Teknik Penyelesaian dengan Menyamakan Basis pada Persamaan Eksponen
Pelajari cara menyelesaikan persamaan eksponen dengan menyamakan basis secara sistematis
📚 Materi
A. Pengertian Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang variabelnya (peubahnya) terdapat pada pangkat (eksponen). Bentuk umum persamaan eksponen adalah:
Jika \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) dengan \(a > 0\) dan \(a \neq 1\), maka \(f(x) = g(x)\)
Prinsip utama teknik menyamakan basis: jika kedua ruas memiliki basis yang sama, maka pangkatnya bisa disamakan.
🔍 Mengamati
Perhatikan contoh berikut:
\(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\)
Amati bahwa bilangan-bilangan seperti 4, 8, 16, 32, 64 semuanya dapat ditulis sebagai pangkat dari 2. Begitu pula 9, 27, 81 dapat ditulis sebagai pangkat dari 3.
B. Langkah-Langkah Penyelesaian
- Identifikasi basis dari masing-masing ruas persamaan.
- Ubah semua bilangan menjadi bentuk pangkat dengan basis yang sama.
- Samakan basis kedua ruas persamaan.
- Samakan pangkat (eksponen) dari kedua ruas.
- Selesaikan persamaan pangkat yang diperoleh.
❓ Menanya
Pertanyaan kritis yang perlu dipikirkan:
- Bagaimana jika basis di kedua ruas berbeda?
- Bagaimana cara menentukan basis yang tepat?
- Apakah semua persamaan eksponen bisa diselesaikan dengan menyamakan basis?
C. Tabel Pangkat yang Sering Digunakan
| Basis 2 | Basis 3 | Basis 5 |
|---|---|---|
| \(2^1 = 2\) | \(3^1 = 3\) | \(5^1 = 5\) |
| \(2^2 = 4\) | \(3^2 = 9\) | \(5^2 = 25\) |
| \(2^3 = 8\) | \(3^3 = 27\) | \(5^3 = 125\) |
| \(2^4 = 16\) | \(3^4 = 81\) | \(5^4 = 625\) |
| \(2^5 = 32\) | \(3^5 = 243\) | \(5^5 = 3125\) |
| \(2^6 = 64\) | \(3^6 = 729\) | \(5^6 = 15625\) |
💡 Menalar
Dari tabel di atas, kita bisa menyimpulkan:
- Bilangan 4, 8, 16, 32, 64 memiliki faktor prima 2 saja → basis 2
- Bilangan 9, 27, 81, 243 memiliki faktor prima 3 saja → basis 3
- Untuk menentukan basis yang tepat, lakukan faktorisasi prima
D. Sifat-Sifat Eksponen yang Digunakan
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
\(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\)
✏️ Mencoba
Cobalah ubah bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat:
- 128 = \(2^{?}\)
- 243 = \(3^{?}\)
- 625 = \(5^{?}\)
- \(\dfrac{1}{16}\) = \(2^{?}\)
Jawaban: \(2^7\), \(3^5\), \(5^4\), \(2^{-4}\)
E. Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen (Menyamakan Basis)
Bentuk 1: \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\)
Jika basisnya sudah sama, langsung samakan pangkatnya: \(f(x) = g(x)\)
Bentuk 2: \(a^{f(x)} = b\), di mana \(b = a^k\)
Ubah \(b\) menjadi \(a^k\), sehingga: \(a^{f(x)} = a^k \Rightarrow f(x) = k\)
Bentuk 3: \(a^{f(x)} = b^{g(x)}\), basis berbeda tapi bisa disamakan
Cari basis prima yang sama. Contoh: \(4^x = 8^y\) → \((2^2)^x = (2^3)^y\) → \(2^{2x} = 2^{3y}\)
📢 Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi di atas, cobalah jelaskan kepada teman Anda:
- Mengapa basis harus sama agar pangkat bisa disamakan?
- Kapan teknik menyamakan basis tidak bisa digunakan?
- Apa hubungan antara faktorisasi prima dan penentuan basis?
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH
1. Tentukan nilai \(x\) dari \(2^x = 16\)
Pembahasan:
\(2^x = 16\)
Ubah 16 menjadi pangkat basis 2: \(16 = 2^4\)
\(2^x = 2^4\)
Karena basis sama, samakan pangkat:
\(x = 4\)
Jadi, \(x = 4\)
2. Tentukan nilai \(x\) dari \(3^x = 27\)
Pembahasan:
\(3^x = 27\)
Ubah 27: \(27 = 3^3\)
\(3^x = 3^3\)
\(x = 3\)
Jadi, \(x = 3\)
3. Tentukan nilai \(x\) dari \(5^{2x} = 25\)
Pembahasan:
\(5^{2x} = 25\)
Ubah 25: \(25 = 5^2\)
\(5^{2x} = 5^2\)
\(2x = 2\)
\(x = 1\)
Jadi, \(x = 1\)
4. Tentukan nilai \(x\) dari \(7^{x+1} = 49\)
Pembahasan:
\(7^{x+1} = 49\)
Ubah 49: \(49 = 7^2\)
\(7^{x+1} = 7^2\)
\(x + 1 = 2\)
\(x = 1\)
Jadi, \(x = 1\)
5. Tentukan nilai \(x\) dari \(4^x = 64\)
Pembahasan:
\(4^x = 64\)
Ubah 64: \(64 = 4^3\)
\(4^x = 4^3\)
\(x = 3\)
Jadi, \(x = 3\)
SEDANG
1. Tentukan nilai \(x\) dari \(4^{x-1} = 8^x\)
Pembahasan:
Ubah ke basis 2: \(4 = 2^2\) dan \(8 = 2^3\)
\((2^2)^{x-1} = (2^3)^x\)
\(2^{2(x-1)} = 2^{3x}\)
\(2^{2x-2} = 2^{3x}\)
Samakan pangkat: \(2x – 2 = 3x\)
\(-2 = x\)
Jadi, \(x = -2\)
2. Tentukan nilai \(x\) dari \(9^{x+1} = 27^x\)
Pembahasan:
Ubah ke basis 3: \(9 = 3^2\) dan \(27 = 3^3\)
\((3^2)^{x+1} = (3^3)^x\)
\(3^{2(x+1)} = 3^{3x}\)
\(3^{2x+2} = 3^{3x}\)
\(2x + 2 = 3x\)
\(x = 2\)
Jadi, \(x = 2\)
3. Tentukan nilai \(x\) dari \(2^{3x-1} = \dfrac{1}{16}\)
Pembahasan:
\(\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2^4} = 2^{-4}\)
\(2^{3x-1} = 2^{-4}\)
\(3x – 1 = -4\)
\(3x = -3\)
\(x = -1\)
Jadi, \(x = -1\)
4. Tentukan nilai \(x\) dari \(25^{x-2} = 125^{x-3}\)
Pembahasan:
Ubah ke basis 5: \(25 = 5^2\) dan \(125 = 5^3\)
\((5^2)^{x-2} = (5^3)^{x-3}\)
\(5^{2(x-2)} = 5^{3(x-3)}\)
\(5^{2x-4} = 5^{3x-9}\)
\(2x – 4 = 3x – 9\)
\(5 = x\)
Jadi, \(x = 5\)
5. Tentukan nilai \(x\) dari \(8^{2x+1} = 4^{3x+2}\)
Pembahasan:
Ubah ke basis 2: \(8 = 2^3\) dan \(4 = 2^2\)
\((2^3)^{2x+1} = (2^2)^{3x+2}\)
\(2^{3(2x+1)} = 2^{2(3x+2)}\)
\(2^{6x+3} = 2^{6x+4}\)
\(6x + 3 = 6x + 4\)
\(3 = 4\) → Kontradiksi!
Jadi, tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi (himpunan penyelesaian kosong).
SULIT
1. Tentukan nilai \(x\) dari \(2^{x^2 – 3x} = 16^{x-1}\)
Pembahasan:
Ubah 16: \(16 = 2^4\)
\(2^{x^2 – 3x} = (2^4)^{x-1}\)
\(2^{x^2 – 3x} = 2^{4(x-1)}\)
\(2^{x^2 – 3x} = 2^{4x-4}\)
Samakan pangkat: \(x^2 – 3x = 4x – 4\)
\(x^2 – 7x + 4 = 0\)
Gunakan rumus kuadrat: \(x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 – 16}}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{33}}{2}\)
Jadi, \(x = \dfrac{7 + \sqrt{33}}{2}\) atau \(x = \dfrac{7 – \sqrt{33}}{2}\)
2. Tentukan nilai \(x\) dari \(9^x – 4 \cdot 3^x + 3 = 0\)
Pembahasan:
Perhatikan: \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2\)
Misalkan \(p = 3^x\), maka:
\(p^2 – 4p + 3 = 0\)
\((p – 1)(p – 3) = 0\)
\(p = 1\) atau \(p = 3\)
Untuk \(p = 1\): \(3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0\)
Untuk \(p = 3\): \(3^x = 3 = 3^1 \Rightarrow x = 1\)
Jadi, \(x = 0\) atau \(x = 1\)
3. Tentukan nilai \(x\) dari \(4^x + 2^{x+2} = 32\)
Pembahasan:
\(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) dan \(2^{x+2} = 4 \cdot 2^x\)
Misalkan \(p = 2^x\):
\(p^2 + 4p = 32\)
\(p^2 + 4p – 32 = 0\)
\((p + 8)(p – 4) = 0\)
\(p = -8\) (tidak memenuhi karena \(2^x > 0\)) atau \(p = 4\)
Untuk \(p = 4\): \(2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2\)
Jadi, \(x = 2\)
4. Tentukan nilai \(x\) dari \(3^{2x+1} – 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)
Pembahasan:
\(3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2\)
Misalkan \(p = 3^x\):
\(3p^2 – 10p + 3 = 0\)
\((3p – 1)(p – 3) = 0\)
\(p = \dfrac{1}{3}\) atau \(p = 3\)
Untuk \(p = \dfrac{1}{3}\): \(3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1\)
Untuk \(p = 3\): \(3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1\)
Jadi, \(x = -1\) atau \(x = 1\)
5. Tentukan nilai \(x\) dan \(y\) dari sistem persamaan: \(2^x \cdot 4^y = 32\) dan \(8^x \cdot 2^y = 128\)
Pembahasan:
Ubah ke basis 2:
Persamaan 1: \(2^x \cdot (2^2)^y = 2^5\) → \(2^{x+2y} = 2^5\) → \(x + 2y = 5\) … (i)
Persamaan 2: \((2^3)^x \cdot 2^y = 2^7\) → \(2^{3x+y} = 2^7\) → \(3x + y = 7\) … (ii)
Dari (i): \(x = 5 – 2y\)
Substitusi ke (ii): \(3(5-2y) + y = 7\)
\(15 – 6y + y = 7\)
\(-5y = -8\)
\(y = \dfrac{8}{5}\)
\(x = 5 – 2 \cdot \dfrac{8}{5} = 5 – \dfrac{16}{5} = \dfrac{9}{5}\)
Jadi, \(x = \dfrac{9}{5}\) dan \(y = \dfrac{8}{5}\)
🎯 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAH
- Tentukan nilai \(x\) dari \(3^x = 81\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(2^{x+1} = 32\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(5^{3x} = 125\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(10^x = 1000\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(6^{x-2} = 36\)
SEDANG
- Tentukan nilai \(x\) dari \(4^{2x-1} = 8^{x+1}\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(27^x = 9^{x+3}\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(2^{x+3} = \dfrac{1}{32}\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(16^{x-1} = 32^{x-2}\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-1} = 81\)
SULIT
- Tentukan nilai \(x\) dari \(4^x – 6 \cdot 2^x + 8 = 0\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(2^{x^2 – 5x + 6} = 1\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(9^x + 3^{x+1} – 18 = 0\)
- Tentukan nilai \(x\) dari \(2^{2x+1} + 3 \cdot 2^x – 2 = 0\)
- Tentukan nilai \(x\) dan \(y\) jika \(3^x \cdot 9^y = 243\) dan \(27^x \cdot 3^y = 729\)