Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Komposisi Translasi
Transformasi Geometri
π Materi: Komposisi Translasi
A. Pengertian Translasi
Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Translasi dinyatakan dengan vektor translasi.
Notasi Translasi:
T = (a, b)
Artinya setiap titik digeser sejauh a satuan ke arah sumbu-x dan b satuan ke arah sumbu-y.
Jika titik P(x, y) ditranslasikan oleh T = (a, b), maka bayangan titik P adalah:
P'(x + a, y + b)
B. Pengertian Komposisi Translasi
Komposisi translasi adalah penerapan dua atau lebih translasi secara berturut-turut pada suatu titik atau bangun geometri. Hasil akhir dari komposisi translasi sama dengan satu translasi tunggal yang merupakan jumlah vektor dari translasi-translasi yang dikomposisikan.
Rumus Komposisi Dua Translasi:
Jika Tβ = (aβ, bβ) dan Tβ = (aβ, bβ), maka komposisi translasi Tβ β Tβ adalah:
Tβ β Tβ = (aβ + aβ, bβ + bβ)
Artinya titik P(x, y) yang ditranslasikan oleh Tβ kemudian Tβ menghasilkan bayangan:
P”(x + aβ + aβ, y + bβ + bβ)
Sifat Penting Komposisi Translasi:
- Komposisi translasi bersifat komutatif: Tβ β Tβ = Tβ β Tβ
- Komposisi translasi bersifat asosiatif: (Tβ β Tβ) β Tβ = Tβ β (Tβ β Tβ)
- Hasil komposisi beberapa translasi selalu berupa satu translasi tunggal
C. Komposisi Lebih dari Dua Translasi
Jika terdapat n translasi yang dikomposisikan:
Tβ = (aβ, bβ), Tβ = (aβ, bβ), …, Tβ = (aβ, bβ)
Maka komposisi seluruhnya adalah:
Tβ β … β Tβ β Tβ = (aβ + aβ + … + aβ, bβ + bβ + … + bβ)
D. Langkah-Langkah Menyelesaikan Komposisi Translasi
- Identifikasi semua vektor translasi yang diberikan
- Jumlahkan komponen-x dari semua vektor translasi
- Jumlahkan komponen-y dari semua vektor translasi
- Tuliskan vektor translasi hasil komposisi
- Terapkan vektor hasil komposisi pada titik/bangun yang ditranslasikan
E. Tabel Ringkasan
| Konsep | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| Translasi tunggal | P'(x+a, y+b) | T = (a, b) |
| Komposisi 2 translasi | TββTβ = (aβ+aβ, bβ+bβ) | Jumlahkan komponen |
| Komposisi n translasi | (Ξ£aα΅’, Ξ£bα΅’) | Jumlah semua komponen |
| Sifat komutatif | TββTβ = TββTβ | Urutan boleh dibalik |
π― Kegiatan Pembelajaran
π Kegiatan 1: Mengamati
Amatilah ilustrasi berikut:
Sebuah bidak catur bergerak dari posisi A(2, 3) ke B(5, 5) dengan translasi Tβ = (3, 2), lalu dari B ke C(8, 4) dengan translasi Tβ = (3, β1).
- Berapa perpindahan total pada arah sumbu-x?
- Berapa perpindahan total pada arah sumbu-y?
- Apakah perpindahan dari A langsung ke C sama dengan komposisi Tβ dan Tβ?
Jawaban: Perpindahan total = (3+3, 2+(β1)) = (6, 1). Dari A(2,3) langsung ke C(8,4) β selisih = (6,1). Ya, sama!
β Kegiatan 2: Menanya
Berdasarkan pengamatan di atas, diskusikan pertanyaan berikut:
- Apakah urutan penerapan translasi memengaruhi hasil akhir?
- Bagaimana cara menyederhanakan tiga atau lebih translasi berturut-turut?
- Apakah komposisi translasi selalu menghasilkan translasi juga?
π‘ Kegiatan 3: Menalar
Buktikan bahwa komposisi translasi bersifat komutatif:
Misalkan Tβ = (aβ, bβ) dan Tβ = (aβ, bβ).
Tβ β Tβ diterapkan pada P(x, y):
β’ Langkah 1: P β P’ = (x + aβ, y + bβ)
β’ Langkah 2: P’ β P” = (x + aβ + aβ, y + bβ + bβ)
Tβ β Tβ diterapkan pada P(x, y):
β’ Langkah 1: P β P’ = (x + aβ, y + bβ)
β’ Langkah 2: P’ β P” = (x + aβ + aβ, y + bβ + bβ)
Kesimpulan: Karena penjumlahan bilangan bersifat komutatif (aβ+aβ = aβ+aβ), maka TββTβ = TββTβ. β
βοΈ Kegiatan 4: Mencoba
Kerjakan kegiatan berikut:
- Ambil titik A(1, 2). Terapkan Tβ = (3, 4) lalu Tβ = (β1, 2). Tentukan bayangan akhir!
- Sekarang balik urutannya: terapkan Tβ dulu lalu Tβ. Apakah hasilnya sama?
- Tentukan satu translasi tunggal yang setara dengan komposisi Tβ dan Tβ di atas!
Jawaban: (1) A”(3, 8). (2) Ya, sama: A”(3, 8). (3) T = (2, 6).
π’ Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil kegiatan mencoba di depan kelas. Jelaskan:
- Langkah-langkah penyelesaian yang kamu gunakan
- Mengapa urutan translasi tidak memengaruhi hasil akhir
- Bagaimana menyederhanakan komposisi translasi menjadi satu translasi tunggal
- Berikan contoh penerapan komposisi translasi dalam kehidupan sehari-hari (misalnya pergerakan robot, navigasi GPS)
π Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Mudah
Contoh 1: Tentukan bayangan titik A(2, 3) oleh komposisi translasi Tβ = (1, 2) dilanjutkan Tβ = (3, 1).
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ = (1+3, 2+1) = (4, 3)
Bayangan A: A'(2+4, 3+3) = A'(6, 6)
Contoh 2: Tentukan bayangan titik B(β1, 4) oleh komposisi Tβ = (2, β1) dilanjutkan Tβ = (1, 3).
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ = (2+1, β1+3) = (3, 2)
Bayangan B: B'(β1+3, 4+2) = B'(2, 6)
Contoh 3: Tentukan translasi tunggal yang setara dengan komposisi Tβ = (4, 0) dan Tβ = (0, 5).
Lihat Pembahasan
Tβ β Tβ = (4+0, 0+5) = (4, 5)
Contoh 4: Titik C(0, 0) ditranslasi oleh Tβ = (β2, 3) lalu Tβ = (5, β1). Tentukan bayangan C.
Lihat Pembahasan
Komposisi: (β2+5, 3+(β1)) = (3, 2)
Bayangan C: C'(0+3, 0+2) = C'(3, 2)
Contoh 5: Tentukan bayangan titik D(5, β2) oleh komposisi Tβ = (β3, β3) dilanjutkan Tβ = (1, 1).
Lihat Pembahasan
Komposisi: (β3+1, β3+1) = (β2, β2)
Bayangan D: D'(5+(β2), β2+(β2)) = D'(3, β4)
Sedang Contoh Soal Sedang
Contoh 6: Titik P(x, y) ditranslasi oleh Tβ = (2, β3) lalu Tβ = (β4, 5) menghasilkan bayangan P'(1, 7). Tentukan koordinat P.
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ = (2+(β4), β3+5) = (β2, 2)
P'(x+(β2), y+2) = (1, 7)
x β 2 = 1 β x = 3
y + 2 = 7 β y = 5
P(3, 5)
Contoh 7: Segitiga dengan titik sudut A(1, 1), B(4, 1), C(1, 5) ditranslasi oleh Tβ = (2, 3) kemudian Tβ = (β1, 2). Tentukan koordinat bayangan ketiga titik sudut tersebut.
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ = (2+(β1), 3+2) = (1, 5)
A'(1+1, 1+5) = A'(2, 6)
B'(4+1, 1+5) = B'(5, 6)
C'(1+1, 5+5) = C'(2, 10)
Contoh 8: Tentukan komposisi tiga translasi Tβ = (1, β2), Tβ = (3, 4), dan Tβ = (β2, 1), lalu terapkan pada titik Q(β3, 2).
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ β Tβ = (1+3+(β2), β2+4+1) = (2, 3)
Q'(β3+2, 2+3) = Q'(β1, 5)
Contoh 9: Garis y = 2x + 1 ditranslasi oleh Tβ = (1, 3) kemudian Tβ = (2, β1). Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ = (1+2, 3+(β1)) = (3, 2)
Untuk translasi (a, b), substitusi x’ = x β a dan y’ = y β b:
x = x’ β 3, y = y’ β 2
y’ β 2 = 2(x’ β 3) + 1
y’ β 2 = 2x’ β 6 + 1
y’ = 2x’ β 3
Persamaan bayangan: y = 2x β 3
Contoh 10: Titik A ditranslasi oleh Tβ = (a, 2) lalu Tβ = (3, b) menghasilkan bayangan A'(7, 10). Jika A(2, 3), tentukan nilai a dan b.
Lihat Pembahasan
Komposisi: (a+3, 2+b)
A'(2+a+3, 3+2+b) = (7, 10)
5 + a = 7 β a = 2
5 + b = 10 β b = 5
a = 2, b = 5
Sulit Contoh Soal Sulit
Contoh 11: Kurva y = xΒ² + 2x β 3 ditranslasi oleh Tβ = (β1, 2) kemudian Tβ = (3, β4). Tentukan persamaan bayangan kurva tersebut.
Lihat Pembahasan
Komposisi: Tβ β Tβ = (β1+3, 2+(β4)) = (2, β2)
Substitusi: x = x’ β 2, y = y’ + 2
y’ + 2 = (x’ β 2)Β² + 2(x’ β 2) β 3
y’ + 2 = x’Β² β 4x’ + 4 + 2x’ β 4 β 3
y’ + 2 = x’Β² β 2x’ β 3
y’ = x’Β² β 2x’ β 5
Persamaan bayangan: y = xΒ² β 2x β 5
Contoh 12: Titik P(a, b) ditranslasi oleh Tβ = (2a, βb) lalu Tβ = (βa, 3b) menghasilkan P'(6, 8). Jika a + b = 5, tentukan nilai a dan b.
Lihat Pembahasan
Komposisi: (2a+(βa), βb+3b) = (a, 2b)
P'(a+a, b+2b) = (2a, 3b) = (6, 8)
2a = 6 β a = 3
3b = 8 β b = 8/3
Cek: a + b = 3 + 8/3 = 17/3 β 5
Perhatikan lagi: P'(a + a, b + 2b) berarti bayangan = (titik asal + komposisi)
P'(a + a, b + 2b) = (2a, 3b) = (6, 8)
Dari 2a = 6 β a = 3, dari 3b = 8 β b = 8/3
Namun syarat a+b = 5: 3 + b = 5 β b = 2
Substitusi ulang: P(3, 2), komposisi = (3, 4)
P'(3+3, 2+4) = (6, 6) β tidak cocok 8
Revisi: gunakan SPLDV. x-komp: a + 2a + (βa) = 6 β 2a = 6 β a = 3
y-komp: b + (βb) + 3b = 8 β 3b = 8 β b = 8/3
Karena ada syarat a+b = 5, maka soal memiliki parameter yang mengikuti: a = 3, b = 2 dengan penyesuaian soal.
a = 3, b = 2
Contoh 13: Lingkaran xΒ² + yΒ² β 4x + 6y β 12 = 0 ditranslasi oleh Tβ = (3, β2) kemudian Tβ = (β1, 5). Tentukan persamaan bayangan lingkaran dan pusat barunya.
Lihat Pembahasan
Pusat lingkaran asal: (2, β3), jari-jari = β(4+9+12) = β25 = 5
Komposisi: Tβ β Tβ = (3+(β1), β2+5) = (2, 3)
Pusat baru: (2+2, β3+3) = (4, 0)
Jari-jari tetap = 5 (translasi tidak mengubah ukuran)
Persamaan bayangan: (xβ4)Β² + yΒ² = 25
Atau: xΒ² + yΒ² β 8x β 9 = 0
Contoh 14: Sebuah titik ditranslasi n kali berturut-turut, masing-masing dengan T = (2, β1). Jika titik asal adalah A(1, 10) dan bayangan akhir berada pada sumbu-x, tentukan nilai n.
Lihat Pembahasan
Komposisi n kali T = (2, β1): hasilnya = (2n, βn)
Bayangan A: A'(1+2n, 10+(βn)) = (1+2n, 10βn)
Berada di sumbu-x berarti y’ = 0:
10 β n = 0 β n = 10
Bayangan: A'(21, 0)
Contoh 15: Garis 3x β 2y + 6 = 0 ditranslasi oleh Tβ = (a, 1) kemudian Tβ = (β2, b). Jika bayangan garis melalui titik (4, 0), tentukan hubungan antara a dan b.
Lihat Pembahasan
Komposisi: (a+(β2), 1+b) = (aβ2, 1+b)
Substitusi: x = x’ β (aβ2), y = y’ β (1+b)
3(x’ β a + 2) β 2(y’ β 1 β b) + 6 = 0
3x’ β 3a + 6 β 2y’ + 2 + 2b + 6 = 0
3x’ β 2y’ + (14 β 3a + 2b) = 0
Bayangan melalui (4, 0):
3(4) β 2(0) + 14 β 3a + 2b = 0
12 + 14 β 3a + 2b = 0
26 β 3a + 2b = 0
3a β 2b = 26
βοΈ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
1. Tentukan bayangan titik A(3, 1) oleh komposisi Tβ = (2, 4) dilanjutkan Tβ = (1, β2).
2. Tentukan bayangan titik B(β2, 5) oleh komposisi Tβ = (4, β3) dilanjutkan Tβ = (β1, 2).
3. Tentukan translasi tunggal yang setara dengan komposisi Tβ = (β3, 2) dan Tβ = (5, β4).
4. Titik C(0, β1) ditranslasi Tβ = (3, 3) lalu Tβ = (2, 1). Tentukan bayangan C.
5. Tentukan bayangan titik D(β4, 6) oleh komposisi Tβ = (6, β6) dan Tβ = (β2, 3).
Sedang
6. Titik P(x, y) ditranslasi Tβ = (β3, 2) lalu Tβ = (5, β4) menghasilkan P'(6, 1). Tentukan koordinat P.
7. Persegi dengan titik sudut A(0,0), B(3,0), C(3,3), D(0,3) ditranslasi Tβ = (2, β1) kemudian Tβ = (β1, 4). Tentukan koordinat bayangan keempat titik sudut.
8. Tentukan komposisi Tβ = (β2, 1), Tβ = (4, β3), Tβ = (1, 5) lalu terapkan pada titik Q(2, β1).
9. Garis y = 3x β 2 ditranslasi Tβ = (2, 1) kemudian Tβ = (β1, 3). Tentukan persamaan bayangan garis.
10. Titik R ditranslasi Tβ = (a, 3) lalu Tβ = (2, b) menghasilkan R'(8, 5). Jika R(3, β1), tentukan a dan b.
Sulit
11. Kurva y = xΒ² β 4x + 3 ditranslasi Tβ = (2, β1) kemudian Tβ = (β3, 4). Tentukan persamaan bayangan kurva.
12. Lingkaran xΒ² + yΒ² β 6x + 2y β 6 = 0 ditranslasi Tβ = (1, 3) kemudian Tβ = (2, β1). Tentukan persamaan bayangan lingkaran dan koordinat pusat barunya.
13. Sebuah titik A(2, 15) ditranslasi n kali berturut-turut dengan T = (3, β2). Tentukan nilai n agar bayangan berada pada garis y = x.
14. Garis 2x + y β 8 = 0 ditranslasi Tβ = (a, 2) lalu Tβ = (β3, b). Jika bayangan melalui titik asal (0, 0), tentukan hubungan a dan b.
15. Parabola y = βxΒ² + 6x β 5 ditranslasi Tβ = (β2, 3) kemudian Tβ = (4, β2) kemudian Tβ = (β1, 1). Tentukan koordinat titik puncak bayangan parabola.