Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Transformasi Regangan dalam Arah Sumbu X
Materi Transformasi Geometri
π Materi: Regangan dalam Arah Sumbu X
A. Pengertian Regangan dalam Arah Sumbu X
Regangan (dilatasi directional/stretch) dalam arah sumbu X adalah suatu transformasi geometri yang mengubah posisi setiap titik dengan cara mengalikan koordinat x dengan suatu faktor regangan k, sedangkan koordinat y tetap.
Secara sederhana, regangan arah sumbu X akan “menarik” atau “menekan” suatu bangun secara horizontal (mendatar), tanpa mengubah posisi vertikalnya.
Rumus Regangan dalam Arah Sumbu X:
Jika titik P(x, y) diregangkan dalam arah sumbu X dengan faktor k, maka bayangannya adalah:
P'(kx, y)
Dalam notasi matriks:
P’ = ββ k 0 0 1 ββ ββ x y ββ = ββ kx y ββ
B. Sifat-sifat Regangan Arah Sumbu X
| Nilai k | Efek Transformasi | Keterangan |
|---|---|---|
| k > 1 | Peregangan (menjauhi sumbu Y) | Bangun melebar ke arah horizontal |
| 0 < k < 1 | Penyusutan (mendekati sumbu Y) | Bangun menyempit ke arah horizontal |
| k = 1 | Identitas (tidak berubah) | Bangun tetap pada posisi semula |
| k < 0 | Regangan + Pencerminan | Bangun melebar/menyusut dan tercermin terhadap sumbu Y |
C. Ilustrasi Grafik
Perhatikan ilustrasi berikut. Titik A(2, 3) diregangkan dengan faktor k = 3 dalam arah sumbu X menjadi A'(6, 3).
D. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik)
π 1. Mengamati
Perhatikan persegi dengan titik sudut A(1, 0), B(3, 0), C(3, 2), D(1, 2).
Jika persegi tersebut diregangkan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2, amati apa yang terjadi:
- A(1, 0) β A'(2, 0)
- B(3, 0) β B'(6, 0)
- C(3, 2) β C'(6, 2)
- D(1, 2) β D'(2, 2)
Perhatikan: Lebar semula = 2 satuan, lebar setelah regangan = 4 satuan. Tinggi tetap = 2 satuan. Persegi berubah menjadi persegi panjang!
β 2. Menanya
- Mengapa koordinat y tidak berubah pada regangan arah sumbu X?
- Apa yang terjadi jika faktor regangan bernilai antara 0 dan 1?
- Apakah titik pada sumbu Y akan berubah posisinya?
- Bagaimana bentuk bangun berubah jika k negatif?
π‘ 3. Menalar
Dari pengamatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Regangan arah sumbu X hanya mengubah koordinat x, yaitu dikalikan faktor k.
- Titik-titik pada sumbu Y (x = 0) tidak berubah posisi karena k Γ 0 = 0. Sumbu Y merupakan garis invarian.
- Jika k > 1, semua titik bergerak menjauhi sumbu Y (bangun melebar).
- Jika 0 < k < 1, semua titik bergerak mendekati sumbu Y (bangun menyusut).
- Luas bangun berubah menjadi |k| kali luas semula.
π§ͺ 4. Mencoba
Cobalah tentukan bayangan titik-titik berikut dengan regangan arah sumbu X, faktor k = 3:
- P(1, 4) β P'(… , …)
- Q(-2, 5) β Q'(… , …)
- R(0, 7) β R'(… , …)
Jawaban:
- P'(3, 4)
- Q'(-6, 5)
- R'(0, 7) β titik pada sumbu Y tetap!
π’ 5. Mengkomunikasikan
Berdasarkan kegiatan di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k mentransformasikan setiap titik P(x, y) menjadi P'(kx, y).
Matriks transformasinya: k 0
0 1
Sumbu Y adalah garis invarian (titik-titik di sumbu Y tidak berpindah).
E. Regangan Arah Sumbu X pada Kurva
Jika kurva y = f(x) diregangkan dalam arah sumbu X dengan faktor k, maka persamaan bayangan kurva diperoleh dengan mengganti x dengan x/k.
Bayangan kurva y = f(x):
y = f(x/k)
Penjelasan: Jika P'(x’, y’) adalah bayangan P(x, y), maka x’ = kx sehingga x = x’/k. Substitusi ke persamaan kurva: y’ = f(x’/k). Ganti notasi x’, y’ menjadi x, y: y = f(x/k).
βοΈ Contoh Soal dan Pembahasan
π’ Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(4, 5) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2.
Pembahasan
Rumus: P(x, y) β P'(kx, y)
A(4, 5) β A'(2Γ4, 5) = A'(8, 5)
Jawaban: A'(8, 5)
Contoh 2
Tentukan bayangan titik B(-3, 2) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 4.
Pembahasan
B(-3, 2) β B'(4Γ(-3), 2) = B'(-12, 2)
Jawaban: B'(-12, 2)
Contoh 3
Tentukan bayangan titik C(6, -1) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 1/2.
Pembahasan
C(6, -1) β C'((1/2)Γ6, -1) = C'(3, -1)
Karena k = 1/2 (antara 0 dan 1), maka titik mendekati sumbu Y (penyusutan).
Jawaban: C'(3, -1)
Contoh 4
Tentukan bayangan titik D(0, 7) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 5.
Pembahasan
D(0, 7) β D'(5Γ0, 7) = D'(0, 7)
Titik D terletak pada sumbu Y (x = 0), sehingga tidak berpindah. Sumbu Y adalah garis invarian.
Jawaban: D'(0, 7)
Contoh 5
Tentukan bayangan titik E(10, -4) oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 1/5.
Pembahasan
E(10, -4) β E'((1/5)Γ10, -4) = E'(2, -4)
Jawaban: E'(2, -4)
π‘ Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2.
Pembahasan
Untuk kurva y = f(x), bayangan regangan arah sumbu X faktor k adalah y = f(x/k).
f(x) = 2x + 3, k = 2
Bayangan: y = f(x/2) = 2(x/2) + 3 = x + 3
Jawaban: y = x + 3
Contoh 7
Tentukan bayangan kurva y = xΒ² oleh regangan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 3.
Pembahasan
f(x) = xΒ², k = 3
Bayangan: y = f(x/3) = (x/3)Β² = xΒ²/9
Jawaban: y = xΒ²/9
Contoh 8
Segitiga PQR dengan P(2, 1), Q(4, 1), R(3, 4) diregangkan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 2. Tentukan bayangan segitiga dan luas bayangannya.
Pembahasan
P(2,1) β P'(4, 1)
Q(4,1) β Q'(8, 1)
R(3,4) β R'(6, 4)
Luas segitiga semula: alas = |4-2| = 2, tinggi = |4-1| = 3, Luas = Β½Γ2Γ3 = 3 satuanΒ²
Luas bayangan = |k| Γ Luas semula = 2 Γ 3 = 6 satuanΒ²
Verifikasi: alas bayangan = |8-4| = 4, tinggi = |4-1| = 3, Luas = Β½Γ4Γ3 = 6 β
Jawaban: P'(4,1), Q'(8,1), R'(6,4); Luas = 6 satuanΒ²
Contoh 9
Tentukan bayangan kurva y = βx oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 4.
Pembahasan
f(x) = βx, k = 4
Bayangan: y = f(x/4) = β(x/4) = (βx)/2 = Β½βx
Jawaban: y = Β½βx
Contoh 10
Titik A'(12, 5) merupakan bayangan titik A oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 3. Tentukan koordinat titik A.
Pembahasan
Jika A(x, y) β A'(kx, y), maka:
kx = 12, y = 5
3x = 12, sehingga x = 4
Jawaban: A(4, 5)
π΄ Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan bayangan lingkaran xΒ² + yΒ² = 16 oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 2.
Pembahasan
Ganti x dengan x/k = x/2:
(x/2)Β² + yΒ² = 16
xΒ²/4 + yΒ² = 16
Bagi kedua ruas dengan 16:
xΒ²/64 + yΒ²/16 = 1
Ini adalah persamaan elips dengan a = 8 dan b = 4.
Jawaban: xΒ²/64 + yΒ²/16 = 1 (elips)
Contoh 12
Kurva y = 2xΒ² – 4x + 1 diregangkan dalam arah sumbu X dengan faktor k = 1/2. Tentukan persamaan bayangan kurva.
Pembahasan
f(x) = 2xΒ² – 4x + 1, k = 1/2
Ganti x dengan x/k = x/(1/2) = 2x:
y = 2(2x)Β² – 4(2x) + 1
y = 2(4xΒ²) – 8x + 1
y = 8xΒ² – 8x + 1
Jawaban: y = 8xΒ² – 8x + 1
Contoh 13
Tentukan nilai k jika bayangan titik A(3, 2) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k terletak pada garis 2x – 3y = 6.
Pembahasan
A(3, 2) β A'(3k, 2)
A’ terletak pada 2x – 3y = 6:
2(3k) – 3(2) = 6
6k – 6 = 6
6k = 12
k = 2
Jawaban: k = 2
Contoh 14
Persegi panjang ABCD dengan A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3), D(1, 3) diregangkan dalam arah sumbu X sehingga luasnya menjadi 3 kali luas semula. Tentukan faktor regangan k (k > 0) dan koordinat bayangan tiap titik sudut.
Pembahasan
Luas semula: panjang = 3, lebar = 2, Luas = 6
Luas bayangan = 3 Γ 6 = 18
Pada regangan arah sumbu X, luas bayangan = |k| Γ luas semula
|k| Γ 6 = 18 β |k| = 3, karena k > 0 maka k = 3
Bayangan titik sudut:
A(1,1) β A'(3, 1)
B(4,1) β B'(12, 1)
C(4,3) β C'(12, 3)
D(1,3) β D'(3, 3)
Jawaban: k = 3; A'(3,1), B'(12,1), C'(12,3), D'(3,3)
Contoh 15
Kurva y = sin(x) diregangkan dalam arah sumbu X dengan faktor k = Ο/2. Tentukan persamaan bayangan kurva dan periodenya.
Pembahasan
f(x) = sin(x), k = Ο/2
Bayangan: y = f(x/k) = sin(x/(Ο/2)) = sin(2x/Ο)
Periode fungsi asal: T = 2Ο
Periode bayangan: T’ = k Γ T = (Ο/2) Γ 2Ο = ΟΒ²
Atau dari rumus: periode sin(2x/Ο) = 2Ο/(2/Ο) = 2Ο Γ Ο/2 = ΟΒ²
Jawaban: y = sin(2x/Ο), periode = ΟΒ²
π Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
π’ Tingkat Mudah
1. Tentukan bayangan titik P(5, 3) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 3.
2. Tentukan bayangan titik Q(-4, 6) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 2.
3. Tentukan bayangan titik R(8, -2) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 1/4.
4. Tentukan bayangan titik S(0, 9) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 7.
5. Tentukan bayangan titik T(-6, -3) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 1/3.
π‘ Tingkat Sedang
6. Tentukan bayangan garis y = 3x – 6 oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 3.
7. Tentukan bayangan kurva y = xΒ² + 2x oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 2.
8. Titik A'(15, -2) adalah bayangan titik A oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 5. Tentukan koordinat A.
9. Segitiga dengan titik sudut A(1, 0), B(3, 0), C(2, 4) diregangkan arah sumbu X dengan faktor k = 3. Tentukan luas bayangan segitiga.
10. Tentukan bayangan kurva y = 1/x oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 4.
π΄ Tingkat Sulit
11. Tentukan bayangan lingkaran xΒ² + yΒ² = 9 oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k = 3. Sebutkan jenis kurva bayangannya.
12. Kurva y = xΒ³ – 3x diregangkan arah sumbu X dengan faktor k = 1/2. Tentukan persamaan bayangan kurva.
13. Tentukan nilai k (k > 0) jika bayangan titik B(2, -1) oleh regangan arah sumbu X dengan faktor k terletak pada lingkaran xΒ² + yΒ² = 17.
14. Elips xΒ²/9 + yΒ²/4 = 1 diregangkan arah sumbu X dengan faktor k = 2. Tentukan persamaan bayangan elips dan panjang sumbu mayornya.
15. Kurva y = cos(2x) diregangkan arah sumbu X dengan faktor k = 3. Tentukan persamaan bayangan kurva dan periodenya.