Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Translasi Ditentukan oleh Suatu Vektor
Transformasi Geometri
A. Pengertian Translasi
Translasi (pergeseran) adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Translasi ditentukan oleh suatu vektor translasi.
Definisi:
Jika titik A(x, y) ditranslasikan oleh vektor ab, maka bayangannya adalah:
A'(x + a, y + b)
Notasi Translasi:
T = ab
dengan:
a = pergeseran sejajar sumbu-x (positif ke kanan, negatif ke kiri)
b = pergeseran sejajar sumbu-y (positif ke atas, negatif ke bawah)
Rumus Translasi
Jika T = ab maka:
(x, y) → (x’, y’) = (x + a, y + b)
atau dapat ditulis:
x’ = x + a
y’ = y + b
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Titik P(2, 3) ditranslasikan oleh vektor 41.
Amati bahwa: P(2, 3) → P'(2+4, 3+1) = P'(6, 4). Titik bergeser 4 satuan ke kanan dan 1 satuan ke atas.
❓ Kegiatan: Menanya
- Bagaimana jika komponen vektor translasi bernilai negatif?
- Apakah bentuk dan ukuran bangun berubah setelah translasi?
- Bagaimana cara menentukan vektor translasi jika diketahui titik asal dan bayangannya?
💡 Kegiatan: Menalar
Dari pengamatan, kita dapat menyimpulkan:
- Translasi tidak mengubah bentuk, ukuran, dan orientasi bangun.
- Translasi hanya mengubah posisi bangun.
- Jika diketahui titik asal (x, y) dan bayangan (x’, y’), maka vektor translasi: ab = x’ − xy’ − y
Sifat-sifat Translasi
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | Isometri | Jarak antara dua titik tetap (tidak berubah) |
| 2 | Bentuk tetap | Bangun tidak berubah bentuk dan ukurannya |
| 3 | Sejajar | Garis dan bayangannya sejajar |
| 4 | Orientasi tetap | Arah putaran (CW/CCW) tidak berubah |
B. Translasi pada Garis (Kurva)
Jika kurva y = f(x) ditranslasikan oleh vektor ab, maka persamaan bayangan kurva diperoleh dengan substitusi:
x = x’ − a dan y = y’ − b
ke dalam persamaan y = f(x)
Sehingga bayangan kurva: y’ − b = f(x’ − a)
atau: y’ = f(x’ − a) + b
🧪 Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan bayangan dari:
- Titik A(1, −2) oleh T = 35
- Titik B(−4, 7) oleh T = −23
- Garis y = 2x + 1 oleh T = 1−3
Jawaban: 1) A'(4, 3) 2) B'(−6, 10) 3) y’ = 2x’ − 4
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri apa yang dimaksud translasi.
- Berikan contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari (misalnya: pergeseran meja, lift naik/turun).
- Presentasikan hasil pekerjaanmu di depan kelas.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
● Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik A(3, 2) oleh translasi T = 4−1
Pembahasan:
x’ = x + a = 3 + 4 = 7
y’ = y + b = 2 + (−1) = 1
Jadi, bayangan titik A adalah A'(7, 1).
Contoh 2:
Tentukan bayangan titik B(−1, 5) oleh translasi T = 32
Pembahasan:
x’ = −1 + 3 = 2
y’ = 5 + 2 = 7
Jadi, bayangan titik B adalah B'(2, 7).
Contoh 3:
Tentukan bayangan titik C(0, 0) oleh translasi T = −53
Pembahasan:
x’ = 0 + (−5) = −5
y’ = 0 + 3 = 3
Jadi, bayangan titik C adalah C'(−5, 3).
Contoh 4:
Titik P'(8, 3) adalah bayangan titik P oleh translasi T = 5−2. Tentukan koordinat titik P.
Pembahasan:
x = x’ − a = 8 − 5 = 3
y = y’ − b = 3 − (−2) = 5
Jadi, koordinat titik P adalah P(3, 5).
Contoh 5:
Tentukan vektor translasi yang memindahkan titik A(2, 1) ke A'(6, 4).
Pembahasan:
a = x’ − x = 6 − 2 = 4
b = y’ − y = 4 − 1 = 3
Jadi, vektor translasi T = 43
● Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh translasi T = 14
Pembahasan:
Substitusi x = x’ − 1 dan y = y’ − 4 ke persamaan garis:
y’ − 4 = 3(x’ − 1) − 2
y’ − 4 = 3x’ − 3 − 2
y’ = 3x’ − 5 + 4
y’ = 3x’ − 1
Jadi, bayangan garis adalah y = 3x − 1.
Contoh 7:
Tentukan bayangan garis 2x + y − 6 = 0 oleh translasi T = −23
Pembahasan:
Substitusi x = x’ − (−2) = x’ + 2 dan y = y’ − 3:
2(x’ + 2) + (y’ − 3) − 6 = 0
2x’ + 4 + y’ − 3 − 6 = 0
2x’ + y’ − 5 = 0
Jadi, bayangan garis adalah 2x + y − 5 = 0.
Contoh 8:
Segitiga ABC dengan A(1, 2), B(4, 2), C(4, 6) ditranslasikan oleh T = −31. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut.
Pembahasan:
A'(1+(−3), 2+1) = A'(−2, 3)
B'(4+(−3), 2+1) = B'(1, 3)
C'(4+(−3), 6+1) = C'(1, 7)
Jadi, bayangan segitiga ABC adalah A'(−2, 3), B'(1, 3), C'(1, 7).
Contoh 9:
Bayangan titik P(a, 2a) oleh translasi T = 3−1 adalah P'(7, b). Tentukan nilai a dan b.
Pembahasan:
Dari komponen x: a + 3 = 7 → a = 4
Dari komponen y: 2a + (−1) = b → b = 2(4) − 1 = 7
Jadi, a = 4 dan b = 7.
Contoh 10:
Tentukan bayangan parabola y = x² oleh translasi T = 2−3
Pembahasan:
Substitusi x = x’ − 2 dan y = y’ − (−3) = y’ + 3:
y’ + 3 = (x’ − 2)²
y’ = (x’ − 2)² − 3
y’ = x’² − 4x’ + 4 − 3
y’ = x’² − 4x’ + 1
Jadi, bayangan parabola adalah y = x² − 4x + 1.
● Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 25 oleh translasi T = 3−4
Pembahasan:
Substitusi x = x’ − 3 dan y = y’ + 4:
(x’ − 3)² + (y’ + 4)² = 25
Jadi, bayangan lingkaran adalah (x − 3)² + (y + 4)² = 25.
Lingkaran berpusat di (3, −4) dengan jari-jari tetap 5.
Contoh 12:
Titik A(2, −1) ditranslasikan dua kali berturut-turut: pertama oleh T₁ = 32 kemudian oleh T₂ = −14. Tentukan bayangan akhir.
Pembahasan:
Translasi berturut-turut = penjumlahan vektor:
T = T₁ + T₂ = 3+(−1)2+4 = 26
A'(2+2, −1+6) = A'(4, 5)
Jadi, bayangan akhir titik A adalah A'(4, 5).
Contoh 13:
Tentukan bayangan garis y = x² − 4x + 3 oleh translasi T = −12
Pembahasan:
Substitusi x = x’ + 1 dan y = y’ − 2:
y’ − 2 = (x’ + 1)² − 4(x’ + 1) + 3
y’ − 2 = x’² + 2x’ + 1 − 4x’ − 4 + 3
y’ − 2 = x’² − 2x’
y’ = x’² − 2x’ + 2
Jadi, bayangan kurva adalah y = x² − 2x + 2.
Contoh 14:
Bayangan garis y = mx + 1 oleh translasi T = 2−3 melalui titik (1, 2). Tentukan nilai m.
Pembahasan:
Bayangan garis: substitusi x = x’ − 2, y = y’ + 3:
y’ + 3 = m(x’ − 2) + 1
y’ = mx’ − 2m + 1 − 3 = mx’ − 2m − 2
Bayangan melalui (1, 2):
2 = m(1) − 2m − 2
2 = m − 2m − 2
2 = −m − 2
m = −4
Jadi, nilai m = −4.
Contoh 15:
Lingkaran (x − 1)² + (y + 2)² = 9 ditranslasikan oleh T = pq sehingga pusat bayangannya di (4, 1). Tentukan p + q.
Pembahasan:
Pusat lingkaran asal: (1, −2)
Pusat bayangan: (4, 1)
p = 4 − 1 = 3
q = 1 − (−2) = 3
Jadi, p + q = 3 + 3 = 6.
D. Latihan Soal
● Tingkat Mudah
- Tentukan bayangan titik A(5, −3) oleh translasi T = 27
- Tentukan bayangan titik B(−2, 4) oleh translasi T = −3−1
- Tentukan bayangan titik C(0, −6) oleh translasi T = 46
- Titik P'(5, 2) adalah bayangan titik P oleh translasi T = 3−4. Tentukan koordinat P.
- Tentukan vektor translasi yang memindahkan titik (1, 3) ke (−2, 7).
● Tingkat Sedang
- Tentukan bayangan garis y = 2x + 5 oleh translasi T = −13
- Tentukan bayangan garis 3x − y + 4 = 0 oleh translasi T = 2−1
- Segitiga PQR dengan P(0, 1), Q(3, 1), R(3, 5) ditranslasikan oleh T = −23. Tentukan koordinat bayangan.
- Bayangan titik A(a, a+3) oleh translasi T = −24 adalah A'(3, b). Tentukan a dan b.
- Tentukan bayangan parabola y = x² + 2x oleh translasi T = 1−2
● Tingkat Sulit
- Tentukan bayangan lingkaran (x + 2)² + (y − 3)² = 16 oleh translasi T = 5−1
- Titik A(1, 2) ditranslasikan berturut-turut oleh T₁ = −34 dan T₂ = 5−2. Tentukan bayangan akhir.
- Bayangan garis y = mx − 3 oleh translasi T = 12 melalui titik (2, 5). Tentukan nilai m.
- Tentukan bayangan kurva y = x² − 6x + 8 oleh translasi T = 31. Nyatakan dalam bentuk sederhana.
- Lingkaran x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 ditranslasikan oleh T = pq sehingga pusat bayangannya berada di titik asal O(0, 0). Tentukan nilai p² + q².