Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Transformasi Regangan dalam Arah Sumbu X dan Sumbu Y
Materi Transformasi Geometri
1. Pengertian Transformasi Regangan
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Sebuah titik P(x, y) mengalami regangan sehingga menjadi titik P'(x’, y’). Perhatikan bagaimana koordinat titik berubah setelah diregangkan.
Kegiatan: Menanya
- Apa yang dimaksud dengan transformasi regangan?
- Bagaimana perbedaan regangan arah sumbu X dan arah sumbu Y?
- Apa pengaruh faktor skala k terhadap bentuk objek geometri?
- Bagaimana rumus matriks transformasi regangan?
Kegiatan: Menalar
Transformasi Regangan (Stretching) adalah suatu transformasi yang mengubah jarak suatu titik terhadap sumbu koordinat tertentu dengan faktor skala k (k > 0, k ≠ 1).
Terdapat dua jenis regangan:
- Regangan arah sumbu X dengan faktor skala k: mengubah koordinat x menjadi kx, sedangkan koordinat y tetap.
- Regangan arah sumbu Y dengan faktor skala k: mengubah koordinat y menjadi ky, sedangkan koordinat x tetap.
Catatan penting:
- Jika k > 1, objek akan meregang (menjauhi sumbu).
- Jika 0 < k < 1, objek akan menyusut (mendekati sumbu).
- Regangan berbeda dengan dilatasi. Dilatasi memperbesar/memperkecil ke segala arah, sedangkan regangan hanya ke satu arah.
2. Regangan dalam Arah Sumbu X
Regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k mengubah titik P(x, y) menjadi P'(x’, y’) dengan aturan:
P(x, y) → P'(kx, y)
atau dalam notasi matriks:
Penjelasan:
- Koordinat x dikalikan dengan faktor skala k.
- Koordinat y tetap tidak berubah.
- Titik-titik pada sumbu Y (x = 0) tidak berubah posisinya.
- Matriks transformasinya adalah k001
Ilustrasi Regangan Arah Sumbu X (k = 2)
Kegiatan: Mencoba
Tentukan bayangan titik-titik berikut oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 3:
- A(2, 5) → A'(… , …)
- B(-1, 4) → B'(… , …)
- C(0, 7) → C'(… , …)
Jawaban: A'(6, 5), B'(-3, 4), C'(0, 7)
3. Regangan dalam Arah Sumbu Y
Regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor skala k mengubah titik P(x, y) menjadi P'(x’, y’) dengan aturan:
P(x, y) → P'(x, ky)
atau dalam notasi matriks:
Penjelasan:
- Koordinat x tetap tidak berubah.
- Koordinat y dikalikan dengan faktor skala k.
- Titik-titik pada sumbu X (y = 0) tidak berubah posisinya.
- Matriks transformasinya adalah 100k
Ilustrasi Regangan Arah Sumbu Y (k = 2)
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompokmu:
- Jelaskan perbedaan antara regangan arah sumbu X dan regangan arah sumbu Y dengan kata-katamu sendiri.
- Berikan contoh penerapan regangan dalam kehidupan sehari-hari (misalnya: memperlebar foto hanya ke samping).
- Apa yang terjadi pada luas bangun datar jika dikenai regangan dengan faktor k? Buktikan dengan contoh!
Tabel Perbandingan Regangan Arah Sumbu X dan Sumbu Y
| Aspek | Regangan Arah Sumbu X | Regangan Arah Sumbu Y |
|---|---|---|
| Rumus | P(x, y) → P'(kx, y) | P(x, y) → P'(x, ky) |
| Koordinat yang berubah | Koordinat x | Koordinat y |
| Koordinat yang tetap | Koordinat y | Koordinat x |
| Titik yang tidak berubah | Titik pada sumbu Y | Titik pada sumbu X |
| Matriks Transformasi | k001 | 100k |
| Efek pada bangun | Melebar/menyempit horizontal | Memanjang/memendek vertikal |
| Perubahan luas | Luas × k | Luas × k |
4. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(3, 4) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k = 2.
Diketahui: A(3, 4), regangan arah sumbu X, k = 2
Rumus: P(x, y) → P'(kx, y)
Penyelesaian:
A(3, 4) → A'(2×3, 4) = A'(6, 4)
Jadi, bayangan titik A adalah A'(6, 4).
Contoh 2
Tentukan bayangan titik B(5, -2) oleh regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor skala k = 3.
Diketahui: B(5, -2), regangan arah sumbu Y, k = 3
Rumus: P(x, y) → P'(x, ky)
Penyelesaian:
B(5, -2) → B'(5, 3×(-2)) = B'(5, -6)
Jadi, bayangan titik B adalah B'(5, -6).
Contoh 3
Tentukan bayangan titik C(-4, 6) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k = ½.
Diketahui: C(-4, 6), regangan arah sumbu X, k = ½
Rumus: P(x, y) → P'(kx, y)
Penyelesaian:
C(-4, 6) → C'(½×(-4), 6) = C'(-2, 6)
Jadi, bayangan titik C adalah C'(-2, 6).
Contoh 4
Tentukan bayangan titik D(0, 8) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k = 5.
Diketahui: D(0, 8), regangan arah sumbu X, k = 5
Rumus: P(x, y) → P'(kx, y)
Penyelesaian:
D(0, 8) → D'(5×0, 8) = D'(0, 8)
Catatan: Karena x = 0 (titik pada sumbu Y), titik tidak berubah posisi.
Jadi, bayangan titik D adalah D'(0, 8) (tetap).
Contoh 5
Tentukan bayangan titik E(7, 0) oleh regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor skala k = 4.
Diketahui: E(7, 0), regangan arah sumbu Y, k = 4
Rumus: P(x, y) → P'(x, ky)
Penyelesaian:
E(7, 0) → E'(7, 4×0) = E'(7, 0)
Catatan: Karena y = 0 (titik pada sumbu X), titik tidak berubah posisi pada regangan arah Y.
Jadi, bayangan titik E adalah E'(7, 0) (tetap).
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Segitiga ABC dengan A(1, 2), B(4, 2), dan C(1, 5) dikenai regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 3. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut dan luas bayangan.
Diketahui: A(1, 2), B(4, 2), C(1, 5), regangan arah sumbu X, k = 3
Rumus: P(x, y) → P'(kx, y) = P'(3x, y)
Penyelesaian:
A(1, 2) → A'(3×1, 2) = A'(3, 2)
B(4, 2) → B'(3×4, 2) = B'(12, 2)
C(1, 5) → C'(3×1, 5) = C'(3, 5)
Luas asli:
Alas = |4 – 1| = 3, Tinggi = |5 – 2| = 3
Luas = ½ × 3 × 3 = 4,5 satuan luas
Luas bayangan:
Alas baru = |12 – 3| = 9, Tinggi baru = |5 – 2| = 3
Luas = ½ × 9 × 3 = 13,5 satuan luas
Atau: Luas bayangan = k × Luas asli = 3 × 4,5 = 13,5
Jadi, bayangan segitiga: A'(3, 2), B'(12, 2), C'(3, 5) dengan luas 13,5 satuan luas.
Contoh 7
Garis y = 2x + 3 dikenai regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor k = 4. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.
Diketahui: y = 2x + 3, regangan arah sumbu Y, k = 4
Rumus: P(x, y) → P'(x, ky) → P'(x, 4y)
Penyelesaian:
Misalkan titik bayangan P'(x’, y’), maka:
x’ = x → x = x’
y’ = 4y → y = y’/4
Substitusi ke persamaan asli y = 2x + 3:
y’/4 = 2x’ + 3
y’ = 4(2x’ + 3)
y’ = 8x’ + 12
Jadi, persamaan bayangan garis adalah y = 8x + 12.
Contoh 8
Garis 3x + 2y = 6 dikenai regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.
Diketahui: 3x + 2y = 6, regangan arah sumbu X, k = 2
Rumus: P(x, y) → P'(2x, y)
Penyelesaian:
Misalkan titik bayangan P'(x’, y’), maka:
x’ = 2x → x = x’/2
y’ = y → y = y’
Substitusi ke persamaan asli 3x + 2y = 6:
3(x’/2) + 2y’ = 6
3x’/2 + 2y’ = 6
3x’ + 4y’ = 12
Jadi, persamaan bayangan garis adalah 3x + 4y = 12.
Contoh 9
Tentukan bayangan titik P(6, -3) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = ⅓ dilanjutkan regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor k = 2.
Diketahui: P(6, -3), regangan arah X (k₁ = ⅓), lalu regangan arah Y (k₂ = 2)
Penyelesaian:
Langkah 1: Regangan arah sumbu X, k₁ = ⅓
P(6, -3) → P₁(⅓×6, -3) = P₁(2, -3)
Langkah 2: Regangan arah sumbu Y, k₂ = 2
P₁(2, -3) → P'(2, 2×(-3)) = P'(2, -6)
Jadi, bayangan akhir titik P adalah P'(2, -6).
Contoh 10
Persegi ABCD dengan A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2) dikenai regangan arah sumbu Y dengan faktor k = 3. Tentukan bayangan dan perbandingan luas asli terhadap bayangan.
Diketahui: A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2), regangan arah Y, k = 3
Rumus: P(x, y) → P'(x, 3y)
Penyelesaian:
A(0, 0) → A'(0, 0)
B(2, 0) → B'(2, 0)
C(2, 2) → C'(2, 6)
D(0, 2) → D'(0, 6)
Luas asli (persegi): 2 × 2 = 4 satuan luas
Luas bayangan (persegi panjang): 2 × 6 = 12 satuan luas
Perbandingan: Luas asli : Luas bayangan = 4 : 12 = 1 : 3 = 1 : k
Jadi, bayangan: A'(0,0), B'(2,0), C'(2,6), D'(0,6). Perbandingan luas = 1 : 3.
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Parabola y = x² – 4x + 3 dikenai regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2. Tentukan persamaan bayangan parabola tersebut.
Diketahui: y = x² – 4x + 3, regangan arah sumbu X, k = 2
Rumus: P(x, y) → P'(2x, y)
Penyelesaian:
Misalkan P'(x’, y’), maka:
x’ = 2x → x = x’/2
y’ = y → y = y’
Substitusi ke persamaan asli:
y’ = (x’/2)² – 4(x’/2) + 3
y’ = x’²/4 – 2x’ + 3
Jadi, persamaan bayangan adalah y = x²/4 – 2x + 3 atau y = ¼x² – 2x + 3.
Contoh 12
Lingkaran x² + y² = 9 dikenai regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor k = 2. Tentukan persamaan bayangan kurva dan sebutkan jenis kurva bayangannya.
Diketahui: x² + y² = 9, regangan arah sumbu Y, k = 2
Rumus: P(x, y) → P'(x, 2y)
Penyelesaian:
Misalkan P'(x’, y’), maka:
x’ = x → x = x’
y’ = 2y → y = y’/2
Substitusi ke persamaan asli:
(x’)² + (y’/2)² = 9
x’² + y’²/4 = 9
x²/9 + y²/36 = 1
Ini adalah persamaan elips dengan a² = 9 dan b² = 36 (sumbu mayor vertikal).
Jadi, bayangan kurva adalah x²/9 + y²/36 = 1 (elips).
Contoh 13
Tentukan matriks transformasi gabungan dari regangan arah sumbu X dengan faktor k₁ = 3 dilanjutkan regangan arah sumbu Y dengan faktor k₂ = 2. Kemudian tentukan bayangan titik P(4, -1) oleh transformasi gabungan tersebut.
Diketahui: Regangan X (k₁=3) lalu regangan Y (k₂=2), titik P(4, -1)
Penyelesaian:
Matriks regangan arah X (k₁=3):
Matriks regangan arah Y (k₂=2):
Matriks gabungan: M = M₂ × M₁ (transformasi kedua × transformasi pertama)
Bayangan P(4, -1):
Jadi, matriks gabungan = 3002 dan bayangan P'(12, -2).
Contoh 14
Kurva y = sin(x) dikenai regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2 dan regangan arah sumbu Y dengan faktor k = 3. Tentukan persamaan bayangan kurva tersebut.
Diketahui: y = sin(x), regangan X (k=2), regangan Y (k=3)
Penyelesaian:
Transformasi gabungan: P(x,y) → P'(2x, 3y)
Maka: x’ = 2x → x = x’/2
y’ = 3y → y = y’/3
Substitusi ke y = sin(x):
y’/3 = sin(x’/2)
y’ = 3 sin(x’/2)
Catatan: Regangan X memperbesar periode (dari 2π menjadi 4π) dan regangan Y memperbesar amplitudo (dari 1 menjadi 3).
Jadi, persamaan bayangan adalah y = 3 sin(x/2).
Contoh 15
Diketahui bayangan titik A oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k adalah A'(12, -5), dan bayangan titik A oleh regangan arah sumbu Y dengan faktor yang sama k adalah A”(4, -15). Tentukan koordinat titik A dan nilai k.
Diketahui:
Regangan arah X: A(x, y) → A'(kx, y) = A'(12, -5)
Regangan arah Y: A(x, y) → A”(x, ky) = A”(4, -15)
Penyelesaian:
Dari regangan arah X: kx = 12 dan y = -5
Dari regangan arah Y: x = 4 dan ky = -15
Dari persamaan kedua: x = 4
Substitusi ke kx = 12: k(4) = 12 → k = 3
Verifikasi: ky = -15 → 3(-5) = -15 ✓
Jadi, titik A(4, -5) dan k = 3.
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus yang telah dipelajari.
Mudah Latihan Tingkat Mudah
- Tentukan bayangan titik P(4, 7) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k = 2.
- Tentukan bayangan titik Q(-3, 5) oleh regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor skala k = 4.
- Tentukan bayangan titik R(8, -1) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k = ½.
- Tentukan bayangan titik S(0, -6) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor skala k = 7.
- Tentukan bayangan titik T(10, 0) oleh regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor skala k = 5.
Sedang Latihan Tingkat Sedang
- Segitiga PQR dengan P(2, 1), Q(6, 1), R(2, 4) dikenai regangan arah sumbu X dengan faktor k = 2. Tentukan koordinat bayangan dan luas bayangan segitiga.
- Garis y = 3x – 2 dikenai regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor k = 2. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.
- Garis 2x + 5y = 10 dikenai regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 3. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.
- Tentukan bayangan titik M(-6, 8) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = ⅔ dilanjutkan regangan arah sumbu Y dengan faktor k = ¼.
- Persegi panjang dengan titik sudut A(1, 1), B(5, 1), C(5, 3), D(1, 3) dikenai regangan arah sumbu Y dengan faktor k = 2. Tentukan bayangan dan perbandingan luas.
Sulit Latihan Tingkat Sulit
- Parabola y = x² + 2x – 3 dikenai regangan dalam arah sumbu Y dengan faktor k = 2. Tentukan persamaan bayangan kurva.
- Lingkaran x² + y² = 16 dikenai regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 3. Tentukan persamaan bayangan kurva dan sebutkan jenis kurvanya.
- Tentukan matriks transformasi gabungan dari regangan arah sumbu Y dengan faktor k₁ = 4 dilanjutkan regangan arah sumbu X dengan faktor k₂ = ½. Kemudian tentukan bayangan titik A(-2, 5) oleh transformasi gabungan.
- Diketahui bayangan titik B oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k adalah B'(15, 4), dan bayangan titik B oleh regangan arah sumbu Y dengan faktor yang sama k adalah B”(3, 20). Tentukan koordinat titik B dan nilai k.
- Kurva y = x³ – 3x dikenai regangan arah sumbu X dengan faktor k = 3 dan regangan arah sumbu Y dengan faktor k = 9. Tentukan persamaan bayangan kurva dan tunjukkan bahwa kurva bayangan memiliki bentuk serupa dengan kurva aslinya.