Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Melukis Bayangan Bangun Geometri oleh Refleksi terhadap Garis Tertentu
A. Pengertian Refleksi (Pencerminan)
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang ke posisi bayangannya dengan menggunakan suatu garis sebagai cermin (sumbu refleksi). Bayangan yang dihasilkan bersifat kongruen dengan bangun aslinya, namun orientasinya berkebalikan (seperti melihat pantulan di cermin).
Sifat-sifat Refleksi:
- Jarak titik ke garis cermin = jarak bayangan ke garis cermin
- Garis yang menghubungkan titik dan bayangannya tegak lurus terhadap garis cermin
- Bangun dan bayangannya kongruen (bentuk dan ukuran sama)
- Orientasi bangun dan bayangannya berlawanan
B. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Sebuah segitiga ABC dicerminkan terhadap garis y = x.
Amati bahwa setiap titik pada segitiga asli dipetakan ke bayangan dengan aturan: titik (x, y) menjadi (y, x) saat dicerminkan terhadap garis y = x.
❓ Menanya
Setelah mengamati, ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan bayangan suatu bangun geometri jika dicerminkan terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis y = x, atau garis y = −x?
- Apakah luas bangun berubah setelah dicerminkan?
- Bagaimana cara mencerminkan bangun terhadap garis x = h atau y = k?
- Bagaimana langkah melukis bayangan bangun geometri secara manual?
💡 Menalar
Berdasarkan pengamatan, kita dapat menyusun rumus-rumus refleksi sebagai berikut:
| Garis Cermin | Titik Asal (x, y) | Bayangan (x’, y’) |
|---|---|---|
| Sumbu-x (y = 0) | (x, y) | (x, −y) |
| Sumbu-y (x = 0) | (x, y) | (−x, y) |
| Garis y = x | (x, y) | (y, x) |
| Garis y = −x | (x, y) | (−y, −x) |
| Garis x = h | (x, y) | (2h − x, y) |
| Garis y = k | (x, y) | (x, 2k − y) |
| Titik (a, b) | (x, y) | (2a − x, 2b − y) |
Notasi Refleksi:
Refleksi terhadap garis l ditulis: Ml
Contoh: My=x(x, y) = (y, x)
Msumbu-x(x, y) = (x, −y)
Mx=3(x, y) = (6 − x, y)
✏️ Mencoba
Kegiatan: Lukislah bayangan persegi panjang ABCD dengan A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3), D(1, 3) terhadap garis y = x.
Langkah-langkah:
- Gambar bidang koordinat dan garis y = x
- Plot titik-titik A, B, C, D pada bidang koordinat
- Gunakan rumus refleksi y = x: (x, y) → (y, x)
- Hitung bayangan setiap titik:
- A(1, 1) → A'(1, 1)
- B(4, 1) → B'(1, 4)
- C(4, 3) → C'(3, 4)
- D(1, 3) → D'(3, 1)
- Hubungkan titik-titik bayangan A’B’C’D’
📢 Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil kerjamu dengan memperhatikan hal-hal berikut:
- Jelaskan langkah-langkah melukis bayangan bangun geometri
- Tunjukkan bahwa bangun asli dan bayangan kongruen
- Jelaskan hubungan koordinat titik-titik asli dengan bayangannya
- Verifikasi bahwa jarak setiap titik ke garis cermin sama dengan jarak bayangannya ke garis cermin
C. Refleksi terhadap Berbagai Garis Cermin
1. Refleksi terhadap Sumbu-x
Setiap titik (x, y) yang dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan bayangan (x, −y). Komponen x tetap, komponen y berubah tanda.
Msumbu-x(x, y) = (x, −y)
2. Refleksi terhadap Sumbu-y
Setiap titik (x, y) yang dicerminkan terhadap sumbu-y menghasilkan bayangan (−x, y). Komponen y tetap, komponen x berubah tanda.
Msumbu-y(x, y) = (−x, y)
3. Refleksi terhadap Garis y = x
Setiap titik (x, y) yang dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayangan (y, x). Koordinat x dan y saling bertukar posisi.
My=x(x, y) = (y, x)
4. Refleksi terhadap Garis y = −x
Setiap titik (x, y) yang dicerminkan terhadap garis y = −x menghasilkan bayangan (−y, −x).
My=−x(x, y) = (−y, −x)
5. Refleksi terhadap Garis x = h
Setiap titik (x, y) yang dicerminkan terhadap garis vertikal x = h menghasilkan bayangan (2h − x, y).
Mx=h(x, y) = (2h − x, y)
Contoh: Mx=3(5, 2) = (2(3) − 5, 2) = (1, 2)
6. Refleksi terhadap Garis y = k
Setiap titik (x, y) yang dicerminkan terhadap garis horizontal y = k menghasilkan bayangan (x, 2k − y).
My=k(x, y) = (x, 2k − y)
Contoh: My=2(3, 5) = (3, 2(2) − 5) = (3, −1)
D. Langkah-Langkah Melukis Bayangan Bangun Geometri
- Gambar bidang koordinat lengkap dengan sumbu-x, sumbu-y, dan skala yang sesuai
- Gambar garis cermin (sumbu refleksi) dengan garis putus-putus
- Plot semua titik sudut bangun geometri pada bidang koordinat
- Tentukan bayangan setiap titik sudut menggunakan rumus refleksi yang sesuai
- Plot titik-titik bayangan pada bidang koordinat
- Hubungkan titik-titik bayangan sesuai urutan titik pada bangun asli
- Verifikasi: pastikan jarak setiap titik ke garis cermin = jarak bayangannya ke garis cermin
E. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik A(3, 5) jika dicerminkan terhadap sumbu-x. Kemudian lukiskan pada bidang koordinat.
Pembahasan:
Rumus refleksi terhadap sumbu-x: Msumbu-x(x, y) = (x, −y)
A(3, 5) → A'(3, −5)
Jadi bayangan titik A adalah A'(3, −5).
Contoh 2:
Tentukan bayangan titik B(−2, 4) jika dicerminkan terhadap sumbu-y.
Pembahasan:
Rumus refleksi terhadap sumbu-y: Msumbu-y(x, y) = (−x, y)
B(−2, 4) → B'(−(−2), 4) = B'(2, 4)
Jadi bayangan titik B adalah B'(2, 4).
Contoh 3:
Tentukan bayangan titik C(4, 1) jika dicerminkan terhadap garis y = x.
Pembahasan:
Rumus refleksi terhadap garis y = x: My=x(x, y) = (y, x)
C(4, 1) → C'(1, 4)
Jadi bayangan titik C adalah C'(1, 4).
Contoh 4:
Segmen garis AB dengan A(1, 2) dan B(4, 2) dicerminkan terhadap sumbu-x. Tentukan bayangan segmen garis tersebut.
Pembahasan:
Msumbu-x(x, y) = (x, −y)
A(1, 2) → A'(1, −2)
B(4, 2) → B'(4, −2)
Bayangan segmen garis AB adalah segmen A’B’ dengan A'(1, −2) dan B'(4, −2).
Contoh 5:
Tentukan bayangan titik D(−3, 2) jika dicerminkan terhadap garis y = −x.
Pembahasan:
Rumus refleksi terhadap garis y = −x: My=−x(x, y) = (−y, −x)
D(−3, 2) → D'(−2, −(−3)) = D'(−2, 3)
Jadi bayangan titik D adalah D'(−2, 3).
📙 Contoh Soal Sedang
Contoh 6:
Segitiga PQR dengan P(1, 1), Q(5, 1), R(3, 4) dicerminkan terhadap garis x = 2. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut dan lukiskan.
Pembahasan:
Rumus: Mx=2(x, y) = (2(2) − x, y) = (4 − x, y)
P(1, 1) → P'(4 − 1, 1) = P'(3, 1)
Q(5, 1) → Q'(4 − 5, 1) = Q'(−1, 1)
R(3, 4) → R'(4 − 3, 4) = R'(1, 4)
Bayangan segitiga PQR adalah segitiga P’Q’R’ dengan P'(3, 1), Q'(−1, 1), R'(1, 4).
Contoh 7:
Persegi ABCD dengan A(0, 0), B(3, 0), C(3, 3), D(0, 3) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangan dan buktikan hasilnya tetap persegi.
Pembahasan:
My=x(x, y) = (y, x)
A(0, 0) → A'(0, 0)
B(3, 0) → B'(0, 3)
C(3, 3) → C'(3, 3)
D(0, 3) → D'(3, 0)
Bukti tetap persegi:
|A’B’| = √((0−0)² + (3−0)²) = 3
|B’C’| = √((3−0)² + (3−3)²) = 3
|C’D’| = √((3−3)² + (0−3)²) = 3
|D’A’| = √((0−3)² + (0−0)²) = 3
Semua sisi sama panjang = 3, maka hasilnya tetap persegi. ✓
Contoh 8:
Tentukan bayangan segitiga dengan titik sudut A(2, 3), B(6, 3), C(4, 7) jika dicerminkan terhadap garis y = 2.
Pembahasan:
Rumus: My=2(x, y) = (x, 2(2) − y) = (x, 4 − y)
A(2, 3) → A'(2, 4 − 3) = A'(2, 1)
B(6, 3) → B'(6, 4 − 3) = B'(6, 1)
C(4, 7) → C'(4, 4 − 7) = C'(4, −3)
Bayangan segitiga: A'(2, 1), B'(6, 1), C'(4, −3).
Contoh 9:
Jajargenjang KLMN dengan K(1, 0), L(4, 0), M(5, 3), N(2, 3) dicerminkan terhadap sumbu-y. Tentukan bayangan dan luas bangun bayangan.
Pembahasan:
Msumbu-y(x, y) = (−x, y)
K(1, 0) → K'(−1, 0)
L(4, 0) → L'(−4, 0)
M(5, 3) → M'(−5, 3)
N(2, 3) → N'(−2, 3)
Luas jajargenjang asli: alas × tinggi = 3 × 3 = 9 satuan luas
Luas bayangan: Karena refleksi bersifat kongruen, luas bayangan = 9 satuan luas.
Contoh 10:
Titik P(a, b) dicerminkan terhadap garis x = 4 menghasilkan bayangan P'(1, 3). Tentukan nilai a dan b.
Pembahasan:
Rumus: Mx=4(a, b) = (2(4) − a, b) = (8 − a, b)
Diketahui bayangan P'(1, 3), maka:
8 − a = 1 → a = 7
b = 3
Jadi a = 7 dan b = 3, sehingga P(7, 3).
📕 Contoh Soal Sulit
Contoh 11:
Segitiga ABC dengan A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6) dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian hasilnya dicerminkan lagi terhadap sumbu-x. Tentukan koordinat bayangan akhir.
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap y = x
My=x(x, y) = (y, x)
A(1, 2) → A₁(2, 1)
B(5, 2) → B₁(2, 5)
C(3, 6) → C₁(6, 3)
Langkah 2: Refleksi terhadap sumbu-x
Msumbu-x(x, y) = (x, −y)
A₁(2, 1) → A'(2, −1)
B₁(2, 5) → B'(2, −5)
C₁(6, 3) → C'(6, −3)
Bayangan akhir: A'(2, −1), B'(2, −5), C'(6, −3).
Contoh 12:
Persegi panjang ABCD dengan A(−1, 1), B(3, 1), C(3, 4), D(−1, 4) dicerminkan terhadap garis x = 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh bangun asli dan bayangannya (daerah di antara keduanya).
Pembahasan:
Mx=5(x, y) = (10 − x, y)
A(−1, 1) → A'(11, 1)
B(3, 1) → B'(7, 1)
C(3, 4) → C'(7, 4)
D(−1, 4) → D'(11, 4)
Bangun asli: x dari −1 sampai 3 (lebar 4), y dari 1 sampai 4 (tinggi 3)
Bayangan: x dari 7 sampai 11 (lebar 4), y dari 1 sampai 4 (tinggi 3)
Jarak antara bangun asli dan bayangan: 7 − 3 = 4
Luas daerah di antara keduanya = jarak × tinggi = 4 × 3 = 12 satuan luas
Contoh 13:
Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 jika dicerminkan terhadap garis y = x.
Pembahasan:
Untuk mencerminkan suatu kurva terhadap y = x, kita tukar variabel x dan y.
Garis asli: y = 2x + 3
Tukar x dan y: x = 2y + 3
Selesaikan untuk y:
2y = x − 3
y = (x − 3)/2 = ½x − 3/2
Bayangan garis y = 2x + 3 terhadap garis y = x adalah y = ½x − 3/2.
Contoh 14:
Segitiga PQR dengan P(2, 1), Q(6, 1), R(4, 5) dicerminkan terhadap garis y = −x. Buktikan bahwa luas segitiga bayangan sama dengan luas segitiga asli.
Pembahasan:
My=−x(x, y) = (−y, −x)
P(2, 1) → P'(−1, −2)
Q(6, 1) → Q'(−1, −6)
R(4, 5) → R'(−5, −4)
Luas segitiga asli:
L = ½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
L = ½|2(1 − 5) + 6(5 − 1) + 4(1 − 1)|
L = ½|2(−4) + 6(4) + 4(0)| = ½|−8 + 24 + 0| = ½ × 16 = 8
Luas segitiga bayangan:
L’ = ½|(−1)(−6 − (−4)) + (−1)((−4) − (−2)) + (−5)((−2) − (−6))|
L’ = ½|(−1)(−2) + (−1)(−2) + (−5)(4)|
L’ = ½|2 + 2 − 20| = ½ × |−16| = ½ × 16 = 8
Luas segitiga asli = Luas bayangan = 8 satuan luas. Terbukti. ✓
Contoh 15:
Tentukan bayangan parabola y = x² − 4x + 3 jika dicerminkan terhadap garis y = −x.
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = −x: (x, y) → (−y, −x)
Misalkan bayangan (x’, y’) = (−y, −x), maka x = −y’ dan y = −x’
Substitusi ke persamaan asli:
−x’ = (−y’)² − 4(−y’) + 3
−x’ = y’² + 4y’ + 3
x’ = −y’² − 4y’ − 3
Ganti x’ dengan x dan y’ dengan y:
x = −y² − 4y − 3
atau equivalen: x = −(y + 2)² + 1
F. Latihan Soal
⚠️ Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Lukiskan bayangan pada bidang koordinat jika diminta.
📗 Soal Mudah
1. Tentukan bayangan titik A(4, −3) jika dicerminkan terhadap sumbu-x.
2. Tentukan bayangan titik B(−5, 2) jika dicerminkan terhadap sumbu-y.
3. Tentukan bayangan titik C(3, 7) jika dicerminkan terhadap garis y = x.
4. Tentukan bayangan titik D(−1, 4) jika dicerminkan terhadap garis y = −x.
5. Segmen garis PQ dengan P(2, 5) dan Q(6, 5) dicerminkan terhadap sumbu-x. Tentukan koordinat bayangan P’ dan Q’.
📙 Soal Sedang
6. Segitiga ABC dengan A(0, 0), B(4, 0), C(2, 5) dicerminkan terhadap garis x = 3. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut dan lukiskan pada bidang koordinat.
7. Persegi panjang KLMN dengan K(1, 1), L(5, 1), M(5, 4), N(1, 4) dicerminkan terhadap garis y = 3. Tentukan koordinat bayangan dan buktikan hasilnya kongruen dengan bangun asli.
8. Titik P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = −x menghasilkan bayangan P'(−3, 5). Tentukan nilai a dan b.
9. Trapesium ABCD dengan A(1, 0), B(5, 0), C(4, 3), D(2, 3) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangan dan hitung luas bayangan.
10. Segitiga PQR dengan P(−2, 1), Q(2, 1), R(0, 4) dicerminkan terhadap garis x = −1. Tentukan koordinat bayangan dan lukiskan kedua segitiga pada bidang koordinat.
📕 Soal Sulit
11. Segitiga ABC dengan A(1, 1), B(4, 1), C(2, 5) dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis y = −x. Tentukan koordinat bayangan akhir dan tunjukkan bahwa hasil komposisi refleksi tersebut ekuivalen dengan rotasi 180° terhadap titik asal.
12. Tentukan bayangan garis 3x + 2y = 6 jika dicerminkan terhadap garis y = x.
13. Lingkaran dengan pusat O(3, 2) dan jari-jari 4 dicerminkan terhadap garis y = −1. Tentukan persamaan lingkaran bayangan dan lukiskan kedua lingkaran pada bidang koordinat.
14. Tentukan bayangan parabola y = x² + 2x − 1 jika dicerminkan terhadap garis y = x. Nyatakan dalam bentuk eksplisit jika memungkinkan.
15. Sebuah belah ketupat ABCD memiliki diagonal-diagonal yang berpotongan di titik (3, 2). Titik A(3, 5) dan B(6, 2). Tentukan koordinat semua titik sudut, kemudian cerminkan belah ketupat tersebut terhadap garis x = −1. Tentukan koordinat bayangan dan hitung luas daerah antara bangun asli dan bayangannya.
G. Rangkuman
- ✅ Refleksi (pencerminan) menghasilkan bayangan yang kongruen dengan orientasi berlawanan
- ✅ Msumbu-x(x, y) = (x, −y)
- ✅ Msumbu-y(x, y) = (−x, y)
- ✅ My=x(x, y) = (y, x)
- ✅ My=−x(x, y) = (−y, −x)
- ✅ Mx=h(x, y) = (2h − x, y)
- ✅ My=k(x, y) = (x, 2k − y)
- ✅ Untuk mencerminkan kurva f(x, y) = 0 terhadap y = x, tukar x dan y
- ✅ Luas bangun tidak berubah setelah refleksi