Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang
Materi lengkap disertai contoh soal dan latihan
A. Pengertian Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran adalah suatu transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutar titik tersebut sejauh sudut tertentu terhadap suatu titik tetap yang disebut pusat rotasi.
Unsur-unsur rotasi:
- Pusat rotasi — titik tetap yang menjadi pusat perputaran
- Sudut rotasi (θ) — besar sudut perputaran
- Arah rotasi — positif (berlawanan arah jarum jam) atau negatif (searah jarum jam)
Gambar: Rotasi titik P terhadap pusat O sejauh sudut θ menghasilkan P’
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan gambar di atas. Amati bahwa:
- Jarak OP = jarak OP’ (jarak titik ke pusat rotasi tetap)
- Sudut POP’ = θ (sudut rotasi)
- Arah panah menunjukkan rotasi positif (berlawanan arah jarum jam)
B. Rumus Persamaan Transformasi Rotasi
1. Rotasi terhadap Pusat O(0, 0) sejauh sudut θ
Jika titik P(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh sudut θ, maka bayangan titik P yaitu P'(x’, y’) ditentukan oleh:
Rumus Matriks Rotasi:
Sehingga diperoleh:
x’ = x cos θ − y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
2. Rotasi terhadap Pusat P(a, b) sejauh sudut θ
Jika titik A(x, y) dirotasikan terhadap titik pusat P(a, b) sejauh sudut θ, maka bayangan titik A yaitu A'(x’, y’) ditentukan oleh:
Rumus Rotasi terhadap P(a, b):
Sehingga diperoleh:
x’ = (x − a) cos θ − (y − b) sin θ + a
y’ = (x − a) sin θ + (y − b) cos θ + b
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati rumus di atas, coba pikirkan:
- Mengapa pada rotasi terhadap P(a, b) kita perlu mengurangi koordinat dengan (a, b) terlebih dahulu?
- Apa yang terjadi jika sudut rotasi θ = 0°? Bagaimana dengan θ = 360°?
- Mengapa jarak titik ke pusat rotasi tidak berubah setelah dirotasi?
Jawaban: Pengurangan (a, b) bertujuan “memindahkan” pusat rotasi ke O(0,0), lalu setelah rotasi ditambah kembali (a, b) untuk mengembalikan posisinya.
C. Nilai Trigonometri Sudut Istimewa
Berikut tabel nilai cos dan sin untuk sudut-sudut istimewa yang sering digunakan dalam rotasi:
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| cos θ | 1 | ½√3 | ½√2 | ½ | 0 | −1 | 0 | 1 |
| sin θ | 0 | ½ | ½√2 | ½√3 | 1 | 0 | −1 | 0 |
💡 Kegiatan: Menalar
Berdasarkan tabel di atas, coba nalarkan:
- Jika θ = 90°, maka cos 90° = 0 dan sin 90° = 1, sehingga x’ = −y dan y’ = x. Ini berarti rotasi 90° mengubah titik (x, y) menjadi (−y, x).
- Jika θ = 180°, maka cos 180° = −1 dan sin 180° = 0, sehingga x’ = −x dan y’ = −y. Rotasi 180° sama dengan pencerminan terhadap titik pusat.
- Jika θ = 270° (atau −90°), maka x’ = y dan y’ = −x.
D. Ringkasan Rotasi Sudut Khusus terhadap O(0,0)
| Sudut Rotasi | Bayangan P(x, y) |
|---|---|
| 90° (¼ putaran, berlawanan jarum jam) | P'(−y, x) |
| 180° (½ putaran) | P'(−x, −y) |
| 270° (¾ putaran, berlawanan jarum jam) | P'(y, −x) |
| −90° (¼ putaran, searah jarum jam) | P'(y, −x) |
| −180° | P'(−x, −y) |
| −270° | P'(−y, x) |
| 360° | P'(x, y) |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah buktikan sendiri bahwa:
- Rotasi titik (3, 4) sejauh 90° terhadap O(0,0) menghasilkan (−4, 3)
- Rotasi titik (3, 4) sejauh 180° terhadap O(0,0) menghasilkan (−3, −4)
- Rotasi titik (3, 4) sejauh 270° terhadap O(0,0) menghasilkan (4, −3)
Gunakan rumus x’ = x cos θ − y sin θ dan y’ = x sin θ + y cos θ
E. Rotasi pada Persamaan Garis dan Kurva
Untuk menentukan bayangan suatu persamaan garis atau kurva y = f(x) oleh rotasi sejauh θ terhadap O(0,0), langkah-langkahnya:
- Tentukan rumus rotasi: x’ = x cos θ − y sin θ dan y’ = x sin θ + y cos θ
- Nyatakan x dan y dalam x’ dan y’ (gunakan invers matriks rotasi)
- Substitusikan ke persamaan kurva semula
Invers Matriks Rotasi (untuk mencari x, y dari x’, y’):
x = x’ cos θ + y’ sin θ
y = −x’ sin θ + y’ cos θ
Catatan: Invers rotasi θ adalah rotasi −θ
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu dengan bahasamu sendiri:
- Mengapa untuk merotasi persamaan kurva, kita perlu mencari invers (kebalikan) dari transformasi rotasi?
- Apa perbedaan antara merotasi sebuah titik dan merotasi sebuah persamaan kurva?
Petunjuk: Pada rotasi titik, kita langsung menerapkan rumus. Pada rotasi kurva, kita substitusikan invers agar setiap titik pada kurva baru merupakan bayangan dari titik pada kurva lama.
F. Contoh Soal dan Pembahasan
● Contoh Soal Mudah
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik A(2, 3) oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: A(2, 3), θ = 90°, pusat O(0, 0)
cos 90° = 0, sin 90° = 1
x’ = x cos 90° − y sin 90° = 2(0) − 3(1) = 0 − 3 = −3
y’ = x sin 90° + y cos 90° = 2(1) + 3(0) = 2 + 0 = 2
Jadi, bayangan titik A adalah A'(−3, 2)
Contoh 2:
Tentukan bayangan titik B(4, −1) oleh rotasi sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: B(4, −1), θ = 180°
cos 180° = −1, sin 180° = 0
x’ = 4(−1) − (−1)(0) = −4 − 0 = −4
y’ = 4(0) + (−1)(−1) = 0 + 1 = 1
Jadi, bayangan titik B adalah B'(−4, 1)
Contoh 3:
Tentukan bayangan titik C(−1, 5) oleh rotasi sejauh 270° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: C(−1, 5), θ = 270°
cos 270° = 0, sin 270° = −1
x’ = (−1)(0) − 5(−1) = 0 + 5 = 5
y’ = (−1)(−1) + 5(0) = 1 + 0 = 1
Jadi, bayangan titik C adalah C'(5, 1)
Contoh 4:
Tentukan bayangan titik D(0, 6) oleh rotasi sejauh −90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: D(0, 6), θ = −90°
cos(−90°) = 0, sin(−90°) = −1
x’ = 0(0) − 6(−1) = 0 + 6 = 6
y’ = 0(−1) + 6(0) = 0 + 0 = 0
Jadi, bayangan titik D adalah D'(6, 0)
Contoh 5:
Tentukan bayangan titik E(−3, −2) oleh rotasi sejauh 360° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: E(−3, −2), θ = 360°
cos 360° = 1, sin 360° = 0
x’ = (−3)(1) − (−2)(0) = −3 − 0 = −3
y’ = (−3)(0) + (−2)(1) = 0 + (−2) = −2
Jadi, bayangan titik E adalah E'(−3, −2) — sama dengan titik asal (rotasi penuh).
● Contoh Soal Sedang
Contoh 6:
Tentukan bayangan titik P(4, 2) oleh rotasi sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: P(4, 2), θ = 45°
cos 45° = ½√2, sin 45° = ½√2
x’ = 4(½√2) − 2(½√2) = 2√2 − √2 = √2
y’ = 4(½√2) + 2(½√2) = 2√2 + √2 = 3√2
Jadi, bayangan titik P adalah P'(√2, 3√2)
Contoh 7:
Tentukan bayangan titik Q(1, √3) oleh rotasi sejauh 60° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: Q(1, √3), θ = 60°
cos 60° = ½, sin 60° = ½√3
x’ = 1(½) − √3(½√3) = ½ − ½(3) = ½ − 3/2 = −1
y’ = 1(½√3) + √3(½) = ½√3 + ½√3 = √3
Jadi, bayangan titik Q adalah Q'(−1, √3)
Contoh 8:
Tentukan bayangan titik R(3, 1) oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat P(1, 2).
Lihat Pembahasan
Diketahui: R(3, 1), θ = 90°, pusat P(1, 2)
cos 90° = 0, sin 90° = 1
x’ = (x−a) cos θ − (y−b) sin θ + a
x’ = (3−1)(0) − (1−2)(1) + 1 = 0 − (−1) + 1 = 0 + 1 + 1 = 2
y’ = (x−a) sin θ + (y−b) cos θ + b
y’ = (3−1)(1) + (1−2)(0) + 2 = 2 + 0 + 2 = 4
Jadi, bayangan titik R adalah R'(2, 4)
Contoh 9:
Tentukan bayangan titik S(5, −3) oleh rotasi sejauh −90° terhadap pusat P(2, 1).
Lihat Pembahasan
Diketahui: S(5, −3), θ = −90°, pusat P(2, 1)
cos(−90°) = 0, sin(−90°) = −1
x’ = (5−2)(0) − (−3−1)(−1) + 2 = 0 − (−4)(−1) + 2 = 0 − 4 + 2 = −2
y’ = (5−2)(−1) + (−3−1)(0) + 1 = −3 + 0 + 1 = −2
Jadi, bayangan titik S adalah S'(−2, −2)
Contoh 10:
Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: y = 2x + 1, θ = 90°
Untuk rotasi kurva, gunakan invers: x = x’ cos θ + y’ sin θ, y = −x’ sin θ + y’ cos θ
Dengan θ = 90°: cos 90° = 0, sin 90° = 1
x = x'(0) + y'(1) = y’
y = −x'(1) + y'(0) = −x’
Substitusi ke y = 2x + 1:
−x’ = 2(y’) + 1
−x’ = 2y’ + 1
x’ = −2y’ − 1
Ganti x’ → x, y’ → y:
x = −2y − 1 atau y = −½x − ½
Jadi, bayangan garis adalah y = −½x − ½
● Contoh Soal Sulit
Contoh 11:
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: y = x², θ = 90°
Invers rotasi 90°: x = y’, y = −x’
Substitusi ke y = x²:
−x’ = (y’)²
x’ = −(y’)²
Ganti x’ → x, y’ → y:
Jadi, bayangan kurva adalah x = −y² (parabola terbuka ke kiri)
Contoh 12:
Tentukan bayangan garis 3x + 4y = 12 oleh rotasi sejauh 180° terhadap pusat P(1, −1).
Lihat Pembahasan
Diketahui: 3x + 4y = 12, θ = 180°, pusat P(1, −1)
Untuk rotasi 180° terhadap P(a,b): x’ = −(x−a) + a = 2a − x, y’ = −(y−b) + b = 2b − y
Maka: x = 2a − x’ = 2(1) − x’ = 2 − x’
y = 2b − y’ = 2(−1) − y’ = −2 − y’
Substitusi ke 3x + 4y = 12:
3(2 − x’) + 4(−2 − y’) = 12
6 − 3x’ − 8 − 4y’ = 12
−3x’ − 4y’ − 2 = 12
−3x’ − 4y’ = 14
3x’ + 4y’ = −14
Jadi, bayangan garis adalah 3x + 4y = −14
Contoh 13:
Tentukan bayangan titik A(2, 1) oleh rotasi sejauh 30° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: A(2, 1), θ = 30°
cos 30° = ½√3, sin 30° = ½
x’ = 2(½√3) − 1(½) = √3 − ½
y’ = 2(½) + 1(½√3) = 1 + ½√3
Jadi, bayangan titik A adalah A'(√3 − ½, 1 + ½√3)
Contoh 14:
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 25 oleh rotasi sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: x² + y² = 25, θ = 45°
Invers rotasi 45°: x = x’ cos 45° + y’ sin 45° = ½√2(x’ + y’)
y = −x’ sin 45° + y’ cos 45° = ½√2(−x’ + y’)
Substitusi ke x² + y² = 25:
[½√2(x’ + y’)]² + [½√2(−x’ + y’)]² = 25
½(x’ + y’)² + ½(−x’ + y’)² = 25
½(x’² + 2x’y’ + y’²) + ½(x’² − 2x’y’ + y’²) = 25
½(2x’² + 2y’²) = 25
x’² + y’² = 25
Jadi, bayangan kurva adalah x² + y² = 25 (lingkaran berpusat O tetap tidak berubah oleh rotasi!)
Catatan: Lingkaran berpusat di pusat rotasi selalu invariant terhadap rotasi.
Contoh 15:
Titik A(p, q) dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0) menghasilkan A'(−4, 3). Tentukan nilai p + q.
Lihat Pembahasan
Diketahui: A(p, q) → rotasi 90° → A'(−4, 3)
Rumus rotasi 90°: P(x, y) → P'(−y, x)
Maka: x’ = −q = −4 → q = 4
y’ = p = 3 → p = 3
Jadi, p + q = 3 + 4 = 7
G. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal di atas terlebih dahulu!
● Latihan Soal Mudah
1. Tentukan bayangan titik (5, 2) oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
2. Tentukan bayangan titik (−3, 4) oleh rotasi sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0).
3. Tentukan bayangan titik (1, −6) oleh rotasi sejauh 270° terhadap pusat O(0, 0).
4. Tentukan bayangan titik (0, 4) oleh rotasi sejauh −90° terhadap pusat O(0, 0).
5. Tentukan bayangan titik (−2, −7) oleh rotasi sejauh 360° terhadap pusat O(0, 0).
● Latihan Soal Sedang
6. Tentukan bayangan titik (3, 1) oleh rotasi sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
7. Tentukan bayangan titik (2, 0) oleh rotasi sejauh 60° terhadap pusat O(0, 0).
8. Tentukan bayangan titik (4, 3) oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat P(1, 1).
9. Tentukan bayangan titik (−2, 5) oleh rotasi sejauh 180° terhadap pusat P(3, −1).
10. Tentukan bayangan garis y = x + 3 oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
● Latihan Soal Sulit
11. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x oleh rotasi sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0).
12. Tentukan bayangan garis 2x − y + 5 = 0 oleh rotasi sejauh 90° terhadap pusat P(2, 3).
13. Titik A(a, b) dirotasikan sejauh 90° terhadap O(0, 0) menghasilkan A'(−5, 2). Tentukan nilai a² + b².
14. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh rotasi sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
15. Segitiga ABC dengan A(1, 0), B(4, 0), C(4, 3) dirotasikan sejauh −90° terhadap pusat P(2, 1). Tentukan koordinat bayangan ketiga titik tersebut.