Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Rotasi
📘 Materi: Matriks Rotasi
A. Pengertian Matriks Rotasi
Matriks rotasi adalah matriks transformasi yang digunakan untuk merotasikan (memutar) suatu titik atau bangun geometri terhadap titik pusat tertentu dengan sudut putar tertentu. Dalam konteks transformasi geometri, rotasi memindahkan setiap titik pada bidang dengan memutar titik tersebut sejauh sudut θ terhadap pusat rotasi.
Jika pusat rotasi berada di titik O(0, 0) dan sudut rotasi sebesar θ (berlawanan arah jarum jam dianggap positif), maka titik P(x, y) akan dipetakan ke titik P'(x’, y’) menggunakan matriks rotasi.
Matriks Rotasi dengan Pusat O(0,0) dan Sudut θ:
dengan θ = sudut rotasi (positif = berlawanan arah jarum jam)
Kegiatan: Mengamati
Amatilah ilustrasi rotasi berikut. Perhatikan bagaimana titik P(1, 0) bergerak ketika dirotasikan dengan sudut θ = 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat O(0,0).
Titik P(1, 0) setelah dirotasikan 90° menjadi P'(0, 1). Perhatikan bahwa cos 90° = 0 dan sin 90° = 1.
B. Penurunan Rumus Matriks Rotasi
Misalkan titik P(x, y) berada pada jarak r dari titik pusat O dan membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif, maka:
x = r cos α
y = r sin α
Setelah dirotasikan sejauh θ, titik P berpindah ke P’ yang membentuk sudut (α + θ) terhadap sumbu-x positif:
x’ = r cos(α + θ) = r(cos α cos θ − sin α sin θ) = x cos θ − y sin θ
y’ = r sin(α + θ) = r(sin α cos θ + cos α sin θ) = y cos θ + x sin θ
Sehingga dalam bentuk matriks diperoleh:
Kegiatan: Menanya
Setelah mempelajari konsep matriks rotasi, cobalah menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana bentuk matriks rotasi jika sudut rotasi bernilai negatif (searah jarum jam)?
- Apa yang terjadi jika kita merotasikan suatu titik sebesar 360°?
- Bagaimana jika pusat rotasi bukan di titik O(0,0)?
- Apakah urutan rotasi berpengaruh jika dilakukan dua kali rotasi berturut-turut?
C. Matriks Rotasi untuk Sudut-Sudut Istimewa
Berikut adalah matriks rotasi untuk sudut-sudut istimewa yang sering digunakan:
| Sudut (θ) | cos θ | sin θ | Matriks Rotasi |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 | 10 01 |
| 30° | ½√3 | ½ | ½√3−½ ½½√3 |
| 45° | ½√2 | ½√2 | ½√2−½√2 ½√2½√2 |
| 60° | ½ | ½√3 | ½−½√3 ½√3½ |
| 90° | 0 | 1 | 0−1 10 |
| 180° | −1 | 0 | −10 0−1 |
| 270° (−90°) | 0 | −1 | 01 −10 |
Kegiatan: Menalar
Perhatikan pola berikut dan tarik kesimpulan:
- Jika titik A(3, 0) dirotasikan 90° → A'(0, 3). Jika dirotasikan lagi 90° → A”(−3, 0). Apa pola yang terbentuk?
- Matriks rotasi 90° dikali matriks rotasi 90° hasilnya sama dengan matriks rotasi berapa derajat?
- Determinan matriks rotasi selalu bernilai berapa? Mengapa demikian?
Jawaban penalaran:
1. Setiap rotasi 90° memindahkan titik ke kuadran berikutnya. Empat kali rotasi 90° = kembali ke posisi awal (360°).
2. Matriks rotasi 90° × matriks rotasi 90° = matriks rotasi 180°. Secara umum: R(α) × R(β) = R(α + β).
3. Determinan matriks rotasi = cos²θ + sin²θ = 1. Ini karena rotasi mempertahankan jarak (isometri).
D. Rotasi dengan Pusat P(a, b)
Jika pusat rotasi bukan di titik O(0,0) melainkan di titik P(a, b), maka langkah-langkahnya adalah:
- Translasikan titik sehingga pusat rotasi menjadi O(0,0): kurangi koordinat dengan (a, b)
- Lakukan rotasi dengan matriks rotasi
- Translasikan kembali: tambahkan (a, b)
Rumus Rotasi dengan Pusat P(a, b) dan Sudut θ:
Kegiatan: Mencoba
Cobalah lakukan langkah-langkah berikut:
- Ambil selembar kertas berpetak dan gambar titik A(4, 2).
- Tentukan titik pusat rotasi di O(0,0).
- Rotasikan titik A sejauh 90° berlawanan arah jarum jam menggunakan matriks rotasi.
- Hitung: x’ = 4·cos90° − 2·sin90° = 4(0) − 2(1) = −2
- Hitung: y’ = 4·sin90° + 2·cos90° = 4(1) + 2(0) = 4
- Plot titik A'(−2, 4) pada kertas berpetak. Periksa apakah jarak OA = OA’.
Catatan: OA = √(16+4) = √20, OA’ = √(4+16) = √20 ✓ (jarak tetap sama)
E. Sifat-Sifat Matriks Rotasi
- Determinan = 1: det(R(θ)) = cos²θ + sin²θ = 1
- Ortogonal: R(θ)ᵀ = R(θ)⁻¹ = R(−θ)
- Komposisi: R(α) × R(β) = R(α + β)
- Invers: R(θ)⁻¹ = R(−θ)
- Isometri: Jarak antar titik tidak berubah setelah rotasi
- Mempertahankan orientasi: Tidak mengubah arah putaran (searah/berlawanan jarum jam)
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dan presentasikan kepada teman-teman:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa rotasi mempertahankan jarak (isometri).
- Berikan contoh penerapan matriks rotasi dalam kehidupan sehari-hari (misalnya: animasi komputer, rotasi baling-baling, putaran roda).
- Buatlah tabel yang menunjukkan hasil rotasi titik (1, 0) untuk sudut 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, dan 360°.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah
MudahContoh 1
Tentukan bayangan titik A(3, 0) jika dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik A(3, 0), θ = 90°, pusat O(0,0)
cos 90° = 0, sin 90° = 1
x’ = x cos θ − y sin θ = 3(0) − 0(1) = 0
y’ = x sin θ + y cos θ = 3(1) + 0(0) = 3
Bayangan A’ = (0, 3)
MudahContoh 2
Tentukan bayangan titik B(0, 4) jika dirotasikan sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik B(0, 4), θ = 180°
cos 180° = −1, sin 180° = 0
x’ = 0(−1) − 4(0) = 0
y’ = 0(0) + 4(−1) = −4
Bayangan B’ = (0, −4)
MudahContoh 3
Tentukan bayangan titik C(2, 3) jika dirotasikan sejauh 270° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik C(2, 3), θ = 270°
cos 270° = 0, sin 270° = −1
x’ = 2(0) − 3(−1) = 3
y’ = 2(−1) + 3(0) = −2
Bayangan C’ = (3, −2)
MudahContoh 4
Tentukan bayangan titik D(−1, 2) jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik D(−1, 2), θ = 90°
cos 90° = 0, sin 90° = 1
x’ = (−1)(0) − 2(1) = −2
y’ = (−1)(1) + 2(0) = −1
Bayangan D’ = (−2, −1)
MudahContoh 5
Tentukan bayangan titik E(5, 5) jika dirotasikan sejauh 360° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik E(5, 5), θ = 360°
cos 360° = 1, sin 360° = 0
x’ = 5(1) − 5(0) = 5
y’ = 5(0) + 5(1) = 5
Bayangan E’ = (5, 5) → Titik kembali ke posisi semula
🟡 Contoh Soal Sedang
SedangContoh 6
Tentukan bayangan titik A(2, 4) jika dirotasikan sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik A(2, 4), θ = 45°
cos 45° = ½√2, sin 45° = ½√2
x’ = 2(½√2) − 4(½√2) = √2 − 2√2 = −√2
y’ = 2(½√2) + 4(½√2) = √2 + 2√2 = 3√2
Bayangan A’ = (−√2, 3√2)
SedangContoh 7
Tentukan bayangan titik B(1, √3) jika dirotasikan sejauh 60° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik B(1, √3), θ = 60°
cos 60° = ½, sin 60° = ½√3
x’ = 1(½) − √3(½√3) = ½ − ³⁄₂ = −1
y’ = 1(½√3) + √3(½) = ½√3 + ½√3 = √3
Bayangan B’ = (−1, √3)
SedangContoh 8
Tentukan bayangan titik C(4, 1) jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat P(1, 1).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik C(4, 1), pusat P(1, 1), θ = 90°
Langkah 1: Translasi → (4−1, 1−1) = (3, 0)
Langkah 2: Rotasi 90°
x’ = 3(0) − 0(1) = 0
y’ = 3(1) + 0(0) = 3
Langkah 3: Translasi kembali → (0+1, 3+1) = (1, 4)
Bayangan C’ = (1, 4)
SedangContoh 9
Tentukan bayangan titik D(3, −1) jika dirotasikan sejauh −90° (searah jarum jam) terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: titik D(3, −1), θ = −90°
cos(−90°) = 0, sin(−90°) = −1
x’ = 3(0) − (−1)(−1) = 0 − 1 = −1
y’ = 3(−1) + (−1)(0) = −3 + 0 = −3
Bayangan D’ = (−1, −3)
SedangContoh 10
Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Untuk rotasi 90°: x = −y’ dan y = x’ (substitusi invers rotasi)
Dari matriks rotasi −90° (invers): x = y’, y = −x’
Substitusi ke y = 2x + 1:
−x’ = 2(y’) + 1
−x’ = 2y’ + 1
x’ = −2y’ − 1
Ganti x’ → x, y’ → y:
x = −2y − 1
2y = −x − 1
y = −½x − ½
Bayangan garis: y = −½x − ½
🔴 Contoh Soal Sulit
SulitContoh 11
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 16 jika dirotasikan sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Diketahui: kurva x² + y² = 16 (lingkaran berpusat O, jari-jari 4)
Invers rotasi 45°: rotasi −45°
x = x’cos(−45°) − y’sin(−45°) = ½√2·x’ + ½√2·y’
y = x’sin(−45°) + y’cos(−45°) = −½√2·x’ + ½√2·y’
Substitusi ke x² + y²:
x² = (½√2·x’ + ½√2·y’)² = ½(x’ + y’)² = ½(x’² + 2x’y’ + y’²)
y² = (−½√2·x’ + ½√2·y’)² = ½(−x’ + y’)² = ½(x’² − 2x’y’ + y’²)
x² + y² = ½(x’² + 2x’y’ + y’²) + ½(x’² − 2x’y’ + y’²) = x’² + y’²
Bayangan kurva: x² + y² = 16 (lingkaran tetap sama karena simetris terhadap pusat)
SulitContoh 12
Tentukan bayangan kurva y = x² jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Invers rotasi 90° adalah rotasi −90°:
x = x’cos(−90°) − y’sin(−90°) = 0·x’ − (−1)·y’ = y’
y = x’sin(−90°) + y’cos(−90°) = (−1)·x’ + 0·y’ = −x’
Substitusi ke y = x²:
−x’ = (y’)²
x’ = −(y’)²
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan kurva: x = −y² (parabola terbuka ke kiri)
SulitContoh 13
Segitiga ABC memiliki titik sudut A(1, 0), B(4, 0), dan C(4, 3). Tentukan bayangan segitiga tersebut jika dirotasikan sejauh 60° terhadap pusat O(0, 0). Hitung juga luas bayangan segitiga.
Lihat Pembahasan
cos 60° = ½, sin 60° = ½√3
Titik A(1, 0):
x’ = 1(½) − 0(½√3) = ½
y’ = 1(½√3) + 0(½) = ½√3
A’ = (½, ½√3)
Titik B(4, 0):
x’ = 4(½) − 0(½√3) = 2
y’ = 4(½√3) + 0(½) = 2√3
B’ = (2, 2√3)
Titik C(4, 3):
x’ = 4(½) − 3(½√3) = 2 − ³⁄₂√3
y’ = 4(½√3) + 3(½) = 2√3 + ³⁄₂
C’ = (2 − ³⁄₂√3, 2√3 + ³⁄₂)
Luas bayangan: Karena rotasi adalah isometri (det = 1), luas tetap sama.
Luas asli = ½ × alas × tinggi = ½ × 3 × 3 = 4,5 satuan luas
Luas bayangan segitiga = 4,5 satuan luas
SulitContoh 14
Tentukan bayangan garis 3x + 4y = 12 jika dirotasikan sejauh 30° terhadap pusat O(0, 0).
Lihat Pembahasan
Invers rotasi 30° adalah rotasi −30°:
cos(−30°) = ½√3, sin(−30°) = −½
x = ½√3·x’ + ½·y’
y = −½·x’ + ½√3·y’
Substitusi ke 3x + 4y = 12:
3(½√3·x’ + ½·y’) + 4(−½·x’ + ½√3·y’) = 12
³⁄₂√3·x’ + ³⁄₂·y’ − 2x’ + 2√3·y’ = 12
(³⁄₂√3 − 2)x’ + (³⁄₂ + 2√3)y’ = 12
Bayangan: (³⁄₂√3 − 2)x + (³⁄₂ + 2√3)y = 12
SulitContoh 15
Titik A(5, 2) dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat P(2, −1). Kemudian hasilnya dirotasikan lagi sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0). Tentukan koordinat bayangan akhir titik A.
Lihat Pembahasan
Rotasi pertama: 90° terhadap P(2, −1)
Translasi: (5−2, 2−(−1)) = (3, 3)
Rotasi 90°: x’ = 3(0) − 3(1) = −3, y’ = 3(1) + 3(0) = 3
Translasi kembali: (−3+2, 3+(−1)) = (−1, 2)
Hasil rotasi pertama: A₁ = (−1, 2)
Rotasi kedua: 180° terhadap O(0, 0)
x’ = (−1)(−1) − 2(0) = 1
y’ = (−1)(0) + 2(−1) = −2
Bayangan akhir A” = (1, −2)
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan matriks rotasi yang telah dipelajari.
🟢 Latihan Soal Mudah
MudahSoal 1
Tentukan bayangan titik (4, 0) jika dirotasikan sejauh 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat O(0, 0).
MudahSoal 2
Tentukan bayangan titik (−2, 5) jika dirotasikan sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0).
MudahSoal 3
Tentukan bayangan titik (1, 1) jika dirotasikan sejauh 270° terhadap pusat O(0, 0).
MudahSoal 4
Tentukan bayangan titik (0, −3) jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
MudahSoal 5
Tentukan bayangan titik (6, 2) jika dirotasikan sejauh 360° terhadap pusat O(0, 0).
🟡 Latihan Soal Sedang
SedangSoal 6
Tentukan bayangan titik (3, 1) jika dirotasikan sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
SedangSoal 7
Tentukan bayangan titik (2, 2) jika dirotasikan sejauh 60° terhadap pusat O(0, 0).
SedangSoal 8
Tentukan bayangan titik (5, 3) jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat P(2, 1).
SedangSoal 9
Tentukan bayangan titik (4, −2) jika dirotasikan sejauh −90° (searah jarum jam) terhadap pusat O(0, 0).
SedangSoal 10
Tentukan bayangan garis y = x + 3 jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
🔴 Latihan Soal Sulit
SulitSoal 11
Tentukan bayangan kurva y = 2x² − 3 jika dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat O(0, 0).
SulitSoal 12
Segitiga PQR memiliki titik sudut P(0, 0), Q(6, 0), dan R(3, 4). Tentukan koordinat bayangan semua titik sudut jika segitiga dirotasikan sejauh 30° terhadap pusat O(0, 0).
SulitSoal 13
Tentukan bayangan garis 2x − y = 5 jika dirotasikan sejauh 45° terhadap pusat O(0, 0).
SulitSoal 14
Titik M(3, 4) dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat A(1, 2), kemudian hasilnya dirotasikan sejauh 90° terhadap pusat B(0, 0). Tentukan bayangan akhir titik M.
SulitSoal 15
Tentukan bayangan lingkaran (x − 2)² + (y − 3)² = 9 jika dirotasikan sejauh 180° terhadap pusat O(0, 0).