Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Transformasi Refleksi
Pencerminan terhadap sumbu-x, sumbu-y, garis y = x, dan garis y = −x
Materi
1. Pengertian Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang ke posisi bayangan (cermin) terhadap suatu garis tertentu yang disebut sumbu pencerminan (mirror line). Jarak titik asal ke sumbu cermin sama dengan jarak bayangan ke sumbu cermin.
Dalam aljabar, refleksi dapat dinyatakan menggunakan matriks transformasi. Jika titik asal dinyatakan sebagai vektor kolom, maka bayangan diperoleh dengan mengalikan matriks refleksi dengan vektor posisi titik tersebut.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan sebuah titik A(3, 2). Jika dicerminkan terhadap sumbu-x, bayangan titik A akan berada di A'(3, −2). Perhatikan bahwa nilai x tetap, sedangkan nilai y berubah tanda. Pola ini berlaku untuk semua titik yang dicerminkan terhadap sumbu-x.
2. Rumus Umum Matriks Refleksi
Jika titik P(x, y) ditransformasi oleh matriks M menghasilkan bayangan P'(x’, y’), maka:
dengan matriks M bergantung pada sumbu pencerminan yang digunakan.
3. Refleksi terhadap Sumbu-x
Pencerminan terhadap sumbu-x mengubah titik P(x, y) menjadi P'(x, −y). Matriks transformasinya:
Hasil: (x’, y’) = (x, −y)
❓ Kegiatan: Menanya
Mengapa pada refleksi terhadap sumbu-x, komponen x tidak berubah sedangkan komponen y berubah tanda? Karena sumbu-x adalah garis cermin horizontal — titik “dipantulkan” secara vertikal.
4. Refleksi terhadap Sumbu-y
Pencerminan terhadap sumbu-y mengubah titik P(x, y) menjadi P'(−x, y). Matriks transformasinya:
Hasil: (x’, y’) = (−x, y)
5. Refleksi terhadap Garis y = x
Pencerminan terhadap garis y = x mengubah titik P(x, y) menjadi P'(y, x). Koordinat x dan y saling bertukar. Matriks transformasinya:
Hasil: (x’, y’) = (y, x)
💡 Kegiatan: Menalar
Perhatikan bahwa pada refleksi terhadap y = x, koordinat x dan y bertukar posisi. Hal ini logis karena garis y = x membentuk sudut 45° dan berfungsi sebagai “cermin diagonal” yang membalik peran sumbu-x dan sumbu-y.
6. Refleksi terhadap Garis y = −x
Pencerminan terhadap garis y = −x mengubah titik P(x, y) menjadi P'(−y, −x). Matriks transformasinya:
Hasil: (x’, y’) = (−y, −x)
7. Refleksi terhadap Titik Asal O(0,0)
Pencerminan terhadap titik asal mengubah P(x, y) menjadi P'(−x, −y). Matriks transformasinya:
Hasil: (x’, y’) = (−x, −y)
8. Tabel Ringkasan Matriks Refleksi
| Sumbu/Garis Cermin | Matriks | Bayangan |
|---|---|---|
| Sumbu-x | (100−1) | (x, −y) |
| Sumbu-y | (−1001) | (−x, y) |
| Garis y = x | (0110) | (y, x) |
| Garis y = −x | (0−1−10) | (−y, −x) |
| Titik asal O(0,0) | (−100−1) | (−x, −y) |
🧪 Kegiatan: Mencoba
Ambil titik A(4, −1). Hitunglah bayangan titik A jika dicerminkan terhadap:
- Sumbu-x → hasilnya A'(4, 1)
- Sumbu-y → hasilnya A'(−4, −1)
- Garis y = x → hasilnya A'(−1, 4)
- Garis y = −x → hasilnya A'(1, −4)
- Titik asal O → hasilnya A'(−4, 1)
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa matriks refleksi terhadap sumbu-x memiliki elemen diagonal (1, −1), sedangkan refleksi terhadap sumbu-y memiliki elemen diagonal (−1, 1). Hubungkan dengan arah “pembalikan” yang terjadi pada masing-masing refleksi.
9. Sifat-sifat Matriks Refleksi
- Determinan matriks refleksi selalu bernilai −1 (kecuali refleksi terhadap titik asal yang determinannya 1).
- Jika refleksi dilakukan dua kali terhadap sumbu yang sama, hasilnya kembali ke titik semula (M² = I).
- Matriks refleksi adalah matriks ortogonal: MT = M−1.
- Refleksi mempertahankan jarak (isometri) tetapi membalik orientasi.
Contoh Soal dan Pembahasan
● Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan bayangan titik A(3, 5) jika dicerminkan terhadap sumbu-x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-x: (x, y) → (x, −y)
Jadi, bayangan A’ = (3, −5)
Contoh 2:
Tentukan bayangan titik B(−2, 4) jika dicerminkan terhadap sumbu-y!
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y: (x, y) → (−x, y)
Jadi, bayangan B’ = (2, 4)
Contoh 3:
Tentukan bayangan titik C(6, −3) jika dicerminkan terhadap garis y = x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: (x, y) → (y, x)
Jadi, bayangan C’ = (−3, 6)
Contoh 4:
Tentukan bayangan titik D(1, 7) jika dicerminkan terhadap garis y = −x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = −x: (x, y) → (−y, −x)
Jadi, bayangan D’ = (−7, −1)
Contoh 5:
Tentukan bayangan titik E(−4, −2) jika dicerminkan terhadap titik asal O(0,0)!
Pembahasan:
Refleksi terhadap titik asal: (x, y) → (−x, −y)
Jadi, bayangan E’ = (4, 2)
● Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu-x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-x: (x, y) → (x, −y), sehingga x’ = x dan y’ = −y.
Dari sini: x = x’ dan y = −y’.
Substitusi ke persamaan asal: −y’ = 2x’ + 3
y’ = −2x’ − 3
Jadi, bayangan garis adalah y = −2x − 3
Contoh 7:
Tentukan bayangan garis 3x − y + 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu-y!
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y: x = −x’ dan y = y’.
Substitusi: 3(−x’) − y’ + 6 = 0
−3x’ − y’ + 6 = 0
3x’ + y’ − 6 = 0, atau y = −3x + 6
Jadi, bayangan garis adalah 3x + y − 6 = 0
Contoh 8:
Tentukan bayangan titik-titik segitiga dengan koordinat A(1, 2), B(4, 2), C(1, 5) jika dicerminkan terhadap garis y = x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: (x, y) → (y, x)
- A(1, 2) → A'(2, 1)
- B(4, 2) → B'(2, 4)
- C(1, 5) → C'(5, 1)
Jadi, bayangan segitiga: A'(2, 1), B'(2, 4), C'(5, 1)
Contoh 9:
Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu-y!
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y: x = −x’, y = y’.
Substitusi: y’ = (−x’)² − 4(−x’) + 3
y’ = x’² + 4x’ + 3
Jadi, bayangan kurva adalah y = x² + 4x + 3
Contoh 10:
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 25 jika dicerminkan terhadap garis y = −x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = −x: x = −y’, y = −x’.
Substitusi: (−y’)² + (−x’)² = 25
x’² + y’² = 25
Jadi, bayangan lingkaran tetap x² + y² = 25
(Lingkaran berpusat di O bersifat simetri terhadap semua garis melalui pusat, sehingga bayangannya sama.)
● Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 1 jika dicerminkan terhadap garis y = x, lalu nyatakan dalam bentuk x = f(y)!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: tukar x dan y.
Persamaan asal: y = x² + 2x − 1
Setelah refleksi (tukar x↔y): x = y² + 2y − 1
Jadi, bayangan kurva adalah x = y² + 2y − 1
Contoh 12:
Bayangan titik P(a, b) oleh refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x menghasilkan titik P'(−3, 5). Tentukan nilai a dan b!
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu-x: P(a, b) → Q(a, −b)
Langkah 2: Refleksi terhadap y = x: Q(a, −b) → P'(−b, a)
Diketahui P’ = (−3, 5), maka:
−b = −3 → b = 3
a = 5
Jadi, a = 5 dan b = 3, titik P = (5, 3)
Contoh 13:
Matriks komposisi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x. Tentukan matriks komposisi dan bayangan titik (2, −4)!
Pembahasan:
My=x ∘ Msumbu-y = My=x × Msumbu-y
Bayangan (2, −4):
Jadi, matriks komposisi = (01−10) dan bayangan = (−4, −2)
Contoh 14:
Tentukan bayangan kurva y = 2x² − 3x + 1 jika dicerminkan terhadap garis y = −x!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = −x: x = −y’, y = −x’.
Substitusi ke y = 2x² − 3x + 1:
−x’ = 2(−y’)² − 3(−y’) + 1
−x’ = 2y’² + 3y’ + 1
x’ = −2y’² − 3y’ − 1
Jadi, bayangan kurva adalah x = −2y² − 3y − 1
Contoh 15:
Titik A(p, q) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan A'(2p−1, q+3). Tentukan nilai p dan q!
Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: A(p, q) → A'(q, p)
Diketahui A’ = (2p−1, q+3), maka:
q = 2p − 1 … (1)
p = q + 3 … (2)
Substitusi (1) ke (2): p = (2p − 1) + 3 = 2p + 2
p − 2p = 2 → −p = 2 → p = −2
q = 2(−2) − 1 = −5
Jadi, p = −2 dan q = −5
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
● Tingkat Mudah
1. Tentukan bayangan titik (5, −3) jika dicerminkan terhadap sumbu-x!
2. Tentukan bayangan titik (−7, 2) jika dicerminkan terhadap sumbu-y!
3. Tentukan bayangan titik (4, −6) jika dicerminkan terhadap garis y = x!
4. Tentukan bayangan titik (−1, 8) jika dicerminkan terhadap garis y = −x!
5. Tentukan bayangan titik (3, −9) jika dicerminkan terhadap titik asal O(0,0)!
● Tingkat Sedang
6. Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 jika dicerminkan terhadap sumbu-x!
7. Tentukan bayangan garis 2x + y − 4 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu-y!
8. Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 5 jika dicerminkan terhadap garis y = x!
9. Segitiga PQR dengan P(2, 1), Q(5, 1), R(3, 4) dicerminkan terhadap garis y = −x. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik tersebut!
10. Tentukan bayangan lingkaran (x−2)² + (y+1)² = 9 jika dicerminkan terhadap sumbu-x!
● Tingkat Sulit
11. Tentukan matriks komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y. Terapkan pada titik (−3, 7)!
12. Bayangan titik P(a, b) oleh refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y menghasilkan P'(4, −1). Tentukan a dan b!
13. Tentukan bayangan kurva y = x³ − 2x jika dicerminkan terhadap garis y = −x!
14. Titik A(m, n) dicerminkan terhadap sumbu-y menghasilkan A'(3m+2, n−1). Tentukan m dan n!
15. Tentukan persamaan bayangan kurva y = (x−1)² + 2 jika dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian hasilnya dicerminkan lagi terhadap sumbu-x!