Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Persegi
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
📐 Pengertian Matriks Persegi
Perhatikan matriks-matriks berikut ini:
Matriks A (ordo 2×2):
Matriks B (ordo 3×3):
Matriks C (ordo 2×3):
Dari ketiga matriks di atas, matriks A dan B memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom, sedangkan matriks C tidak. Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama disebut matriks persegi.
📌 Definisi
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom, yaitu matriks berordo n × n. Matriks persegi berordo n × n sering disebut matriks persegi ordo n.
Pertanyaan untuk direnungkan:
- Apa ciri utama yang membedakan matriks persegi dari matriks lainnya?
- Apa saja elemen-elemen khusus yang terdapat pada matriks persegi?
- Mengapa matriks persegi memiliki peran penting dalam matematika?
📏 Diagonal Utama dan Diagonal Samping
Pada matriks persegi, terdapat dua diagonal penting:
1. Diagonal Utama
Diagonal utama adalah elemen-elemen yang terletak pada posisi aij dengan i = j (baris = kolom), yaitu dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah.
Pada matriks persegi ordo 3:
Elemen bergaris biru: a₁₁, a₂₂, a₃₃ adalah diagonal utama.
2. Diagonal Samping (Sekunder)
Diagonal samping adalah elemen-elemen yang terletak pada posisi aij dengan i + j = n + 1, yaitu dari pojok kanan atas ke pojok kiri bawah.
Elemen beroranye: a₁₃, a₂₂, a₃₁ adalah diagonal samping.
Contoh Konkret:
Diberikan matriks:
Diagonal utama: 2, 3, 6
Diagonal samping: 1, 3, 9
📊 Trace (Jejak) Matriks Persegi
📌 Definisi Trace
Trace (dilambangkan tr(A)) dari suatu matriks persegi A adalah jumlah semua elemen pada diagonal utamanya.
Jika A berordo n × n, maka: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + … + ann
Contoh:
Jika A =
Maka tr(A) = 4 + 7 + 2 = 13
📋 Jenis-Jenis Matriks Persegi Khusus
1. Matriks Diagonal
Matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol.
2. Matriks Identitas (I)
Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1.
I₂ =
I₃ =
3. Matriks Skalar
Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya bernilai sama (selain nol).
4. Matriks Segitiga Atas
Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
5. Matriks Segitiga Bawah
Matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
6. Matriks Simetris
Matriks persegi yang memenuhi AT = A, artinya aij = aji untuk semua i dan j.
Perhatikan: elemen baris ke-i kolom ke-j = elemen baris ke-j kolom ke-i.
7. Matriks Simetris Miring (Skew-Symmetric)
Matriks persegi yang memenuhi AT = −A, artinya aij = −aji dan semua elemen diagonal utama = 0.
⚡ Sifat-Sifat Matriks Persegi
- Matriks persegi ordo n memiliki n² elemen.
- Matriks persegi ordo n memiliki n elemen pada diagonal utamanya.
- Trace bersifat linear: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) dan tr(kA) = k · tr(A).
- Hanya matriks persegi yang memiliki determinan.
- Hanya matriks persegi yang dapat memiliki invers (jika determinannya ≠ 0).
- Matriks persegi dapat dipangkatkan: A² = A × A, A³ = A × A × A, dst.
- Perkalian matriks persegi ordo n dengan matriks persegi ordo n menghasilkan matriks persegi ordo n.
✏️ Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Tentukan apakah matriks berikut merupakan matriks persegi!
Pembahasan:
Matriks tersebut memiliki 3 baris dan 3 kolom (ordo 3×3). Karena jumlah baris = jumlah kolom, maka matriks tersebut merupakan matriks persegi ordo 3.
Soal 2:
Tentukan elemen diagonal utama dari matriks berikut!
Pembahasan:
Diagonal utama terdiri dari elemen a₁₁ dan a₂₂.
a₁₁ = 7, a₂₂ = 2
Jadi diagonal utamanya adalah 7 dan 2.
Soal 3:
Hitunglah trace dari matriks:
Pembahasan:
tr(A) = a₁₁ + a₂₂ = 4 + 9 = 13
Soal 4:
Manakah yang merupakan matriks identitas?
P =
Q =
Pembahasan:
Matriks identitas: diagonal utama = 1, elemen lainnya = 0.
P: diagonal = 1,1 dan elemen lain = 0 ✓
Q: elemen a₁₂ = 1 ≠ 0 ✗
Jadi yang merupakan matriks identitas adalah P.
Soal 5:
Tentukan elemen diagonal samping dari matriks:
Pembahasan:
Diagonal samping: elemen dengan i + j = n + 1 = 4.
a₁₃ = 6 (1+3=4) ✓
a₂₂ = 3 (2+2=4) ✓
a₃₁ = 9 (3+1=4) ✓
Diagonal samping: 6, 3, 9
🟡 Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Diketahui matriks A =
dan B =
Buktikan bahwa tr(A + B) = tr(A) + tr(B)!
Pembahasan:
tr(A) = 2 + 5 + 7 = 14
tr(B) = 1 + 4 + 6 = 11
tr(A) + tr(B) = 14 + 11 = 25
A + B =
tr(A + B) = 3 + 9 + 13 = 25 ✓ Terbukti.
Soal 2:
Tentukan nilai x dan y agar matriks berikut menjadi matriks simetris!
Pembahasan:
Syarat simetris: aij = aji
a₁₂ = a₂₁
x + 1 = 2y … (1)
Dan a₂₁ = a₁₂
2y = x + 1 … (sama dengan persamaan 1)
Karena hanya ada satu persamaan dengan dua variabel, kita butuh syarat tambahan. Namun cukup syarat: x + 1 = 2y, misal jika x = 3, maka y = 2.
Jadi hubungannya: x + 1 = 2y (atau x = 2y − 1).
Soal 3:
Diketahui A =
Hitunglah tr(3A)!
Pembahasan:
Cara 1: 3A =
tr(3A) = 6 + 12 = 18
Cara 2 (sifat): tr(kA) = k · tr(A) = 3 × (2+4) = 3 × 6 = 18 ✓
Soal 4:
Apakah matriks berikut merupakan matriks simetris miring? Jelaskan!
Pembahasan:
Syarat matriks simetris miring: AT = −A
Cek 1: Semua elemen diagonal = 0? ✓ (0, 0, 0)
Cek 2: aij = −aji?
a₁₂ = 3, a₂₁ = −3 → 3 = −(−3) ✓
a₁₃ = −5, a₃₁ = 5 → −5 = −(5) ✓
a₂₃ = 7, a₃₂ = −7 → 7 = −(−7) ✓
Jadi matriks tersebut merupakan matriks simetris miring.
Soal 5:
Diketahui matriks persegi A berordo 3 dengan elemen aij = 2i − j. Tentukan matriks A dan hitung tr(A)!
Pembahasan:
a₁₁ = 2(1)−1 = 1, a₁₂ = 2(1)−2 = 0, a₁₃ = 2(1)−3 = −1
a₂₁ = 2(2)−1 = 3, a₂₂ = 2(2)−2 = 2, a₂₃ = 2(2)−3 = 1
a₃₁ = 2(3)−1 = 5, a₃₂ = 2(3)−2 = 4, a₃₃ = 2(3)−3 = 3
tr(A) = 1 + 2 + 3 = 6
🔴 Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Diketahui A =
Hitunglah A² dan tentukan tr(A²)!
Pembahasan:
A² = A × A
Elemen (1,1): 1×1 + 2×0 = 1
Elemen (1,2): 1×2 + 2×3 = 8
Elemen (2,1): 0×1 + 3×0 = 0
Elemen (2,2): 0×2 + 3×3 = 9
tr(A²) = 1 + 9 = 10
Soal 2:
Tentukan nilai a, b, c agar matriks berikut merupakan matriks simetris!
Pembahasan:
Syarat simetris: aij = aji
a₁₂ = a₂₁ → a + b = 4 … (1)
a₁₃ = a₃₁ → 3c = 6 → c = 2 … (2)
a₂₃ = a₃₂ → a − b = c + 1 = 3 … (3)
Dari (1) dan (3):
a + b = 4
a − b = 3
Jumlahkan: 2a = 7 → a = 3,5
b = 4 − 3,5 = 0,5
Jadi: a = 3,5; b = 0,5; c = 2
Soal 3:
Buktikan bahwa untuk setiap matriks persegi A, matriks (A + AT) selalu simetris!
Pembahasan:
Misalkan B = A + AT
Akan dibuktikan BT = B
BT = (A + AT)T
= AT + (AT)T
= AT + A
= A + AT
= B
Karena BT = B, maka B = A + AT selalu simetris. (Terbukti)
Soal 4:
Diketahui A =
Nyatakan A sebagai jumlah matriks simetris dan matriks simetris miring!
Pembahasan:
Setiap matriks persegi dapat ditulis: A = ½(A + AT) + ½(A − AT)
AT =
Karena A = AT, maka A sudah simetris!
½(A + AT) = A =
½(A − AT) =
Jadi A = S + K dimana S = A (simetris) dan K = O (matriks nol, simetris miring).
Soal 5:
Diketahui A =
Tentukan rumus umum Aⁿ dan buktikan untuk n = 3!
Pembahasan:
Hitung beberapa pangkat:
A¹ =
A² = A × A:
(1,1): 1+0=1, (1,2): 1+1=2, (2,1): 0+0=0, (2,2): 0+1=1
A³ = A² × A:
(1,1): 1+0=1, (1,2): 2+1=3, (2,1): 0+0=0, (2,2): 0+1=1
Terlihat pola: Aⁿ =
Verifikasi n=3: elemen (1,2) = 3 ✓. Terbukti.
📝 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
🟢 Latihan Mudah
1.
Tentukan ordo matriks persegi yang memiliki 16 elemen!
2.
Tentukan diagonal utama dari matriks:
3.
Hitunglah trace dari matriks:
4.
Apakah matriks berikut merupakan matriks diagonal? Jelaskan!
5.
Tuliskan matriks identitas ordo 4×4!
🟡 Latihan Sedang
1.
Diketahui A dan B matriks persegi ordo 3 dengan tr(A) = 8 dan tr(B) = 5. Tentukan tr(2A − 3B)!
2.
Tentukan matriks persegi A ordo 2 dengan elemen aij = i² + j, lalu tentukan tr(A)!
3.
Tentukan nilai p dan q agar matriks berikut simetris!
4.
Diketahui A =
Hitunglah A² dan tr(A²)!
5.
Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks segitiga atas, dan tentukan trace-nya!
🔴 Latihan Sulit
1.
Diketahui A =
Tentukan A³ dan tr(A³)!
2.
Buktikan bahwa untuk setiap matriks persegi A, matriks (A − AT) selalu merupakan matriks simetris miring!
3.
Diketahui matriks A berordo 3×3 dengan elemen aij = |i − j|. Tentukan matriks A, klasifikasikan jenisnya, dan hitung tr(A)!
4.
Jika A =
dan tr(A) = 5, tr(A²) = 17, serta ad − bc = 6, tentukan nilai a, b, c, dan d (jika a > d)!
5.
Misalkan A =
Tentukan rumus umum Aⁿ untuk n bilangan bulat positif!