Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Kesamaan Dua Matriks
📘 Materi: Kesamaan Dua Matriks
Perhatikan dua matriks berikut:
Matriks A = [1234]
Matriks B = [1234]
Amati bahwa matriks A dan matriks B memiliki ukuran (ordo) yang sama yaitu 2×2, dan setiap elemen yang bersesuaian (seletak) bernilai sama. Maka kita katakan matriks A sama dengan matriks B, ditulis A = B.
- Apa syarat agar dua matriks dikatakan sama?
- Apakah cukup hanya ordo-nya saja yang sama?
- Bagaimana jika ada satu saja elemen yang berbeda?
Definisi Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika dan hanya jika:
- Ordo (ukuran) matriks A sama dengan ordo matriks B, yaitu jumlah baris dan jumlah kolom keduanya sama.
- Setiap elemen yang seletak (bersesuaian) bernilai sama, yaitu aij = bij untuk semua i dan j.
Penjelasan Detail:
Misalkan matriks A berordo m × n dan matriks B berordo p × q, maka A = B jika dan hanya jika:
- m = p (jumlah baris sama)
- n = q (jumlah kolom sama)
- aij = bij untuk setiap i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n
Notasi:
Jika A = [a11a12a21a22] dan B = [b11b12b21b22]
Maka A = B ⟺ a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22
Konsekuensi Penting
- Jika ordo berbeda, maka pasti tidak sama, meskipun elemen-elemennya terlihat mirip.
- Jika ada satu saja elemen seletak yang berbeda, maka kedua matriks tidak sama.
- Kesamaan matriks sering digunakan untuk mencari nilai variabel (seperti x, y, z) yang memenuhi syarat kesamaan.
Tentukan apakah pasangan matriks berikut sama atau tidak:
a) P = [5317] dan Q = [5317] → P = Q ✓ (ordo sama, semua elemen seletak sama)
b) R = [2468] dan S = [246800] → R ≠ S ✗ (ordo berbeda: 2×2 ≠ 2×3)
c) M = [1234] dan N = [1235] → M ≠ N ✗ (elemen baris 2 kolom 2 berbeda: 4 ≠ 5)
Kesimpulan:
Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika memenuhi dua syarat sekaligus:
- Ordo matriks A = ordo matriks B
- Semua elemen yang seletak bernilai sama: aij = bij untuk setiap i, j
Konsep ini menjadi dasar untuk menyelesaikan persamaan matriks, di mana kita menyamakan elemen-elemen seletak untuk menemukan nilai variabel yang belum diketahui.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1. Diketahui [x37y] = [5379]. Tentukan nilai x dan y!
Pembahasan:
Karena kedua matriks sama, maka elemen-elemen seletak harus bernilai sama:
- Baris 1, Kolom 1: x = 5
- Baris 2, Kolom 2: y = 9
Jadi, x = 5 dan y = 9.
Contoh 2. Diketahui [2a643b] = [86412]. Tentukan nilai a dan b!
Pembahasan:
- Baris 1, Kolom 1: 2a = 8 → a = 4
- Baris 2, Kolom 2: 3b = 12 → b = 4
Jadi, a = 4 dan b = 4.
Contoh 3. Diketahui [p + 105q − 2] = [4056]. Tentukan nilai p dan q!
Pembahasan:
- Baris 1, Kolom 1: p + 1 = 4 → p = 3
- Baris 2, Kolom 2: q − 2 = 6 → q = 8
Jadi, p = 3 dan q = 8.
Contoh 4. Diketahui [x − 3y + 1] = [75]. Tentukan nilai x dan y!
Pembahasan:
- Elemen ke-1: x − 3 = 7 → x = 10
- Elemen ke-2: y + 1 = 5 → y = 4
Jadi, x = 10 dan y = 4.
Contoh 5. Diketahui [m25n] = [−32510]. Tentukan nilai m + n!
Pembahasan:
- Baris 1, Kolom 1: m = −3
- Baris 2, Kolom 2: n = 10
- m + n = −3 + 10 = 7
Jadi, m + n = 7.
Contoh 6. Diketahui [2x + y31x − y] = [7311]. Tentukan nilai x dan y!
Pembahasan:
Dari kesamaan elemen seletak:
- 2x + y = 7 … (1)
- x − y = 1 … (2)
Dari (2): x = 1 + y, substitusi ke (1):
2(1 + y) + y = 7 → 2 + 2y + y = 7 → 3y = 5 → y = 5/3
x = 1 + 5/3 = 8/3
Jadi, x = 8/3 dan y = 5/3.
Contoh 7. Diketahui [x²60y²] = [96016]. Tentukan semua nilai x dan y yang mungkin!
Pembahasan:
- x² = 9 → x = 3 atau x = −3
- y² = 16 → y = 4 atau y = −4
Jadi, x = ±3 dan y = ±4.
Contoh 8. Diketahui [a + b2a − b3] = [513]. Tentukan nilai a dan b!
Pembahasan:
- a + b = 5 … (1)
- 2a − b = 1 … (2)
Jumlahkan (1) dan (2): 3a = 6 → a = 2
Substitusi: b = 5 − 2 = 3
Jadi, a = 2 dan b = 3.
Contoh 9. Diketahui [3x − 1y + 42zx + y] = [87106]. Tentukan nilai x, y, dan z!
Pembahasan:
- 3x − 1 = 8 → 3x = 9 → x = 3
- y + 4 = 7 → y = 3
- 2z = 10 → z = 5
- Verifikasi: x + y = 3 + 3 = 6 ✓
Jadi, x = 3, y = 3, dan z = 5.
Contoh 10. Diketahui [x + 2y3xyx − y] = [863−1]. Tentukan nilai x dan y, lalu verifikasi!
Pembahasan:
- 3x = 6 → x = 2
- y = 3
- Verifikasi elemen (1,1): x + 2y = 2 + 6 = 8 ✓
- Verifikasi elemen (2,2): x − y = 2 − 3 = −1 ✓
Jadi, x = 2 dan y = 3.
Contoh 11. Diketahui [x² − 42y + 13z − 2xy] = [07136]. Tentukan semua nilai x, y, dan z!
Pembahasan:
- x² − 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 atau x = −2
- 2y + 1 = 7 → y = 3
- 3z − 2 = 13 → z = 5
- Verifikasi xy: Jika x = 2, maka xy = 2 × 3 = 6 ✓
- Jika x = −2, maka xy = −2 × 3 = −6 ≠ 6 ✗
Jadi, x = 2, y = 3, dan z = 5.
Contoh 12. Diketahui [x + yx − y2x3yx²y²] = [516694]. Tentukan nilai x dan y serta verifikasi seluruh elemen!
Pembahasan:
Dari elemen (1,1) dan (1,2):
- x + y = 5 … (1)
- x − y = 1 … (2)
Jumlahkan: 2x = 6 → x = 3, maka y = 2
Verifikasi seluruh elemen:
- 2x = 6 ✓
- 3y = 6 ✓
- x² = 9 ✓
- y² = 4 ✓
Jadi, x = 3 dan y = 2.
Contoh 13. Diketahui [2x + 3yx − 2y4x + y3x − y] = [12−1137]. Tentukan nilai x dan y, kemudian buktikan bahwa semua persamaan terpenuhi!
Pembahasan:
Kita ambil dua persamaan:
- 2x + 3y = 12 … (1)
- x − 2y = −1 … (2)
Dari (2): x = 2y − 1, substitusi ke (1):
2(2y − 1) + 3y = 12 → 4y − 2 + 3y = 12 → 7y = 14 → y = 2
x = 2(2) − 1 = 3
Verifikasi:
- 4x + y = 4(3) + 2 = 14 ≠ 13 ✗
Cek ulang dengan persamaan (1) dan (3): 2x + 3y = 12, 4x + y = 13
Dari (3): y = 13 − 4x, substitusi ke (1):
2x + 3(13 − 4x) = 12 → 2x + 39 − 12x = 12 → −10x = −27 → x = 27/10
y = 13 − 4(27/10) = 13 − 108/10 = 22/10 = 11/5
Verifikasi semua:
- 2(27/10) + 3(11/5) = 54/10 + 33/5 = 54/10 + 66/10 = 120/10 = 12 ✓
- x − 2y = 27/10 − 22/5 = 27/10 − 44/10 = −17/10 ≠ −1 ✗
Kesimpulan: Sistem persamaan ini tidak konsisten (overdetermined). Tidak ada nilai x dan y yang memenuhi kesamaan seluruh elemen sekaligus. Artinya kedua matriks tidak sama untuk nilai x, y real manapun.
Contoh 14. Diketahui [|x − 1|y²2z + 1x + y + z] = [3478]. Tentukan semua solusi (x, y, z)!
Pembahasan:
- |x − 1| = 3 → x − 1 = 3 atau x − 1 = −3 → x = 4 atau x = −2
- y² = 4 → y = 2 atau y = −2
- 2z + 1 = 7 → z = 3
- Verifikasi x + y + z = 8:
• x = 4, y = 2, z = 3: 4 + 2 + 3 = 9 ≠ 8 ✗
• x = 4, y = −2, z = 3: 4 + (−2) + 3 = 5 ≠ 8 ✗
• x = −2, y = 2, z = 3: −2 + 2 + 3 = 3 ≠ 8 ✗
• x = −2, y = −2, z = 3: −2 + (−2) + 3 = −1 ≠ 8 ✗
Kesimpulan: Tidak ada solusi (x, y, z) yang memenuhi kesamaan seluruh elemen. Kedua matriks tidak mungkin sama.
Contoh 15. Diketahui [x + y2x − zy + zxzxyyz] = [543662]. Tentukan nilai x, y, dan z!
Pembahasan:
Sistem persamaan linear:
- x + y = 5 … (1)
- 2x − z = 4 … (2)
- y + z = 3 … (3)
Dari (3): z = 3 − y. Substitusi ke (2): 2x − (3 − y) = 4 → 2x + y = 7 … (4)
Dari (1) dan (4): (4) − (1): x = 2, maka y = 3, z = 0
Verifikasi persamaan non-linear:
- xz = 2 × 0 = 0 ≠ 6 ✗
Coba pendekatan berbeda — gunakan xz = 6, xy = 6, yz = 2:
- xy = 6 dan xz = 6 → y = z (dari pembagian)
- yz = 2 dan y = z → y² = 2 → y = √2
- xy = 6 → x = 6/√2 = 3√2
- z = √2
Verifikasi linear: x + y = 3√2 + √2 = 4√2 ≈ 5.66 ≠ 5 ✗
Kesimpulan: Sistem ini overdetermined. Dengan 3 variabel dan 6 persamaan (3 linear + 3 non-linear), tidak ada solusi yang memenuhi semua syarat secara bersamaan. Kedua matriks tidak mungkin sama.
Catatan Penting: Soal tipe ini mengajarkan bahwa tidak semua persamaan matriks memiliki solusi. Siswa perlu memeriksa semua elemen seletak, bukan hanya sebagian.
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
1. Tentukan nilai x dan y jika [x47y] = [347−2]
2. Tentukan nilai a jika [5a10] = [1510]
3. Tentukan nilai p dan q jika [p − 420q + 3] = [62011]
4. Tentukan nilai m dan n jika [2m3n45] = [6−945]
5. Tentukan nilai k jika [k + 5812k] = [128114]
6. Tentukan nilai x dan y jika [3x − y52x + 2y] = [4529]
7. Tentukan semua nilai x jika [x² − 5x301] = [6301]
8. Tentukan nilai a, b, dan c jika [a + 12bc − 3] = [4−65]
9. Tentukan nilai x, y, z jika [2x − 1y + zx + z3y] = [5769]
10. Tentukan nilai x dan y, kemudian hitung x² + y² jika [x + 3y1042x − y] = [111043]
11. Tentukan semua solusi (x, y) jika [x² + y2x3yxy] = [7496]
12. Diketahui [|2x − 3|y³√zx + y − z] = [583−4]. Tentukan semua solusi (x, y, z)!
13. Tentukan nilai a, b, c jika [a + bb + ca + cabbcac] = [57861215]
14. Tentukan semua nilai x yang memenuhi [x³ − xx² − 12x + 1x⁴] = [0031]
15. Diketahui matriks A berordo 3×2. Jika [x + y2zx − yz²xyxz] = [7414128], tentukan nilai x, y, z dan buktikan semua elemen terpenuhi!