Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Transformasi Gusuran dalam Arah Sumbu Y
(Shearing / Geseran dalam Arah Sumbu Y)
A. Pengertian Transformasi Gusuran Arah Sumbu Y
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan gambar berikut. Sebuah persegi dikenai transformasi gusuran arah sumbu Y. Amati bagaimana bentuk berubah — sisi horizontal tetap, tetapi titik-titik bergeser secara vertikal sebanding dengan koordinat x-nya.
Transformasi Gusuran (Shearing) dalam Arah Sumbu Y adalah transformasi yang menggeser setiap titik secara vertikal (arah sumbu-y) dengan besar pergeseran sebanding dengan koordinat x titik tersebut.
Rumus Transformasi Gusuran Arah Sumbu Y:
Titik P(x, y) → P'(x’, y’)
x’ = x
y’ = kx + y
Dalam bentuk matriks:
| ( | x’ | ) | = | ( | 1 | 0 | ) | ( | x | ) |
| y’ | k | 1 | y |
dengan k = faktor gusuran (konstanta geseran)
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa koordinat x tidak berubah pada gusuran arah sumbu Y?
- Apa pengaruh nilai k positif dan negatif terhadap arah geseran?
- Bagaimana bentuk bangun datar berubah setelah dikenai gusuran?
B. Sifat-sifat Gusuran Arah Sumbu Y
💡 Kegiatan: Menalar
Berdasarkan rumus x’ = x dan y’ = kx + y, mari kita simpulkan sifat-sifat gusuran arah sumbu Y:
- Koordinat x tetap — setiap titik tidak bergeser secara horizontal.
- Pergeseran vertikal sebanding dengan x — semakin besar |x|, semakin besar pergeseran vertikalnya.
- Titik pada sumbu Y tetap — karena x = 0, maka y’ = k(0) + y = y.
- Jika k > 0: titik dengan x > 0 bergeser ke atas, titik dengan x < 0 bergeser ke bawah.
- Jika k < 0: titik dengan x > 0 bergeser ke bawah, titik dengan x < 0 bergeser ke atas.
- Luas bangun tetap — determinan matriks gusuran = 1, sehingga luas tidak berubah.
- Garis sejajar sumbu Y tetap sejajar setelah transformasi.
Matriks Gusuran Arah Sumbu Y:
| M | = | ( | 1 | 0 | ) |
| k | 1 |
Determinan = (1)(1) − (0)(k) = 1 → Luas tetap
C. Langkah Penyelesaian
🔧 Kegiatan: Mencoba
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menentukan bayangan suatu titik oleh gusuran arah sumbu Y:
- Identifikasi koordinat titik asal P(x, y) dan nilai faktor gusuran k.
- Terapkan rumus:
- x’ = x (koordinat x tetap)
- y’ = kx + y
- Tuliskan bayangan titik P'(x’, y’).
Contoh Penerapan Langkah:
Tentukan bayangan titik A(3, 2) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 2.
- Diketahui: x = 3, y = 2, k = 2
- x’ = 3 dan y’ = 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8
- Bayangan: A'(3, 8)
D. Gusuran Arah Sumbu Y pada Kurva
Untuk menentukan bayangan kurva y = f(x) oleh gusuran arah sumbu Y dengan faktor k:
Langkah:
- Dari x’ = x → x = x’
- Dari y’ = kx + y → y = y’ − kx’
- Substitusi ke persamaan asal: ganti x dengan x’ dan y dengan y’ − kx’
Bayangan y = f(x) adalah y’ − kx’ = f(x’)
atau: y = f(x) + kx (ganti variabel kembali)
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sekelasmu mengapa bayangan garis y = mx + c oleh gusuran arah sumbu Y dengan faktor k menjadi garis y = (m+k)x + c. Apakah gradien berubah? Apakah titik potong sumbu Y berubah?
E. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(2, 1) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 3.
Pembahasan
x’ = x = 2
y’ = kx + y = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
Bayangan: A'(2, 7)
Contoh 2
Tentukan bayangan titik B(4, −2) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 1.
Pembahasan
x’ = x = 4
y’ = kx + y = 1(4) + (−2) = 4 − 2 = 2
Bayangan: B'(4, 2)
Contoh 3
Tentukan bayangan titik C(0, 5) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 4.
Pembahasan
x’ = x = 0
y’ = kx + y = 4(0) + 5 = 0 + 5 = 5
Bayangan: C'(0, 5)
Catatan: Titik pada sumbu Y tidak berubah posisi!
Contoh 4
Tentukan bayangan titik D(−3, 4) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 2.
Pembahasan
x’ = x = −3
y’ = kx + y = 2(−3) + 4 = −6 + 4 = −2
Bayangan: D'(−3, −2)
Contoh 5
Tentukan bayangan titik E(1, −3) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = −2.
Pembahasan
x’ = x = 1
y’ = kx + y = (−2)(1) + (−3) = −2 − 3 = −5
Bayangan: E'(1, −5)
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 4.
Pembahasan
Dari rumus invers: x = x’ dan y = y’ − kx’
Substitusi ke y = 2x + 3:
y’ − 4x’ = 2x’ + 3
y’ = 2x’ + 4x’ + 3
y’ = 6x’ + 3
Bayangan: y = 6x + 3
Contoh 7
Segitiga dengan titik sudut A(1, 0), B(3, 0), C(2, 4) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = 2. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik.
Pembahasan
Titik A(1, 0): x’ = 1, y’ = 2(1) + 0 = 2 → A'(1, 2)
Titik B(3, 0): x’ = 3, y’ = 2(3) + 0 = 6 → B'(3, 6)
Titik C(2, 4): x’ = 2, y’ = 2(2) + 4 = 8 → C'(2, 8)
Bayangan: A'(1, 2), B'(3, 6), C'(2, 8)
Contoh 8
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 3.
Pembahasan
Invers: x = x’, y = y’ − 3x’
Substitusi ke y = x²:
y’ − 3x’ = (x’)²
y’ = x² + 3x (ganti variabel)
Bayangan: y = x² + 3x
Contoh 9
Titik P(a, 3) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = 2 menghasilkan bayangan P'(a, 11). Tentukan nilai a.
Pembahasan
Dari y’ = kx + y:
11 = 2a + 3
2a = 8
a = 4
Nilai a = 4
Contoh 10
Tentukan bayangan garis y = −x + 5 oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = −3.
Pembahasan
Invers: x = x’, y = y’ − (−3)x’ = y’ + 3x’
Substitusi ke y = −x + 5:
y’ + 3x’ = −x’ + 5
y’ = −x’ − 3x’ + 5
y’ = −4x’ + 5
Bayangan: y = −4x + 5
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 9 oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 1.
Pembahasan
Invers: x = x’, y = y’ − x’
Substitusi ke x² + y² = 9:
(x’)² + (y’ − x’)² = 9
x’² + y’² − 2x’y’ + x’² = 9
2x² − 2xy + y² = 9 (ganti variabel)
Bayangan: 2x² − 2xy + y² = 9
Catatan: Lingkaran berubah menjadi elips yang diputar.
Contoh 12
Titik P(2, −1) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan faktor k, kemudian hasilnya dikenai gusuran arah sumbu Y lagi dengan faktor m. Jika bayangan akhir adalah P”(2, 9), dan k + m = 5, tentukan nilai k dan m.
Pembahasan
Gusuran pertama (faktor k): P'(2, 2k + (−1)) = P'(2, 2k − 1)
Gusuran kedua (faktor m): P”(2, 2m + (2k−1)) = P”(2, 2m + 2k − 1)
Karena P”(2, 9):
2m + 2k − 1 = 9
2(k + m) = 10
k + m = 5 ✓ (konsisten dengan syarat)
Karena hanya diketahui k + m = 5, maka ada tak hingga banyak solusi. Komposisi dua gusuran arah sumbu Y dengan faktor k dan m setara dengan gusuran tunggal faktor k + m.
Nilai k + m = 5 (solusi tak tunggal, misal k = 2, m = 3)
Contoh 13
Tentukan bayangan kurva y = 2x² − 3x + 1 oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = −2, lalu tentukan titik puncak bayangan kurva tersebut.
Pembahasan
Invers: x = x’, y = y’ − (−2)x’ = y’ + 2x’
Substitusi:
y’ + 2x’ = 2(x’)² − 3x’ + 1
y’ = 2x’² − 3x’ − 2x’ + 1
y’ = 2x² − 5x + 1
Titik puncak: x = −b/(2a) = 5/4
y = 2(5/4)² − 5(5/4) + 1 = 2(25/16) − 25/4 + 1 = 50/16 − 100/16 + 16/16 = −34/16 = −17/8
Bayangan: y = 2x² − 5x + 1, titik puncak (5/4, −17/8)
Contoh 14
Garis y = mx + 2 dikenai gusuran arah sumbu Y dengan faktor k sehingga bayangannya tegak lurus dengan garis y = (1/2)x − 1. Jika m = 1, tentukan nilai k.
Pembahasan
Bayangan y = mx + 2 oleh gusuran faktor k:
y = (m + k)x + 2
Dengan m = 1: bayangan = y = (1 + k)x + 2
Gradien bayangan = 1 + k
Syarat tegak lurus dengan y = (1/2)x − 1 (gradien = 1/2):
(1 + k) × (1/2) = −1
1 + k = −2
k = −3
Nilai k = −3
Contoh 15
Persegi panjang ABCD dengan A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = 2. Tunjukkan bahwa luas bayangan sama dengan luas asli, dan tentukan persamaan diagonal bayangan.
Pembahasan
Bayangan titik-titik:
A(0,0) → A'(0, 2(0)+0) = A'(0, 0)
B(4,0) → B'(4, 2(4)+0) = B'(4, 8)
C(4,3) → C'(4, 2(4)+3) = C'(4, 11)
D(0,3) → D'(0, 2(0)+3) = D'(0, 3)
Luas asli: 4 × 3 = 12
Luas bayangan (rumus Shoelace):
L = ½|x₁(y₂−y₄) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₄−y₂) + x₄(y₁−y₃)|
= ½|0(8−3) + 4(11−0) + 4(3−8) + 0(0−11)|
= ½|0 + 44 − 20 + 0| = ½ × 24 = 12 ✓
Diagonal A’C’: melalui (0,0) dan (4,11)
y = (11/4)x
Diagonal B’D’: melalui (4,8) dan (0,3)
Gradien = (3−8)/(0−4) = 5/4
y − 3 = (5/4)(x − 0) → y = (5/4)x + 3
Luas tetap = 12. Diagonal: y = (11/4)x dan y = (5/4)x + 3
F. Latihan Soal
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan bayangan titik P(3, 5) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 2.
2. Tentukan bayangan titik Q(−2, 4) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 3.
3. Tentukan bayangan titik R(5, 0) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = −1.
4. Tentukan bayangan titik S(0, −7) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 5.
5. Tentukan bayangan titik T(−1, −1) oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = −4.
📙 Tingkat Sedang
6. Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 5.
7. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = −1.
8. Titik A(a, 2) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = 3 menghasilkan bayangan A'(a, 14). Tentukan nilai a.
9. Segitiga dengan titik sudut P(2, 1), Q(4, 1), R(3, 5) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = −2. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik.
10. Tentukan nilai k jika bayangan garis y = 2x + 1 oleh gusuran arah sumbu Y sejajar dengan garis y = 7x − 3.
📕 Tingkat Sulit
11. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 16 oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 2.
12. Garis y = mx − 1 dikenai gusuran arah sumbu Y dengan faktor k sehingga bayangannya tegak lurus dengan garis y = (1/3)x + 2. Jika m = 2, tentukan nilai k.
13. Tentukan bayangan kurva y = x³ − 2x oleh gusuran arah sumbu Y dengan k = 3, lalu tentukan titik belok bayangan kurva.
14. Persegi ABCD dengan A(1, 1), B(5, 1), C(5, 5), D(1, 5) dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = −1. Tentukan luas bayangan dan buktikan luas tetap.
15. Tentukan persamaan kurva yang jika dikenai gusuran arah sumbu Y dengan k = 2 menghasilkan bayangan y = x² + 5x − 3.