Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Transpos Matriks
📘 Materi: Transpos Matriks
Perhatikan matriks berikut:
Matriks A berorde 2×3:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
Sekarang perhatikan matriks berikut yang berorde 3×2:
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Amati bahwa baris pertama matriks A (1, 2, 3) menjadi kolom pertama pada matriks kedua, dan baris kedua matriks A (4, 5, 6) menjadi kolom kedua. Proses mengubah baris menjadi kolom inilah yang disebut transpos matriks.
- Apa yang dimaksud dengan transpos suatu matriks?
- Bagaimana cara menentukan transpos dari suatu matriks?
- Bagaimana ordo matriks berubah setelah ditranspos?
- Apa sifat-sifat transpos matriks?
Definisi Transpos Matriks
Transpos dari matriks A (ditulis AT atau A’) adalah matriks yang diperoleh dengan mengubah setiap baris matriks A menjadi kolom, atau setiap kolom menjadi baris.
Jika A = [aij] berorde m × n, maka AT = [aji] berorde n × m.
Cara Menentukan Transpos
Langkah-langkah menentukan transpos matriks:
- Tuliskan baris ke-1 dari matriks asal menjadi kolom ke-1 pada matriks transpos.
- Tuliskan baris ke-2 dari matriks asal menjadi kolom ke-2 pada matriks transpos.
- Lanjutkan hingga semua baris telah diubah menjadi kolom.
- Ordo matriks berubah: jika matriks asal berorde m × n, maka transposnya berorde n × m.
Contoh Ilustrasi:
Jika A =
| a | b |
| c | d |
| e | f |
maka AT =
| a | c | e |
| b | d | f |
Ordo berubah dari 3×2 menjadi 2×3.
Sifat-Sifat Transpos Matriks
- (AT)T = A — Transpos dari transpos suatu matriks sama dengan matriks semula.
- (A + B)T = AT + BT — Transpos dari penjumlahan dua matriks sama dengan penjumlahan transpos masing-masing.
- (kA)T = k·AT — Transpos dari perkalian skalar sama dengan skalar dikali transpos matriks.
- (A·B)T = BT·AT — Transpos dari perkalian dua matriks sama dengan perkalian transpos dalam urutan terbalik.
Matriks Simetris dan Matriks Antisimetris
Matriks Simetris: Matriks persegi A disebut simetris jika AT = A.
Contoh:
| 1 | 3 |
| 3 | 5 |
Ditranspos tetap sama, karena a12 = a21 = 3.
Matriks Antisimetris (Skew-Symmetric): Matriks persegi A disebut antisimetris jika AT = −A.
Contoh:
| 0 | 2 |
| −2 | 0 |
Ditranspos menjadi negatifnya. Elemen diagonal utama selalu 0.
Cobalah tentukan transpos dari matriks-matriks berikut secara mandiri:
1. B =
| 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 |
2. C =
| 2 |
| 5 |
| 8 |
3. D =
| 1 | 0 | −3 |
| 4 | −2 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
Setelah memahami konsep transpos matriks, diskusikan dengan teman:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri apa itu transpos matriks.
- Berikan contoh matriks dan transposnya, lalu jelaskan prosesnya.
- Buktikan salah satu sifat transpos menggunakan matriks berordo 2×2.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Tentukan transpos dari matriks A berikut:
| 3 | 7 |
| 1 | 4 |
Lihat Pembahasan
Untuk menentukan AT, kita ubah baris menjadi kolom:
Baris 1 dari A: (3, 7) → menjadi kolom 1 pada AT
Baris 2 dari A: (1, 4) → menjadi kolom 2 pada AT
AT =
| 3 | 1 |
| 7 | 4 |
Soal 2:
Tentukan transpos dari matriks B =
| 5 | 2 | 8 |
| 1 | 6 | 3 |
Lihat Pembahasan
B berorde 2×3, maka BT berorde 3×2.
Baris 1: (5, 2, 8) → kolom 1
Baris 2: (1, 6, 3) → kolom 2
BT =
| 5 | 1 |
| 2 | 6 |
| 8 | 3 |
Soal 3:
Tentukan transpos dari matriks C =
| 4 |
| 9 |
| 2 |
Lihat Pembahasan
C berorde 3×1 (matriks kolom), maka CT berorde 1×3 (matriks baris).
CT =
| 4 | 9 | 2 |
Soal 4:
Diketahui D =
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Tentukan DT. Apakah D matriks simetris?
Lihat Pembahasan
DT =
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
DT = D, sehingga D adalah matriks simetris. (D juga merupakan matriks identitas.)
Soal 5:
Tentukan transpos dari matriks E = [6 −2 5] (matriks baris 1×3).
Lihat Pembahasan
E berorde 1×3 (matriks baris), maka ET berorde 3×1 (matriks kolom).
ET =
| 6 |
| −2 |
| 5 |
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Diketahui A =
| 2 | −1 | 3 |
| 4 | 0 | 5 |
| −2 | 7 | 1 |
Tentukan AT dan verifikasi bahwa (AT)T = A.
Lihat Pembahasan
Baris 1: (2, −1, 3) → kolom 1
Baris 2: (4, 0, 5) → kolom 2
Baris 3: (−2, 7, 1) → kolom 3
AT =
| 2 | 4 | −2 |
| −1 | 0 | 7 |
| 3 | 5 | 1 |
Transpos AT lagi: baris AT menjadi kolom → kembali ke A semula. Terbukti (AT)T = A. ✓
Soal 7:
Diketahui A =
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
dan B =
| 5 | −1 |
| 0 | 2 |
Buktikan bahwa (A + B)T = AT + BT.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung A + B
A + B =
| 6 | 2 |
| 2 | 6 |
Langkah 2: (A + B)T
| 6 | 2 |
| 2 | 6 |
Langkah 3: AT + BT
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 0 |
| −1 | 2 |
| 6 | 2 |
| 2 | 6 |
Kedua hasil sama. Terbukti (A + B)T = AT + BT. ✓
Soal 8:
Diketahui k = 3 dan A =
| 2 | −1 |
| 4 | 0 |
Buktikan bahwa (kA)T = k·AT.
Lihat Pembahasan
Ruas kiri: kA = 3A =
| 6 | −3 |
| 12 | 0 |
(kA)T =
| 6 | 12 |
| −3 | 0 |
Ruas kanan: AT =
| 2 | 4 |
| −1 | 0 |
k·AT = 3 ×
| 6 | 12 |
| −3 | 0 |
Kedua ruas sama. Terbukti. ✓
Soal 9:
Diketahui matriks P =
| x | 4 |
| −3 | y |
Jika P adalah matriks simetris, tentukan nilai x dan y.
Lihat Pembahasan
Matriks simetris berarti PT = P.
PT =
| x | −3 |
| 4 | y |
Agar PT = P, maka elemen yang bersesuaian harus sama:
Posisi (1,2): −3 = 4? → Ini kontradiksi.
Koreksi: Agar P simetris, syaratnya a12 = a21, yaitu 4 = −3, yang tidak mungkin.
Kesimpulan: Tidak ada nilai x dan y yang membuat P simetris dengan elemen off-diagonal 4 dan −3. Matriks P tidak bisa menjadi simetris.
(Catatan: Soal ini melatih pemahaman bahwa tidak semua matriks bisa simetris. Nilai x dan y bebas karena berada di diagonal, namun syarat utama a12 = a21 tidak terpenuhi.)
Soal 10:
Diketahui matriks Q =
| 0 | a |
| −5 | 0 |
Jika Q adalah matriks antisimetris, tentukan nilai a.
Lihat Pembahasan
Matriks antisimetris berarti QT = −Q.
QT =
| 0 | −5 |
| a | 0 |
−Q =
| 0 | −a |
| 5 | 0 |
Dari QT = −Q:
Posisi (1,2): −5 = −a → a = 5
Posisi (2,1): a = 5 ✓ (konsisten)
Jadi a = 5.
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Diketahui A =
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
dan B =
| 2 | 0 |
| 1 | 5 |
Buktikan bahwa (A·B)T = BT·AT.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung A·B
AB11 = 1(2)+2(1) = 4
AB12 = 1(0)+2(5) = 10
AB21 = 3(2)+4(1) = 10
AB22 = 3(0)+4(5) = 20
A·B =
| 4 | 10 |
| 10 | 20 |
Langkah 2: (A·B)T
| 4 | 10 |
| 10 | 20 |
Langkah 3: Hitung BT·AT
BT =
| 2 | 1 |
| 0 | 5 |
AT =
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
BT·AT:
(1,1): 2(1)+1(2) = 4
(1,2): 2(3)+1(4) = 10
(2,1): 0(1)+5(2) = 10
(2,2): 0(3)+5(4) = 20
BT·AT =
| 4 | 10 |
| 10 | 20 |
Kedua hasil sama. Terbukti (A·B)T = BT·AT. ✓
Soal 12:
Diketahui matriks M =
| a | 2 | −1 |
| b | 3 | c |
| 4 | d | 5 |
Jika M adalah matriks simetris, tentukan nilai a, b, c, dan d.
Lihat Pembahasan
Matriks simetris: MT = M, artinya mij = mji untuk semua i, j.
Dari posisi (1,2) dan (2,1): 2 = b → b = 2
Dari posisi (1,3) dan (3,1): −1 = 4 → Kontradiksi!
Tunggu — mari periksa ulang. Posisi (1,3) = −1, posisi (3,1) = 4. Agar simetris: −1 harus sama dengan 4, yang tidak mungkin.
Koreksi soal: Agar soal konsisten, seharusnya elemen (3,1) = −1 juga. Maka anggap M =
| a | 2 | −1 |
| b | 3 | c |
| −1 | d | 5 |
Maka:
m12 = m21: 2 = b → b = 2
m13 = m31: −1 = −1 ✓
m23 = m32: c = d
Elemen diagonal (a, 3, 5) bebas.
Jawaban: b = 2, a bebas, c = d (nilainya sama).
Soal 13:
Buktikan bahwa untuk sebarang matriks persegi A, matriks A + AT selalu simetris.
Lihat Pembahasan
Bukti:
Misalkan S = A + AT.
Kita perlu buktikan ST = S.
ST = (A + AT)T
= AT + (AT)T (sifat transpos penjumlahan)
= AT + A (sifat transpos ganda)
= A + AT (sifat komutatif penjumlahan matriks)
= S
Karena ST = S, maka A + AT selalu simetris. ∎
Soal 14:
Buktikan bahwa untuk sebarang matriks persegi A, matriks A − AT selalu antisimetris.
Lihat Pembahasan
Bukti:
Misalkan K = A − AT.
Kita perlu buktikan KT = −K.
KT = (A − AT)T
= AT − (AT)T
= AT − A
= −(A − AT)
= −K
Karena KT = −K, maka A − AT selalu antisimetris. ∎
Soal 15:
Diketahui A =
| 3 | 1 |
| −2 | 4 |
Nyatakan A sebagai jumlah matriks simetris dan matriks antisimetris.
Lihat Pembahasan
Setiap matriks persegi dapat ditulis sebagai: A = ½(A + AT) + ½(A − AT)
Langkah 1: Hitung AT
AT =
| 3 | −2 |
| 1 | 4 |
Langkah 2: Bagian simetris S = ½(A + AT)
A + AT =
| 6 | −1 |
| −1 | 8 |
S = ½(A + AT) =
| 3 | −½ |
| −½ | 4 |
Langkah 3: Bagian antisimetris K = ½(A − AT)
A − AT =
| 0 | 3 |
| −3 | 0 |
K = ½(A − AT) =
| 0 | 3/2 |
| −3/2 | 0 |
Verifikasi: S + K =
| 3 | −½ + 3/2 |
| −½ + (−3/2) | 4 |
| 3 | 1 |
| −2 | 4 |
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1.
Tentukan transpos dari matriks:
| 5 | −3 |
| 2 | 7 |
2.
Tentukan transpos dari matriks:
| 1 | 4 | 7 |
| 2 | 5 | 8 |
3.
Tentukan transpos dari matriks kolom:
| −1 |
| 3 |
| 6 |
| 0 |
4.
Tentukan transpos dari matriks:
| 9 | 0 | −2 |
5.
Diketahui A =
| 4 | 4 |
| 4 | 4 |
Tentukan AT. Apakah A simetris?
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6.
Diketahui A =
| 1 | −2 | 3 |
| 0 | 4 | −1 |
| 5 | 2 | 6 |
Tentukan AT dan verifikasi (AT)T = A.
7.
Diketahui P =
| 2 | 1 |
| 3 | −1 |
dan Q =
| 0 | 4 |
| −2 | 5 |
Buktikan (P + Q)T = PT + QT.
8.
Diketahui k = −2 dan R =
| 3 | −1 |
| 5 | 2 |
Buktikan (kR)T = k·RT.
9.
Diketahui matriks:
| 0 | x | −3 |
| −7 | 0 | y |
| 3 | 4 | 0 |
Jika matriks tersebut antisimetris, tentukan x dan y.
10.
Diketahui matriks:
| 5 | a |
| b | −2 |
Jika matriks tersebut simetris, tentukan hubungan a dan b.
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11.
Diketahui A =
| 2 | 1 |
| 0 | 3 |
dan B =
| 1 | −1 |
| 4 | 2 |
Buktikan bahwa (A·B)T = BT·AT.
12.
Diketahui A =
| 4 | −1 |
| 3 | 2 |
Nyatakan A sebagai jumlah matriks simetris dan matriks antisimetris.
13.
Buktikan bahwa jika A dan B adalah matriks simetris dengan ordo sama, maka A + B juga simetris.
14.
Diketahui A =
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −1 | 4 |
dan B =
| 2 | −1 |
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
Hitung (A·B)T dan BT·AT, lalu verifikasi kesamaannya.
15.
Buktikan bahwa untuk matriks persegi A, matriks A·AT selalu simetris.