Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Persamaan Transformasi Dilatasi pada Bidang
Transformasi Geometri
1. Pengertian Dilatasi
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan sebuah foto yang diperbesar atau diperkecil. Bentuk foto tetap sama, tetapi ukurannya berubah. Inilah konsep dasar dilatasi — suatu transformasi yang mengubah ukuran objek tanpa mengubah bentuknya.
Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi geometri yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun dengan faktor skala tertentu terhadap suatu titik pusat, tanpa mengubah bentuk bangun tersebut.
Dilatasi ditentukan oleh dua unsur utama:
- Pusat dilatasi — titik tetap yang menjadi acuan perbesaran/perkecilan
- Faktor skala (k) — bilangan yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran
Notasi Dilatasi:
D[P, k]
dengan P = pusat dilatasi dan k = faktor skala
Kegiatan: Menanya
Apa yang terjadi jika faktor skala k > 1? Apa yang terjadi jika 0 < k < 1? Bagaimana jika k bernilai negatif?
| Nilai k | Efek pada Bangun |
|---|---|
| k > 1 | Bangun diperbesar |
| k = 1 | Bangun tetap (tidak berubah) |
| 0 < k < 1 | Bangun diperkecil |
| k = −1 | Bangun dicerminkan terhadap pusat (sama ukuran) |
| k < −1 | Bangun diperbesar dan dicerminkan |
| −1 < k < 0 | Bangun diperkecil dan dicerminkan |
Ilustrasi: Dilatasi segitiga dengan pusat O dan k = 2
2. Rumus Persamaan Transformasi Dilatasi
Kegiatan: Menalar
Dari pengamatan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap titik pada bangun akan bergerak menjauhi atau mendekati pusat dilatasi sesuai faktor skala. Mari kita turunkan rumusnya secara sistematis.
Misalkan titik A(x, y) didilatasi dengan pusat P(a, b) dan faktor skala k, maka bayangan titik A yaitu A'(x’, y’) dapat ditentukan dengan rumus:
Rumus Umum Dilatasi D[P(a,b), k]:
x’ = k(x − a) + a
y’ = k(y − b) + b
atau dapat ditulis:
x’ = kx − ka + a = kx + a(1 − k)
y’ = ky − kb + b = ky + b(1 − k)
Dalam bentuk matriks, dilatasi dapat ditulis sebagai:
Bentuk Matriks Dilatasi D[O(0,0), k]:
⎛x’⎞ = ⎛k 0⎞ ⎛x⎞
⎝y’⎠ ⎝0 k⎠ ⎝y⎠
3. Dilatasi dengan Pusat O(0,0)
Kegiatan: Mencoba
Coba tentukan bayangan titik A(3, 2) jika didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala k = 2. Gunakan rumus yang sudah dipelajari!
Jika pusat dilatasi di titik asal O(0,0), maka a = 0 dan b = 0. Rumus menjadi lebih sederhana:
Dilatasi D[O(0,0), k]:
A(x, y) → A'(kx, ky)
atau: x’ = kx dan y’ = ky
Contoh Cepat:
Titik B(4, −3) didilatasi dengan D[O(0,0), 3]
x’ = 3 × 4 = 12
y’ = 3 × (−3) = −9
Bayangan: B'(12, −9)
Ilustrasi: Dilatasi D[O(0,0), 2] pada titik A(2,1) → A'(4,2)
4. Dilatasi dengan Pusat P(a,b)
Jika pusat dilatasi bukan di titik asal, misalnya di P(a, b), maka kita menggunakan rumus umum:
Dilatasi D[P(a,b), k]:
A(x, y) → A'(k(x−a)+a, k(y−b)+b)
Langkah-langkah menentukan bayangan:
- Tentukan pusat dilatasi P(a,b) dan faktor skala k
- Hitung x’ = k(x − a) + a
- Hitung y’ = k(y − b) + b
- Tuliskan bayangan A'(x’, y’)
Contoh Cepat:
Titik C(5, 3) didilatasi dengan D[P(1, 2), 3]
x’ = 3(5 − 1) + 1 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13
y’ = 3(3 − 2) + 2 = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5
Bayangan: C'(13, 5)
Ilustrasi: Dilatasi D[P(1,1), 2] pada titik A(3,2) → A'(5,3)
5. Persamaan Kurva Hasil Dilatasi
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah memahami bayangan titik, sekarang kita pelajari cara menentukan persamaan kurva (garis, parabola, lingkaran, dll.) setelah dilatasi. Diskusikan dengan teman: bagaimana caranya?
Untuk menentukan persamaan kurva hasil dilatasi, kita menggunakan metode substitusi invers. Langkahnya:
Langkah menentukan persamaan kurva hasil dilatasi:
- Dari rumus dilatasi, nyatakan x dan y dalam x’ dan y’ (invers):
Untuk D[O(0,0), k]: x = x’/k dan y = y’/k
Untuk D[P(a,b), k]: x = (x’−a)/k + a dan y = (y’−b)/k + b - Substitusikan x dan y ke persamaan kurva asal
- Sederhanakan, lalu ganti x’ dengan x dan y’ dengan y
Invers Dilatasi D[O(0,0), k]:
x = x’/k dan y = y’/k
Invers Dilatasi D[P(a,b), k]:
x = (x’−a)/k + a dan y = (y’−b)/k + b
Contoh:
Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh dilatasi D[O(0,0), 3].
Penyelesaian:
Invers: x = x’/3 dan y = y’/3
Substitusi ke y = 2x + 1:
y’/3 = 2(x’/3) + 1
y’/3 = 2x’/3 + 1
y’ = 2x’ + 3
Ganti x’ → x dan y’ → y:
Bayangan: y = 2x + 3
6. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1: Tentukan bayangan titik A(2, 5) oleh dilatasi D[O(0,0), 4].
Pembahasan:
Diketahui: A(2, 5), pusat O(0,0), k = 4
Rumus D[O(0,0), k]: A(x,y) → A'(kx, ky)
x’ = 4 × 2 = 8
y’ = 4 × 5 = 20
Bayangan: A'(8, 20)
Soal 2: Tentukan bayangan titik B(−3, 6) oleh dilatasi D[O(0,0), 2].
Pembahasan:
Diketahui: B(−3, 6), pusat O(0,0), k = 2
x’ = 2 × (−3) = −6
y’ = 2 × 6 = 12
Bayangan: B'(−6, 12)
Soal 3: Tentukan bayangan titik C(8, −4) oleh dilatasi D[O(0,0), 1/2].
Pembahasan:
Diketahui: C(8, −4), pusat O(0,0), k = 1/2
x’ = (1/2) × 8 = 4
y’ = (1/2) × (−4) = −2
Bayangan: C'(4, −2)
Soal 4: Tentukan bayangan titik D(1, 3) oleh dilatasi D[P(2, 1), 3].
Pembahasan:
Diketahui: D(1, 3), pusat P(2, 1), k = 3
x’ = 3(1 − 2) + 2 = 3(−1) + 2 = −3 + 2 = −1
y’ = 3(3 − 1) + 1 = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
Bayangan: D'(−1, 7)
Soal 5: Tentukan bayangan titik E(0, 4) oleh dilatasi D[O(0,0), −2].
Pembahasan:
Diketahui: E(0, 4), pusat O(0,0), k = −2
x’ = (−2) × 0 = 0
y’ = (−2) × 4 = −8
Bayangan: E'(0, −8)
Tingkat Sedang
Soal 1: Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh dilatasi D[O(0,0), 2].
Pembahasan:
Invers D[O(0,0), 2]: x = x’/2 dan y = y’/2
Substitusi ke y = 3x − 2:
y’/2 = 3(x’/2) − 2
y’/2 = 3x’/2 − 2
y’ = 3x’ − 4
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: y = 3x − 4
Soal 2: Tentukan bayangan garis 2x + y = 6 oleh dilatasi D[O(0,0), 3].
Pembahasan:
Invers: x = x’/3, y = y’/3
Substitusi ke 2x + y = 6:
2(x’/3) + y’/3 = 6
2x’/3 + y’/3 = 6
Kalikan kedua ruas dengan 3:
2x’ + y’ = 18
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: 2x + y = 18
Soal 3: Tentukan bayangan parabola y = x² oleh dilatasi D[O(0,0), 2].
Pembahasan:
Invers: x = x’/2, y = y’/2
Substitusi ke y = x²:
y’/2 = (x’/2)²
y’/2 = x’²/4
y’ = x’²/2
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: y = x²/2 atau y = ½x²
Soal 4: Tentukan bayangan titik A(4, −2) oleh dilatasi D[P(1, 3), 2].
Pembahasan:
Diketahui: A(4, −2), pusat P(1, 3), k = 2
x’ = 2(4 − 1) + 1 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
y’ = 2(−2 − 3) + 3 = 2(−5) + 3 = −10 + 3 = −7
Bayangan: A'(7, −7)
Soal 5: Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 9 oleh dilatasi D[O(0,0), 3].
Pembahasan:
Invers: x = x’/3, y = y’/3
Substitusi ke x² + y² = 9:
(x’/3)² + (y’/3)² = 9
x’²/9 + y’²/9 = 9
x’² + y’² = 81
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: x² + y² = 81
Catatan: Jari-jari awal = 3, setelah dilatasi k=3 menjadi jari-jari = 9. Cek: 9² = 81 ✓
Tingkat Sulit
Soal 1: Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh dilatasi D[P(1, 0), 2].
Pembahasan:
Pusat P(1, 0), k = 2
Invers D[P(a,b), k]: x = (x’−a)/k + a, y = (y’−b)/k + b
x = (x’−1)/2 + 1 = (x’−1+2)/2 = (x’+1)/2
y = (y’−0)/2 + 0 = y’/2
Substitusi ke y = x² − 4x + 3:
y’/2 = [(x’+1)/2]² − 4[(x’+1)/2] + 3
y’/2 = (x’+1)²/4 − 4(x’+1)/2 + 3
y’/2 = (x’²+2x’+1)/4 − (4x’+4)/2 + 3
Kalikan semua dengan 4:
2y’ = x’²+2x’+1 − 2(4x’+4) + 12
2y’ = x’²+2x’+1 − 8x’−8 + 12
2y’ = x’² − 6x’ + 5
y’ = (x’² − 6x’ + 5)/2
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: y = (x² − 6x + 5)/2
Soal 2: Tentukan bayangan lingkaran (x−2)² + (y−3)² = 4 oleh dilatasi D[P(2, 3), 3].
Pembahasan:
Pusat dilatasi P(2, 3), k = 3
Invers: x = (x’−2)/3 + 2 = (x’−2+6)/3 = (x’+4)/3
y = (y’−3)/3 + 3 = (y’−3+9)/3 = (y’+6)/3
Substitusi ke (x−2)² + (y−3)² = 4:
[(x’+4)/3 − 2]² + [(y’+6)/3 − 3]² = 4
[(x’+4−6)/3]² + [(y’+6−9)/3]² = 4
[(x’−2)/3]² + [(y’−3)/3]² = 4
(x’−2)²/9 + (y’−3)²/9 = 4
(x’−2)² + (y’−3)² = 36
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: (x−2)² + (y−3)² = 36
Catatan: Pusat lingkaran (2,3) = pusat dilatasi, sehingga pusat tetap. Jari-jari: 2 × 3 = 6, dan 6² = 36 ✓
Soal 3: Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh dilatasi D[P(1, 3), 2].
Pembahasan:
Pusat P(1, 3), k = 2
Invers: x = (x’−1)/2 + 1 = (x’+1)/2
y = (y’−3)/2 + 3 = (y’+3)/2
Substitusi ke y = 2x + 1:
(y’+3)/2 = 2 × (x’+1)/2 + 1
(y’+3)/2 = (x’+1) + 1
(y’+3)/2 = x’ + 2
y’ + 3 = 2x’ + 4
y’ = 2x’ + 1
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: y = 2x + 1
Catatan: Garis tetap! Ini terjadi karena pusat dilatasi P(1,3) terletak pada garis y = 2x + 1 (cek: 2(1)+1 = 3 ✓). Garis yang melalui pusat dilatasi akan menjadi dirinya sendiri.
Soal 4: Segitiga ABC dengan A(1,1), B(4,1), C(1,5) didilatasi oleh D[P(2,2), −2]. Tentukan luas segitiga bayangan A’B’C’.
Pembahasan:
Pusat P(2, 2), k = −2
Bayangan A(1,1):
x’ = −2(1−2)+2 = −2(−1)+2 = 2+2 = 4
y’ = −2(1−2)+2 = −2(−1)+2 = 2+2 = 4
A'(4, 4)
Bayangan B(4,1):
x’ = −2(4−2)+2 = −2(2)+2 = −4+2 = −2
y’ = −2(1−2)+2 = −2(−1)+2 = 2+2 = 4
B'(−2, 4)
Bayangan C(1,5):
x’ = −2(1−2)+2 = 2+2 = 4
y’ = −2(5−2)+2 = −2(3)+2 = −6+2 = −4
C'(4, −4)
Luas segitiga asal:
Alas = |4−1| = 3, Tinggi = |5−1| = 4
Luas = ½ × 3 × 4 = 6
Luas bayangan:
Luas bayangan = |k|² × Luas asal = |−2|² × 6 = 4 × 6 = 24 satuan luas
Soal 5: Tentukan bayangan kurva y = (x−1)/(x+2) oleh dilatasi D[O(0,0), 2].
Pembahasan:
Invers D[O(0,0), 2]: x = x’/2, y = y’/2
Substitusi ke y = (x−1)/(x+2):
y’/2 = (x’/2 − 1)/(x’/2 + 2)
y’/2 = [(x’−2)/2] / [(x’+4)/2]
y’/2 = (x’−2)/(x’+4)
y’ = 2(x’−2)/(x’+4)
Ganti x’ → x, y’ → y:
Bayangan: y = 2(x−2)/(x+4)
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat mengerjakan!
Tingkat Mudah
1. Tentukan bayangan titik (5, −3) oleh dilatasi D[O(0,0), 4].
2. Tentukan bayangan titik (−6, 8) oleh dilatasi D[O(0,0), 1/2].
3. Tentukan bayangan titik (0, −7) oleh dilatasi D[O(0,0), −3].
4. Tentukan bayangan titik (3, 2) oleh dilatasi D[P(1, 1), 2].
5. Tentukan bayangan titik (−1, 4) oleh dilatasi D[P(0, 2), 3].
Tingkat Sedang
1. Tentukan bayangan garis y = 4x − 1 oleh dilatasi D[O(0,0), 3].
2. Tentukan bayangan garis x + 2y = 8 oleh dilatasi D[O(0,0), 4].
3. Tentukan bayangan parabola y = x² + 1 oleh dilatasi D[O(0,0), 2].
4. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 16 oleh dilatasi D[O(0,0), 1/2].
5. Tentukan bayangan titik A(3, −1) dan B(5, 2) oleh D[P(1, 1), −2], kemudian hitung panjang A’B’.
Tingkat Sulit
1. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 3 oleh dilatasi D[P(−1, 0), 2].
2. Tentukan bayangan lingkaran (x−3)² + (y+1)² = 25 oleh dilatasi D[P(3, −1), 2].
3. Persegi ABCD dengan A(0,0), B(4,0), C(4,4), D(0,4) didilatasi oleh D[P(2,2), −3]. Tentukan luas bayangan persegi tersebut.
4. Tentukan bayangan kurva y = √x oleh dilatasi D[O(0,0), 4].
5. Garis y = mx + c melalui titik (2,5) dan bayangannya oleh D[O(0,0), 3] melalui titik (9, 18). Tentukan nilai m dan c.