Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Transformasi
Memahami representasi transformasi geometri dalam bentuk matriks
📘 Materi: Matriks Transformasi
A. Pengertian Matriks Transformasi
Matriks transformasi adalah matriks berukuran 2×2 yang digunakan untuk merepresentasikan suatu transformasi geometri pada bidang koordinat. Setiap transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks.
Jika titik P(x, y) ditransformasikan oleh matriks transformasi M, maka bayangan titik P yaitu P'(x’, y’) diperoleh dengan:
Rumus Umum:
dengan M = (abcd) adalah matriks transformasi
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel berikut yang menunjukkan matriks transformasi untuk setiap jenis transformasi geometri:
| Transformasi | Matriks | Keterangan |
|---|---|---|
| Refleksi terhadap sumbu-x | (100−1) | x tetap, y berubah tanda |
| Refleksi terhadap sumbu-y | (−1001) | x berubah tanda, y tetap |
| Refleksi terhadap y = x | (0110) | x dan y ditukar |
| Refleksi terhadap y = −x | (0−1−10) | x dan y ditukar lalu berubah tanda |
| Refleksi terhadap titik O(0,0) | (−100−1) | x dan y berubah tanda |
| Rotasi sebesar θ terhadap O | (cos θ−sin θsin θcos θ) | Putar sebesar θ berlawanan arah jarum jam |
| Dilatasi [O, k] | (k00k) | Pusat O, faktor skala k |
Amati pola angka-angka pada masing-masing matriks dan hubungannya dengan jenis transformasi.
B. Matriks Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat pencerminan terhadap suatu garis (sumbu cermin). Berikut matriks refleksi untuk berbagai sumbu cermin:
1. Refleksi terhadap sumbu-x
Hasil: P(x, y) → P'(x, −y)
2. Refleksi terhadap sumbu-y
Hasil: P(x, y) → P'(−x, y)
3. Refleksi terhadap garis y = x
Hasil: P(x, y) → P'(y, x)
4. Refleksi terhadap garis y = −x
Hasil: P(x, y) → P'(−y, −x)
5. Refleksi terhadap garis y = x tan θ (garis melalui O dengan sudut θ terhadap sumbu-x)
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati matriks-matriks refleksi di atas, cobalah jawab pertanyaan berikut:
- Mengapa elemen diagonal matriks refleksi terhadap sumbu-x adalah 1 dan −1?
- Apa hubungan antara matriks refleksi terhadap y = x dan operasi menukar koordinat?
- Jika matriks refleksi M dikuadratkan (M²), apa hasilnya? Mengapa demikian?
- Bagaimana cara menentukan matriks refleksi terhadap garis yang membentuk sudut 30° terhadap sumbu-x?
C. Matriks Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik pada bidang sebesar sudut θ terhadap suatu titik pusat. Untuk rotasi dengan pusat di titik O(0,0), matriks transformasinya adalah:
Matriks Rotasi sebesar θ terhadap O(0,0):
Sudut θ positif = berlawanan arah jarum jam (counterclockwise)
Matriks rotasi untuk sudut-sudut istimewa:
| Sudut θ | cos θ | sin θ | Matriks R(θ) |
|---|---|---|---|
| 90° | 0 | 1 | (0−110) |
| 180° | −1 | 0 | (−100−1) |
| 270° (atau −90°) | 0 | −1 | (01−10) |
| 360° | 1 | 0 | (1001) |
Rotasi dengan pusat bukan O(0,0)
Jika pusat rotasi adalah titik P(a, b), maka langkahnya:
- Translasi sehingga pusat rotasi menjadi O: kurangi koordinat dengan (a, b)
- Lakukan rotasi dengan matriks R(θ)
- Translasi kembali: tambahkan (a, b)
Rumus:
D. Matriks Dilatasi (Perbesaran/Perkecilan)
Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun dengan faktor skala k terhadap pusat tertentu.
Matriks Dilatasi [O, k] (pusat O, faktor skala k):
Hasil: P(x, y) → P'(kx, ky)
Catatan penting:
- Jika |k| > 1, bangun diperbesar
- Jika 0 < |k| < 1, bangun diperkecil
- Jika k < 0, bangun diperbesar/diperkecil dan dibalik arah
Dilatasi dengan pusat P(a, b):
Kegiatan: Menalar
Pikirkan dan analisis hubungan berikut:
- Komposisi Transformasi: Jika titik P ditransformasikan oleh M₁ kemudian M₂, maka matriks komposisi adalah M₂ × M₁ (perhatikan urutannya!)
- Invers Transformasi: Matriks invers M⁻¹ adalah matriks yang mengembalikan titik bayangan ke titik asal
- Rotasi 180° = Refleksi terhadap O: Perhatikan bahwa kedua matriks menghasilkan matriks yang sama yaitu (−100−1)
E. Komposisi Transformasi
Jika suatu titik mengalami dua transformasi berturut-turut, yaitu transformasi T₁ (matriks M₁) dilanjutkan T₂ (matriks M₂), maka matriks komposisi transformasinya adalah:
Matriks Komposisi:
⚠️ Perhatian: Urutan perkalian matriks sangat penting! M₂ × M₁ ≠ M₁ × M₂ pada umumnya.
Artinya, transformasi yang dilakukan pertama ditulis di kanan, dan transformasi yang dilakukan kedua ditulis di kiri.
F. Transformasi pada Kurva/Persamaan
Jika kurva y = f(x) ditransformasikan oleh matriks M, maka persamaan bayangan kurva diperoleh dengan:
Langkah-langkah:
- Tentukan matriks invers M⁻¹
- Nyatakan: (xy) = M⁻¹ (x’y’)
- Substitusikan x dan y ke persamaan kurva asal
- Ganti x’ dengan x dan y’ dengan y untuk mendapatkan persamaan bayangan
Invers Matriks 2×2:
Jika M = (abcd), maka:
dengan syarat det(M) = ad − bc ≠ 0
Kegiatan: Mencoba
Cobalah hitung sendiri:
- Tentukan bayangan titik A(3, 2) oleh refleksi terhadap sumbu-x menggunakan matriks transformasi.
- Tentukan bayangan titik B(1, 4) oleh rotasi 90° terhadap O(0,0).
- Tentukan bayangan titik C(2, −1) oleh dilatasi [O, 3].
- Tentukan matriks komposisi: refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan rotasi 90°.
Petunjuk penyelesaian nomor 1:
Jadi bayangan A(3, 2) adalah A'(3, −2) ✓
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dan presentasikan:
- Jelaskan kepada teman sekelompokmu mengapa urutan komposisi transformasi penting (M₂ × M₁ ≠ M₁ × M₂).
- Buatlah poster atau diagram yang menunjukkan semua matriks refleksi dan berikan contoh visualnya.
- Presentasikan cara menentukan bayangan suatu kurva menggunakan matriks transformasi.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(4, 3) oleh refleksi terhadap sumbu-x menggunakan matriks transformasi.
Pembahasan:
Matriks refleksi terhadap sumbu-x: M = (100−1)
Jadi bayangan titik A(4, 3) adalah A'(4, −3)
Contoh 2
Tentukan bayangan titik B(−2, 5) oleh refleksi terhadap sumbu-y menggunakan matriks transformasi.
Pembahasan:
Matriks refleksi terhadap sumbu-y: M = (−1001)
Jadi bayangan titik B(−2, 5) adalah B'(2, 5)
Contoh 3
Tentukan bayangan titik C(3, −1) oleh dilatasi [O, 2] menggunakan matriks transformasi.
Pembahasan:
Matriks dilatasi [O, 2]: D = (2002)
Jadi bayangan titik C(3, −1) adalah C'(6, −2)
Contoh 4
Tentukan bayangan titik D(5, 2) oleh refleksi terhadap garis y = x.
Pembahasan:
Matriks refleksi terhadap y = x: M = (0110)
Jadi bayangan titik D(5, 2) adalah D'(2, 5)
Contoh 5
Tentukan bayangan titik E(1, −3) oleh rotasi 180° terhadap O(0,0).
Pembahasan:
Matriks rotasi 180°: R(180°) = (cos 180°−sin 180°sin 180°cos 180°) = (−100−1)
Jadi bayangan titik E(1, −3) adalah E'(−1, 3)
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan bayangan titik P(2, 3) oleh rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0).
Pembahasan:
R(90°) = (cos 90°−sin 90°sin 90°cos 90°) = (0−110)
Jadi bayangan P(2, 3) adalah P'(−3, 2)
Contoh 7
Tentukan bayangan titik Q(4, −2) oleh refleksi terhadap garis y = −x.
Pembahasan:
Matriks refleksi terhadap y = −x: M = (0−1−10)
Jadi bayangan Q(4, −2) adalah Q'(2, −4)
Contoh 8
Tentukan matriks komposisi transformasi: refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
Pembahasan:
M₁ (refleksi sumbu-x) = (100−1)
M₂ (refleksi sumbu-y) = (−1001)
Komposisi = M₂ × M₁ (transformasi kedua di kiri):
Jadi matriks komposisinya adalah (−100−1) yang sama dengan rotasi 180°!
Contoh 9
Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh refleksi terhadap sumbu-y menggunakan matriks transformasi.
Pembahasan:
M = (−1001), maka M⁻¹ = (−1001) (refleksi adalah inversnya sendiri)
Sehingga x = −x’ dan y = y’
Substitusi ke y = 2x + 1:
y’ = 2(−x’) + 1
y’ = −2x’ + 1
Jadi bayangan garis y = 2x + 1 adalah y = −2x + 1
Contoh 10
Titik A(1, 2) dirotasi 90° terhadap O kemudian didilatasikan [O, 3]. Tentukan bayangan akhir titik A.
Pembahasan:
Langkah 1: Rotasi 90°
Langkah 2: Dilatasi [O, 3]
Jadi bayangan akhir titik A(1, 2) adalah A'(−6, 3)
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh matriks transformasi M = (100−1)
Pembahasan:
M = (100−1) (refleksi sumbu-x)
det(M) = (1)(−1) − (0)(0) = −1
M⁻¹ = 1⁄−1 (−1001) = (100−1)
Maka x = x’ dan y = −y’
Substitusi ke y = x² − 4x + 3:
−y’ = (x’)² − 4(x’) + 3
y’ = −(x’)² + 4(x’) − 3
Jadi bayangan kurva adalah y = −x² + 4x − 3
Contoh 12
Tentukan matriks transformasi yang memetakan titik A(1, 0) ke A'(0, 1) dan B(0, 1) ke B'(−1, 0).
Pembahasan:
Misalkan matriks transformasi M = (abcd)
Dari A(1,0) → A'(0,1):
Dari B(0,1) → B'(−1,0):
Jadi M = (0−110) (ini adalah matriks rotasi 90°)
Contoh 13
Tentukan bayangan kurva y = 2x + 3 oleh komposisi transformasi: refleksi terhadap y = x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
Pembahasan:
M₁ (refleksi y = x) = (0110), M₂ (dilatasi [O,2]) = (2002)
Komposisi M = M₂ × M₁ = (2002) (0110) = (0220)
det(M) = 0·0 − 2·2 = −4
M⁻¹ = 1⁄−4 (0−2−20) = (0½½0)
Maka x = ½y’ dan y = ½x’
Substitusi ke y = 2x + 3:
½x’ = 2(½y’) + 3
½x’ = y’ + 3
x’ = 2y’ + 6
y’ = ½x’ − 3
Jadi bayangan kurva y = 2x + 3 adalah y = ½x − 3
Contoh 14
Tentukan bayangan titik P(3, 1) oleh rotasi 60° terhadap O(0,0).
Pembahasan:
cos 60° = ½, sin 60° = ½√3
R(60°) = (½−½√3½√3½)
x’ = ½(3) + (−½√3)(1) = 3/2 − ½√3 = (3 − √3)/2
y’ = ½√3(3) + ½(1) = 3√3/2 + ½ = (3√3 + 1)/2
Jadi bayangan P(3, 1) adalah P'((3 − √3)/2, (3√3 + 1)/2)
Contoh 15
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 25 oleh matriks transformasi M = (2111)
Pembahasan:
det(M) = 2·1 − 1·1 = 1
M⁻¹ = 1⁄1 (1−1−12) = (1−1−12)
x = x’ − y’, y = −x’ + 2y’
Substitusi ke x² + y² = 25:
(x’ − y’)² + (−x’ + 2y’)² = 25
(x’)² − 2x’y’ + (y’)² + (x’)² − 4x’y’ + 4(y’)² = 25
2(x’)² − 6x’y’ + 5(y’)² = 25
Jadi bayangan lingkaran x² + y² = 25 adalah 2x² − 6xy + 5y² = 25
✍️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan matriks transformasi untuk menyelesaikannya.
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan bayangan titik A(2, 7) oleh refleksi terhadap sumbu-x menggunakan matriks transformasi.
2. Tentukan bayangan titik B(−3, 4) oleh refleksi terhadap sumbu-y menggunakan matriks transformasi.
3. Tentukan bayangan titik C(5, −2) oleh dilatasi [O, 4] menggunakan matriks transformasi.
4. Tentukan bayangan titik D(−1, 6) oleh refleksi terhadap garis y = x.
5. Tentukan bayangan titik E(4, −5) oleh rotasi 180° terhadap O(0,0).
🟡 Tingkat Sedang
6. Tentukan bayangan titik P(−2, 3) oleh rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0).
7. Tentukan matriks komposisi transformasi: refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.
8. Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh refleksi terhadap garis y = x menggunakan matriks transformasi.
9. Tentukan bayangan titik Q(2, −4) oleh refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
10. Tentukan bayangan titik R(1, 3) oleh rotasi 270° terhadap O(0,0).
🔴 Tingkat Sulit
11. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 3 oleh refleksi terhadap sumbu-x menggunakan matriks transformasi.
12. Tentukan matriks transformasi yang memetakan titik A(2, 1) ke A'(1, −2) dan B(1, 3) ke B'(3, −1).
13. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh komposisi transformasi: rotasi 90° terhadap O dilanjutkan dilatasi [O, 2].
14. Tentukan bayangan titik P(4, 2) oleh rotasi 45° terhadap O(0,0).
15. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 16 oleh matriks transformasi M = (3121)