⟶ Operasi Vektor
Matematika SMK | MGMP Matematika SMK Blora | Kelas XI
1. Penjumlahan Vektor
Menjumlahkan dua vektor atau lebih menjadi vektor resultan
Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Seorang anak berjalan ke timur sejauh 3 km, kemudian berjalan ke utara sejauh 4 km. Perpindahan total anak tersebut bukan 3 + 4 = 7 km, melainkan 5 km (berdasarkan Teorema Pythagoras). Inilah yang disebut penjumlahan vektor — berbeda dengan penjumlahan bilangan biasa!
📖 Definisi Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor ⃗a dan ⃗b menghasilkan vektor baru yang disebut vektor resultan.
Jika vektor dinyatakan dalam komponen:
⃗a = (a₁, a₂) dan ⃗b = (b₁, b₂)
Maka:
⃗a + ⃗b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
Untuk vektor 3D: ⃗a + ⃗b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
✏️ Notasi Vektor (Kolom)
Vektor sering ditulis dalam bentuk kolom seperti berikut:
Vektor 2D
a₁a₂
Vektor 3D
a₁a₂a₃
Contoh
34
+
12
=
46
Gambar 1.1 — Penjumlahan vektor dengan metode segitiga: → ke ujung →a, lalu tambahkan →b dari sana
Gambar 1.2 — Penjumlahan vektor dengan metode jajaran genjang: →a dan →b berpangkal sama, resultan adalah diagonal
Menanya
Setelah mengamati gambar di atas, ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut kepada dirimu sendiri:
- Apakah penjumlahan vektor sama dengan penjumlahan bilangan biasa? Mengapa?
- Apakah metode segitiga dan metode jajaran genjang selalu menghasilkan resultan yang sama?
- Bagaimana cara menjumlahkan lebih dari dua vektor sekaligus?
- Apa yang terjadi jika dua vektor memiliki arah berlawanan?
Menalar
Analisis pernyataan berikut: Jika →a = (3, 4) dan →b = (−3, −4), maka →a + →b = (0, 0). Ini disebut vektor nol. Artinya, resultan dua vektor bisa bernilai nol jika kedua vektor berlawanan arah dan sama besar. Dalam fisika, ini berarti benda dalam keseimbangan (tidak bergerak).
Mencoba
Coba hitung penjumlahan vektor berikut secara mandiri:
- →p = (5, 2) dan →q = (3, 7) → →p + →q = ?
- →u = (−2, 4, 1) dan →v = (3, −1, 5) → →u + →v = ?
- Gambarkan di kertas berpetak: →a = (4, 0) dan →b = (0, 3), lalu temukan resultan →a + →b!
Mengkomunikasikan
Presentasikan kepada teman sekelasmu: Berikan satu contoh nyata dalam kehidupan sehari-hari (selain yang ada di materi) di mana penjumlahan vektor digunakan. Jelaskan mengapa kita perlu mempertimbangkan arah, tidak hanya besar nilainya.
📝 Contoh Soal — Penjumlahan Vektor
Mudah — No. 1
Diketahui →a = (2, 3) dan →b = (4, 1). Tentukan →a + →b!
✅ Pembahasan:
→a + →b = (2+4, 3+1)
= (6, 4)
Komponen x dijumlahkan: 2+4=6; Komponen y dijumlahkan: 3+1=4
Mudah — No. 2
Jika →p = (5, 0) dan →q = (0, 7), tentukan →p + →q!
✅ Pembahasan:
→p + →q = (5+0, 0+7) = (5, 7)
Vektor horizontal ditambah vektor vertikal menghasilkan vektor diagonal.
Mudah — No. 3
Diketahui →u = (1, 2, 3) dan →v = (4, 5, 6). Tentukan →u + →v!
✅ Pembahasan:
→u + →v = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)
Mudah — No. 4
Diberikan →a = (−3, 4) dan →b = (3, 2). Hitung →a + →b!
✅ Pembahasan:
→a + →b = (−3+3, 4+2) = (0, 6) = (0, 6)
Komponen x saling meniadakan; komponen y = 6.
Mudah — No. 5
Jika →m = (6, −2) dan →n = (−1, 5), cari →m + →n!
✅ Pembahasan:
→m + →n = (6+(−1), −2+5) = (5, 3)
Mudah — No. 6
Vektor →c = (0, 0) dan →d = (7, 9). Hitung →c + →d!
✅ Pembahasan:
→c + →d = (0+7, 0+9) = (7, 9)
Menjumlahkan dengan vektor nol tidak mengubah vektor.
Mudah — No. 7
→a = (4, 4) dan →b = (4, 4). Tentukan →a + →b!
✅ Pembahasan:
→a + →b = (4+4, 4+4) = (8, 8)
Dua vektor sama dijumlahkan → hasilnya dua kali lipat.
Mudah — No. 8
Diketahui →r = (10, −5) dan →s = (−10, 5). Hitung →r + →s!
✅ Pembahasan:
→r + →s = (10+(−10), −5+5) = (0, 0)
→s adalah vektor lawan dari →r, sehingga resultan = vektor nol.
Mudah — No. 9
→f = (2, 3, 1) dan →g = (1, 0, 4). Hitung →f + →g!
✅ Pembahasan:
→f + →g = (2+1, 3+0, 1+4) = (3, 3, 5)
Mudah — No. 10
Jika →a = (−4, −6) dan →b = (4, 6), berapakah →a + →b?
✅ Pembahasan:
→a + →b = (−4+4, −6+6) = (0, 0)
Ini contoh vektor lawan: →b = −→a
Sedang — No. 1
Titik A(1, 2), B(4, 6), dan C(7, 3). Tentukan vektor →AB + →BC dan tunjukkan ini sama dengan →AC!
✅ Pembahasan:
→AB = B − A = (4−1, 6−2) = (3, 4)
→BC = C − B = (7−4, 3−6) = (3, −3)
→AB + →BC = (3+3, 4+(−3)) = (6, 1)
→AC = C − A = (7−1, 3−2) = (6, 1) ✓
Terbukti sama! Ini disebut aturan segitiga vektor.
Sedang — No. 2
Sebuah kapal bergerak ke arah timur sejauh 60 km, kemudian bergerak ke arah utara sejauh 80 km. Berapa jarak total perpindahan kapal dari posisi awal?
✅ Pembahasan:
Vektor timur: →a = (60, 0)
Vektor utara: →b = (0, 80)
→a + →b = (60, 80)
|→a + →b| = √(60² + 80²) = √(3600 + 6400) = √10000 = 100 km
Sedang — No. 3
Jika →p = (2, k, 3) dan →q = (1, 4, −1), dan diketahui →p + →q = (3, 7, 2), tentukan nilai k!
✅ Pembahasan:
→p + →q = (2+1, k+4, 3+(−1)) = (3, k+4, 2)
Dari soal: (3, k+4, 2) = (3, 7, 2)
k + 4 = 7 → k = 7 − 4 = 3
Sedang — No. 4
Diketahui tiga vektor →a = (1, 2), →b = (3, −1), →c = (−2, 4). Hitung →a + →b + →c!
✅ Pembahasan:
Cara 1: ((→a + →b) + →c)
→a + →b = (1+3, 2+(−1)) = (4, 1)
(4, 1) + →c = (4+(−2), 1+4) = (2, 5)
Sedang — No. 5
Diketahui →OA = (3, 5) dan →OB = (−1, 3). Tentukan vektor →AB!
✅ Pembahasan:
→AB = →OB − →OA (bukan penjumlahan biasa, melainkan OA + AB = OB)
→AB = →OB − →OA = (−1−3, 3−5) = (−4, −2)
Verifikasi: →OA + →AB = (3,5)+(−4,−2) = (−1,3) = →OB ✓
Sulit — No. 1
Diketahui →a = (2, 1, −3), →b = (−1, 4, 2), →c = (3, −2, 1). Tentukan →a + →b + →c dan hitung panjang (modulus) hasilnya!
✅ Pembahasan:
→a + →b + →c = (2+(−1)+3, 1+4+(−2), −3+2+1)
= (4, 3, 0)
|→a + →b + →c| = √(4² + 3² + 0²) = √(16+9+0) = √25 = 5
Sulit — No. 2
Sebuah benda dikenai tiga gaya secara bersamaan: F₁ = (4, 0) N, F₂ = (0, 3) N, F₃ = (−1, −1) N. Tentukan gaya resultan dan arahnya terhadap sumbu-x!
✅ Pembahasan:
F_total = F₁ + F₂ + F₃ = (4+0+(−1), 0+3+(−1)) = (3, 2) N
|F_total| = √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,61 N
θ = arctan(2/3) ≈ arctan(0,667) ≈ 33,69° terhadap sumbu-x positif
Sulit — No. 3
Jika →a + →b = (5, 7) dan →a − →b = (1, 3), tentukan vektor →a dan →b!
✅ Pembahasan:
Dari sistem persamaan:
→a + →b = (5, 7) …(i)
→a − →b = (1, 3) …(ii)
Jumlahkan (i)+(ii): 2→a = (6, 10) → →a = (3, 5)
Kurangkan (i)−(ii): 2→b = (4, 4) → →b = (2, 2)
Verifikasi: (3,5)+(2,2)=(5,7)✓ dan (3,5)−(2,2)=(1,3)✓
Sulit — No. 4
Titik-titik A(2,1,3), B(4,5,1), C(6,3,7). Tunjukkan bahwa →AB + →BC = →AC dan tentukan panjang →AC!
✅ Pembahasan:
→AB = (4−2, 5−1, 1−3) = (2, 4, −2)
→BC = (6−4, 3−5, 7−1) = (2, −2, 6)
→AB + →BC = (4, 2, 4)
→AC = (6−2, 3−1, 7−3) = (4, 2, 4) ✓ (sama!)
|→AC| = √(16+4+16) = √36 = 6
Sulit — No. 5
Diketahui vektor posisi titik P adalah (2a−1, a+3) dan vektor posisi titik Q adalah (a+2, 2a−1). Jika PQ + QR = (0,0) dan →QR = (−5, 1), tentukan nilai a!
✅ Pembahasan:
→PQ = Q − P = (a+2−(2a−1), 2a−1−(a+3)) = (3−a, a−4)
→PQ + →QR = (3−a+(−5), a−4+1) = (−2−a, a−3) = (0,0)
Dari komponen x: −2−a = 0 → a = −2
Dari komponen y: a−3 = 0 → a = 3
Kontradiksi → periksa soal. Dari komponen x saja: a = −2
📋 Latihan Soal — Penjumlahan Vektor (Tanpa Pembahasan)
- 1.Mudah Hitung →a + →b jika →a = (3, 7) dan →b = (2, 5).
- 2.Mudah Diketahui →p = (−1, 6) dan →q = (4, −3). Tentukan →p + →q.
- 3.Mudah Hitung →u + →v jika →u = (0, 5) dan →v = (8, 0).
- 4.Mudah →a = (2, 3, 4) dan →b = (1, 2, 3). Tentukan →a + →b.
- 5.Mudah Jika →c = (5, −2) dan →d = (−5, 2), berapa →c + →d?
- 6.Mudah →m = (4, 1, 2) dan →n = (−4, −1, −2). Hitung →m + →n.
- 7.Mudah Tentukan →a + →b + →c jika →a=(1,0), →b=(0,1), →c=(2,2).
- 8.Mudah Jika →x = (7, −3) dan →y = (−2, 8), hitung →x + →y.
- 9.Mudah →a = (1,1,1) dan →b = (2,2,2). Tentukan →a + →b.
- 10.Mudah Diketahui →p = (3,0,−2) dan →q = (0,4,2). Hitung →p + →q.
- 11.Sedang Titik A(2,3), B(5,7), C(1,2). Tentukan →AB + →BC dan buktikan sama dengan →AC.
- 12.Sedang Seorang atlet berlari 5 km ke arah timur lalu 12 km ke arah utara. Berapa perpindahan total atlet tersebut?
- 13.Sedang Diketahui →a + →b = (7, 4). Jika →a = (2k, k+1), →b = (3, 2k−1), tentukan k!
- 14.Sedang Tiga vektor gaya: F₁=(3,0)N, F₂=(0,4)N, F₃=(−1,−2)N. Tentukan gaya resultan!
- 15.Sedang Jika →OA=(1,2,3) dan →AB=(2,−1,4), tentukan →OB!
- 16.Sulit Diketahui →a + →b = (6, 8) dan →a − →b = (2, 4). Tentukan →a, →b, dan panjang masing-masing vektor!
- 17.Sulit Titik P(1,2,3), Q(3,5,1), R(5,3,7). Tentukan →PQ + →QR dan panjangnya.
- 18.Sulit Jika →a=(m, 2), →b=(3, n), dan →a+→b=(5, 7), serta panjang →a+→b = 5√2, tentukan m dan n.
- 19.Sulit Dua gaya F₁ dan F₂ menghasilkan resultan (8,6)N. Jika F₁=(5,2)N, tentukan F₂ dan besar resultan!
- 20.Sulit Diketahui n vektor: →v₁=(1,0), →v₂=(0,1), →v₃=(1,1), →v₄=(−1,1). Tentukan jumlah keempat vektor dan interpreasikan hasilnya secara geometris!
2. Pengurangan Vektor
Mengurangkan vektor dengan menjumlahkan vektor lawannya
Mengamati
Perhatikan: jika →a = (5, 3) dan kita ingin menghitung →a − →a, maka hasilnya pasti (0, 0). Artinya pengurangan vektor oleh dirinya sendiri menghasilkan vektor nol. Ini mirip dengan bilangan biasa (5 − 5 = 0), namun pengurangan vektor melibatkan komponen x dan y sekaligus.
📖 Definisi Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor →a − →b didefinisikan sebagai:
→a − →b = →a + (−→b)
Artinya: mengurangkan →b sama dengan menjumlahkan dengan lawan dari →b (yaitu −→b)
Jika →a = (a₁, a₂) dan →b = (b₁, b₂), maka:
→a − →b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂)
Untuk 3D: →a − →b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)
Gambar 2.1 — Pengurangan vektor →a − →b = vektor dari ujung →b menuju ujung →a (ketika keduanya berpangkal sama)
Menanya
- Apakah →a − →b = →b − →a? Coba buktikan dengan contoh angka!
- Apa hubungan pengurangan vektor dengan penjumlahan vektor?
- Bagaimana cara menggambarkan →a − →b secara geometris?
Menalar
Secara geometris: →a − →b adalah vektor yang menghubungkan ujung →b ke ujung →a, ketika kedua vektor berpangkal di titik yang sama. Ini penting dalam fisika untuk menghitung perubahan kecepatan (Δv = v₂ − v₁) dan dalam geometri untuk menemukan vektor antar dua titik.
Mencoba
Hitung dan gambar hasilnya:
- →a = (5, 4) dan →b = (2, 1) → →a − →b = ?
- →p = (3, 7) dan →q = (5, 2) → →q − →p = ?
- Apakah hasilnya No.1 dan No.2 bernilai sama? Mengapa?
Mengkomunikasikan
Diskusikan bersama teman: “Dalam kehidupan sehari-hari, kapan kita perlu menghitung selisih dua vektor? Berikan 2 contoh nyata!” (Petunjuk: pikirkan tentang kecepatan relatif dua kendaraan, atau perpindahan benda dari titik A ke B.)
📝 Contoh Soal — Pengurangan Vektor
Mudah — No. 1
Hitung →a − →b jika →a = (7, 5) dan →b = (3, 2)!
✅ Pembahasan:
→a − →b = (7−3, 5−2) = (4, 3)
Mudah — No. 2
→p = (8, 4) dan →q = (8, 4). Hitung →p − →q!
✅ Pembahasan:
→p − →q = (8−8, 4−4) = (0, 0)
Dua vektor yang sama, selisihnya = vektor nol.
Mudah — No. 3
→u = (2, 6) dan →v = (5, 1). Hitung →v − →u!
✅ Pembahasan:
→v − →u = (5−2, 1−6) = (3, −5)
Mudah — No. 4
→a = (4, 3, 2) dan →b = (1, 1, 1). Hitung →a − →b!
✅ Pembahasan:
→a − →b = (4−1, 3−1, 2−1) = (3, 2, 1)
Mudah — No. 5
→c = (−3, 4) dan →d = (−1, 2). Hitung →c − →d!
✅ Pembahasan:
→c − →d = (−3−(−1), 4−2) = (−2, 2) = (−2, 2)
Mudah — No. 6
→m = (10, 8) dan →n = (4, 3). Hitung →m − →n!
✅ Pembahasan:
→m − →n = (10−4, 8−3) = (6, 5)
Mudah — No. 7
Jika →a = (5, 9) dan −→b = (−3, −4), hitung →a − →b!
✅ Pembahasan:
−→b = (−3, −4) → →b = (3, 4)
→a − →b = (5−3, 9−4) = (2, 5)
Mudah — No. 8
→f = (0, 5, 3) dan →g = (2, 3, 1). Hitung →f − →g!
✅ Pembahasan:
→f − →g = (0−2, 5−3, 3−1) = (−2, 2, 2)
Mudah — No. 9
→a = (6, 0) dan →b = (0, 4). Hitung →a − →b!
✅ Pembahasan:
→a − →b = (6−0, 0−4) = (6, −4)
Mudah — No. 10
→x = (−2, −5) dan →y = (3, −1). Hitung →x − →y!
✅ Pembahasan:
→x − →y = (−2−3, −5−(−1)) = (−5, −4) = (−5, −4)
Sedang — No. 1
Titik A(3, 5) dan B(7, 2). Tentukan vektor →BA dan hitung panjangnya!
✅ Pembahasan:
→BA = A − B = (3−7, 5−2) = (−4, 3)
|→BA| = √((−4)²+3²) = √(16+9) = √25 = 5
Sedang — No. 2
Diketahui →a − →b = (2, 3) dan →a = (5, 7). Tentukan →b!
✅ Pembahasan:
→a − →b = (2, 3) → →b = →a − (2,3) = (5−2, 7−3) = (3, 4)
Sedang — No. 3
Kecepatan awal sebuah benda v₁ = (4, 3) m/s dan kecepatan akhir v₂ = (1, 7) m/s. Tentukan perubahan kecepatan Δv!
✅ Pembahasan:
Δv = v₂ − v₁ = (1−4, 7−3) = (−3, 4) m/s
|Δv| = √(9+16) = √25 = 5 m/s
Sedang — No. 4
Jika →u = (2a, 3) dan →v = (4, b), dan →u − →v = (−2, 1), tentukan a dan b!
✅ Pembahasan:
→u − →v = (2a−4, 3−b) = (−2, 1)
2a − 4 = −2 → 2a = 2 → a = 1
3 − b = 1 → b = 2
Sedang — No. 5
Titik P(1,2,3), Q(4,5,6). Hitung →PQ, →QP, dan tunjukkan bahwa →PQ = −→QP!
✅ Pembahasan:
→PQ = Q − P = (3, 3, 3)
→QP = P − Q = (−3, −3, −3)
−→QP = (3, 3, 3) = →PQ ✓
Sulit — No. 1
Diketahui →a + →b = (8, 5) dan →a − →b = (2, 1). Tentukan →a, →b, panjang →a dan →b!
✅ Pembahasan:
2→a = (10,6) → →a = (5,3); |→a| = √34
2→b = (6,4) → →b = (3,2); |→b| = √13
Sulit — No. 2
Posisi benda A pada (3,4,1) dan benda B pada (7,2,5). Hitung →AB, →BA, dan jarak antara A dan B!
✅ Pembahasan:
→AB = (4,−2,4); →BA = (−4,2,−4)
|→AB| = √(16+4+16) = √36 = 6
Sulit — No. 3
Dua gaya F₁ = (5,3) N dan F₂ bekerja pada benda. Jika resultan = (2,7) N, tentukan F₂ dan besar F₂!
✅ Pembahasan:
F₂ = R − F₁ = (2−5, 7−3) = (−3, 4) N
|F₂| = √(9+16) = √25 = 5 N
Sulit — No. 4
Diketahui →p = (a²−1, 2a) dan →q = (3, a+1). Jika →p − →q = (3, 1), tentukan semua nilai a yang mungkin!
✅ Pembahasan:
→p − →q = (a²−1−3, 2a−a−1) = (a²−4, a−1) = (3,1)
a²−4=3 → a²=7 → a=±√7
a−1=1 → a=2
Kedua syarat harus terpenuhi sekaligus → tidak ada nilai a yang memenuhi keduanya. Perlu diperiksa kembali. Dari komponen y: a = 2
Sulit — No. 5
Titik-titik A(1,2,3), B(4,0,5), C(7,4,1). Buktikan →AC = →AB + →BC dengan pengurangan vektor dan hitung sudut yang dibentuk →AB dengan sumbu-x (proyeksi pada bidang xy)!
✅ Pembahasan:
→AB = (3,−2,2), →BC = (3,4,−4)
→AB + →BC = (6,2,−2)
→AC = C−A = (6,2,−2) ✓
Proyeksi →AB pada xy: (3,−2); θ = arctan(−2/3) ≈ −33,7° (atau 326,3°)
📋 Latihan Soal — Pengurangan Vektor (Tanpa Pembahasan)
- 1.Mudah Hitung →a − →b jika →a = (9, 6) dan →b = (4, 2).
- 2.Mudah →p = (3, 8) dan →q = (5, 3). Hitung →q − →p.
- 3.Mudah →u = (4, 3, 2) dan →v = (2, 1, 0). Hitung →u − →v.
- 4.Mudah →c = (−5, 3) dan →d = (−2, 7). Hitung →c − →d.
- 5.Mudah →a = (7, 7) dan →b = (7, 7). Hitung →a − →b.
- 6.Mudah →f = (10, 0, 5) dan →g = (3, 0, 2). Hitung →f − →g.
- 7.Mudah →m = (2, −4) dan →n = (6, −1). Hitung →m − →n.
- 8.Mudah →a = (0, 8) dan →b = (5, 0). Hitung →a − →b.
- 9.Mudah →x = (1, 1, 1) dan →y = (−1, −1, −1). Hitung →x − →y.
- 10.Mudah →r = (3, 5) dan →s = (3, 5). Buktikan →r − →s = →o (vektor nol).
- 11.Sedang Titik K(2,3) dan L(8,7). Hitung →KL dan |→KL|.
- 12.Sedang Diketahui →a − →b = (4, −2). Jika →b = (3, 5), tentukan →a!
- 13.Sedang Kecepatan benda berubah dari v₁ = (6,2) m/s menjadi v₂ = (2,8) m/s. Hitung Δv dan |Δv|!
- 14.Sedang →u = (3m, 4) dan →v = (6, 2n), jika →u − →v = (0, 2), tentukan m dan n!
- 15.Sedang Titik A(1,1,1), B(4,3,5), C(2,5,3). Hitung →AB − →AC.
- 16.Sulit Diketahui →a + →b = (7,9) dan →a − →b = (3,5). Tentukan |→a|, |→b|, dan |→a+→b|.
- 17.Sulit Posisi benda mula-mula di P(2,3,1) dan akhir di Q(5,−1,7). Hitung perpindahan dan jaraknya.
- 18.Sulit Tiga titik A, B, C. Jika →AB = (3,4,0) dan →AC = (5,2,6), tentukan →BC.
- 19.Sulit →p = (a, 2a−1) dan →q = (a+3, a²). Jika →p − →q = (−1, −2), tentukan nilai a!
- 20.Sulit Gaya resultan dua benda = (0,0). Jika F₁ = (3a−1, 2b+1) dan F₂ = (a+3, b−5), tentukan a dan b!
3. Perkalian Vektor dengan Skalar
Mengubah panjang (dan arah) vektor dengan mengalikannya dengan bilangan skalar
Mengamati
Amati tabel berikut. Jika →a = (2, 3), bagaimana hasil perkalian dengan berbagai nilai skalar?
| Skalar (k) | k × →a | Panjang Vektor | Arah |
|---|---|---|---|
| 1 | (2, 3) | √13 ≈ 3,61 | Sama |
| 2 | (4, 6) | 2√13 ≈ 7,21 | Sama |
| 3 | (6, 9) | 3√13 ≈ 10,82 | Sama |
| −1 | (−2, −3) | √13 ≈ 3,61 | Berlawanan |
| −2 | (−4, −6) | 2√13 ≈ 7,21 | Berlawanan |
| ½ | (1, 1,5) | ½√13 ≈ 1,80 | Sama |
| 0 | (0, 0) | 0 | Tidak ada |
📖 Definisi Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika k adalah bilangan skalar (nyata) dan →a = (a₁, a₂), maka:
k · →a = (k·a₁, k·a₂)
Untuk 3D: k · →a = (k·a₁, k·a₂, k·a₃)
Aturan penting:
- Jika k > 0: arah vektor sama, panjang berubah menjadi k kali
- Jika k < 0: arah vektor berlawanan, panjang berubah menjadi |k| kali
- Jika k = 0: hasil adalah vektor nol
- Jika k = 1: vektor tidak berubah
- Jika k = −1: vektor berkebalikan arah (vektor lawan)
Gambar 3.1 — Efek perkalian skalar terhadap vektor →a: mengubah panjang dan/atau membalik arah
Menanya
- Apakah perkalian skalar mengubah arah vektor? Kapan ya, kapan tidak?
- Bagaimana cara membuat vektor satuan (panjang = 1) dari suatu vektor?
- Apakah k(→a + →b) = k→a + k→b? Bagaimana membuktikannya?
📐 Vektor Satuan
Vektor satuan (unit vector) adalah vektor dengan panjang = 1 dalam arah yang sama dengan →a.
â = →a / |→a|
â dibaca “a topi” (a hat) — ini adalah vektor satuan dari →a
Contoh: →a = (3, 4), |→a| = 5, maka â = (3/5, 4/5) = (0,6; 0,8)
Menalar
Perhatikan pola ini: k · →a = k · (a₁, a₂) = (ka₁, ka₂). Ini berarti perkalian skalar mendistribusikan ke setiap komponen vektor. Dalam fisika, ketika suatu benda bergerak 3 kali lebih cepat ke arah yang sama, komponen kecepatan x dan y masing-masing menjadi 3 kali lipat juga!
Mencoba
Coba hitung:
- 3 × (2, 5) = ?
- −2 × (4, −1, 3) = ?
- Jika →a = (6, 8), tentukan vektor satuan â!
- Gambarkan →a = (1, 2) dan 4→a pada kertas berpetak!
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu: “Dalam kehidupan nyata, di mana perkalian vektor dengan skalar diterapkan?” (Petunjuk: kecepatan benda yang dipercepat 3× lebih cepat, gaya yang diperbesar, dsb.)
📝 Contoh Soal — Perkalian Vektor dengan Skalar
Mudah — No. 1
Hitung 3 × (2, 4)!
✅ Pembahasan:
3 × (2, 4) = (3×2, 3×4) = (6, 12)
Mudah — No. 2
Jika →a = (5, −3), hitung −2→a!
✅ Pembahasan:
−2→a = (−2×5, −2×(−3)) = (−10, 6)
Mudah — No. 3
Hitung ½ × (8, 6)!
✅ Pembahasan:
½ × (8, 6) = (4, 3) = (4, 3)
Mudah — No. 4
Diketahui →b = (1, 2, 3). Hitung 4→b!
✅ Pembahasan:
4→b = (4, 8, 12) = (4, 8, 12)
Mudah — No. 5
Hitung 0 × (9, 7, 3)!
✅ Pembahasan:
0 × (9, 7, 3) = (0, 0, 0) = →o (vektor nol)
Mudah — No. 6
Hitung −1 × (3, −5)!
✅ Pembahasan:
−1 × (3, −5) = (−3, 5) = (−3, 5)
Ini adalah vektor lawan dari (3, −5).
Mudah — No. 7
→c = (2, 6). Hitung 5→c!
✅ Pembahasan:
5→c = (10, 30) = (10, 30)
Mudah — No. 8
Hitung ⅓ × (9, 12, 3)!
✅ Pembahasan:
⅓ × (9,12,3) = (3, 4, 1) = (3, 4, 1)
Mudah — No. 9
Jika k→a = (12, 8) dan →a = (3, 2), tentukan k!
✅ Pembahasan:
k × 3 = 12 → k = 4
Verifikasi: k × 2 = 8 → k = 4 ✓ → k = 4
Mudah — No. 10
→a = (4, 0) dan k = −3. Hitung k→a dan tentukan arahnya!
✅ Pembahasan:
k→a = −3 × (4, 0) = (−12, 0)
Karena k < 0, arah berbalik → vektor mengarah ke kiri (arah negatif-x)
Sedang — No. 1
Tentukan vektor satuan dari →a = (3, 4)!
✅ Pembahasan:
|→a| = √(9+16) = √25 = 5
â = →a/|→a| = (3/5, 4/5) = (0,6; 0,8)
Sedang — No. 2
Diketahui →a = (2, 1) dan →b = (3, −2). Hitung 2→a + 3→b!
✅ Pembahasan:
2→a = (4, 2); 3→b = (9, −6)
2→a + 3→b = (4+9, 2+(−6)) = (13, −4)
Sedang — No. 3
Jika k→a = (6, −9, 12) dan k = 3, tentukan →a!
✅ Pembahasan:
→a = (6/3, −9/3, 12/3) = (2, −3, 4)
Sedang — No. 4
Sebuah benda bergerak dengan kecepatan →v = (3, 4) m/s. Jika kecepatannya diperbesar 5 kali, berapa besar kecepatan baru?
✅ Pembahasan:
5→v = 5(3,4) = (15,20)
|5→v| = √(225+400) = √625 = 25 m/s
Sedang — No. 5
Tentukan vektor satuan dari →b = (1, 2, 2)!
✅ Pembahasan:
|→b| = √(1+4+4) = √9 = 3
b̂ = (1/3, 2/3, 2/3) = (1/3, 2/3, 2/3)
Sulit — No. 1
Diketahui →a = (2, 1, −2). Tentukan vektor yang searah dengan →a tetapi panjangnya = 6!
✅ Pembahasan:
|→a| = √(4+1+4) = 3
â = (2/3, 1/3, −2/3)
Vektor yang diminta = 6â = 6(2/3, 1/3, −2/3) = (4, 2, −4)
Sulit — No. 2
Jika 2→a − 3→b = (4, −7) dan →a + →b = (5, 1), tentukan →a dan →b!
✅ Pembahasan:
Dari →a + →b = (5,1) → →a = (5,1) − →b
Substitusi: 2((5,1)−→b) − 3→b = (4,−7)
(10,2) − 5→b = (4,−7) → 5→b = (6,9) → →b = (6/5, 9/5)
→a = (5−6/5, 1−9/5) = (19/5, −4/5)
Sulit — No. 3
Vektor →a = (6, 8). Tentukan semua vektor →b yang memenuhi: →b sejajar dengan →a dan |→b| = 15!
✅ Pembahasan:
|→a| = 10; â = (0,6; 0,8)
→b = ±15 × â = ±15 × (0,6; 0,8)
→b = (9, 12) atau (−9, −12)
Sulit — No. 4
Titik P membagi ruas garis AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika →OA = (1, 2) dan →OB = (6, 7), tentukan →OP!
✅ Pembahasan:
→OP = →OA + (2/5)→AB
→AB = (5, 5)
→OP = (1,2) + (2/5)(5,5) = (1,2) + (2,2) = (3, 4)
Sulit — No. 5
Jika →a = (3, 4) dan →b = (−4, 3), tunjukkan bahwa →a ⊥ →b, lalu tentukan vektor c = 2→a − 3→b dan panjangnya!
✅ Pembahasan:
→a · →b = 3×(−4) + 4×3 = −12+12 = 0 → tegak lurus ✓
2→a = (6,8); 3→b = (−12,9)
→c = (6−(−12), 8−9) = (18, −1)
|→c| = √(324+1) = √325 = 5√13
📋 Latihan Soal — Perkalian Vektor dengan Skalar (Tanpa Pembahasan)
- 1.Mudah Hitung 4 × (3, 2).
- 2.Mudah Hitung −3 × (2, −5).
- 3.Mudah Hitung ¼ × (8, 12, 4).
- 4.Mudah Jika k = 5 dan →a = (1, 3), hitung k→a.
- 5.Mudah Hitung −1 × (−6, 7, −2).
- 6.Mudah Jika 2→a = (10, 6), tentukan →a.
- 7.Mudah Hitung 0 × (100, −50, 30).
- 8.Mudah Jika k→a = (−8, 4) dan →a = (4, −2), tentukan k.
- 9.Mudah Hitung 2 × (5, 0, −3).
- 10.Mudah →v = (3, 3). Hitung 10→v.
- 11.Sedang Tentukan vektor satuan dari →a = (5, 12).
- 12.Sedang Diketahui →a = (1, 3) dan →b = (2, −1). Hitung 3→a − 2→b.
- 13.Sedang Sebuah benda bergerak dengan kecepatan →v = (4, 3) m/s. Jika waktu diperlambat sehingga kecepatan menjadi ½→v, berapa besar kecepatan baru?
- 14.Sedang Jika 3→a + →b = (7, 5) dan →b = (1, 2), tentukan →a!
- 15.Sedang Tentukan vektor satuan dari →c = (2, 2, 1) dan hitung 4ĉ.
- 16.Sulit Tentukan vektor yang searah →a=(1,2,2) dengan panjang 9!
- 17.Sulit Jika 3→a − 2→b = (1, 7) dan →a + →b = (3, 2), tentukan →a dan →b!
- 18.Sulit Titik C membagi AB dengan AC:CB = 1:4. Jika A(2,3) dan B(12,8), tentukan koordinat C!
- 19.Sulit Dua vektor →a=(4,3) dan →b=(−3,4). Buktikan →a⊥→b, lalu tentukan |3→a − 4→b|!
- 20.Sulit Jika →a=(m+1, 2) dan vektor satuan â = (3/5, 4/5), tentukan m dan panjang →a!
4. Sifat-Sifat Operasi Vektor
Hukum-hukum yang berlaku dalam operasi vektor
Mengamati
Amati tabel berikut dengan →a = (2,3), →b = (1,4), →c = (3,−1), dan k=2, m=3:
| Sifat | Contoh Numerik | Hasil |
|---|---|---|
| Komutatif: →a+→b = →b+→a | (2,3)+(1,4) vs (1,4)+(2,3) | (3,7) = (3,7) ✓ |
| Asosiatif: (→a+→b)+→c = →a+(→b+→c) | ((2,3)+(1,4))+(3,−1) vs (2,3)+((1,4)+(3,−1)) | (6,6) = (6,6) ✓ |
| k(→a+→b) = k→a+k→b | 2((2,3)+(1,4)) vs 2(2,3)+2(1,4) | (6,14) = (6,14) ✓ |
| (k+m)→a = k→a+m→a | (2+3)(2,3) vs 2(2,3)+3(2,3) | (10,15) = (10,15) ✓ |
| (km)→a = k(m→a) | (2×3)(2,3) vs 2(3(2,3)) | (12,18) = (12,18) ✓ |
📖 Daftar Sifat-Sifat Operasi Vektor
Untuk sembarang vektor →a, →b, →c dan skalar k, m berlaku:
1. Komutatif Penjumlahan:
→a + →b = →b + →a
→a + →b = →b + →a
2. Asosiatif Penjumlahan:
(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)
(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)
3. Elemen Identitas (Vektor Nol):
→a + →o = →o + →a = →a
→a + →o = →o + →a = →a
4. Invers Penjumlahan (Vektor Lawan):
→a + (−→a) = →o
→a + (−→a) = →o
5. Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Vektor:
k(→a + →b) = k→a + k→b
k(→a + →b) = k→a + k→b
6. Distributif Penjumlahan Skalar:
(k + m)→a = k→a + m→a
(k + m)→a = k→a + m→a
7. Asosiatif Perkalian Skalar:
(km)→a = k(m→a)
(km)→a = k(m→a)
8. Identitas Skalar:
1 · →a = →a
1 · →a = →a
⚠️ Perhatian: Penjumlahan vektor bersifat komutatif, tapi PENGURANGAN tidak! →a − →b ≠ →b − →a (kecuali keduanya = vektor nol)
Menanya
- Mengapa sifat komutatif berlaku untuk penjumlahan tapi tidak untuk pengurangan?
- Apakah sifat-sifat ini berlaku untuk vektor 3D juga?
- Apa manfaat mengetahui sifat-sifat ini dalam memecahkan soal?
Menalar
Sifat-sifat ini membuat vektor berperilaku mirip dengan bilangan biasa dalam hal penjumlahan. Ini sangat berguna: misalnya, kita bisa menguraikan k(→a + →b − →c) = k→a + k→b − k→c, sama seperti aljabar biasa. Pemahaman ini mempersingkat banyak perhitungan!
Mencoba
Buktikan sifat berikut dengan angka: →a=(1,2), →b=(3,4), k=2
- k(→a + →b) = k→a + k→b
- (k+1)→a = k→a + →a
Mengkomunikasikan
Tuliskan di papan: Sifat mana yang paling sering kamu gunakan saat menghitung operasi vektor? Mengapa? Diskusikan bersama kelompok!
📝 Contoh Soal — Sifat-Sifat Operasi Vektor
Mudah — No. 1
Buktikan sifat komutatif: →a + →b = →b + →a, untuk →a=(3,2) dan →b=(1,5)!
✅ Pembahasan:
→a + →b = (3+1, 2+5) = (4, 7)
→b + →a = (1+3, 5+2) = (4, 7)
(4,7) = (4,7) → Terbukti!
Mudah — No. 2
Buktikan sifat identitas: →a + →o = →a, untuk →a=(4,−3)!
✅ Pembahasan:
→a + →o = (4,−3) + (0,0) = (4+0, −3+0) = (4,−3) = →a ✓
Mudah — No. 3
Buktikan sifat invers: →a + (−→a) = →o, untuk →a=(5,7)!
✅ Pembahasan:
−→a = (−5,−7)
→a + (−→a) = (5+(−5), 7+(−7)) = (0,0) = →o ✓
Mudah — No. 4
Buktikan: 1 · →a = →a untuk →a=(6,−4,2)!
✅ Pembahasan:
1 · →a = 1·(6,−4,2) = (6,−4,2) = →a ✓
Mudah — No. 5
Hitung 3(→a+→b) menggunakan sifat distributif, jika →a=(1,2) dan →b=(3,4)!
✅ Pembahasan:
Cara 1: →a+→b=(4,6); 3(4,6) = (12,18)
Cara 2: 3→a+3→b = (3,6)+(9,12) = (12,18)
Kedua cara sama → Terbukti!
Mudah — No. 6
Sederhanakan: 2→a + 3→a menggunakan sifat distributif!
✅ Pembahasan:
2→a + 3→a = (2+3)→a = 5→a
Sifat ini mirip dengan operasi aljabar biasa: 2x + 3x = 5x
Mudah — No. 7
Buktikan asosiatif penjumlahan untuk →a=(1,0), →b=(0,2), →c=(3,1)!
✅ Pembahasan:
(→a+→b)+→c = (1,2)+(3,1) = (4,3)
→a+(→b+→c) = (1,0)+(3,3) = (4,3)
Hasil sama → Terbukti!
Mudah — No. 8
Sederhanakan: 4→a − 4→b menggunakan sifat distributif!
✅ Pembahasan:
4→a − 4→b = 4(→a − →b)
Mudah — No. 9
Buktikan (2·3)→a = 2(3→a) untuk →a=(1,4)!
✅ Pembahasan:
(2·3)→a = 6→a = (6,24)
2(3→a) = 2(3,12) = (6,24)
Sama → Terbukti!
Mudah — No. 10
Sederhanakan ekspresi berikut: 5→a + 2→b − 3→a + →b!
✅ Pembahasan:
= (5−3)→a + (2+1)→b = 2→a + 3→b
Gunakan sifat komutatif dan distributif untuk mengelompokkan suku sejenis.
Sedang — No. 1
Sederhanakan: 3(2→a − →b) + 2(→a + 4→b)!
✅ Pembahasan:
= 6→a − 3→b + 2→a + 8→b = (6+2)→a + (−3+8)→b = 8→a + 5→b
Sedang — No. 2
Jika →a=(2,3) dan →b=(1,−2), verifikasi sifat k(→a−→b)=k→a−k→b untuk k=4!
✅ Pembahasan:
→a−→b = (1,5); 4(1,5) = (4,20)
4→a−4→b = (8,12)−(4,−8) = (4,20) ✓
Sedang — No. 3
Tentukan →x jika 2→x + →a = →b, dengan →a=(3,1) dan →b=(7,5)!
✅ Pembahasan:
2→x = →b − →a = (4,4)
→x = ½(4,4) = (2,2)
Sedang — No. 4
Sederhanakan: (k+1)→a − k→a!
✅ Pembahasan:
= k→a + →a − k→a = →a
Sedang — No. 5
Jika →a=(1,2,3), →b=(3,2,1). Buktikan →a+→b=→b+→a secara aljabar (bukan dengan angka)!
✅ Pembahasan:
→a+→b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
→b+→a = (b₁+a₁, b₂+a₂, b₃+a₃)
Karena penjumlahan bilangan real bersifat komutatif: a₁+b₁=b₁+a₁, dst.
∴ →a+→b = →b+→a ✓
Sulit — No. 1
Sederhanakan: 2(3→a − →b) − 3(→a − 2→b) + (→b − →a) dan tentukan nilainya jika →a=(1,2) dan →b=(3,0)!
✅ Pembahasan:
= 6→a−2→b−3→a+6→b+→b−→a = (6−3−1)→a+(−2+6+1)→b = 2→a+5→b
= 2(1,2)+5(3,0) = (2,4)+(15,0) = (17,4)
Sulit — No. 2
Tentukan →x jika 3→x − 2→a = →b + →x, dengan →a=(2,−1) dan →b=(4,3)!
✅ Pembahasan:
3→x − →x = →b + 2→a
2→x = (4,3)+2(2,−1) = (4,3)+(4,−2) = (8,1)
→x = (4, ½)
Sulit — No. 3
Buktikan bahwa jika k→a = →o dan →a ≠ →o, maka k = 0!
✅ Pembahasan:
k→a = (ka₁, ka₂) = (0,0)
→ ka₁=0 dan ka₂=0
Karena →a≠→o, paling tidak satu dari a₁,a₂ ≠ 0
Jika a₁≠0: k=0/a₁=0 → k=0 ✓
Sulit — No. 4
Sederhanakan: [(2→a+→b)−(→a−→b)] − [2(→a+3→b)−5→b]!
✅ Pembahasan:
Kurung pertama: 2→a+→b−→a+→b = →a+2→b
Kurung kedua: 2→a+6→b−5→b = 2→a+→b
Hasil: (→a+2→b)−(2→a+→b) = −→a+→b
Sulit — No. 5
Diketahui →p dan →q adalah vektor tak nol dan tak sejajar. Jika (m−2)→p + (n+1)→q = →o, tentukan nilai m dan n!
✅ Pembahasan:
Karena →p dan →q tak sejajar (bebas linear), koefisien masing-masing harus nol:
m−2 = 0 → m = 2
n+1 = 0 → n = −1
📋 Latihan Soal — Sifat-Sifat Operasi Vektor (Tanpa Pembahasan)
- 1.Mudah Verifikasi sifat komutatif untuk →a=(5,3) dan →b=(2,8).
- 2.Mudah Buktikan sifat invers: (−2,7) + (2,−7) = →o.
- 3.Mudah Sederhanakan: 6→a − 6→a.
- 4.Mudah Hitung 3(→a+→b) dua cara berbeda jika →a=(2,0) dan →b=(0,3).
- 5.Mudah Sederhanakan: 4→a + 7→a menggunakan sifat distributif.
- 6.Mudah Buktikan sifat asosiatif untuk →a=(1,1), →b=(2,2), →c=(3,3).
- 7.Mudah Sederhanakan: 2→a − 5→b + 3→a + 2→b.
- 8.Mudah Buktikan (k·m)→a = k(m→a) untuk k=2, m=4, →a=(1,3).
- 9.Mudah Sederhanakan: (k−1)→a + →a.
- 10.Mudah Jika →a+(−→a) = →o dan →a=(p, q), tentukan −→a.
- 11.Sedang Sederhanakan: 2(→a+2→b) − 3(→a−→b) + →b.
- 12.Sedang Jika →a=(1,3) dan →b=(2,−1), verifikasi 3(→a−→b) = 3→a − 3→b.
- 13.Sedang Tentukan →x jika 3→x − →a = 2→b, →a=(1,4), →b=(3,1).
- 14.Sedang Sederhanakan: (2+k)→a − 2→a dan nyatakan dalam k.
- 15.Sedang Buktikan secara aljabar bahwa →a − →b ≠ →b − →a (kecuali jika hasilnya vektor nol).
- 16.Sulit Sederhanakan: 3(2→a−→b)+2(→b−3→a)−(→a+→b) dan hitung nilainya jika →a=(2,1), →b=(−1,3).
- 17.Sulit Tentukan →y jika 2→y + 3→a = 4→b − →y, →a=(1,0), →b=(2,3).
- 18.Sulit Buktikan: jika →a ≠ →o dan k→a = m→a, maka k = m.
- 19.Sulit Jika (p+q)→a + (p−q)→b = 3→a + →b, dengan →a dan →b bebas linear, tentukan p dan q!
- 20.Sulit Sederhanakan dan nyatakan dalam →a dan →b: 4[2(→a+→b) − (→a−→b)] − 3[→a+2(→a−→b)].
5. Kombinasi Operasi Vektor
Menggabungkan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar dalam satu soal
Mengamati
Perhatikan ekspresi: 3→a − 2→b + 5→c. Ini adalah kombinasi operasi vektor yang melibatkan perkalian skalar (3, −2, 5), penjumlahan, dan pengurangan sekaligus. Dalam fisika dan teknik, ini sering muncul saat menghitung resultan banyak gaya atau posisi titik pada ruang.
📖 Strategi Menyelesaikan Kombinasi Operasi Vektor
Langkah-langkah sistematis:
- Kerjakan perkalian skalar terlebih dahulu — sama seperti perkalian sebelum penjumlahan dalam BODMAS
- Jumlahkan atau kurangkan hasilnya komponen per komponen
- Sederhanakan jika ada suku sejenis
Contoh: Hitung 2→a − 3→b + →c jika →a=(1,2), →b=(3,−1), →c=(0,4)
Langkah 1: 2→a = (2,4); −3→b = (−9,3); →c = (0,4)
Langkah 2: (2,4) + (−9,3) + (0,4) = (2−9+0, 4+3+4) = (−7, 11)
Langkah 2: (2,4) + (−9,3) + (0,4) = (2−9+0, 4+3+4) = (−7, 11)
Gambar 5.1 — Urutan pengerjaan kombinasi operasi vektor
Menanya
- Bagaimana jika ada tanda kurung dalam ekspresi vektor, seperti 2(→a+→b) − 3(→a−→b)?
- Apakah kita bisa menyederhanakan kombinasi operasi vektor sebelum menghitung nilai komponen?
- Apa yang dimaksud dengan “menguraikan vektor” dalam aplikasi fisika?
Menalar
Terkadang lebih efisien untuk menyederhanakan ekspresi secara simbolik terlebih dahulu (seperti aljabar biasa), sebelum memasukkan nilai komponen. Misalnya: 2(→a+→b) − 3(→a−→b) = 2→a+2→b−3→a+3→b = −→a+5→b. Baru kemudian substitusikan nilai →a dan →b. Ini lebih efisien!
Mencoba
Hitung nilai ekspresi berikut untuk →a=(2,1), →b=(−1,3), →c=(0,2):
- 2→a + 3→b
- →a − 2→b + →c
- 3(→a+→b) − 2→c
Mengkomunikasikan
Presentasikan satu contoh aplikasi nyata kombinasi operasi vektor, misalnya: “Sebuah pesawat terbang menghadapi angin dari beberapa arah sekaligus. Bagaimana menghitung kecepatan sesungguhnya pesawat?”
📝 Contoh Soal — Kombinasi Operasi Vektor
Mudah — No. 1
Hitung 2→a + 3→b jika →a=(1,2) dan →b=(3,1)!
✅ Pembahasan:
2→a = (2,4); 3→b = (9,3)
2→a + 3→b = (2+9, 4+3) = (11, 7)
Mudah — No. 2
Hitung →a − 2→b jika →a=(5,4) dan →b=(1,3)!
✅ Pembahasan:
2→b = (2,6)
→a − 2→b = (5−2, 4−6) = (3, −2)
Mudah — No. 3
Hitung 4→a + →b − 2→c jika →a=(1,0), →b=(0,2), →c=(1,1)!
✅ Pembahasan:
4→a=(4,0); →b=(0,2); 2→c=(2,2)
= (4+0−2, 0+2−2) = (2, 0)
Mudah — No. 4
Hitung 3→p − →q jika →p=(2,4) dan →q=(3,2)!
✅ Pembahasan:
3→p = (6,12); →q = (3,2)
3→p − →q = (6−3, 12−2) = (3, 10)
Mudah — No. 5
Diketahui →a=(3,−1,2), →b=(1,4,−3). Hitung 2→a − →b!
✅ Pembahasan:
2→a=(6,−2,4)
2→a−→b = (6−1, −2−4, 4−(−3)) = (5, −6, 7)
Mudah — No. 6
Hitung ½→a + 2→b jika →a=(4,8) dan →b=(1,0)!
✅ Pembahasan:
½→a=(2,4); 2→b=(2,0)
= (2+2, 4+0) = (4, 4)
Mudah — No. 7
Hitung −→a + 3→b jika →a=(2,5) dan →b=(1,2)!
✅ Pembahasan:
−→a=(−2,−5); 3→b=(3,6)
= (−2+3, −5+6) = (1, 1)
Mudah — No. 8
Hitung 5→u + 2→v − 3→w jika →u=(1,0), →v=(0,1), →w=(1,1)!
✅ Pembahasan:
5→u=(5,0); 2→v=(0,2); 3→w=(3,3)
= (5+0−3, 0+2−3) = (2, −1)
Mudah — No. 9
Jika →a=(1,1,1) dan →b=(2,2,2), hitung 3→a + 2→b − →a!
✅ Pembahasan:
3→a+2→b−→a = 2→a+2→b = 2(1,1,1)+2(2,2,2)
= (2,2,2)+(4,4,4) = (6, 6, 6)
Mudah — No. 10
Hitung 4→p − 4→q jika →p=(3,5) dan →q=(1,2)!
✅ Pembahasan:
4→p−4→q = 4(→p−→q) = 4(2,3) = (8, 12)
Sedang — No. 1
Sederhanakan dan hitung: 2(→a+→b) − 3(→a−→b), untuk →a=(1,2), →b=(3,−1)!
✅ Pembahasan:
Sederhanakan: 2→a+2→b−3→a+3→b = −→a+5→b
−→a = (−1,−2); 5→b = (15,−5)
= (−1+15, −2+(−5)) = (14, −7)
Sedang — No. 2
Tentukan →x dari persamaan: 3→x − 2→a = →b + →a, dengan →a=(1,3) dan →b=(5,−1)!
✅ Pembahasan:
3→x = →b + →a + 2→a = →b + 3→a
3→x = (5,−1) + (3,9) = (8,8)
→x = (8/3, 8/3) ≈ (2,67; 2,67)
Sedang — No. 3
Tiga gaya bekerja pada benda: F₁ = 2→a, F₂ = −→b, F₃ = 3→c. Jika →a=(2,0), →b=(1,3), →c=(0,1), tentukan resultan gaya dan besarnya!
✅ Pembahasan:
F₁=(4,0); F₂=(−1,−3); F₃=(0,3)
F_total = (4−1+0, 0−3+3) = (3, 0)
|F_total| = 3 N
Sedang — No. 4
Titik M adalah titik tengah AB. Jika →OA=(2,4) dan →OB=(6,8), tentukan →OM menggunakan operasi vektor!
✅ Pembahasan:
→OM = ½(→OA + →OB) = ½((2,4)+(6,8)) = ½(8,12) = (4, 6)
Sedang — No. 5
Diketahui 2→a + 3→b = (13,5) dan →a − →b = (2,1). Tentukan →a dan →b!
✅ Pembahasan:
Dari persamaan 2: →a = →b + (2,1)
Substitusi: 2(→b+(2,1))+3→b = (13,5)
5→b = (9,3) → →b = (9/5, 3/5)
→a = (9/5+2, 3/5+1) = (19/5, 8/5)
Sulit — No. 1
Diketahui →a=(1,2,−1), →b=(3,0,2), →c=(−1,4,1). Hitung 2→a − →b + 3→c dan tentukan panjang hasilnya!
✅ Pembahasan:
2→a=(2,4,−2); →b=(3,0,2); 3→c=(−3,12,3)
= (2−3+(−3), 4−0+12, −2−2+3) = (−4, 16, −1)
Panjang = √(16+256+1) = √273 = 3√(273/9) ≈ 16,52
Sulit — No. 2
Titik P membagi AB dengan AP:PB = m:n. Buktikan bahwa →OP = (n·→OA + m·→OB)/(m+n) dan gunakan rumus ini untuk m=2, n=3, A(1,2), B(6,7)!
✅ Pembahasan:
→OP = →OA + (m/(m+n))→AB
→AB = →OB−→OA; →OP = →OA + m(→OB−→OA)/(m+n)
= (n→OA+m→OB)/(m+n) ✓
= (3(1,2)+2(6,7))/5 = ((3,6)+(12,14))/5 = (15,20)/5 = (3,4)
Sulit — No. 3
Sederhanakan: 3[2(→a+→b)−(→a+2→b)] − 2[3(→a−→b)+2(→b−2→a)] dan hitung nilai jika →a=(2,1), →b=(−1,3)!
✅ Pembahasan:
Kurung [ ]: 3[2→a+2→b−→a−2→b] = 3[→a] = 3→a
Kurung [ ]₂: −2[3→a−3→b+2→b−4→a] = −2[−→a−→b] = 2→a+2→b
Total: 3→a+2→a+2→b = 5→a+2→b
= 5(2,1)+2(−1,3) = (10,5)+(−2,6) = (8, 11)
Sulit — No. 4
Empat gaya bekerja pada suatu titik: F₁=3→a, F₂=2→b, F₃=→c, F₄=−(→a+→b+→c). Buktikan bahwa benda dalam keseimbangan (resultan = →o)!
✅ Pembahasan:
F_total = 3→a+2→b+→c+(−→a−→b−→c)
= (3−1)→a+(2−1)→b+(1−1)→c
= 2→a+→b+0·→c
Hmm, bukan nol kecuali ada ketentuan tambahan. Koreksi soal: F₁=→a, F₂=→b, F₃=→c, F₄=−(→a+→b+→c) → F_total = →a+→b+→c−→a−→b−→c = →o ✓
Sulit — No. 5
Diberikan segitiga OAB dengan →OA=→a dan →OB=→b. Titik P pada OA sehingga OP:PA=1:2, dan titik Q pada OB sehingga OQ:QB=1:1 (titik tengah). Tentukan →PQ dan tunjukkan bahwa →PQ sejajar dengan →AB dan panjang PQ = (2/3)|→AB|!
✅ Pembahasan:
→OP = ⅓→a; →OQ = ½→b
→PQ = →OQ−→OP = ½→b−⅓→a
→AB = →b−→a
→PQ = ½→b−⅓→a ≠ k(→b−→a) untuk semua k → Tidak sejajar (kecuali kondisi khusus)
Catatan: Untuk sejajar, diperlukan OP:PA = OQ:QB (teorema perbandingan sejajar).
📋 Latihan Soal — Kombinasi Operasi Vektor (Tanpa Pembahasan)
- 1.Mudah Hitung 3→a + 2→b jika →a=(2,1) dan →b=(1,3).
- 2.Mudah Hitung 4→p − →q jika →p=(1,2) dan →q=(2,4).
- 3.Mudah Hitung 2→a − 3→b + →c jika →a=(2,0), →b=(0,1), →c=(1,2).
- 4.Mudah Hitung →a + 2→b − 2→c jika →a=(3,3), →b=(1,−1), →c=(1,1).
- 5.Mudah Jika →u=(1,1,1), →v=(0,1,2), hitung 3→u − 2→v.
- 6.Mudah Hitung ½→a + 3→b jika →a=(4,6) dan →b=(2,0).
- 7.Mudah Hitung 5→a + 0·→b jika →a=(3,−2) dan →b=(100, 200).
- 8.Mudah Jika →a=(2,2,2), →b=(1,1,1), hitung 3→a − 6→b.
- 9.Mudah Hitung 2→p + 3→q − 4→r jika →p=(1,0), →q=(0,1), →r=(0,0).
- 10.Mudah Jika →a=(−1,2), →b=(3,1), hitung −2→a + 4→b.
- 11.Sedang Sederhanakan dan hitung: 3(→a+2→b) − 2(→a−→b), untuk →a=(2,1), →b=(−1,2).
- 12.Sedang Titik P adalah titik tengah AB. Jika A(3,5) dan B(7,9), tentukan koordinat P menggunakan operasi vektor.
- 13.Sedang Tentukan →x jika 2→x + 3→a = →b − →x, dengan →a=(1,0) dan →b=(4,3).
- 14.Sedang Tiga gaya: F₁=(3,4)N, F₂=(−1,2)N, F₃=(−2,k)N. Jika resultan = (0,10)N, tentukan k!
- 15.Sedang Diketahui →a+2→b=(7,5) dan 2→a−→b=(4,5). Tentukan →a dan →b!
- 16.Sulit Hitung 3→a−2→b+→c dan panjangnya, untuk →a=(1,−1,2), →b=(2,0,−1), →c=(−3,4,0).
- 17.Sulit Titik P membagi AB dengan AP:PB=3:2. Jika A(−1,4) dan B(9,−1), tentukan koordinat P!
- 18.Sulit Sederhanakan: 2[3(→a−→b)+→b] − [4→a − 2(→a+3→b)] dan hitung nilainya untuk →a=(2,3), →b=(1,−1).
- 19.Sulit Dalam segitiga OAB, G adalah titik berat. Jika →OA=→a dan →OB=→b, buktikan →OG = ⅓(→a+→b)!
- 20.Sulit Empat titik A(1,2), B(4,6), C(7,4), D(4,0). Buktikan bahwa ABCD adalah jajaran genjang dengan menunjukkan →AB = →DC!
Operasi Vektor — Matematika SMK
MGMP Matematika SMK Blora | Materi Kelas XI | Semester Genap