Syarat Basis Eksponen pada Persamaan Eksponen
Materi Matematika
A. Pengertian dan Syarat Basis Eksponen
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan eksponen berikut:
\( 2^x = 2^5 \) → basis = 2
\( 3^{2x-1} = 3^4 \) → basis = 3
\( 5^{x+2} = 5^{3x} \) → basis = 5
Amati bahwa setiap persamaan eksponen memiliki basis (bilangan pokok) yang dipangkatkan. Basis ini memiliki syarat-syarat tertentu agar persamaan eksponen dapat diselesaikan.
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan yang muncul:
- Apa saja syarat basis pada persamaan eksponen?
- Mengapa basis tidak boleh bernilai 0 atau 1?
- Bagaimana jika basis bernilai negatif?
- Apa yang terjadi jika syarat basis tidak dipenuhi?
Kegiatan: Menalar
Dalam persamaan eksponen berbentuk \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \), terdapat syarat basis yang harus dipenuhi:
SYARAT BASIS EKSPONEN
Basis \( a \) harus memenuhi:
Artinya: basis harus bilangan positif dan tidak sama dengan 1
Penjelasan Detail Syarat Basis:
1. Basis harus positif ( \( a > 0 \) )
Alasan:
- Jika \( a = 0 \), maka \( 0^x = 0 \) untuk semua \( x > 0 \), sehingga tidak menghasilkan persamaan yang bermakna.
- Jika \( a < 0 \), misalnya \( a = -2 \), maka \( (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} \) tidak terdefinisi di bilangan real.
- Basis negatif menyebabkan fungsi eksponen tidak kontinu dan tidak terdefinisi untuk semua bilangan real.
Contoh: \( (-3)^x = (-3)^2 \) → Tidak valid karena basis negatif. Untuk \( x = \frac{1}{2} \), kita mendapat \( \sqrt{-3} \) yang tidak real.
2. Basis tidak boleh sama dengan 1 ( \( a \neq 1 \) )
Alasan:
- \( 1^x = 1 \) untuk semua nilai \( x \).
- Jika basis = 1, maka \( 1^{f(x)} = 1^{g(x)} \) selalu benar tanpa peduli nilai \( f(x) \) dan \( g(x) \).
- Kita tidak bisa menyimpulkan \( f(x) = g(x) \) karena persamaan selalu benar.
Contoh: \( 1^{x+3} = 1^{2x-1} \) → Selalu benar untuk semua \( x \), sehingga tidak menghasilkan solusi unik.
3. Basis tidak boleh sama dengan 0 ( \( a \neq 0 \) )
Alasan:
- \( 0^x \) hanya terdefinisi untuk \( x > 0 \) dan selalu bernilai 0.
- \( 0^0 \) merupakan bentuk tak tentu (indeterminate).
- \( 0^{-x} = \frac{1}{0^x} \) tidak terdefinisi.
Ringkasan Sifat Penting:
Jika \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) dengan \( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \), maka:
Sifat ini berlaku HANYA jika syarat basis terpenuhi.
Kegiatan: Mencoba
Tentukan apakah basis berikut memenuhi syarat persamaan eksponen:
| Basis | Positif? | ≠ 1? | Memenuhi Syarat? |
|---|---|---|---|
| \( a = 5 \) | ✓ Ya | ✓ Ya | ✓ Memenuhi |
| \( a = \frac{1}{2} \) | ✓ Ya | ✓ Ya | ✓ Memenuhi |
| \( a = 1 \) | ✓ Ya | ✗ Tidak | ✗ Tidak |
| \( a = 0 \) | ✗ Tidak | ✓ Ya | ✗ Tidak |
| \( a = -3 \) | ✗ Tidak | ✓ Ya | ✗ Tidak |
| \( a = \sqrt{2} \) | ✓ Ya | ✓ Ya | ✓ Memenuhi |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan yang dapat dikomunikasikan:
- Syarat basis pada persamaan eksponen \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) adalah \( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \).
- Jika syarat terpenuhi, maka kita dapat menyamakan pangkat: \( f(x) = g(x) \).
- Jika basis mengandung variabel, kita harus memeriksa apakah nilai variabel yang diperoleh tetap memenuhi syarat basis.
- Basis \( a = 0 \), \( a = 1 \), dan \( a < 0 \) tidak diperbolehkan.
B. Syarat Basis yang Mengandung Variabel
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan berikut di mana basis mengandung variabel:
\( (x-1)^3 = (x-1)^7 \)
\( (2x+1)^{x+2} = (2x+1)^{3x-4} \)
Pada kasus ini, basis mengandung variabel sehingga kita harus memperhatikan syarat basis setelah mendapatkan solusi.
Kegiatan: Menalar
Untuk persamaan \( [h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \), penyelesaiannya harus memperhatikan:
Langkah Penyelesaian:
- Samakan pangkat: \( f(x) = g(x) \), dengan syarat \( h(x) > 0 \) dan \( h(x) \neq 1 \)
- Periksa kemungkinan \( h(x) = 1 \): Jika \( h(x) = 1 \), maka persamaan selalu benar (berlaku untuk semua pangkat). Cari nilai \( x \) yang membuat \( h(x) = 1 \).
- Periksa kemungkinan pangkat sama (khusus): Jika \( f(x) = g(x) \) sudah diperoleh, pastikan \( h(x) \neq 0 \) dan \( h(x) > 0 \).
Kasus Khusus yang Perlu Diperhatikan:
| Kondisi Basis | Konsekuensi |
|---|---|
| \( h(x) > 0, h(x) \neq 1 \) | Samakan pangkat: \( f(x) = g(x) \) |
| \( h(x) = 1 \) | Persamaan selalu benar |
| \( h(x) = 0 \) | Tidak terdefinisi (bukan solusi) |
| \( h(x) < 0 \) | Tidak memenuhi syarat (bukan solusi) |
C. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai \( x \) dari persamaan \( 3^{x+1} = 3^4 \)
Penyelesaian:
Periksa syarat basis: \( a = 3 \)
- \( 3 > 0 \) ✓
- \( 3 \neq 1 \) ✓
Karena syarat basis terpenuhi, samakan pangkat:
\[ x + 1 = 4 \]
\[ x = 3 \]
Jadi, \( x = 3 \)
Contoh 2
Tentukan nilai \( x \) dari persamaan \( 5^{2x} = 5^6 \)
Penyelesaian:
Basis \( a = 5 \): \( 5 > 0 \) dan \( 5 \neq 1 \) → syarat terpenuhi.
Samakan pangkat:
\[ 2x = 6 \]
\[ x = 3 \]
Jadi, \( x = 3 \)
Contoh 3
Tentukan nilai \( x \) dari persamaan \( 2^{3x-1} = 2^5 \)
Penyelesaian:
Basis \( a = 2 \): \( 2 > 0 \) dan \( 2 \neq 1 \) → syarat terpenuhi.
\[ 3x – 1 = 5 \]
\[ 3x = 6 \]
\[ x = 2 \]
Jadi, \( x = 2 \)
Contoh 4
Tentukan nilai \( x \) dari persamaan \( 7^{x-2} = 7^{3} \)
Penyelesaian:
Basis \( a = 7 \): \( 7 > 0 \) dan \( 7 \neq 1 \) → syarat terpenuhi.
\[ x – 2 = 3 \]
\[ x = 5 \]
Jadi, \( x = 5 \)
Contoh 5
Tentukan nilai basis \( a \) yang memenuhi syarat basis pada persamaan \( a^{x+1} = a^{2x-3} \) jika diketahui \( a = x – 2 \) dan \( x = 5 \).
Penyelesaian:
Substitusi \( x = 5 \) ke \( a = x – 2 \):
\[ a = 5 – 2 = 3 \]
Periksa syarat basis:
- \( a = 3 > 0 \) ✓
- \( a = 3 \neq 1 \) ✓
Jadi, \( a = 3 \) memenuhi syarat basis.
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan nilai \( x \) dari persamaan \( (x+2)^5 = (x+2)^{2x-1} \)
Penyelesaian:
Basis mengandung variabel: \( h(x) = x + 2 \)
Kasus 1: Samakan pangkat (syarat \( h(x) > 0, h(x) \neq 1 \))
\[ 5 = 2x – 1 \]
\[ 2x = 6 \implies x = 3 \]
Cek: \( h(3) = 3 + 2 = 5 > 0 \) dan \( 5 \neq 1 \) ✓
Kasus 2: Basis = 1
\[ x + 2 = 1 \implies x = -1 \]
Cek: \( 1^5 = 1^{2(-1)-1} \implies 1 = 1 \) ✓
Himpunan penyelesaian: \( \{-1, 3\} \)
Contoh 7
Tentukan nilai \( x \) dari persamaan \( (2x-3)^{x+1} = (2x-3)^{4} \)
Penyelesaian:
Basis: \( h(x) = 2x – 3 \)
Kasus 1: Samakan pangkat
\[ x + 1 = 4 \implies x = 3 \]
Cek: \( h(3) = 2(3) – 3 = 3 > 0 \) dan \( 3 \neq 1 \) ✓
Kasus 2: Basis = 1
\[ 2x – 3 = 1 \implies x = 2 \]
Cek: \( 1^{3} = 1^{4} \implies 1 = 1 \) ✓
Himpunan penyelesaian: \( \{2, 3\} \)
Contoh 8
Tentukan semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 4)^3 = (x^2 – 4)^{x+1} \)
Penyelesaian:
Basis: \( h(x) = x^2 – 4 \)
Kasus 1: Samakan pangkat (syarat \( h(x) > 0, h(x) \neq 1 \))
\[ 3 = x + 1 \implies x = 2 \]
Cek: \( h(2) = 4 – 4 = 0 \). Karena \( h(2) = 0 \), maka \( x = 2 \) TIDAK memenuhi syarat basis.
Kasus 2: Basis = 1
\[ x^2 – 4 = 1 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \]
Cek \( x = \sqrt{5} \): \( 1^3 = 1^{\sqrt{5}+1} \implies 1 = 1 \) ✓
Cek \( x = -\sqrt{5} \): \( 1^3 = 1^{-\sqrt{5}+1} \implies 1 = 1 \) ✓
Himpunan penyelesaian: \( \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\} \)
Contoh 9
Tentukan nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( \left(\frac{1}{2}\right)^{3x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+4} \)
Penyelesaian:
Basis: \( a = \frac{1}{2} \)
Cek syarat: \( \frac{1}{2} > 0 \) ✓ dan \( \frac{1}{2} \neq 1 \) ✓
Samakan pangkat:
\[ 3x – 2 = x + 4 \]
\[ 2x = 6 \]
\[ x = 3 \]
Jadi, \( x = 3 \)
Contoh 10
Tentukan semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x-3)^{x^2-9} = 1 \)
Penyelesaian:
Persamaan \( (x-3)^{x^2-9} = 1 \) terpenuhi jika:
Kasus 1: Pangkat = 0 (syarat basis ≠ 0)
\[ x^2 – 9 = 0 \implies x = \pm 3 \]
Cek \( x = 3 \): basis \( = 3 – 3 = 0 \). \( 0^0 \) tak tentu → TIDAK memenuhi
Cek \( x = -3 \): basis \( = -3 – 3 = -6 < 0 \) → TIDAK memenuhi
Kasus 2: Basis = 1
\[ x – 3 = 1 \implies x = 4 \]
Cek: \( 1^{16-9} = 1^7 = 1 \) ✓
Kasus 3: Basis = -1 dan pangkat genap
\[ x – 3 = -1 \implies x = 2 \]
Pangkat: \( 2^2 – 9 = -5 \) (ganjil). \( (-1)^{-5} = -1 \neq 1 \) → TIDAK memenuhi
Namun, ingat syarat basis: \( -1 < 0 \), sehingga tidak memenuhi syarat basis eksponen.
Himpunan penyelesaian: \( \{4\} \)
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 5x + 6)^{x^2 – 3x + 2} = 1 \)
Penyelesaian:
Faktorkan: basis \( = (x-2)(x-3) \), pangkat \( = (x-1)(x-2) \)
Kasus 1: Pangkat = 0 (syarat basis ≠ 0)
\[ (x-1)(x-2) = 0 \implies x = 1 \text{ atau } x = 2 \]
Cek \( x = 1 \): basis \( = (1-2)(1-3) = (-1)(-2) = 2 > 0 \) dan \( 2 \neq 0 \) → \( 2^0 = 1 \) ✓
Cek \( x = 2 \): basis \( = (2-2)(2-3) = 0 \). \( 0^0 \) tak tentu → TIDAK memenuhi
Kasus 2: Basis = 1
\[ x^2 – 5x + 6 = 1 \implies x^2 – 5x + 5 = 0 \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25-20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Kedua nilai positif dan menghasilkan basis = 1 → ✓
Himpunan penyelesaian: \( \left\{1, \frac{5-\sqrt{5}}{2}, \frac{5+\sqrt{5}}{2}\right\} \)
Contoh 12
Tentukan semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 2x)^{x^2 – 4} = (x^2 – 2x)^{2x} \)
Penyelesaian:
Basis: \( h(x) = x^2 – 2x = x(x-2) \)
Kasus 1: Samakan pangkat (syarat \( h(x) > 0, h(x) \neq 1 \))
\[ x^2 – 4 = 2x \implies x^2 – 2x – 4 = 0 \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \]
Cek \( x = 1 + \sqrt{5} \approx 3.24 \): \( h(x) = (3.24)(1.24) \approx 4.02 > 0 \) dan \( \neq 1 \) ✓
Cek \( x = 1 – \sqrt{5} \approx -1.24 \): \( h(x) = (-1.24)(-3.24) \approx 4.02 > 0 \) dan \( \neq 1 \) ✓
Kasus 2: Basis = 1
\[ x^2 – 2x = 1 \implies x^2 – 2x – 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Kedua nilai memberikan basis = 1 ✓
Himpunan penyelesaian: \( \{1-\sqrt{5}, 1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}, 1+\sqrt{5}\} \)
Contoh 13
Jumlah semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 7x + 12)^{x^2 – 6x + 8} = 1 \) adalah…
Penyelesaian:
Basis: \( (x-3)(x-4) \), Pangkat: \( (x-2)(x-4) \)
Kasus 1: Pangkat = 0, basis ≠ 0
\[ (x-2)(x-4) = 0 \implies x = 2 \text{ atau } x = 4 \]
Cek \( x = 2 \): basis \( = (2-3)(2-4) = (-1)(-2) = 2 \neq 0 \) ✓ → \( x = 2 \) memenuhi
Cek \( x = 4 \): basis \( = (4-3)(4-4) = (1)(0) = 0 \) → TIDAK memenuhi
Kasus 2: Basis = 1
\[ x^2 – 7x + 12 = 1 \implies x^2 – 7x + 11 = 0 \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49-44}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Kedua nilai valid ✓
Semua solusi: \( x = 2, \frac{7-\sqrt{5}}{2}, \frac{7+\sqrt{5}}{2} \)
Jumlah: \( 2 + \frac{7-\sqrt{5}}{2} + \frac{7+\sqrt{5}}{2} = 2 + \frac{14}{2} = 2 + 7 = 9 \)
Jadi, jumlah semua nilai \( x \) = 9
Contoh 14
Tentukan himpunan penyelesaian dari \( (x^2 + x – 2)^{x^2 – 1} = (x^2 + x – 2)^{3x + 3} \)
Penyelesaian:
Basis: \( h(x) = x^2 + x – 2 = (x+2)(x-1) \)
Kasus 1: Samakan pangkat (syarat \( h(x) > 0, h(x) \neq 1 \))
\[ x^2 – 1 = 3x + 3 \implies x^2 – 3x – 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 \]
\( x = 4 \) atau \( x = -1 \)
Cek \( x = 4 \): \( h(4) = (6)(3) = 18 > 0 \) dan \( 18 \neq 1 \) ✓
Cek \( x = -1 \): \( h(-1) = (1)(-2) = -2 < 0 \) → TIDAK memenuhi
Kasus 2: Basis = 1
\[ x^2 + x – 2 = 1 \implies x^2 + x – 3 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \]
Cek \( x = \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \approx 1.30 \): basis = 1 ✓
Cek \( x = \frac{-1-\sqrt{13}}{2} \approx -2.30 \): basis = 1 ✓
Himpunan penyelesaian: \( \left\{\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, \frac{-1+\sqrt{13}}{2}, 4\right\} \)
Contoh 15
Banyaknya nilai \( x \) bilangan bulat yang memenuhi \( (x^2 – 4x + 3)^{x^2 – 5x + 6} = 1 \) adalah…
Penyelesaian:
Basis: \( (x-1)(x-3) \), Pangkat: \( (x-2)(x-3) \)
Kasus 1: Pangkat = 0, basis ≠ 0
\( x = 2 \) atau \( x = 3 \)
Cek \( x = 2 \): basis \( = (1)(-1) = -1 \neq 0 \), tapi basis < 0. Dalam konteks \( a^0 = 1 \) untuk \( a \neq 0 \) di bilangan real, \( (-1)^0 = 1 \). Namun syarat basis eksponen mengharuskan \( a > 0 \). → Perlu pertimbangan konteks.
Karena ini soal persamaan eksponen formal, \( x = 2 \) menghasilkan basis negatif → TIDAK memenuhi syarat basis standar.
Cek \( x = 3 \): basis \( = 0 \) → TIDAK memenuhi
Kasus 2: Basis = 1
\[ x^2 – 4x + 3 = 1 \implies x^2 – 4x + 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2} \]
Bukan bilangan bulat.
Kasus 3: Periksa ulang Kasus 1 dengan interpretasi luas
Jika soal mengizinkan \( a^0 = 1 \) untuk \( a \neq 0 \) (interpretasi aljabar), maka \( x = 2 \): \( (-1)^0 = 1 \) ✓
Dengan interpretasi standar persamaan eksponen (basis > 0): Tidak ada bilangan bulat yang memenuhi.
Dengan interpretasi aljabar (basis ≠ 0 cukup untuk pangkat 0): \( x = 2 \) → banyaknya = 1
Catatan: Pada soal ujian, biasanya interpretasi aljabar digunakan untuk kasus pangkat = 0, sehingga jawaban = 1.
D. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan langkah penyelesaian secara lengkap!
MUDAH Latihan Tingkat Mudah
- Tentukan nilai \( x \) dari \( 4^{x+3} = 4^7 \)
- Tentukan nilai \( x \) dari \( 6^{2x-1} = 6^5 \)
- Apakah persamaan \( 1^{x+2} = 1^{3x} \) dapat diselesaikan dengan menyamakan pangkat? Jelaskan!
- Tentukan nilai \( x \) dari \( \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{4} \)
- Dari bilangan-bilangan berikut, manakah yang memenuhi syarat sebagai basis eksponen: \( -2, 0, \frac{1}{3}, 1, 4, \sqrt{7} \)?
SEDANG Latihan Tingkat Sedang
- Tentukan semua nilai \( x \) dari \( (x+1)^{4} = (x+1)^{2x-2} \)
- Tentukan himpunan penyelesaian dari \( (3x-2)^{x+5} = (3x-2)^{3x+1} \)
- Tentukan nilai \( x \) dari \( (x-4)^{x^2 – 16} = 1 \)
- Tentukan semua nilai \( x \) dari \( \left(\frac{x+1}{2}\right)^{3x} = \left(\frac{x+1}{2}\right)^{x+4} \)
- Jika \( (2x+1)^{a} = (2x+1)^{b} \) dengan \( a \neq b \), tentukan semua kemungkinan nilai \( 2x+1 \) agar persamaan tetap benar.
SULIT Latihan Tingkat Sulit
- Tentukan jumlah semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 3x + 2)^{x^2 – 4x + 3} = 1 \)
- Tentukan himpunan penyelesaian dari \( (x^2 – x – 6)^{x^2 + 2x – 3} = (x^2 – x – 6)^{5x + 5} \)
- Banyaknya bilangan bulat \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 6x + 8)^{x^2 – 9} = 1 \) adalah…
- Tentukan hasil kali semua solusi dari \( (x^2 + 2x – 8)^{x^2 – x – 6} = 1 \)
- Tentukan semua nilai \( x \) yang memenuhi \( (x^2 – 2x – 3)^{x^2 – 4x + 3} = (x^2 – 2x – 3)^{2x – 2} \) dan verifikasi setiap solusi terhadap syarat basis.
Rangkuman
1. Pada persamaan eksponen \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \), syarat basis: \( a > 0 \) dan \( a \neq 1 \).
2. Jika syarat terpenuhi, maka \( f(x) = g(x) \).
3. Jika basis mengandung variabel \( [h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \), perhatikan:
- Samakan pangkat jika \( h(x) > 0 \) dan \( h(x) \neq 1 \)
- Periksa kasus \( h(x) = 1 \) (persamaan selalu benar)
- Periksa kasus pangkat = 0 dengan basis ≠ 0
4. Selalu verifikasi setiap solusi terhadap syarat basis sebelum menyimpulkan jawaban akhir.