Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Translasi (Pergeseran)
Transformasi Geometri
A. Pengertian Translasi
Translasi (pergeseran) adalah suatu transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Dalam translasi, setiap titik dipindahkan sejauh dan searah yang sama, sehingga bentuk dan ukuran bangun tidak berubah.
Translasi ditentukan oleh sebuah vektor translasi (vektor pergeseran). Jika vektor translasi adalah:
Notasi Vektor Translasi:
dengan a = pergeseran dalam arah sumbu-x (horizontal)
dan b = pergeseran dalam arah sumbu-y (vertikal)
Maka setiap titik P(x, y) akan dipetakan ke titik P'(x’, y’) dengan aturan:
Rumus Translasi:
atau dapat ditulis: P'(x + a, y + b)
Sifat-sifat Translasi:
- Tidak mengubah bentuk dan ukuran bangun (isometri)
- Tidak mengubah orientasi bangun
- Jarak antara dua titik tetap sama sebelum dan sesudah translasi
- Garis sejajar tetap sejajar setelah ditranslasi
- Sudut-sudut tetap sama besar setelah translasi
Ilustrasi Translasi Titik A(2, 1) oleh T = (3, 2)
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi di atas. Amati hal-hal berikut:
- Titik A(2, 1) bergeser ke A'(5, 3)
- Pergeseran ke kanan sebesar 3 satuan (arah sumbu-x positif)
- Pergeseran ke atas sebesar 2 satuan (arah sumbu-y positif)
- Jarak dan arah pergeseran ditentukan oleh vektor T = (3, 2)
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan koordinat bayangan jika vektor translasi diketahui?
- Apa yang terjadi jika komponen vektor bernilai negatif?
- Apakah translasi mengubah bentuk atau ukuran bangun?
- Bagaimana translasi diterapkan pada garis atau kurva?
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan pengamatan, kita dapat menyimpulkan:
- Jika a > 0, titik bergeser ke kanan; jika a < 0, bergeser ke kiri
- Jika b > 0, titik bergeser ke atas; jika b < 0, bergeser ke bawah
- Translasi pada garis y = mx + c oleh T(a,b) menghasilkan garis y = m(x − a) + c + b, yaitu y = mx − ma + c + b
- Translasi pada kurva f(x, y) = 0 menghasilkan kurva f(x − a, y − b) = 0
B. Translasi pada Titik
Rumus:
Titik P(x, y) ditranslasi oleh T = ab menghasilkan P'(x + a, y + b)
Arah Pergeseran:
| Komponen | Nilai | Arah Pergeseran |
|---|---|---|
| a | Positif (+) | Ke kanan |
| a | Negatif (−) | Ke kiri |
| b | Positif (+) | Ke atas |
| b | Negatif (−) | Ke bawah |
Contoh Soal: Translasi pada Titik
● Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik A(3, 2) oleh translasi T = 45
Pembahasan
x’ = x + a = 3 + 4 = 7
y’ = y + b = 2 + 5 = 7
Jadi, bayangan titik A adalah A'(7, 7)
Contoh 2:
Tentukan bayangan titik B(−1, 4) oleh translasi T = 3−2
Pembahasan
x’ = −1 + 3 = 2
y’ = 4 + (−2) = 2
Jadi, bayangan titik B adalah B'(2, 2)
Contoh 3:
Tentukan bayangan titik C(0, −3) oleh translasi T = −51
Pembahasan
x’ = 0 + (−5) = −5
y’ = −3 + 1 = −2
Jadi, bayangan titik C adalah C'(−5, −2)
Contoh 4:
Tentukan bayangan titik D(5, −1) oleh translasi T = −2−3
Pembahasan
x’ = 5 + (−2) = 3
y’ = −1 + (−3) = −4
Jadi, bayangan titik D adalah D'(3, −4)
Contoh 5:
Titik E(2, 6) ditranslasi sehingga bayangannya E'(5, 3). Tentukan vektor translasinya.
Pembahasan
a = x’ − x = 5 − 2 = 3
b = y’ − y = 3 − 6 = −3
Jadi, vektor translasi T = 3−3
● Tingkat Sedang
Contoh 6:
Segitiga ABC dengan A(1, 2), B(4, 2), C(1, 5) ditranslasi oleh T = 3−1. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik tersebut.
Pembahasan
A'(1+3, 2−1) = A'(4, 1)
B'(4+3, 2−1) = B'(7, 1)
C'(1+3, 5−1) = C'(4, 4)
Jadi, bayangan segitiga adalah A'(4,1), B'(7,1), C'(4,4)
Contoh 7:
Titik P(a, b) ditranslasi oleh T = 2−4 menghasilkan P'(5, 1). Tentukan nilai a dan b.
Pembahasan
a + 2 = 5 → a = 3
b + (−4) = 1 → b = 5
Jadi, a = 3 dan b = 5, titik P(3, 5)
Contoh 8:
Titik Q(2, −3) ditranslasi oleh T₁ = 14 kemudian dilanjutkan translasi T₂ = −32. Tentukan bayangan akhirnya.
Pembahasan
Translasi berurutan sama dengan satu translasi T = T₁ + T₂
T = 1+(−3)4+2 = −26
Q’ = (2+(−2), −3+6) = (0, 3)
Jadi, bayangan akhir Q adalah Q'(0, 3)
Contoh 9:
Titik R ditranslasi oleh T = −23 menghasilkan R'(1, 7). Kemudian R’ ditranslasi lagi oleh T = 4−1. Tentukan bayangan akhir.
Pembahasan
R’ = (1, 7) sudah diketahui
R” = (1+4, 7+(−1)) = (5, 6)
Jadi, bayangan akhir adalah R”(5, 6)
Contoh 10:
Persegi ABCD dengan A(0,0), B(3,0), C(3,3), D(0,3) ditranslasi oleh T = −24. Tentukan keliling persegi sebelum dan sesudah translasi.
Pembahasan
Bayangan: A'(−2,4), B'(1,4), C'(1,7), D'(−2,7)
Sisi persegi asal = 3, keliling = 4 × 3 = 12
Sisi persegi bayangan: |1−(−2)| = 3, keliling = 4 × 3 = 12
Keliling tetap sama = 12 satuan (translasi bersifat isometri)
● Tingkat Sulit
Contoh 11:
Titik A(2p−1, p+3) ditranslasi oleh T = p−2p menghasilkan bayangan A'(6, 1). Tentukan nilai p.
Pembahasan
x’: (2p−1) + p = 6 → 3p − 1 = 6 → 3p = 7 → p = 7/3
Cek y’: (p+3) + (−2p) = 1 → −p + 3 = 1 → p = 2
Karena hasil berbeda, periksa ulang. Dari y’: p = 2
Cek x’ dengan p=2: (2(2)−1) + 2 = 3 + 2 = 5 ≠ 6
Dari x’: p = 7/3. Cek y’: (7/3+3)+(−14/3) = 16/3 − 14/3 = 2/3 ≠ 1
Tidak ada nilai p yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Soal tidak memiliki solusi (kontradiksi).
Catatan: Jika soal hanya meminta dari salah satu koordinat, maka p = 2 (dari persamaan y)
Contoh 12:
Titik A(1, 2) ditranslasi berturut-turut oleh T₁ = 2−1, T₂ = −34, dan T₃ = 1−2. Tentukan bayangan akhir dan vektor translasi tunggal yang ekuivalen.
Pembahasan
Vektor translasi total T = T₁ + T₂ + T₃
a = 2 + (−3) + 1 = 0
b = (−1) + 4 + (−2) = 1
T total = 01
A’ = (1+0, 2+1) = (1, 3)
Bayangan akhir A'(1, 3), vektor ekuivalen T = (0, 1)
Contoh 13:
Titik-titik segitiga PQR adalah P(−2, 1), Q(3, 4), R(1, −2). Setelah ditranslasi, titik P dipetakan ke P'(1, 4). Tentukan luas segitiga P’Q’R’.
Pembahasan
Vektor translasi: T = (1−(−2), 4−1) = (3, 3)
Q’ = (3+3, 4+3) = (6, 7)
R’ = (1+3, −2+3) = (4, 1)
Karena translasi bersifat isometri, luas segitiga tidak berubah.
Luas = ½|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
= ½|(−2)(4−(−2)) + 3((−2)−1) + 1(1−4)|
= ½|(−2)(6) + 3(−3) + 1(−3)|
= ½|−12 − 9 − 3| = ½ × 24 = 12
Luas segitiga P’Q’R’ = 12 satuan luas
Contoh 14:
Titik A(a, 2a) ditranslasi oleh T = a+13−a sehingga bayangan A’ terletak pada garis y = x + 2. Tentukan nilai a.
Pembahasan
x’ = a + (a+1) = 2a + 1
y’ = 2a + (3−a) = a + 3
A'(2a+1, a+3) terletak pada y = x + 2:
a + 3 = (2a + 1) + 2
a + 3 = 2a + 3
0 = a
Jadi, a = 0
Contoh 15:
Titik M(3, −2) ditranslasi oleh T = k2k menghasilkan M’. Jarak MM’ = 5√5. Tentukan nilai k (k > 0).
Pembahasan
Jarak MM’ = √(a² + b²) = √(k² + (2k)²) = √(k² + 4k²) = √(5k²) = k√5
k√5 = 5√5
k = 5
Jadi, k = 5
C. Translasi pada Garis
Jika garis y = mx + c ditranslasi oleh T = ab, maka bayangan garis tersebut diperoleh dengan mengganti x dengan (x − a) dan y dengan (y − b).
Rumus Translasi pada Garis:
Garis y = mx + c ditranslasi oleh T(a, b):
(y − b) = m(x − a) + c
y = mx − ma + c + b
Catatan: Gradien garis tidak berubah setelah translasi (garis bayangan sejajar dengan garis asal)
Rumus Umum untuk Sembarang Kurva:
Kurva f(x, y) = 0 ditranslasi oleh T(a, b):
f(x − a, y − b) = 0
Kegiatan: Mencoba
Cobalah langkah-langkah berikut:
- Gambar garis y = 2x + 1 pada bidang koordinat
- Translasikan garis tersebut dengan T = (3, −2)
- Hitung persamaan bayangan: y = 2(x−3) + 1 + (−2) = 2x − 6 + 1 − 2 = 2x − 7
- Gambar garis bayangan y = 2x − 7 dan verifikasi bahwa kedua garis sejajar
Contoh Soal: Translasi pada Garis dan Kurva
● Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan bayangan garis y = 3x + 2 oleh translasi T = 14
Pembahasan
Ganti x dengan (x−1) dan y dengan (y−4):
(y−4) = 3(x−1) + 2
y − 4 = 3x − 3 + 2
y = 3x − 1 + 4 = 3x + 3
Bayangan: y = 3x + 3
Contoh 2:
Tentukan bayangan garis y = −x + 5 oleh translasi T = 2−3
Pembahasan
(y−(−3)) = −(x−2) + 5
y + 3 = −x + 2 + 5
y = −x + 7 − 3 = −x + 4
Bayangan: y = −x + 4
Contoh 3:
Tentukan bayangan garis 2x + y = 6 oleh translasi T = −12
Pembahasan
Ganti x → (x−(−1)) = (x+1), y → (y−2):
2(x+1) + (y−2) = 6
2x + 2 + y − 2 = 6
2x + y = 6
Bayangan: 2x + y = 6 (garis yang sama!)
Catatan: Hal ini terjadi karena vektor translasi sejajar dengan garis.
Contoh 4:
Tentukan bayangan garis y = ½x − 3 oleh translasi T = 41
Pembahasan
(y−1) = ½(x−4) − 3
y − 1 = ½x − 2 − 3
y = ½x − 5 + 1 = ½x − 4
Bayangan: y = ½x − 4
Contoh 5:
Tentukan bayangan garis x = 3 (garis vertikal) oleh translasi T = −52
Pembahasan
Garis x = 3, ganti x → (x−(−5)) = (x+5):
(x+5) = 3 → x = −2
Bayangan: x = −2
Komponen b tidak berpengaruh pada garis vertikal.
● Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan bayangan parabola y = x² oleh translasi T = 2−3
Pembahasan
Ganti x → (x−2), y → (y+3):
(y+3) = (x−2)²
y = (x−2)² − 3
y = x² − 4x + 4 − 3
Bayangan: y = x² − 4x + 1
Contoh 7:
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 9 oleh translasi T = 3−2
Pembahasan
Ganti x → (x−3), y → (y+2):
(x−3)² + (y+2)² = 9
Bayangan: (x−3)² + (y+2)² = 9
Lingkaran dengan pusat (3, −2) dan jari-jari 3.
Contoh 8:
Garis y = 2x + k ditranslasi oleh T = 13 menghasilkan garis yang melalui titik (2, 9). Tentukan nilai k.
Pembahasan
Bayangan: (y−3) = 2(x−1) + k → y = 2x − 2 + k + 3 = 2x + k + 1
Melalui (2, 9): 9 = 2(2) + k + 1 = 5 + k
k = 4
Jadi, k = 4
Contoh 9:
Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 1 oleh translasi T = −12
Pembahasan
Ganti x → (x+1), y → (y−2):
(y−2) = (x+1)² + 2(x+1) − 1
y − 2 = x² + 2x + 1 + 2x + 2 − 1
y − 2 = x² + 4x + 2
y = x² + 4x + 4
Bayangan: y = x² + 4x + 4 = (x+2)²
Contoh 10:
Bayangan garis ax + by = 10 oleh translasi T = 21 adalah garis yang melalui titik asal O(0,0). Jika gradien garis tersebut 3, tentukan nilai a dan b.
Pembahasan
Garis asal: ax + by = 10, gradien = −a/b = 3, maka a = −3b
Bayangan: a(x−2) + b(y−1) = 10 → ax + by − 2a − b = 10
Melalui (0,0): −2a − b = 10
Substitusi a = −3b: −2(−3b) − b = 10 → 6b − b = 10 → 5b = 10 → b = 2
a = −3(2) = −6
Jadi, a = −6 dan b = 2
● Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan bayangan kurva y = √(4 − x²) oleh translasi T = 31. Jelaskan kurva asli dan bayangannya.
Pembahasan
Kurva asal: y = √(4−x²) → y² = 4−x² → x²+y² = 4 (setengah lingkaran atas, r=2, pusat O)
Ganti x → (x−3), y → (y−1):
(y−1) = √(4−(x−3)²)
Atau: (x−3)² + (y−1)² = 4, y ≥ 1
Bayangan: y = √(4−(x−3)²) + 1 (setengah lingkaran atas, pusat (3,1), r=2)
Contoh 12:
Garis y = mx + 3 ditranslasi oleh T = 2−1 sehingga bayangannya tegak lurus dengan garis 2x − y + 5 = 0. Tentukan persamaan bayangan lengkapnya.
Pembahasan
Gradien garis 2x − y + 5 = 0 → y = 2x + 5, m₁ = 2
Bayangan tegak lurus, maka gradien bayangan = −½
Translasi tidak mengubah gradien, jadi m = −½
Bayangan: (y+1) = −½(x−2) + 3
y + 1 = −½x + 1 + 3
y = −½x + 3
Bayangan: y = −½x + 3
Contoh 13:
Lingkaran (x−1)² + (y+2)² = 16 ditranslasi sehingga pusatnya berpindah ke titik (4, 3). Tentukan vektor translasi dan persamaan bayangan lingkaran.
Pembahasan
Pusat lingkaran asal: (1, −2)
Pusat bayangan: (4, 3)
Vektor translasi: T = (4−1, 3−(−2)) = (3, 5)
Bayangan: (x−4)² + (y−3)² = 16
T = (3, 5), bayangan: (x−4)² + (y−3)² = 16
Contoh 14:
Parabola y = ax² + bx + c memiliki puncak (1, −4) dan melalui titik (0, −3). Tentukan bayangan parabola tersebut oleh translasi T = −14.
Pembahasan
Bentuk puncak: y = a(x−1)² − 4
Melalui (0, −3): −3 = a(0−1)² − 4 → −3 = a − 4 → a = 1
Persamaan: y = (x−1)² − 4 = x² − 2x − 3
Translasi T(−1, 4): ganti x → (x+1), y → (y−4):
(y−4) = (x+1)² − 2(x+1) − 3
y − 4 = x² + 2x + 1 − 2x − 2 − 3
y − 4 = x² − 4
y = x²
Bayangan: y = x²
Contoh 15:
Tentukan translasi T = ab yang memetakan kurva y = x³ − 3x + 2 menjadi kurva yang melalui titik belok (2, 1).
Pembahasan
Titik belok kurva asal: y” = 6x = 0 → x = 0, y = 0³ − 3(0) + 2 = 2
Titik belok asal: (0, 2)
Titik belok bayangan: (2, 1)
Translasi memetakan titik belok: a = 2−0 = 2, b = 1−2 = −1
Vektor translasi T = 2−1
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil pemahaman kalian tentang translasi:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri apa itu translasi dan bagaimana cara kerjanya
- Buat contoh translasi pada titik, garis, dan kurva, kemudian gambar grafiknya
- Diskusikan mengapa translasi tidak mengubah bentuk dan ukuran bangun
- Berikan contoh penerapan translasi dalam kehidupan sehari-hari
Latihan Soal: Translasi pada Titik
● Tingkat Mudah
- Tentukan bayangan titik A(4, 3) oleh translasi T = 25
- Tentukan bayangan titik B(−2, 7) oleh translasi T = 6−3
- Tentukan bayangan titik C(0, −5) oleh translasi T = −42
- Tentukan bayangan titik D(1, 1) oleh translasi T = −3−4
- Titik E(3, −2) dipetakan ke E'(7, 1). Tentukan vektor translasinya.
● Tingkat Sedang
- Titik P(a, 2a−1) ditranslasi oleh T = 3−2 menghasilkan P'(5, 3). Tentukan nilai a.
- Segitiga dengan titik sudut A(1,1), B(4,1), C(2,5) ditranslasi oleh T = −32. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik.
- Titik Q(−1, 4) ditranslasi berturut-turut oleh T₁ = 23 dan T₂ = −41. Tentukan bayangan akhir.
- Tentukan vektor translasi jika titik A(−3, 5) dipetakan ke A'(2, −1).
- Titik R(2, −3) ditranslasi oleh T = kk+1 menghasilkan R'(5, 1). Tentukan k.
● Tingkat Sulit
- Titik M(2a+1, 3a−2) ditranslasi oleh T = a−12a sehingga bayangannya terletak pada garis y = 2x. Tentukan nilai a.
- Titik A(3, −1) ditranslasi oleh T = pq ke A’. Jarak AA’ = 13 dan p : q = 5 : 12. Tentukan p dan q (p, q > 0).
- Titik P ditranslasi berturut-turut oleh T₁ = ab, T₂ = 2a−b, dan T₃ = −a3b. Jika translasi total ekuivalen dengan T = 69, tentukan a dan b.
- Persegi ABCD dengan A(0,0), B(4,0), C(4,4), D(0,4) ditranslasi sehingga pusat persegi berpindah ke titik (5, 7). Tentukan vektor translasi dan koordinat bayangan semua titik.
- Titik A(1, 2) dan B(4, 6) ditranslasi oleh T = mn sehingga titik tengah A’B’ terletak pada garis y = x + 3 dan garis A’B’ melalui titik (7, 10). Tentukan m dan n.
Latihan Soal: Translasi pada Garis dan Kurva
● Tingkat Mudah
- Tentukan bayangan garis y = 4x − 1 oleh translasi T = 23
- Tentukan bayangan garis y = −2x + 7 oleh translasi T = −14
- Tentukan bayangan garis x + y = 8 oleh translasi T = 3−2
- Tentukan bayangan garis y = 5 oleh translasi T = −23
- Tentukan bayangan garis x = −1 oleh translasi T = 4−1
● Tingkat Sedang
- Tentukan bayangan parabola y = x² − 2x + 3 oleh translasi T = 1−2
- Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 25 oleh translasi T = −24
- Garis y = 3x + c ditranslasi oleh T = 2−1 menghasilkan garis melalui (1, 5). Tentukan c.
- Tentukan bayangan kurva y = 2x² + 4x oleh translasi T = −13
- Tentukan bayangan lingkaran (x−2)² + (y+1)² = 4 oleh translasi T = 32
● Tingkat Sulit
- Parabola y = x² + px + q memiliki puncak (2, −1). Tentukan bayangan parabola oleh translasi T = −21
- Lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 ditranslasi sehingga pusatnya berpindah ke titik asal O(0,0). Tentukan vektor translasi dan persamaan bayangan.
- Garis y = mx + 5 ditranslasi oleh T = 1−2 sehingga bayangannya menyinggung lingkaran x² + y² = 8. Tentukan nilai m.
- Kurva y = x³ − 6x² + 11x − 6 ditranslasi oleh T = 20. Tentukan persamaan bayangan dan titik-titik potong dengan sumbu-x.
- Elips x²/9 + y²/4 = 1 ditranslasi oleh T = −13. Tentukan persamaan bayangan elips dan koordinat titik-titik fokus bayangan.
Ringkasan Materi
| Objek | Rumus Bayangan oleh T(a, b) |
|---|---|
| Titik P(x, y) | P'(x + a, y + b) |
| Garis y = mx + c | y = m(x − a) + c + b |
| Kurva f(x, y) = 0 | f(x − a, y − b) = 0 |
| Komposisi T₁ + T₂ | T = (a₁+a₂, b₁+b₂) |