Bahan Ajar Matematika

Transformasi Geometri – Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang

By admin #Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang, #Transformasi Geometri
Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang

Materi Lengkap β€’ Contoh Soal β€’ Latihan

A. Pengertian Refleksi (Pencerminan)

Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang ke bayangan (image) dengan menggunakan suatu garis tertentu sebagai cermin. Garis cermin ini disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan.

Sifat-sifat Refleksi:

  • Jarak titik asal ke garis cermin = jarak bayangan ke garis cermin
  • Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya tegak lurus terhadap garis cermin
  • Bangun asal dan bayangan kongruen (bentuk dan ukuran sama)
  • Orientasi bangun berubah (berlawanan)

πŸ” Kegiatan: Mengamati

Perhatikan gambar berikut. Titik A(2, 3) dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan A'(2, βˆ’3).

x y 1 2 3 A(2, 3) A'(2, βˆ’3) sumbu-x (cermin)

Amati bahwa: koordinat x tetap, sedangkan koordinat y berubah tanda (positif menjadi negatif). Ini menunjukkan rumus refleksi terhadap sumbu-x: (x, y) β†’ (x, βˆ’y).

B. Rumus-Rumus Persamaan Transformasi Refleksi

Berikut adalah rumus-rumus refleksi terhadap berbagai sumbu dan garis cermin:

Garis Cermin Rumus Bayangan Matriks Transformasi
Sumbu-x (y = 0) (x, y) β†’ (x, βˆ’y) [1, 0; 0, βˆ’1]
Sumbu-y (x = 0) (x, y) β†’ (βˆ’x, y) [βˆ’1, 0; 0, 1]
Garis y = x (x, y) β†’ (y, x) [0, 1; 1, 0]
Garis y = βˆ’x (x, y) β†’ (βˆ’y, βˆ’x) [0, βˆ’1; βˆ’1, 0]
Titik O(0, 0) (x, y) β†’ (βˆ’x, βˆ’y) [βˆ’1, 0; 0, βˆ’1]
Garis x = h (x, y) β†’ (2h βˆ’ x, y) β€”
Garis y = k (x, y) β†’ (x, 2k βˆ’ y) β€”
Titik (a, b) (x, y) β†’ (2a βˆ’ x, 2b βˆ’ y) β€”
Garis y = mx + c Menggunakan rumus umum (lihat penjelasan) β€”

❓ Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati tabel di atas, cobalah ajukan pertanyaan:

  • Mengapa refleksi terhadap sumbu-x hanya mengubah tanda y?
  • Mengapa refleksi terhadap garis y = x menukar koordinat x dan y?
  • Bagaimana cara menentukan bayangan jika garis cermin bukan sumbu koordinat?

B.1. Refleksi Terhadap Sumbu-x

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap sumbu-x, maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(x, βˆ’y)

Matriks:

(
x’ y’
) = (
10
0βˆ’1
) (
x y
)

Penjelasan: Pada pencerminan terhadap sumbu-x, setiap titik dipindahkan secara vertikal sehingga jarak titik ke sumbu-x sama dengan jarak bayangannya ke sumbu-x. Koordinat x tidak berubah, tetapi koordinat y berubah tanda.

B.2. Refleksi Terhadap Sumbu-y

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap sumbu-y, maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(βˆ’x, y)

Matriks:

(
x’ y’
) = (
βˆ’10
01
) (
x y
)

Penjelasan: Pada pencerminan terhadap sumbu-y, setiap titik dipindahkan secara horizontal. Koordinat y tetap, sedangkan koordinat x berubah tanda.

B.3. Refleksi Terhadap Garis y = x

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(y, x)

Matriks:

(
x’ y’
) = (
01
10
) (
x y
)

Penjelasan: Pencerminan terhadap garis y = x menukar posisi koordinat x dan y. Secara geometris, garis y = x membentuk sudut 45Β° terhadap sumbu-x.

B.4. Refleksi Terhadap Garis y = βˆ’x

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = βˆ’x, maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(βˆ’y, βˆ’x)

Matriks:

(
x’ y’
) = (
0βˆ’1
βˆ’10
) (
x y
)

Penjelasan: Pencerminan terhadap garis y = βˆ’x menukar koordinat x dan y, kemudian kedua koordinat berubah tanda.

B.5. Refleksi Terhadap Titik O(0, 0)

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap titik O(0, 0), maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(βˆ’x, βˆ’y)

Penjelasan: Pencerminan terhadap titik asal mengubah tanda kedua koordinat. Bayangan berada pada posisi yang diametralis terhadap titik asal.

B.6. Refleksi Terhadap Garis x = h

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(2h βˆ’ x, y)

Penjelasan: Garis x = h adalah garis vertikal. Koordinat y tidak berubah, sedangkan koordinat x baru dihitung dengan rumus 2h βˆ’ x.

B.7. Refleksi Terhadap Garis y = k

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = k, maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(x, 2k βˆ’ y)

Penjelasan: Garis y = k adalah garis horizontal. Koordinat x tidak berubah, sedangkan koordinat y baru dihitung dengan rumus 2k βˆ’ y.

B.8. Refleksi Terhadap Titik (a, b)

Rumus: Jika titik P(x, y) dicerminkan terhadap titik (a, b), maka bayangannya adalah:

P(x, y) β†’ P'(2a βˆ’ x, 2b βˆ’ y)

Penjelasan: Titik (a, b) merupakan titik tengah antara titik asal dan bayangannya.

πŸ’‘ Kegiatan: Menalar

Perhatikan bahwa:

  • Refleksi terhadap titik O(0,0) adalah kasus khusus dari refleksi terhadap titik (a, b) dengan a = 0 dan b = 0.
  • Refleksi terhadap sumbu-x adalah kasus khusus dari refleksi terhadap garis y = k dengan k = 0.
  • Refleksi terhadap sumbu-y adalah kasus khusus dari refleksi terhadap garis x = h dengan h = 0.
  • Jika refleksi dilakukan dua kali terhadap cermin yang sama, titik kembali ke posisi semula.

C. Refleksi Terhadap Garis y = mx + c (Garis Miring Umum)

Untuk refleksi terhadap garis y = mx + c yang tidak melewati titik asal, digunakan langkah-langkah berikut:

Langkah-langkah menentukan bayangan refleksi terhadap garis y = mx + c:

  1. Translasikan garis cermin agar melewati titik asal: y = mx (translasi sejauh (0, βˆ’c))
  2. Translasikan titik P(x, y) dengan translasi yang sama: P₁(x, y βˆ’ c)
  3. Cerminkan P₁ terhadap garis y = mx yang melewati titik asal
  4. Translasikan hasilnya kembali dengan (0, c)

Rumus Refleksi Terhadap Garis y = mx (melalui titik asal)

Jika tan ΞΈ = m, maka matriks refleksi terhadap garis y = mx adalah:

(
x’ y’
) = (
cos 2ΞΈsin 2ΞΈ
sin 2ΞΈβˆ’cos 2ΞΈ
) (
x y
)

Atau secara eksplisit dengan m = tan ΞΈ:

x’ = [(1 βˆ’ mΒ²)x + 2my] / (1 + mΒ²)

y’ = [2mx βˆ’ (1 βˆ’ mΒ²)y] / (1 + mΒ²)

✏️ Kegiatan: Mencoba

Cobalah tentukan bayangan titik A(4, 1) jika dicerminkan terhadap garis y = x:

  • Garis y = x memiliki m = 1, sehingga tan ΞΈ = 1, ΞΈ = 45Β°
  • cos 2ΞΈ = cos 90Β° = 0
  • sin 2ΞΈ = sin 90Β° = 1
  • x’ = (0)(4) + (1)(1) = 1
  • y’ = (1)(4) + (βˆ’0)(1) = 4
  • Bayangan A’ = (1, 4) βœ“ (sama dengan menukar x dan y)

D. Refleksi pada Persamaan Kurva/Garis

Untuk menentukan bayangan suatu kurva y = f(x) oleh refleksi, kita mensubstitusikan invers transformasi ke persamaan kurva.

Langkah menentukan bayangan kurva:

  1. Misalkan titik (x’, y’) adalah bayangan dari (x, y)
  2. Tentukan x dan y dalam x’ dan y’ menggunakan invers transformasi
  3. Substitusikan ke persamaan kurva asli
  4. Ganti x’ dengan x dan y’ dengan y untuk mendapatkan persamaan bayangan

Invers untuk setiap refleksi:

  • Refleksi terhadap sumbu-x: x = x’, y = βˆ’y’
  • Refleksi terhadap sumbu-y: x = βˆ’x’, y = y’
  • Refleksi terhadap y = x: x = y’, y = x’
  • Refleksi terhadap y = βˆ’x: x = βˆ’y’, y = βˆ’x’
  • Refleksi terhadap titik O: x = βˆ’x’, y = βˆ’y’

Catatan: Invers refleksi sama dengan refleksi itu sendiri (refleksi bersifat involusi).

πŸ“’ Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh: Tentukan bayangan kurva y = xΒ² + 2x oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Penyelesaian:

  • Refleksi terhadap sumbu-y: (x, y) β†’ (βˆ’x, y)
  • Inversnya: x = βˆ’x’, y = y’
  • Substitusi ke y = xΒ² + 2x: y’ = (βˆ’x’)Β² + 2(βˆ’x’) = x’Β² βˆ’ 2x’
  • Bayangan kurva: y = xΒ² βˆ’ 2x

Jelaskan kepada teman sekelasmu mengapa bayangan parabola y = xΒ² + 2x terhadap sumbu-y adalah y = xΒ² βˆ’ 2x. Apa hubungan antara kedua kurva tersebut secara geometris?

E. Contoh Soal dan Pembahasan

πŸ“— Contoh Soal Mudah

Mudah

Soal 1: Tentukan bayangan titik A(3, 5) jika dicerminkan terhadap sumbu-x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap sumbu-x: (x, y) β†’ (x, βˆ’y)

A(3, 5) β†’ A'(3, βˆ’5)

Jadi, bayangan titik A adalah A'(3, βˆ’5).

Mudah

Soal 2: Tentukan bayangan titik B(βˆ’2, 4) jika dicerminkan terhadap sumbu-y.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap sumbu-y: (x, y) β†’ (βˆ’x, y)

B(βˆ’2, 4) β†’ B'(2, 4)

Jadi, bayangan titik B adalah B'(2, 4).

Mudah

Soal 3: Tentukan bayangan titik C(1, 6) jika dicerminkan terhadap garis y = x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap garis y = x: (x, y) β†’ (y, x)

C(1, 6) β†’ C'(6, 1)

Jadi, bayangan titik C adalah C'(6, 1).

Mudah

Soal 4: Tentukan bayangan titik D(4, βˆ’3) jika dicerminkan terhadap titik O(0, 0).

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap titik O(0, 0): (x, y) β†’ (βˆ’x, βˆ’y)

D(4, βˆ’3) β†’ D'(βˆ’4, 3)

Jadi, bayangan titik D adalah D'(βˆ’4, 3).

Mudah

Soal 5: Tentukan bayangan titik E(5, 2) jika dicerminkan terhadap garis x = 3.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap garis x = h: (x, y) β†’ (2h βˆ’ x, y)

Dengan h = 3: E(5, 2) β†’ E'(2(3) βˆ’ 5, 2) = E'(1, 2)

Jadi, bayangan titik E adalah E'(1, 2).

πŸ“™ Contoh Soal Sedang

Sedang

Soal 1: Tentukan bayangan titik P(3, βˆ’1) jika dicerminkan terhadap garis y = βˆ’x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap garis y = βˆ’x: (x, y) β†’ (βˆ’y, βˆ’x)

P(3, βˆ’1) β†’ P'(βˆ’(βˆ’1), βˆ’3) = P'(1, βˆ’3)

Jadi, bayangan titik P adalah P'(1, βˆ’3).

Sedang

Soal 2: Tentukan bayangan titik Q(2, 5) jika dicerminkan terhadap garis y = 2.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap garis y = k: (x, y) β†’ (x, 2k βˆ’ y)

Dengan k = 2: Q(2, 5) β†’ Q'(2, 2(2) βˆ’ 5) = Q'(2, βˆ’1)

Jadi, bayangan titik Q adalah Q'(2, βˆ’1).

Sedang

Soal 3: Tentukan bayangan titik R(βˆ’1, 4) jika dicerminkan terhadap titik (2, 1).

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap titik (a, b): (x, y) β†’ (2a βˆ’ x, 2b βˆ’ y)

Dengan a = 2, b = 1: R(βˆ’1, 4) β†’ R'(2(2) βˆ’ (βˆ’1), 2(1) βˆ’ 4) = R'(5, βˆ’2)

Jadi, bayangan titik R adalah R'(5, βˆ’2).

Sedang

Soal 4: Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu-x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap sumbu-x: inversnya x = x’, y = βˆ’y’

Substitusi ke y = 2x + 3:

βˆ’y’ = 2x’ + 3

y’ = βˆ’2x’ βˆ’ 3

Ganti x’ β†’ x, y’ β†’ y:

Bayangan garis: y = βˆ’2x βˆ’ 3

Sedang

Soal 5: Tentukan bayangan kurva y = xΒ² jika dicerminkan terhadap garis y = x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap garis y = x: inversnya x = y’, y = x’

Substitusi ke y = xΒ²:

x’ = (y’)Β²

Ganti x’ β†’ x, y’ β†’ y:

x = yΒ²

Bayangan kurva: x = y² atau y = ±√x

πŸ“• Contoh Soal Sulit

Sulit

Soal 1: Tentukan bayangan kurva y = xΒ² βˆ’ 4x + 5 jika dicerminkan terhadap garis y = x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap garis y = x: inversnya x = y’, y = x’

Substitusi ke y = xΒ² βˆ’ 4x + 5:

x’ = (y’)Β² βˆ’ 4(y’) + 5

Ganti x’ β†’ x, y’ β†’ y:

x = yΒ² βˆ’ 4y + 5

Bayangan kurva: x = yΒ² βˆ’ 4y + 5

Atau dalam bentuk eksplisit: y = 2 Β± √(x βˆ’ 1)

Sulit

Soal 2: Tentukan bayangan titik A(4, 1) jika dicerminkan terhadap garis y = 2x.

Lihat Pembahasan

Garis y = 2x memiliki m = 2, sehingga tan ΞΈ = 2.

Dengan m = 2:

x’ = [(1 βˆ’ mΒ²)x + 2my] / (1 + mΒ²) = [(1 βˆ’ 4)(4) + 2(2)(1)] / (1 + 4)

x’ = [βˆ’12 + 4] / 5 = βˆ’8/5

y’ = [2mx βˆ’ (1 βˆ’ mΒ²)y] / (1 + mΒ²) = [2(2)(4) βˆ’ (1 βˆ’ 4)(1)] / 5

y’ = [16 + 3] / 5 = 19/5

Jadi, bayangan A adalah A'(βˆ’8/5, 19/5).

Sulit

Soal 3: Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 jika dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian hasilnya dicerminkan lagi terhadap sumbu-x.

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Refleksi terhadap y = x

Invers: x = y’, y = x’

Substitusi ke 2x + 3y = 6: 2y’ + 3x’ = 6

Hasil refleksi pertama: 3x + 2y = 6

Langkah 2: Refleksi terhadap sumbu-x

Invers: x = x’, y = βˆ’y’

Substitusi ke 3x + 2y = 6: 3x’ + 2(βˆ’y’) = 6

3x βˆ’ 2y = 6

Bayangan akhir: 3x βˆ’ 2y = 6

Sulit

Soal 4: Tentukan bayangan kurva y = 2xΒ² + x βˆ’ 1 jika dicerminkan terhadap garis y = βˆ’x.

Lihat Pembahasan

Refleksi terhadap y = βˆ’x: inversnya x = βˆ’y’, y = βˆ’x’

Substitusi ke y = 2xΒ² + x βˆ’ 1:

βˆ’x’ = 2(βˆ’y’)Β² + (βˆ’y’) βˆ’ 1

βˆ’x’ = 2y’Β² βˆ’ y’ βˆ’ 1

x’ = βˆ’2y’Β² + y’ + 1

Ganti x’ β†’ x, y’ β†’ y:

Bayangan kurva: x = βˆ’2yΒ² + y + 1

Sulit

Soal 5: Tentukan bayangan titik P(3, 2) jika dicerminkan terhadap garis y = x + 2.

Lihat Pembahasan

Garis y = x + 2 memiliki m = 1 dan c = 2.

Langkah 1: Translasi (0, βˆ’2) agar garis menjadi y = x melalui titik asal.

P(3, 2) β†’ P₁(3, 2 βˆ’ 2) = P₁(3, 0)

Langkah 2: Cerminkan P₁(3, 0) terhadap garis y = x.

P₁(3, 0) β†’ Pβ‚‚(0, 3)

Langkah 3: Translasi balik (0, 2).

Pβ‚‚(0, 3) β†’ P'(0, 3 + 2) = P'(0, 5)

Jadi, bayangan titik P adalah P'(0, 5).

F. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus-rumus yang telah dipelajari.

πŸ“— Latihan Soal Mudah

1. Tentukan bayangan titik (7, βˆ’2) jika dicerminkan terhadap sumbu-x.

2. Tentukan bayangan titik (βˆ’4, 3) jika dicerminkan terhadap sumbu-y.

3. Tentukan bayangan titik (5, βˆ’1) jika dicerminkan terhadap garis y = x.

4. Tentukan bayangan titik (βˆ’3, 6) jika dicerminkan terhadap titik O(0, 0).

5. Tentukan bayangan titik (4, 1) jika dicerminkan terhadap garis x = 2.

πŸ“™ Latihan Soal Sedang

1. Tentukan bayangan titik (βˆ’2, 5) jika dicerminkan terhadap garis y = βˆ’x.

2. Tentukan bayangan titik (3, 7) jika dicerminkan terhadap garis y = 4.

3. Tentukan bayangan titik (1, βˆ’3) jika dicerminkan terhadap titik (3, 2).

4. Tentukan bayangan garis y = 3x βˆ’ 1 jika dicerminkan terhadap sumbu-y.

5. Tentukan bayangan kurva y = xΒ² + 1 jika dicerminkan terhadap sumbu-x.

πŸ“• Latihan Soal Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = xΒ² βˆ’ 2x + 3 jika dicerminkan terhadap garis y = x.

2. Tentukan bayangan titik (5, 3) jika dicerminkan terhadap garis y = 3x.

3. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4 jika dicerminkan terhadap garis y = βˆ’x, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap sumbu-y.

4. Tentukan bayangan kurva y = xΒ³ βˆ’ x jika dicerminkan terhadap garis y = βˆ’x.

5. Tentukan bayangan titik (2, βˆ’1) jika dicerminkan terhadap garis y = 2x βˆ’ 3.

Materi Matematika – Epres.web.id & Ngelumath.com

By admin

Related Post

Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Bukti Tidak Langsung

admin
Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Induksi Matematika

admin
Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Bukti Langsung

admin

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

You Missed

Diet, olahraga, dan gaya hidup sehat Edukasi & Tutorial Konten edukasi ringan tapi informatif

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

Berita Terkini & Politik Isu kesehatan masyarakat Isu nasional/internasional Kesehatan & Kebugaran

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

Berita Terkini & Politik Isu kesehatan masyarakat Isu nasional/internasional

Menuju Indonesia yang Lebih Hijau: Pemerintah Gaungkan Inisiatif Indonesia ASRI pada 2026

Berita Terkini & Politik Isu nasional/internasional

RI Kian Ambisius, Inggris Siap Kawal Reformasi Ekonomi Nasional

You cannot copy content of this page