Verifikasi: √(0,6² + 0,8²) = √(0,36 + 0,64) = √1 = 1 ✓
9. Tuliskan vektor F = 10 N, θ = 60° dalam notasi komponen menggunakan î dan ĵ!
Pembahasan: Fₓ = 10 cos 60° = 5 N; Fᵧ = 10 sin 60° = 8,66 N. Maka: F = 5î + 8,66ĵ N
10. Tentukan arah (sudut θ) vektor yang memiliki komponen (5, 5)!
Pembahasan: θ = arctan(5/5) = arctan(1) = 45° terhadap sumbu x positif.
🟡 Soal Sedang (1–5)
1. Vektor A = 20 N membentuk sudut 150° terhadap sumbu x positif. Tentukan komponen x, komponen y, dan tuliskan dalam notasi î ĵ!
Pembahasan:
Aₓ = 20 cos 150° = 20 × (−0,866) = −17,32 N
Aᵧ = 20 sin 150° = 20 × 0,5 = 10 N
Notasi: A = −17,32î + 10ĵ N
Tanda negatif pada komponen x menunjukkan vektor memiliki komponen ke arah kiri (sumbu x negatif).
2. Vektor P memiliki komponen Pₓ = −6 m dan Pᵧ = 8 m. Tentukan besar dan arah vektor P!
Pembahasan:
Besar: |P| = √((-6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m
Arah: θ = arctan(8/(−6)) = arctan(−1,333)
Karena Pₓ negatif dan Pᵧ positif, vektor berada di kuadran II.
θ = 180° − arctan(8/6) = 180° − 53,13° = 126,87° dari sumbu x positif.
3. Dua vektor: A = 3î + 4ĵ dan B = −2î + 5ĵ. Tentukan vektor satuan dari A + B!
Pembahasan:
A + B = (3−2)î + (4+5)ĵ = î + 9ĵ
|A+B| = √(1² + 9²) = √(1 + 81) = √82 ≈ 9,06
Vektor satuan: (A+B)/|A+B| = (1/√82)î + (9/√82)ĵ ≈ 0,11î + 0,99ĵ
4. Sebuah vektor gaya memiliki komponen Fₓ = 12 N dan besar total 13 N. Tentukan komponen y dan sudut arah vektor!
Pembahasan:
Fᵧ = √(|F|² − Fₓ²) = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 N
θ = arctan(Fᵧ/Fₓ) = arctan(5/12) = 22,62° dari sumbu x.
5. Vektor A = 5î − 3ĵ. Tentukan: (a) besar vektor, (b) sudut arah, (c) di kuadran mana vektor berada!
Pembahasan:
(a) |A| = √(5² + (−3)²) = √(25 + 9) = √34 ≈ 5,83 satuan
(b) θ = arctan(−3/5) = arctan(−0,6) = −30,96° (atau 329,04° dari sumbu x positif)
(c) Karena Aₓ > 0 dan Aᵧ < 0, vektor berada di kuadran IV (kanan bawah).
🔴 Soal Sulit (1–5)
1. Vektor A membentuk sudut 30° dengan sumbu x, dan vektor B membentuk sudut 120° dengan sumbu x. Jika |A| = 10 dan komponen y resultan (A + B) adalah 14, tentukan |B|!
Pembahasan:
Komponen y resultan: Aᵧ + Bᵧ = 14
10 sin 30° + |B| sin 120° = 14
10 × 0,5 + |B| × 0,866 = 14
5 + 0,866|B| = 14
0,866|B| = 9
|B| = 9/0,866 ≈ 10,39 satuan
2. Tentukan vektor satuan yang membagi sudut antara vektor A = 4î + 3ĵ dan vektor B = 3î + 4ĵ secara sama besar!
Pembahasan:
Vektor yang membagi sudut = jumlah vektor satuan masing-masing:
â = (4/5)î + (3/5)ĵ = 0,8î + 0,6ĵ
b̂ = (3/5)î + (4/5)ĵ = 0,6î + 0,8ĵ
Jumlah: â + b̂ = 1,4î + 1,4ĵ
Besar: √(1,4² + 1,4²) = √3,92 = 1,4√2
Vektor satuan pembagi sudut: (1,4/1,4√2)î + (1,4/1,4√2)ĵ = (1/√2)î + (1/√2)ĵ ≈ 0,707î + 0,707ĵ
(arah 45° dari sumbu x).
3. Vektor R = 2î + 3ĵ − k̂ (dalam 3D). Tentukan: (a) besar vektor, (b) sudut yang dibentuk terhadap sumbu x, sumbu y, dan sumbu z (arah kosinus)!
Pembahasan:
(a) |R| = √(2² + 3² + (−1)²) = √(4 + 9 + 1) = √14 ≈ 3,74 satuan
(b) Arah kosinus:
cos α = Rₓ/|R| = 2/√14 → α = arccos(2/√14) ≈ 57,69° (terhadap sumbu x)
cos β = Rᵧ/|R| = 3/√14 → β = arccos(3/√14) ≈ 36,70° (terhadap sumbu y)
cos γ = R_z/|R| = −1/√14 → γ = arccos(−1/√14) ≈ 105,50° (terhadap sumbu z)
Verifikasi: cos²α + cos²β + cos²γ = 4/14 + 9/14 + 1/14 = 14/14 = 1 ✓
4. Vektor A memiliki besar 15 satuan. Proyeksi A pada vektor B = 4î + 3ĵ adalah 12 satuan. Jika komponen x dari A positif, tentukan vektor A dalam notasi î ĵ!
Pembahasan:
Proyeksi A pada B: proj = A·b̂ = 12
Vektor satuan B: b̂ = (4/5)î + (3/5)ĵ
A·b̂ = Aₓ(4/5) + Aᵧ(3/5) = 12 → 4Aₓ + 3Aᵧ = 60 … (1)
|A|² = Aₓ² + Aᵧ² = 225 … (2)
Dari (1): Aᵧ = (60 − 4Aₓ)/3
Substitusi ke (2): Aₓ² + ((60−4Aₓ)/3)² = 225
Aₓ² + (3600 − 480Aₓ + 16Aₓ²)/9 = 225
9Aₓ² + 3600 − 480Aₓ + 16Aₓ² = 2025
25Aₓ² − 480Aₓ + 1575 = 0
Aₓ² − 19,2Aₓ + 63 = 0
Aₓ = (19,2 ± √(368,64 − 252))/2 = (19,2 ± √116,64)/2 = (19,2 ± 10,8)/2
Aₓ = 15 atau Aₓ = 4,2
Jika Aₓ = 15: Aᵧ = (60−60)/3 = 0 → |A| = 15 ✓ → A = 15î
Jika Aₓ = 4,2: Aᵧ = (60−16,8)/3 = 14,4 → |A| = √(17,64+207,36) = √225 = 15 ✓ → A = 4,2î + 14,4ĵ
Kedua jawaban valid.
5. Tiga vektor satuan â, b̂, ĉ saling membentuk sudut 120° satu sama lain. Tunjukkan bahwa â + b̂ + ĉ = 0 (vektor nol)!
Pembahasan:
Misalkan â pada sudut 0°, b̂ pada 120°, ĉ pada 240°.
Komponen x: cos 0° + cos 120° + cos 240° = 1 + (−0,5) + (−0,5) = 0 ✓
Komponen y: sin 0° + sin 120° + sin 240° = 0 + 0,866 + (−0,866) = 0 ✓
Karena kedua komponen bernilai nol, maka â + b̂ + ĉ = 0î + 0ĵ = 0 (vektor nol). ∎
Interpretasi: Tiga vektor satuan yang simetris (berjarak sudut 120°) selalu saling meniadakan. Ini mirip tiga gaya sama besar yang seimbang pada satu titik.
Latihan Soal — Unsur-Unsur Vektor
🟢 Mudah (1–10)
- Tentukan komponen x dan y dari vektor 12 N yang membentuk sudut 30° terhadap sumbu x!
- Tentukan besar vektor dengan komponen (6, 8)!
- Tentukan besar vektor dengan komponen (5, −12)!
- Vektor 15 m/s membentuk sudut 90° terhadap sumbu x. Tentukan komponen x dan y!
- Tentukan sudut arah vektor dengan komponen (1, √3)!
- Tentukan vektor satuan dari vektor (0, 7)!
- Tuliskan vektor 8 N arah 45° dalam notasi î ĵ!
- Sebuah vektor memiliki komponen x = 10 dan komponen y = 0. Berapa sudut arahnya?
- Tentukan besar vektor A = 2î + 2ĵ!
- Apa nilai vektor satuan î + ĵ? Apakah ini vektor satuan?
🟡 Sedang (1–5)
- Vektor F = 25 N membentuk sudut 210° terhadap sumbu x. Tentukan komponen x, komponen y, dan kuadran vektor!
- Vektor A = −8î + 6ĵ. Tentukan besar, arah, dan vektor satuannya!
- Dua vektor: P = 4î − 3ĵ dan Q = −2î + 7ĵ. Tentukan besar dan arah P + Q!
- Tentukan vektor A jika diketahui |A| = 10 dan vektor satuan â = 0,6î + 0,8ĵ!
- Sebuah vektor resultan gaya memiliki besar 50 N dan arah 143,13° dari sumbu x. Tentukan komponen-komponennya!
🔴 Sulit (1–5)
- Vektor A = 3î + 4ĵ − 2k̂. Tentukan besar vektor dan arah kosinus terhadap masing-masing sumbu!
- Tentukan sudut antara vektor A = 2î + 3ĵ dan B = −î + 4ĵ menggunakan dot product!
- Vektor C memiliki proyeksi pada sumbu x = 8 dan proyeksi pada vektor D = 3î + 4ĵ adalah 10. Tentukan vektor C jika |C| = 17!
- Empat vektor satuan membentuk sudut 90° satu sama lain (ke arah N, E, S, W). Tunjukkan secara analitis bahwa jumlah keempatnya adalah vektor nol!
- Vektor A dan B memiliki besar sama. Jika |A + B| = √3 |A − B|, tentukan sudut antara A dan B!
Materi Vektor
Notasi & Simbol Vektor • Representasi Vektor • Kedudukan Dua Vektor
1. Notasi dan Simbol Vektor
📘 Materi
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction). Berbeda dengan skalar yang hanya memiliki besar saja.
| Besaran | Jenis | Contoh |
|---|---|---|
| Kecepatan | Vektor | 60 km/jam ke utara |
| Kelajuan | Skalar | 60 km/jam |
| Perpindahan | Vektor | 5 m ke timur |
| Jarak | Skalar | 5 m |
| Gaya | Vektor | 10 N ke kanan |
| Massa | Skalar | 5 kg |
Cara Penulisan Notasi Vektor
Ada beberapa cara menuliskan vektor:
1. Huruf kecil tebal (bold): a, b, v
2. Huruf dengan anak panah di atas: a, b, v
3. Dua huruf besar dengan anak panah (titik pangkal dan ujung): AB, PQ
4. Huruf kecil dengan tilde (~) di bawah (tulisan tangan): a̰, b̰
Besar (Panjang) Vektor
Besar vektor a ditulis |a| atau a (tanpa bold). Besar vektor AB ditulis |AB| atau AB.
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Vektor satuan dari a ditulis â (a-hat) dengan rumus:
â = a / |a|
Vektor satuan pada sumbu koordinat:
- î = vektor satuan arah sumbu-x (1, 0, 0)
- ĵ = vektor satuan arah sumbu-y (0, 1, 0)
- k̂ = vektor satuan arah sumbu-z (0, 0, 1)
Vektor Nol dan Vektor Negatif
- Vektor nol (0): vektor yang besarnya 0 dan tidak memiliki arah tertentu.
- Vektor negatif: vektor −a memiliki besar yang sama dengan a tetapi arahnya berlawanan.
🔍 Kegiatan Pembelajaran
Mengamati: Perhatikan berbagai notasi vektor di atas. Amati perbedaan penulisan vektor dengan huruf tebal, anak panah, dan dua titik.
Menanya: Mengapa vektor memerlukan notasi khusus? Apa bedanya dengan penulisan bilangan biasa?
Menalar: Jika vektor AB memiliki titik pangkal A(1,2) dan titik ujung B(4,6), bagaimana cara menentukan besar vektor tersebut?
Mencoba: Tuliskan 5 contoh besaran vektor dan 5 contoh besaran skalar dalam kehidupan sehari-hari.
Mengkomunikasikan: Jelaskan kepada teman sebangku perbedaan antara vektor satuan î, ĵ, dan k̂.
📝 Contoh Soal
Soal Mudah (1-10)
1. Manakah yang termasuk besaran vektor: kecepatan, massa, gaya, suhu, percepatan?
2. Tuliskan notasi vektor dari titik P ke titik Q!
3. Jika a = (3, 4), tentukan |a|!
4. Apa yang dimaksud vektor nol?
5. Jika a = (2, 0), tentukan vektor satuan â!
6. Tuliskan vektor negatif dari b = (5, −3)!
7. Vektor AB dengan A(0,0) dan B(3,0). Tentukan arah vektor!
8. Tuliskan vektor v = 3î + 4ĵ dalam bentuk komponen!
9. Apakah AB sama dengan BA?
10. Sebutkan 3 vektor satuan standar dalam ruang 3 dimensi!
Soal Sedang (11-15)
11. Tentukan vektor satuan dari a = (1, 2, 2)!
12. Diketahui titik A(2,−1) dan B(5,3). Tentukan vektor AB dan besarnya!
13. Vektor p = (a, 6) memiliki panjang 10. Tentukan nilai a (a > 0)!
14. Tentukan vektor satuan yang searah dengan v = (−4, 3)!
15. Jika AB = (2, 5) dan A(1, 3), tentukan koordinat titik B!
Soal Sulit (16-20)
16. Titik A(1,2,3), B(4,6,3). Tentukan vektor satuan AB!
17. Vektor u = (a, a, 2) memiliki panjang 3. Tentukan semua nilai a!
18. Tentukan vektor yang panjangnya 6 dan searah dengan w = (1, 2, 2)!
19. Titik C membagi AB dengan A(1,2) dan B(7,8) sehingga AC:CB = 2:1. Tentukan OC!
20. Jika |a| = 5 dan â = (3/5, y/5, 0), tentukan y (y > 0)!
✏️ Latihan Soal
Mudah (1-10)
- Sebutkan 3 contoh besaran vektor dan 3 contoh besaran skalar!
- Tuliskan notasi vektor dari titik M ke titik N!
- Tentukan |a| jika a = (6, 8)!
- Tuliskan vektor negatif dari c = (−2, 7)!
- Nyatakan vektor (0, 5) dalam bentuk vektor satuan î dan ĵ!
- Apakah (0, 0) merupakan vektor nol? Jelaskan!
- Tentukan AB jika A(0,0) dan B(−2, 3)!
- Berapa panjang vektor v = (5, 0)?
- Tuliskan vektor 2î − 3ĵ dalam bentuk komponen!
- Jika p = (1, 1), tentukan |p|!
Sedang (11-15)
- Tentukan vektor satuan dari b = (3, 4)!
- A(−1, 3) dan B(2, 7). Tentukan |AB|!
- Vektor q = (m, 12) panjangnya 13. Tentukan m > 0!
- Tentukan koordinat B jika AB = (−3, 2) dan A(4, 1)!
- Tentukan vektor satuan dari r = (2, 1, 2)!
Sulit (16-20)
- Vektor s = (a, a, 1) panjangnya √3. Tentukan semua nilai a!
- Tentukan vektor yang panjangnya 10 dan searah t = (3, 4)!
- Titik D membagi PQ dengan P(2,1) dan Q(8,7) sehingga PD:DQ = 1:2. Tentukan OD!
- Jika |u| = 13 dan û = (x/13, 12/13), tentukan x > 0!
- Tentukan vektor satuan yang berlawanan arah dengan w = (−2, 2, 1)!