Transformasi Geometri – Persamaan Bayangan Kurva oleh Suatu Transformasi

A. Pendahuluan

Dalam transformasi geometri, kita tidak hanya dapat mentransformasikan titik-titik, tetapi juga dapat mentransformasikan kurva (persamaan). Persamaan bayangan kurva adalah persamaan baru yang diperoleh setelah suatu kurva mengalami transformasi tertentu (translasi, refleksi, rotasi, atau dilatasi).

Prinsip Utama:
Jika titik (x, y) terletak pada kurva y = f(x), dan setelah transformasi T titik tersebut menjadi (x’, y’), maka untuk mencari persamaan bayangan kurva, kita perlu menyatakan x dan y dalam bentuk x’ dan y’, kemudian substitusikan ke persamaan kurva asal.

Langkah Umum Mencari Persamaan Bayangan Kurva:

1. Misalkan titik (x, y) pada kurva asal.
2. Terapkan transformasi sehingga diperoleh (x’, y’).
3. Nyatakan x dan y dalam x’ dan y’ (invers transformasi).
4. Substitusikan x dan y ke persamaan kurva asal.
5. Ganti x’ dengan x dan y’ dengan y untuk mendapatkan persamaan bayangan.

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan kurva y = x² dan transformasi translasi T = (23).

Amati beberapa titik pada kurva asal dan bayangannya:

Titik Asal (x, y) pada y = x²	Bayangan (x’, y’) setelah translasi
(0, 0)	(2, 3)
(1, 1)	(3, 4)
(2, 4)	(4, 7)
(-1, 1)	(1, 4)
(-2, 4)	(0, 7)

Titik-titik bayangan tersebut terletak pada kurva y = (x − 2)² + 3, yaitu persamaan bayangan kurva.

B. Bayangan Kurva oleh Translasi

Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang sejauh vektor tertentu.

Rumus Translasi:

Jika kurva y = f(x) ditranslasikan oleh T = (ab), maka:

(x’y’) = (xy) + (ab)

Sehingga: x’ = x + a → x = x’ − a
y’ = y + b → y = y’ − b

Persamaan bayangan: Substitusikan x = x’ − a dan y = y’ − b ke persamaan kurva asal, lalu ganti x’ → x dan y’ → y.

Kesimpulan Praktis: Bayangan kurva y = f(x) oleh translasi T = (ab) adalah y − b = f(x − a) atau y = f(x − a) + b.

Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati, coba jawab pertanyaan berikut:

Mengapa kita perlu mencari invers transformasi (menyatakan x, y dalam x’, y’)?
Bagaimana hubungan antara arah translasi dengan pergeseran grafik?
Apakah bentuk kurva berubah setelah translasi? Mengapa?

Kegiatan: Menalar

Mari kita buktikan rumus bayangan kurva oleh translasi:

Diberikan: Kurva y = f(x) dan translasi T = (ab)

Proses:

Titik (x, y) pada kurva memenuhi y = f(x)
Setelah translasi: x’ = x + a dan y’ = y + b
Invers: x = x’ − a dan y = y’ − b
Substitusi ke persamaan asal: y’ − b = f(x’ − a)
Ganti notasi: y − b = f(x − a) atau y = f(x − a) + b

Kesimpulan: Translasi tidak mengubah bentuk kurva, hanya menggeser posisinya.

Contoh Soal – Translasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh translasi T = (3−2).

Pembahasan:
Translasi T = (3−2) → x = x’ − 3, y = y’ + 2

Substitusi ke y = 2x + 1:
y’ + 2 = 2(x’ − 3) + 1
y’ + 2 = 2x’ − 6 + 1
y’ + 2 = 2x’ − 5
y’ = 2x’ − 7

Bayangan: y = 2x − 7

2. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh translasi T = (14).

Pembahasan:
x = x’ − 1, y = y’ − 4

Substitusi ke y = x²:
y’ − 4 = (x’ − 1)²
y’ − 4 = x’² − 2x’ + 1
y’ = x’² − 2x’ + 5

Bayangan: y = x² − 2x + 5

3. Tentukan bayangan kurva y = 3x − 4 oleh translasi T = (−15).

Pembahasan:
x = x’ + 1, y = y’ − 5

Substitusi ke y = 3x − 4:
y’ − 5 = 3(x’ + 1) − 4
y’ − 5 = 3x’ + 3 − 4
y’ − 5 = 3x’ − 1
y’ = 3x’ + 4

Bayangan: y = 3x + 4

4. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x oleh translasi T = (20).

Pembahasan:
x = x’ − 2, y = y’

Substitusi ke y = x² + 2x:
y’ = (x’ − 2)² + 2(x’ − 2)
y’ = x’² − 4x’ + 4 + 2x’ − 4
y’ = x’² − 2x’

Bayangan: y = x² − 2x

5. Tentukan bayangan kurva x + y = 6 oleh translasi T = (23).

Pembahasan:
x = x’ − 2, y = y’ − 3

Substitusi ke x + y = 6:
(x’ − 2) + (y’ − 3) = 6
x’ + y’ − 5 = 6
x’ + y’ = 11

Bayangan: x + y = 11

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh translasi T = (−21).

Pembahasan:
x = x’ + 2, y = y’ − 1

Substitusi ke y = x² − 4x + 3:
y’ − 1 = (x’ + 2)² − 4(x’ + 2) + 3
y’ − 1 = x’² + 4x’ + 4 − 4x’ − 8 + 3
y’ − 1 = x’² − 1
y’ = x’²

Bayangan: y = x²

2. Tentukan bayangan kurva y = 1x oleh translasi T = (3−1).

Pembahasan:
x = x’ − 3, y = y’ + 1

Substitusi ke y = 1/x:
y’ + 1 = 1x’ − 3

y’ = 1x’ − 3 − 1 = 1 − (x’ − 3)x’ − 3 = 4 − x’x’ − 3

Bayangan: y = (4 − x)/(x − 3)

3. Tentukan bayangan kurva x² + y² = 25 oleh translasi T = (3−4).

Pembahasan:
x = x’ − 3, y = y’ + 4

Substitusi ke x² + y² = 25:
(x’ − 3)² + (y’ + 4)² = 25

Bayangan: (x − 3)² + (y + 4)² = 25

4. Tentukan bayangan kurva y = 2x² + 3x − 5 oleh translasi T = (1−3).

Pembahasan:
x = x’ − 1, y = y’ + 3

Substitusi ke y = 2x² + 3x − 5:
y’ + 3 = 2(x’ − 1)² + 3(x’ − 1) − 5
y’ + 3 = 2(x’² − 2x’ + 1) + 3x’ − 3 − 5
y’ + 3 = 2x’² − 4x’ + 2 + 3x’ − 8
y’ + 3 = 2x’² − x’ − 6
y’ = 2x’² − x’ − 9

Bayangan: y = 2x² − x − 9

5. Tentukan bayangan kurva y = √x oleh translasi T = (4−2).

Pembahasan:
x = x’ − 4, y = y’ + 2

Substitusi ke y = √x:
y’ + 2 = √(x’ − 4)
y’ = √(x’ − 4) − 2

Bayangan: y = √(x − 4) − 2

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva x²9 + y²4 = 1 oleh translasi T = (−12).

Pembahasan:
x = x’ + 1, y = y’ − 2

Substitusi:
(x’ + 1)²9 + (y’ − 2)²4 = 1

Bayangan: (x + 1)²/9 + (y − 2)²/4 = 1

2. Tentukan bayangan kurva y = x³ − 3x² + 2x oleh translasi T = (1−1).

Pembahasan:
x = x’ − 1, y = y’ + 1

Substitusi ke y = x³ − 3x² + 2x:
y’ + 1 = (x’ − 1)³ − 3(x’ − 1)² + 2(x’ − 1)
y’ + 1 = (x’³ − 3x’² + 3x’ − 1) − 3(x’² − 2x’ + 1) + 2x’ − 2
y’ + 1 = x’³ − 3x’² + 3x’ − 1 − 3x’² + 6x’ − 3 + 2x’ − 2
y’ + 1 = x’³ − 6x’² + 11x’ − 6
y’ = x’³ − 6x’² + 11x’ − 7

Bayangan: y = x³ − 6x² + 11x − 7

3. Kurva y = ax² + bx + c memiliki bayangan y = x² − 6x + 11 oleh translasi T = (21). Tentukan nilai a, b, dan c.

Pembahasan:
Bayangan y = x² − 6x + 11 diperoleh dari kurva asal dengan translasi T = (21).

Dari bayangan, kita cari kurva asal menggunakan translasi invers T⁻¹ = (−2−1).

x = x’ + 2, y = y’ + 1 (dari bayangan ke asal)
Substitusi ke bayangan y = x² − 6x + 11:
y’ + 1 = (x’ + 2)² − 6(x’ + 2) + 11
y’ + 1 = x’² + 4x’ + 4 − 6x’ − 12 + 11
y’ + 1 = x’² − 2x’ + 3
y’ = x’² − 2x’ + 2

Jadi kurva asal: y = x² − 2x + 2
a = 1, b = −2, c = 2

4. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1x − 3 oleh translasi T = (−24).

Pembahasan:
x = x’ + 2, y = y’ − 4

Substitusi ke y = (2x + 1)/(x − 3):
y’ − 4 = 2(x’ + 2) + 1(x’ + 2) − 3

y’ − 4 = 2x’ + 5x’ − 1

y’ = 2x’ + 5x’ − 1 + 4 = 2x’ + 5 + 4(x’ − 1)x’ − 1 = 6x’ + 1x’ − 1

Bayangan: y = (6x + 1)/(x − 1)

5. Tentukan bayangan kurva 2x² + 3xy − y² = 7 oleh translasi T = (1−1).

Pembahasan:
x = x’ − 1, y = y’ + 1

Substitusi ke 2x² + 3xy − y² = 7:
2(x’ − 1)² + 3(x’ − 1)(y’ + 1) − (y’ + 1)² = 7
2(x’² − 2x’ + 1) + 3(x’y’ + x’ − y’ − 1) − (y’² + 2y’ + 1) = 7
2x’² − 4x’ + 2 + 3x’y’ + 3x’ − 3y’ − 3 − y’² − 2y’ − 1 = 7
2x’² + 3x’y’ − y’² − x’ − 5y’ − 2 = 7
2x’² + 3x’y’ − y’² − x’ − 5y’ − 9 = 0

Bayangan: 2x² + 3xy − y² − x − 5y − 9 = 0

Latihan Soal – Translasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan kurva y = 4x − 3 oleh translasi T = (21).
Tentukan bayangan kurva y = x² + 1 oleh translasi T = (−32).
Tentukan bayangan kurva y = −2x + 5 oleh translasi T = (1−4).
Tentukan bayangan kurva 2x + 3y = 12 oleh translasi T = (−12).
Tentukan bayangan kurva y = x² − x oleh translasi T = (03).

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan kurva y = x² − 6x + 8 oleh translasi T = (3−1).
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 16 oleh translasi T = (−25).
Tentukan bayangan kurva y = 2x oleh translasi T = (1−3).
Tentukan bayangan kurva y = 3x² − 2x + 1 oleh translasi T = (−14).
Tentukan bayangan kurva y = |x − 2| oleh translasi T = (31).

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva x²16 + y²9 = 1 oleh translasi T = (2−3).
Kurva y = ax² + bx + c memiliki bayangan y = 2x² + 4x + 5 oleh translasi T = (1−2). Tentukan a + b + c.
Tentukan bayangan kurva x² − 2xy + y² = 4 oleh translasi T = (−23).
Tentukan bayangan kurva y = x² + 1x − 2 oleh translasi T = (3−1).
Tentukan bayangan kurva y = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1 oleh translasi T = (12).

C. Bayangan Kurva oleh Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik ke posisi cerminnya terhadap suatu garis (sumbu pencerminan). Untuk mencari bayangan kurva oleh refleksi, kita menggunakan matriks refleksi.

Rumus Refleksi dengan Matriks:

(x’y’) = M × (xy)

Matriks Refleksi:

Pencerminan terhadap	Matriks M	Hasil
Sumbu-x	(1 00 −1)	x’ = x, y’ = −y
Sumbu-y	(−1 00 1)	x’ = −x, y’ = y
Garis y = x	(0 11 0)	x’ = y, y’ = x
Garis y = −x	(0 −1−1 0)	x’ = −y, y’ = −x
Titik asal O(0,0)	(−1 00 −1)	x’ = −x, y’ = −y

Cara Mencari Bayangan Kurva oleh Refleksi:
1. Dari hubungan x’ dan y’, nyatakan x dan y dalam x’ dan y’.
2. Substitusikan ke persamaan kurva asal.
3. Ganti x’ → x, y’ → y.

Kegiatan: Mencoba

Cobalah langkah-langkah berikut untuk mencari bayangan kurva y = x² + 2 terhadap sumbu-x:

Refleksi terhadap sumbu-x: x’ = x, y’ = −y
Invers: x = x’, y = −y’
Substitusi ke y = x² + 2: −y’ = (x’)² + 2
Sederhanakan: y’ = −x’² − 2
Ganti notasi: y = −x² − 2

Sekarang coba lakukan sendiri untuk refleksi terhadap sumbu-y dan garis y = x!

Contoh Soal – Refleksi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 3 oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-x: x = x’, y = −y’

Substitusi ke y = 2x + 3:
−y’ = 2x’ + 3
y’ = −2x’ − 3

Bayangan: y = −2x − 3

2. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y: x = −x’, y = y’

Substitusi ke y = x²:
y’ = (−x’)²
y’ = x’²

Bayangan: y = x²
(Kurva y = x² simetris terhadap sumbu-y, sehingga bayangannya sama)

3. Tentukan bayangan kurva y = 3x − 1 oleh refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: x = y’, y = x’

Substitusi ke y = 3x − 1:
x’ = 3y’ − 1
3y’ = x’ + 1
y’ = x’ + 13

Bayangan: y = (x + 1)/3

4. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4 oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-x: x = x’, y = −y’

Substitusi ke y = x² − 4:
−y’ = x’² − 4
y’ = −x’² + 4

Bayangan: y = −x² + 4

5. Tentukan bayangan kurva y = x + 5 oleh refleksi terhadap titik asal O(0, 0).

Pembahasan:
Refleksi terhadap O(0,0): x = −x’, y = −y’

Substitusi ke y = x + 5:
−y’ = −x’ + 5
y’ = x’ − 5

Bayangan: y = x − 5

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 3 oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y: x = −x’, y = y’

Substitusi ke y = x² + 2x − 3:
y’ = (−x’)² + 2(−x’) − 3
y’ = x’² − 2x’ − 3

Bayangan: y = x² − 2x − 3

2. Tentukan bayangan kurva x² + y² = 9 oleh refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: x = y’, y = x’

Substitusi ke x² + y² = 9:
(y’)² + (x’)² = 9
x’² + y’² = 9

Bayangan: x² + y² = 9
(Lingkaran berpusat di O simetris terhadap y = x)

3. Tentukan bayangan kurva y = 1x oleh refleksi terhadap garis y = −x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap y = −x: x = −y’, y = −x’

Substitusi ke y = 1/x:
−x’ = 1−y’
−x’ = −1y’
x’ = 1y’
x’y’ = 1
y’ = 1x’

Bayangan: y = 1/x
(Kurva y = 1/x simetris terhadap garis y = −x)

4. Tentukan bayangan kurva y = 2x² − 4x + 1 oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-x: x = x’, y = −y’

Substitusi:
−y’ = 2x’² − 4x’ + 1
y’ = −2x’² + 4x’ − 1

Bayangan: y = −2x² + 4x − 1

5. Tentukan bayangan kurva y = x³ oleh refleksi terhadap titik asal O(0, 0).

Pembahasan:
Refleksi terhadap O(0,0): x = −x’, y = −y’

Substitusi ke y = x³:
−y’ = (−x’)³
−y’ = −x’³
y’ = x’³

Bayangan: y = x³
(Kurva y = x³ simetris terhadap titik asal)

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva x²4 − y²9 = 1 oleh refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: x = y’, y = x’

Substitusi:
(y’)²4 − (x’)²9 = 1

Bayangan: y²/4 − x²/9 = 1

2. Tentukan bayangan kurva y = x + 1x − 2 oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y: x = −x’, y = y’

Substitusi:
y’ = −x’ + 1−x’ − 2 = −(x’ − 1)−(x’ + 2) = x’ − 1x’ + 2

Bayangan: y = (x − 1)/(x + 2)

3. Tentukan bayangan kurva y = 2ˣ oleh refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap y = x: x = y’, y = x’

Substitusi ke y = 2ˣ:
x’ = 2^(y’)
y’ = log₂(x’)

Bayangan: y = log₂(x)
(Refleksi fungsi eksponensial terhadap y = x menghasilkan fungsi logaritma)

4. Tentukan bayangan kurva xy − 2x + 3y = 6 oleh refleksi terhadap garis y = −x.

Pembahasan:
Refleksi terhadap y = −x: x = −y’, y = −x’

Substitusi ke xy − 2x + 3y = 6:
(−y’)(−x’) − 2(−y’) + 3(−x’) = 6
x’y’ + 2y’ − 3x’ = 6

Bayangan: xy + 2y − 3x = 6

5. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh refleksi terhadap garis x = 2.

Pembahasan:
Refleksi terhadap garis x = 2:
x’ = 2 × 2 − x = 4 − x → x = 4 − x’
y’ = y → y = y’

Substitusi ke y = x² − 4x + 3:
y’ = (4 − x’)² − 4(4 − x’) + 3
y’ = 16 − 8x’ + x’² − 16 + 4x’ + 3
y’ = x’² − 4x’ + 3

Bayangan: y = x² − 4x + 3
(Kurva ini simetris terhadap garis x = 2 karena sumbu simetrinya adalah x = 2)

Latihan Soal – Refleksi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan kurva y = 5x − 2 oleh refleksi terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan kurva y = x² + 3 oleh refleksi terhadap sumbu-y.
Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh refleksi terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan kurva y = −x + 4 oleh refleksi terhadap titik asal O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = x² − 1 oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan kurva y = x² − 6x + 5 oleh refleksi terhadap sumbu-y.
Tentukan bayangan kurva y = 3x² + x oleh refleksi terhadap garis y = −x.
Tentukan bayangan kurva y = 3x + 1 oleh refleksi terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan kurva x² + 4y² = 16 oleh refleksi terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan kurva y = √(x + 1) oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = 2x − 1x + 3 oleh refleksi terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan kurva y = x³ − 3x oleh refleksi terhadap sumbu-y.
Tentukan bayangan kurva 2x² + xy − y² = 5 oleh refleksi terhadap garis y = −x.
Tentukan bayangan kurva y = ln(x) oleh refleksi terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 5 oleh refleksi terhadap garis x = 1.

D. Bayangan Kurva oleh Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik sejauh sudut θ terhadap pusat rotasi. Untuk mencari bayangan kurva, kita gunakan matriks rotasi.

Rumus Rotasi terhadap Pusat O(0,0) sejauh sudut θ:

(x’y’) = (cos θ −sin θsin θ cos θ) × (xy)

Rotasi khusus:

Sudut θ	x’ =	y’ =	Invers: x =	Invers: y =
90°	−y	x	y’	−x’
180°	−x	−y	−x’	−y’
270° (−90°)	y	−x	−y’	x’

Rotasi terhadap Pusat P(a, b) sejauh sudut θ:

(x’ − ay’ − b) = (cos θ −sin θsin θ cos θ) × (x − ay − b)

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada teman sekelompokmu:

Mengapa rotasi 90° mengubah x menjadi −y dan y menjadi x?
Apa perbedaan langkah mencari bayangan kurva oleh rotasi terhadap O(0,0) dan terhadap titik P(a,b)?
Mengapa rotasi 180° sama dengan refleksi terhadap titik asal?

Contoh Soal – Rotasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan kurva y = x oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: x’ = −y, y’ = x → Invers: x = y’, y = −x’

Substitusi ke y = x:
−x’ = y’
y’ = −x’

Bayangan: y = −x

2. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh rotasi 180° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 180°: x = −x’, y = −y’

Substitusi ke y = 2x + 1:
−y’ = 2(−x’) + 1
−y’ = −2x’ + 1
y’ = 2x’ − 1

Bayangan: y = 2x − 1

3. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi 180° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 180°: x = −x’, y = −y’

Substitusi ke y = x²:
−y’ = (−x’)²
−y’ = x’²
y’ = −x’²

Bayangan: y = −x²

4. Tentukan bayangan kurva x + y = 4 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: Invers → x = y’, y = −x’

Substitusi ke x + y = 4:
y’ + (−x’) = 4
−x’ + y’ = 4

Bayangan: −x + y = 4 atau y = x + 4

5. Tentukan bayangan kurva y = 3x oleh rotasi 270° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 270° (−90°): x’ = y, y’ = −x → Invers: x = −y’, y = x’

Substitusi ke y = 3x:
x’ = 3(−y’)
x’ = −3y’
y’ = −x’3

Bayangan: y = −x/3

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: Invers → x = y’, y = −x’

Substitusi ke y = x² − 2x:
−x’ = (y’)² − 2y’
x’ = −y’² + 2y’
x’ = 2y’ − y’²

Bayangan: x = 2y − y² atau x = −(y² − 2y)

2. Tentukan bayangan kurva x² + y² = 16 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: Invers → x = y’, y = −x’

Substitusi ke x² + y² = 16:
(y’)² + (−x’)² = 16
x’² + y’² = 16

Bayangan: x² + y² = 16
(Lingkaran berpusat di O selalu invariant terhadap rotasi apapun)

3. Tentukan bayangan kurva y = x² + 4x + 3 oleh rotasi 180° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 180°: x = −x’, y = −y’

Substitusi:
−y’ = (−x’)² + 4(−x’) + 3
−y’ = x’² − 4x’ + 3
y’ = −x’² + 4x’ − 3

Bayangan: y = −x² + 4x − 3

4. Tentukan bayangan kurva y = 1x oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: Invers → x = y’, y = −x’

Substitusi ke y = 1/x:
−x’ = 1y’
x’y’ = −1
y’ = −1x’

Bayangan: y = −1/x

5. Tentukan bayangan kurva 2x − 3y = 6 oleh rotasi 270° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 270°: Invers → x = −y’, y = x’

Substitusi ke 2x − 3y = 6:
2(−y’) − 3(x’) = 6
−2y’ − 3x’ = 6
3x’ + 2y’ = −6

Bayangan: 3x + 2y = −6

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi 90° terhadap pusat P(1, 2).

Pembahasan:
Rotasi 90° terhadap P(1, 2):
x’ − 1 = −(y − 2) dan y’ − 2 = (x − 1)
x’ − 1 = −y + 2 → y = −x’ + 3
y’ − 2 = x − 1 → x = y’ − 1

Substitusi ke y = x²:
−x’ + 3 = (y’ − 1)²
−x’ + 3 = y’² − 2y’ + 1
x’ = −y’² + 2y’ + 2

Bayangan: x = −y² + 2y + 2

2. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 5 oleh rotasi 180° terhadap pusat P(2, 1).

Pembahasan:
Rotasi 180° terhadap P(2, 1):
x’ − 2 = −(x − 2) → x = 4 − x’
y’ − 1 = −(y − 1) → y = 2 − y’

Substitusi ke y = x² − 4x + 5:
2 − y’ = (4 − x’)² − 4(4 − x’) + 5
2 − y’ = 16 − 8x’ + x’² − 16 + 4x’ + 5
2 − y’ = x’² − 4x’ + 5
y’ = −x’² + 4x’ − 3

Bayangan: y = −x² + 4x − 3

3. Tentukan bayangan kurva xy = 4 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: Invers → x = y’, y = −x’

Substitusi ke xy = 4:
(y’)(−x’) = 4
−x’y’ = 4
x’y’ = −4

Bayangan: xy = −4

4. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 3 oleh rotasi 90° terhadap pusat P(1, −1).

Pembahasan:
Rotasi 90° terhadap P(1, −1):
x’ − 1 = −(y − (−1)) = −(y + 1) → y = −x’ + 1 − 1 = −x’
y’ − (−1) = x − 1 → y’ + 1 = x − 1 → x = y’ + 2

Substitusi ke y = 2x + 3:
−x’ = 2(y’ + 2) + 3
−x’ = 2y’ + 4 + 3
−x’ = 2y’ + 7
x’ = −2y’ − 7
y’ = −x’ − 72

Bayangan: y = (−x − 7)/2

5. Tentukan bayangan kurva x² + 4y² = 16 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Pembahasan:
Rotasi 90°: Invers → x = y’, y = −x’

Substitusi ke x² + 4y² = 16:
(y’)² + 4(−x’)² = 16
y’² + 4x’² = 16
4x’² + y’² = 16

Bayangan: 4x² + y² = 16

Latihan Soal – Rotasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan kurva y = 4x − 1 oleh rotasi 180° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = x + 3 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = −x oleh rotasi 270° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva 3x + y = 6 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = 5x oleh rotasi 180° terhadap pusat O(0,0).

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan kurva y = x² − 3x + 2 oleh rotasi 180° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = 2x oleh rotasi 270° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = x² + 1 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva x − 2y = 8 oleh rotasi 270° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = 2x² − x oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi 90° terhadap pusat P(2, 0).
Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 1 oleh rotasi 180° terhadap pusat P(1, 0).
Tentukan bayangan kurva xy = 1 oleh rotasi 270° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva x²9 + y²4 = 1 oleh rotasi 90° terhadap pusat O(0,0).
Tentukan bayangan kurva y = x³ − x oleh rotasi 180° terhadap pusat P(0, 0).

E. Bayangan Kurva oleh Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun dengan faktor skala k terhadap suatu pusat.

Rumus Dilatasi terhadap Pusat O(0,0) dengan faktor skala k:

(x’y’) = (k 00 k) × (xy)

Sehingga: x’ = kx → x = x’/k
y’ = ky → y = y’/k

Notasi: D[O, k] artinya dilatasi berpusat di O dengan faktor skala k.

Rumus Dilatasi terhadap Pusat P(a, b) dengan faktor skala k:

x’ − a = k(x − a) → x = (x’ − a)/k + a
y’ − b = k(y − b) → y = (y’ − b)/k + b

Kegiatan: Menalar

Perhatikan bahwa:

Jika |k| > 1, kurva diperbesar
Jika 0 < |k| < 1, kurva diperkecil
Jika k < 0, kurva diperbesar/diperkecil sekaligus dicerminkan terhadap pusat dilatasi
Dilatasi mengubah ukuran kurva tetapi mempertahankan bentuknya (sebangun)

Contoh Soal – Dilatasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan kurva y = x + 2 oleh dilatasi D[O, 2].

Pembahasan:
D[O, 2]: x = x’/2, y = y’/2

Substitusi ke y = x + 2:
y’/2 = x’/2 + 2
y’ = x’ + 4

Bayangan: y = x + 4

2. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh dilatasi D[O, 3].

Pembahasan:
D[O, 3]: x = x’/3, y = y’/3

Substitusi ke y = x²:
y’/3 = (x’/3)²
y’/3 = x’²/9
y’ = x’²/3

Bayangan: y = x²/3

3. Tentukan bayangan kurva y = 4x − 6 oleh dilatasi D[O, 12].

Pembahasan:
D[O, 1/2]: x = x’/(1/2) = 2x’, y = 2y’

Substitusi ke y = 4x − 6:
2y’ = 4(2x’) − 6
2y’ = 8x’ − 6
y’ = 4x’ − 3

Bayangan: y = 4x − 3

4. Tentukan bayangan kurva x² + y² = 4 oleh dilatasi D[O, 3].

Pembahasan:
D[O, 3]: x = x’/3, y = y’/3

Substitusi ke x² + y² = 4:
(x’/3)² + (y’/3)² = 4
x’²/9 + y’²/9 = 4
x’² + y’² = 36

Bayangan: x² + y² = 36

5. Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh dilatasi D[O, −1].

Pembahasan:
D[O, −1]: x = x’/(−1) = −x’, y = −y’

Substitusi ke y = 2x + 1:
−y’ = 2(−x’) + 1
−y’ = −2x’ + 1
y’ = 2x’ − 1

Bayangan: y = 2x − 1

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh dilatasi D[O, 2].

Pembahasan:
D[O, 2]: x = x’/2, y = y’/2

Substitusi:
y’/2 = (x’/2)² − 4(x’/2) + 3
y’/2 = x’²/4 − 2x’ + 3
y’ = x’²/2 − 4x’ + 6

Bayangan: y = x²/2 − 4x + 6

2. Tentukan bayangan kurva y = 1x oleh dilatasi D[O, 4].

Pembahasan:
D[O, 4]: x = x’/4, y = y’/4

Substitusi ke y = 1/x:
y’/4 = 1x’/4 = 4x’

y’ = 16x’

Bayangan: y = 16/x

3. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 1 oleh dilatasi D[(1, 0), 2].

Pembahasan:
D[(1, 0), 2]:
x = (x’ − 1)/2 + 1 = (x’ + 1)/2
y = (y’ − 0)/2 = y’/2

Substitusi ke y = x² + 2x − 1:
y’/2 = ((x’ + 1)/2)² + 2((x’ + 1)/2) − 1
y’/2 = (x’ + 1)²/4 + (x’ + 1) − 1
y’/2 = (x’² + 2x’ + 1)/4 + x’
y’ = (x’² + 2x’ + 1)/2 + 2x’
y’ = (x’² + 2x’ + 1 + 4x’)/2
y’ = (x’² + 6x’ + 1)/2

Bayangan: y = (x² + 6x + 1)/2

4. Tentukan bayangan kurva 2x + 3y = 12 oleh dilatasi D[O, 13].

Pembahasan:
D[O, 1/3]: x = 3x’, y = 3y’

Substitusi ke 2x + 3y = 12:
2(3x’) + 3(3y’) = 12
6x’ + 9y’ = 12
2x’ + 3y’ = 4

Bayangan: 2x + 3y = 4

5. Tentukan bayangan kurva y = √x oleh dilatasi D[O, 4].

Pembahasan:
D[O, 4]: x = x’/4, y = y’/4

Substitusi ke y = √x:
y’/4 = √(x’/4)
y’/4 = √(x’)/2
y’ = 2√(x’)

Bayangan: y = 2√x

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva x²4 + y²9 = 1 oleh dilatasi D[O, 3].

Pembahasan:
D[O, 3]: x = x’/3, y = y’/3

Substitusi:
(x’/3)²/4 + (y’/3)²/9 = 1
x’²/36 + y’²/81 = 1

Bayangan: x²/36 + y²/81 = 1

2. Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 1 oleh dilatasi D[(1, 0), 3].

Pembahasan:
D[(1, 0), 3]:
x = (x’ − 1)/3 + 1 = (x’ + 2)/3
y = y’/3

Substitusi ke y = x² − 2x + 1 = (x − 1)²:
y’/3 = ((x’ + 2)/3 − 1)²
y’/3 = ((x’ − 1)/3)²
y’/3 = (x’ − 1)²/9
y’ = (x’ − 1)²/3

Bayangan: y = (x − 1)²/3

3. Tentukan bayangan kurva xy = 6 oleh dilatasi D[O, 2] dilanjutkan translasi T = (1−1).

Pembahasan:
Langkah 1: Dilatasi D[O, 2]
x = x’/2, y = y’/2
Substitusi ke xy = 6: (x’/2)(y’/2) = 6 → x’y’ = 24

Langkah 2: Translasi T = (1−1)
Dari x’y’ = 24, ganti x’ = x” − 1, y’ = y” + 1:
(x” − 1)(y” + 1) = 24

Bayangan: (x − 1)(y + 1) = 24

4. Tentukan bayangan kurva y = x + 1x − 1 oleh dilatasi D[O, −2].

Pembahasan:
D[O, −2]: x = x’/(−2) = −x’/2, y = −y’/2

Substitusi:
−y’/2 = −x’/2 + 1−x’/2 − 1 = (−x’ + 2)/2(−x’ − 2)/2 = −x’ + 2−x’ − 2 = x’ − 2x’ + 2

y’ = −2(x’ − 2)x’ + 2 = −2x’ + 4x’ + 2

Bayangan: y = (−2x + 4)/(x + 2)

5. Tentukan bayangan kurva y = x² + 4x + 4 oleh dilatasi D[(−2, 0), 12].

Pembahasan:
D[(−2, 0), 1/2]:
x = (x’ − (−2))/(1/2) + (−2) = 2(x’ + 2) − 2 = 2x’ + 2
y = (y’ − 0)/(1/2) = 2y’

Substitusi ke y = x² + 4x + 4 = (x + 2)²:
2y’ = (2x’ + 2 + 2)²
2y’ = (2x’ + 4)²
2y’ = 4(x’ + 2)²
y’ = 2(x’ + 2)²

Bayangan: y = 2(x + 2)²

Latihan Soal – Dilatasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan kurva y = 3x − 1 oleh dilatasi D[O, 2].
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh dilatasi D[O, 12].
Tentukan bayangan kurva x + y = 5 oleh dilatasi D[O, 3].
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 9 oleh dilatasi D[O, 2].
Tentukan bayangan kurva y = −x + 4 oleh dilatasi D[O, −1].

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 3 oleh dilatasi D[O, 3].
Tentukan bayangan kurva y = 4x oleh dilatasi D[O, 2].
Tentukan bayangan kurva y = 2x² + x oleh dilatasi D[(0, 0), 12].
Tentukan bayangan kurva 3x − 2y = 6 oleh dilatasi D[O, −2].
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh dilatasi D[(1, 0), 2].

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva x²9 + y²16 = 1 oleh dilatasi D[O, 2].
Tentukan bayangan kurva y = x³ oleh dilatasi D[O, 2] dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan kurva y = 2x − 1x + 3 oleh dilatasi D[O, −3].
Tentukan bayangan kurva y = (x − 1)² oleh dilatasi D[(1, 0), 3].
Tentukan bayangan kurva xy = 8 oleh dilatasi D[O, 12] dilanjutkan translasi T = (2−1).

F. Bayangan Kurva oleh Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah penerapan dua atau lebih transformasi secara berurutan. Untuk mencari bayangan kurva oleh komposisi transformasi, kita dapat:

Metode Komposisi Transformasi:

Cara 1 (Bertahap): Terapkan transformasi satu per satu secara berurutan.

Cara 2 (Matriks Gabungan): Kalikan matriks-matriks transformasi, lalu terapkan matriks hasil kali ke kurva.

Jika T₁ diikuti T₂, maka matriks gabungan = M₂ × M₁
(Matriks transformasi kedua dikali matriks transformasi pertama)

Penting: Urutan transformasi sangat berpengaruh! T₁ diikuti T₂ ≠ T₂ diikuti T₁ (pada umumnya).

Kegiatan: Mencoba

Coba buktikan sendiri: Apakah bayangan kurva y = x oleh refleksi terhadap sumbu-x diikuti rotasi 90° sama dengan rotasi 90° diikuti refleksi terhadap sumbu-x?

Contoh Soal – Komposisi Transformasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan kurva y = x + 1 oleh translasi T = (23) dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:
Langkah 1: Translasi
x = x’ − 2, y = y’ − 3
Substitusi ke y = x + 1: y’ − 3 = x’ − 2 + 1 → y’ = x’
Hasil sementara: y = x

Langkah 2: Refleksi terhadap sumbu-x
x = x’, y = −y’
Substitusi ke y = x: −y’ = x’ → y’ = −x’

Bayangan akhir: y = −x

2. Tentukan bayangan kurva y = 2x oleh refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan translasi T = (10).

Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu-y
x = −x’, y = y’
Substitusi ke y = 2x: y’ = 2(−x’) = −2x’
Hasil sementara: y = −2x

Langkah 2: Translasi T = (10)
x = x’ − 1, y = y’
Substitusi ke y = −2x: y’ = −2(x’ − 1) = −2x’ + 2

Bayangan akhir: y = −2x + 2

3. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh dilatasi D[O, 2] dilanjutkan translasi T = (01).

Pembahasan:
Langkah 1: Dilatasi D[O, 2]
x = x’/2, y = y’/2
Substitusi ke y = x²: y’/2 = (x’/2)² = x’²/4 → y’ = x’²/2
Hasil sementara: y = x²/2

Langkah 2: Translasi T = (01)
x = x’, y = y’ − 1
Substitusi ke y = x²/2: y’ − 1 = x’²/2 → y’ = x’²/2 + 1

Bayangan akhir: y = x²/2 + 1

4. Tentukan bayangan kurva y = 3x − 2 oleh rotasi 180° terhadap O dilanjutkan translasi T = (11).

Pembahasan:
Langkah 1: Rotasi 180°
x = −x’, y = −y’
Substitusi: −y’ = 3(−x’) − 2 → −y’ = −3x’ − 2 → y’ = 3x’ + 2
Hasil: y = 3x + 2

Langkah 2: Translasi
x = x’ − 1, y = y’ − 1
Substitusi: y’ − 1 = 3(x’ − 1) + 2 = 3x’ − 1 → y’ = 3x’

Bayangan akhir: y = 3x

5. Tentukan bayangan kurva y = x + 4 oleh refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap y = x
x = y’, y = x’
Substitusi: x’ = y’ + 4 → y’ = x’ − 4
Hasil: y = x − 4

Langkah 2: Refleksi terhadap sumbu-x
x = x’, y = −y’
Substitusi: −y’ = x’ − 4 → y’ = −x’ + 4

Bayangan akhir: y = −x + 4

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x oleh refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan translasi T = (−13).

Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu-y
x = −x’, y = y’
Substitusi: y’ = (−x’)² − 2(−x’) = x’² + 2x’
Hasil: y = x² + 2x

Langkah 2: Translasi T = (−13)
x = x’ + 1, y = y’ − 3
Substitusi: y’ − 3 = (x’ + 1)² + 2(x’ + 1) = x’² + 2x’ + 1 + 2x’ + 2 = x’² + 4x’ + 3
y’ = x’² + 4x’ + 6

Bayangan akhir: y = x² + 4x + 6

2. Tentukan bayangan kurva y = x² + 1 oleh rotasi 90° terhadap O dilanjutkan dilatasi D[O, 2].

Pembahasan:
Langkah 1: Rotasi 90°
Invers: x = y’, y = −x’
Substitusi: −x’ = (y’)² + 1 → x’ = −y’² − 1
Hasil: x = −y² − 1

Langkah 2: Dilatasi D[O, 2]
x = x’/2, y = y’/2
Substitusi ke x = −y² − 1:
x’/2 = −(y’/2)² − 1 = −y’²/4 − 1
x’ = −y’²/2 − 2

Bayangan akhir: x = −y²/2 − 2

3. Tentukan bayangan kurva y = 2x − 3 oleh translasi T = (12) dilanjutkan rotasi 90° terhadap O.

Pembahasan:
Langkah 1: Translasi
x = x’ − 1, y = y’ − 2
Substitusi: y’ − 2 = 2(x’ − 1) − 3 = 2x’ − 5 → y’ = 2x’ − 3
Hasil: y = 2x − 3

Langkah 2: Rotasi 90°
Invers: x = y’, y = −x’
Substitusi: −x’ = 2y’ − 3 → x’ = −2y’ + 3
y’ = (3 − x’)/2

Bayangan akhir: y = (3 − x)/2

4. Tentukan bayangan kurva x² + y² = 4 oleh dilatasi D[O, 3] dilanjutkan translasi T = (2−1).

Pembahasan:
Langkah 1: Dilatasi D[O, 3]
x = x’/3, y = y’/3
Substitusi: (x’/3)² + (y’/3)² = 4 → x’² + y’² = 36
Hasil: x² + y² = 36

Langkah 2: Translasi
x = x’ − 2, y = y’ + 1
Substitusi: (x’ − 2)² + (y’ + 1)² = 36

Bayangan akhir: (x − 2)² + (y + 1)² = 36

5. Tentukan bayangan kurva y = 1x oleh refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan dilatasi D[O, 2].

Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu-x
x = x’, y = −y’
Substitusi: −y’ = 1/x’ → y’ = −1/x’
Hasil: y = −1/x

Langkah 2: Dilatasi D[O, 2]
x = x’/2, y = y’/2
Substitusi: y’/2 = −1/(x’/2) = −2/x’ → y’ = −4/x’

Bayangan akhir: y = −4/x

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4 oleh refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi 90° terhadap O dilanjutkan translasi T = (02).

Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap y = x
x = y’, y = x’
Substitusi: x’ = (y’)² − 4 → y’ = ±√(x’ + 4)
Ambil y = √(x + 4) (cabang positif) dan y = −√(x + 4)
Untuk relasi: x = y² − 4

Langkah 2: Rotasi 90°
Invers: x = y’, y = −x’
Substitusi ke x = y² − 4:
y’ = (−x’)² − 4 = x’² − 4
Hasil: y = x² − 4

Langkah 3: Translasi T = (02)
x = x’, y = y’ − 2
Substitusi: y’ − 2 = x’² − 4 → y’ = x’² − 2

Bayangan akhir: y = x² − 2

2. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x + 1 oleh rotasi 90° terhadap P(1, 1) dilanjutkan dilatasi D[O, 2].

Pembahasan:
y = x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Langkah 1: Rotasi 90° terhadap P(1, 1)
x’ − 1 = −(y − 1) → y = −x’ + 2
y’ − 1 = x − 1 → x = y’

Substitusi ke y = (x + 1)²:
−x’ + 2 = (y’ + 1)²
x’ = 2 − (y’ + 1)² = 2 − y’² − 2y’ − 1 = 1 − y’² − 2y’
Hasil: x = 1 − y² − 2y

Langkah 2: Dilatasi D[O, 2]
x = x’/2, y = y’/2
Substitusi: x’/2 = 1 − (y’/2)² − 2(y’/2) = 1 − y’²/4 − y’
x’ = 2 − y’²/2 − 2y’

Bayangan akhir: x = 2 − y²/2 − 2y

3. Tentukan bayangan kurva y = xx + 1 oleh refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan translasi T = (2−1) dilanjutkan dilatasi D[O, 3].

Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi terhadap sumbu-y
x = −x’, y = y’
Substitusi: y’ = (−x’)/(−x’ + 1) = x’/(x’ − 1)
Hasil: y = x/(x − 1)

Langkah 2: Translasi T = (2−1)
x = x’ − 2, y = y’ + 1
Substitusi: y’ + 1 = (x’ − 2)/(x’ − 2 − 1) = (x’ − 2)/(x’ − 3)
y’ = (x’ − 2)/(x’ − 3) − 1 = (x’ − 2 − x’ + 3)/(x’ − 3) = 1/(x’ − 3)
Hasil: y = 1/(x − 3)

Langkah 3: Dilatasi D[O, 3]
x = x’/3, y = y’/3
Substitusi: y’/3 = 1/(x’/3 − 3) = 1/((x’ − 9)/3) = 3/(x’ − 9)
y’ = 9/(x’ − 9)

Bayangan akhir: y = 9/(x − 9)

4. Menggunakan matriks gabungan, tentukan bayangan kurva 2x − y = 4 oleh refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan rotasi 90° terhadap O.

Pembahasan:
Matriks refleksi sumbu-x (M₁): (1  00  −1)

Matriks rotasi 90° (M₂): (0  −11   0)

Matriks gabungan M = M₂ × M₁:
M = (0  −11   0) × (1  00  −1) = (0  11  0)

Ini sama dengan refleksi terhadap garis y = x!

Invers: x = y’, y = x’
Substitusi ke 2x − y = 4: 2y’ − x’ = 4

Bayangan akhir: 2y − x = 4 atau x − 2y + 4 = 0

5. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh translasi T = (−12) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan dilatasi D[O, 2].

Pembahasan:
Langkah 1: Translasi
x = x’ + 1, y = y’ − 2
Substitusi: y’ − 2 = (x’ + 1)² = x’² + 2x’ + 1 → y’ = x’² + 2x’ + 3
Hasil: y = x² + 2x + 3

Langkah 2: Refleksi terhadap y = x
x = y’, y = x’
Substitusi: x’ = (y’)² + 2y’ + 3
Hasil: x = y² + 2y + 3

Langkah 3: Dilatasi D[O, 2]
x = x’/2, y = y’/2
Substitusi: x’/2 = (y’/2)² + 2(y’/2) + 3 = y’²/4 + y’ + 3
x’ = y’²/2 + 2y’ + 6

Bayangan akhir: x = y²/2 + 2y + 6

Latihan Soal – Komposisi Transformasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan kurva y = x − 3 oleh refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan translasi T = (01).
Tentukan bayangan kurva y = 2x oleh rotasi 180° terhadap O dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
Tentukan bayangan kurva y = x + 2 oleh translasi T = (1−1) dilanjutkan dilatasi D[O, 2].
Tentukan bayangan kurva y = 3x oleh dilatasi D[O, 2] dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan translasi T = (04).

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x oleh translasi T = (2−1) dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
Tentukan bayangan kurva y = 1x oleh dilatasi D[O, 3] dilanjutkan rotasi 90° terhadap O.
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 1 oleh dilatasi D[O, 5] dilanjutkan translasi T = (3−2).
Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan translasi T = (−13).
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi 90° terhadap O dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 1 oleh translasi T = (10) dilanjutkan rotasi 90° terhadap O dilanjutkan dilatasi D[O, 2].
Menggunakan matriks gabungan, tentukan bayangan kurva x + 2y = 6 oleh refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan rotasi 270° terhadap O.
Tentukan bayangan kurva y = x + 1x − 1 oleh refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan dilatasi D[O, 2].
Tentukan bayangan kurva xy = 2 oleh rotasi 90° terhadap O dilanjutkan translasi T = (1−2) dilanjutkan dilatasi D[O, 3].
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh dilatasi D[O, 2] dilanjutkan rotasi 90° terhadap P(0, 1).

G. Rangkuman

Langkah Umum Mencari Bayangan Kurva:

Tentukan hubungan (x’, y’) dengan (x, y) berdasarkan jenis transformasi.
Nyatakan x dan y dalam x’ dan y’ (cari invers).
Substitusikan ke persamaan kurva asal.
Sederhanakan dan ganti x’ → x, y’ → y.

Transformasi	Substitusi ke Kurva Asal
Translasi T = (ab)	x → x − a, y → y − b
Refleksi sumbu-x	x → x, y → −y
Refleksi sumbu-y	x → −x, y → y
Refleksi y = x	x → y, y → x
Refleksi y = −x	x → −y, y → −x
Refleksi O(0,0)	x → −x, y → −y
Rotasi 90° pusat O	x → y, y → −x
Rotasi 180° pusat O	x → −x, y → −y
Rotasi 270° pusat O	x → −y, y → x
Dilatasi D[O, k]	x → x/k, y → y/k

A. Pendahuluan

Kegiatan: Mengamati

B. Bayangan Kurva oleh Translasi

Kegiatan: Menanya

Kegiatan: Menalar

Contoh Soal – Translasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal – Translasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

C. Bayangan Kurva oleh Refleksi (Pencerminan)

Kegiatan: Mencoba

Contoh Soal – Refleksi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal – Refleksi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

D. Bayangan Kurva oleh Rotasi (Perputaran)

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal – Rotasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal – Rotasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

E. Bayangan Kurva oleh Dilatasi (Perkalian)

Kegiatan: Menalar

Contoh Soal – Dilatasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal – Dilatasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

F. Bayangan Kurva oleh Komposisi Transformasi

Kegiatan: Mencoba

Contoh Soal – Komposisi Transformasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal – Komposisi Transformasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

G. Rangkuman

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed