Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Transformasi dari Komposisi Transformasi
Transformasi Geometri
Pendahuluan
Dalam transformasi geometri, kita sering melakukan lebih dari satu transformasi secara berurutan terhadap suatu titik atau kurva. Proses ini disebut komposisi transformasi. Setiap transformasi tunggal (translasi, rotasi, refleksi, dilatasi) memiliki matriks transformasi masing-masing. Ketika dua atau lebih transformasi dilakukan berurutan, kita dapat menentukan satu matriks tunggal yang mewakili keseluruhan komposisi tersebut.
Matriks transformasi dari komposisi transformasi diperoleh dengan mengalikan matriks-matriks transformasi sesuai urutan pengerjaannya. Perhatikan bahwa urutan perkalian matriks sangat penting karena perkalian matriks tidak komutatif.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Titik A(2, 1) mengalami dua transformasi berurutan:
- Transformasi pertama T₁: Refleksi terhadap sumbu-y, dengan matriks M₁ = (−1001)
- Transformasi kedua T₂: Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O, dengan matriks M₂ = (0−110)
Langkah 1: A(2,1) direfleksikan terhadap sumbu-y → A'(−2, 1)
Langkah 2: A'(−2,1) dirotasikan 90° → A”(−1, −2)
Pertanyaan: Bisakah kita menemukan satu matriks M yang langsung memetakan A(2,1) ke A”(−1, −2)?
Jawab: M = M₂ × M₁ = (0−110) × (−1001) = (0−1−10)
Verifikasi: M × (21) = (−1−2) ✓
Konsep Utama
Rumus Matriks Komposisi Transformasi
Jika suatu titik mengalami transformasi T₁ dengan matriks M₁, kemudian dilanjutkan transformasi T₂ dengan matriks M₂, maka:
Mkomposisi = M₂ × M₁
⚠️ Perhatian: Matriks transformasi yang dilakukan terakhir ditulis di sebelah kiri.
Untuk Tiga Transformasi Berurutan
T₁ (matriks M₁), kemudian T₂ (matriks M₂), kemudian T₃ (matriks M₃):
Mkomposisi = M₃ × M₂ × M₁
Notasi:
• T₂ ∘ T₁ dibaca “T₂ setelah T₁” atau “T₁ dilanjutkan T₂”
• Matriks dari (T₂ ∘ T₁) = M₂ × M₁
• Bayangan titik: (x’y’) = M₂ × M₁ × (xy)
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati konsep di atas, timbul pertanyaan-pertanyaan:
- Mengapa matriks transformasi terakhir justru ditulis paling kiri?
- Apakah urutan transformasi mempengaruhi hasil akhir?
- Bagaimana jika komposisi melibatkan transformasi yang bukan matriks 2×2 murni (misalnya translasi)?
- Apakah selalu ada matriks invers dari matriks komposisi?
Jawaban singkat:
1. Karena transformasi bekerja dari kanan ke kiri: M₂(M₁ · P) = (M₂M₁) · P
2. Ya! Umumnya M₂M₁ ≠ M₁M₂ (tidak komutatif)
3. Translasi bukan transformasi linear murni, sehingga perlu perlakuan khusus (menggunakan matriks 3×3 atau menjumlahkan vektor translasi secara terpisah)
4. Ya, jika det(Mkomposisi) ≠ 0
Tabel Matriks Transformasi Dasar
Berikut matriks-matriks transformasi yang sering digunakan dalam komposisi:
| Transformasi | Matriks |
|---|---|
| Refleksi terhadap sumbu-x | (100−1) |
| Refleksi terhadap sumbu-y | (−1001) |
| Refleksi terhadap y = x | (0110) |
| Refleksi terhadap y = −x | (0−1−10) |
| Refleksi terhadap titik O(0,0) | (−100−1) |
| Rotasi θ terhadap O | (cos θ−sin θsin θcos θ) |
| Dilatasi [O, k] | (k00k) |
| Rotasi 90° (berlawanan jarum jam) | (0−110) |
| Rotasi 180° | (−100−1) |
| Rotasi 270° (atau −90°) | (01−10) |
Kegiatan: Menalar
Mari kita buktikan mengapa urutan matriks harus “terbalik” dari urutan transformasi:
Pembuktian:
Misalkan titik P = (xy)
Langkah 1: P ditransformasi oleh T₁ (matriks M₁)
P’ = M₁ · P
Langkah 2: P’ ditransformasi oleh T₂ (matriks M₂)
P” = M₂ · P’ = M₂ · (M₁ · P) = (M₂ · M₁) · P
Kesimpulan: Matriks komposisi = M₂ · M₁ (transformasi terakhir di kiri)
Penalaran lebih lanjut:
Apakah refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y sama dengan rotasi 180°?
Mref-y × Mref-x = (−1001) × (100−1) = (−100−1) = Mrotasi 180° ✓
Langkah-langkah Menyelesaikan Soal
- Identifikasi setiap transformasi dan urutannya
- Tentukan matriks untuk masing-masing transformasi
- Kalikan matriks dari kanan ke kiri (transformasi pertama paling kanan)
- Hasil perkalian adalah matriks komposisi transformasi
- Gunakan matriks komposisi untuk menentukan bayangan titik/kurva
Cara Mengalikan Matriks 2×2
(abcd) × (efgh) = (ae+bgaf+bhce+dgcf+dh)
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan matriks komposisi untuk transformasi berikut:
Soal: Refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O.
Langkah pengerjaanmu:
- M₁ (refleksi sumbu-x) = (100−1)
- M₂ (rotasi 90°) = (0−110)
- Mkomposisi = M₂ × M₁ = ?
Jawaban:
M₂ × M₁ = (0−110) × (100−1) = ((0)(1)+(−1)(0)(0)(0)+(−1)(−1)(1)(1)+(0)(0)(1)(0)+(0)(−1)) = (0110)
Menarik! Hasilnya sama dengan matriks refleksi terhadap garis y = x.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Dari kegiatan mencoba di atas, kita dapat mengkomunikasikan temuan sebagai berikut:
Kesimpulan yang dapat dikomunikasikan:
- Komposisi dua transformasi geometri dapat diwakili oleh satu matriks tunggal yang diperoleh dari perkalian matriks-matriks penyusunnya.
- Urutan penulisan matriks dalam perkalian adalah kebalikan dari urutan pelaksanaan transformasi.
- Komposisi dua refleksi tertentu dapat menghasilkan rotasi, dan sebaliknya.
- Matriks komposisi dapat langsung digunakan untuk menentukan bayangan titik maupun persamaan kurva.
Menentukan Bayangan Kurva dengan Matriks Komposisi
Untuk menentukan bayangan kurva y = f(x) oleh komposisi transformasi:
Langkah:
1. Tentukan matriks komposisi M = M₂ × M₁
2. Misalkan bayangan titik (x, y) adalah (x’, y’), maka:
(x’y’) = M × (xy)
3. Cari x dan y dalam bentuk x’ dan y’ (gunakan M⁻¹)
4. Substitusikan ke persamaan kurva asal
Rumus invers matriks 2×2:
Jika M = (abcd), maka M⁻¹ = 1/(ad−bc) (d−b−ca)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Contoh Soal — Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan matriks komposisi dari refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
Penyelesaian:
M₁ (refleksi sumbu-x) = (100−1)
M₂ (refleksi sumbu-y) = (−1001)
Mkomposisi = M₂ × M₁
= (−1001) × (100−1)
= ((−1)(1)+(0)(0)(−1)(0)+(0)(−1)(0)(1)+(1)(0)(0)(0)+(1)(−1))
= (−100−1)
Jadi, matriks komposisinya adalah (−100−1) (sama dengan rotasi 180°)
Contoh 2
Tentukan matriks komposisi dari dilatasi [O, 2] dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.
Penyelesaian:
M₁ (dilatasi [O, 2]) = (2002)
M₂ (refleksi sumbu-x) = (100−1)
Mkomposisi = M₂ × M₁ = (100−1) × (2002)
= (200−2)
Jadi, matriks komposisinya adalah (200−2)
Contoh 3
Tentukan bayangan titik (3, 1) oleh komposisi refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan dilatasi [O, 3].
Penyelesaian:
M₁ (refleksi y = x) = (0110)
M₂ (dilatasi [O, 3]) = (3003)
Mkomposisi = M₂ × M₁ = (3003) × (0110) = (0330)
Bayangan: (0330) × (31) = (39)
Jadi, bayangan titik (3, 1) adalah (3, 9)
Contoh 4
Tentukan matriks komposisi dari rotasi 90° dilanjutkan rotasi 90° (keduanya berlawanan arah jarum jam terhadap O).
Penyelesaian:
M₁ = M₂ = (0−110)
Mkomposisi = M₂ × M₁ = (0−110) × (0−110)
= ((0)(0)+(−1)(1)(0)(−1)+(−1)(0)(1)(0)+(0)(1)(1)(−1)+(0)(0))
= (−100−1)
Jadi, matriks komposisinya adalah (−100−1) (rotasi 180°). Ini masuk akal karena 90° + 90° = 180°.
Contoh 5
Tentukan bayangan titik (−1, 4) oleh komposisi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x.
Penyelesaian:
M₁ (refleksi sumbu-y) = (−1001)
M₂ (refleksi y = x) = (0110)
Mkomposisi = M₂ × M₁ = (0110) × (−1001) = (01−10)
Bayangan: (01−10) × (−14) = (41)
Jadi, bayangan titik (−1, 4) adalah (4, 1)
Contoh Soal — Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan bayangan kurva y = x² oleh komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
Penyelesaian:
M₁ (refleksi sumbu-x) = (100−1), M₂ (dilatasi [O,2]) = (2002)
M = M₂ × M₁ = (2002) × (100−1) = (200−2)
Maka: (x’y’) = (200−2) (xy) → x’ = 2x, y’ = −2y
Sehingga: x = x’/2, y = −y’/2
Substitusi ke y = x²:
−y’/2 = (x’/2)² = x’²/4
y’ = −x’²/2
Jadi, bayangan kurva y = x² adalah y = −x²/2
Contoh 7
Tentukan matriks komposisi dari rotasi 60° dilanjutkan rotasi 30° (keduanya berlawanan arah jarum jam terhadap O). Verifikasikan hasilnya.
Penyelesaian:
M₁ (rotasi 60°) = (cos 60°−sin 60°sin 60°cos 60°) = (½−½√3½√3½)
M₂ (rotasi 30°) = (cos 30°−sin 30°sin 30°cos 30°) = (½√3−½½½√3)
M = M₂ × M₁ seharusnya = matriks rotasi 90° (karena 60° + 30° = 90°)
Verifikasi: Mrotasi 90° = (0−110)
Perhitungan M₂ × M₁:
Baris 1, kolom 1: (½√3)(½) + (−½)(½√3) = ¼√3 − ¼√3 = 0 ✓
Baris 1, kolom 2: (½√3)(−½√3) + (−½)(½) = −¾ − ¼ = −1 ✓
Baris 2, kolom 1: (½)(½) + (½√3)(½√3) = ¼ + ¾ = 1 ✓
Baris 2, kolom 2: (½)(−½√3) + (½√3)(½) = −¼√3 + ¼√3 = 0 ✓
Terbukti: M = (0−110) = matriks rotasi 90°
Contoh 8
Tentukan bayangan garis 2x + y = 6 oleh komposisi refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
Penyelesaian:
M₁ (refleksi y = x) = (0110), M₂ (refleksi sumbu-y) = (−1001)
M = M₂ × M₁ = (−1001) × (0110) = (0−110)
Dari x’ = −y dan y’ = x, diperoleh x = y’ dan y = −x’
Substitusi ke 2x + y = 6:
2(y’) + (−x’) = 6
−x’ + 2y’ = 6
Jadi, bayangan garis 2x + y = 6 adalah −x + 2y = 6 atau x − 2y + 6 = 0
Contoh 9
Titik A(2, −3) ditransformasi oleh komposisi dilatasi [O, −1] dilanjutkan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O. Tentukan bayangan titik A.
Penyelesaian:
M₁ (dilatasi [O, −1]) = (−100−1)
M₂ (rotasi 90°) = (0−110)
M = M₂ × M₁ = (0−110) × (−100−1) = (01−10)
Bayangan A: (01−10) × (2−3) = (−3−2)
Jadi, bayangan titik A(2, −3) adalah A'(−3, −2)
Contoh 10
Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap garis y = −x.
Penyelesaian:
M₁ (refleksi sumbu-x) = (100−1), M₂ (refleksi y = −x) = (0−1−10)
M = M₂ × M₁ = (0−1−10) × (100−1) = (01−10)
Dari (x’y’) = (01−10) (xy): x’ = y, y’ = −x
Sehingga: x = −y’, y = x’
Substitusi ke y = 2x + 1:
x’ = 2(−y’) + 1
x’ = −2y’ + 1
Jadi, bayangan kurva y = 2x + 1 adalah x = −2y + 1 atau x + 2y − 1 = 0
Contoh Soal — Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 4 oleh komposisi tiga transformasi: refleksi terhadap sumbu-x, dilanjutkan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam, dilanjutkan dilatasi [O, 3].
Penyelesaian:
M₁ = (100−1), M₂ = (0−110), M₃ = (3003)
Langkah 1: M₂ × M₁ = (0−110) × (100−1) = (0110)
Langkah 2: M = M₃ × (M₂ × M₁) = (3003) × (0110) = (0330)
Dari x’ = 3y dan y’ = 3x → x = y’/3, y = x’/3
Substitusi ke x² + y² = 4:
(y’/3)² + (x’/3)² = 4
x’²/9 + y’²/9 = 4
x’² + y’² = 36
Jadi, bayangan kurva x² + y² = 4 adalah x² + y² = 36
Contoh 12
Diketahui matriks komposisi dari dua transformasi adalah (0−220). Jika transformasi pertama adalah refleksi terhadap garis y = x, tentukan matriks transformasi kedua.
Penyelesaian:
Mkomposisi = M₂ × M₁
(0−220) = M₂ × (0110)
M₂ = Mkomposisi × M₁⁻¹
M₁⁻¹ = 1/(0−1) (0−1−10) = (0110)
M₂ = (0−220) × (0110) = (−2002)
Jadi, matriks transformasi kedua adalah (−2002) (dilatasi [O,2] dikombinasikan refleksi sumbu-y)
Contoh 13
Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh komposisi refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
Penyelesaian:
M₁ (refleksi y = −x) = (0−1−10), M₂ (dilatasi [O, 2]) = (2002)
M = M₂ × M₁ = (2002) × (0−1−10) = (0−2−20)
det(M) = 0 − 4 = −4
M⁻¹ = 1/−4 (0220) = (0−½−½0)
(xy) = (0−½−½0) (x’y’) → x = −y’/2, y = −x’/2
Substitusi ke y = x² − 4x + 3:
−x’/2 = (−y’/2)² − 4(−y’/2) + 3
−x’/2 = y’²/4 + 2y’ + 3
−2x’ = y’² + 8y’ + 12
x’ = −y’²/2 − 4y’ − 6
Jadi, bayangan kurva adalah x = −y²/2 − 4y − 6
Contoh 14
Tentukan matriks komposisi dari rotasi 45° dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan rotasi −45° (semua terhadap O). Identifikasi transformasi tunggal yang ekuivalen.
Penyelesaian:
cos 45° = sin 45° = ½√2
M₁ (rotasi 45°) = (½√2−½√2½√2½√2)
M₂ (refleksi sumbu-x) = (100−1)
M₃ (rotasi −45°) = (½√2½√2−½√2½√2)
Langkah 1: M₂ × M₁ = (100−1) × (½√2−½√2½√2½√2) = (½√2−½√2−½√2−½√2)
Langkah 2: M = M₃ × (M₂ × M₁)
= (½√2½√2−½√2½√2) × (½√2−½√2−½√2−½√2)
Baris 1 kolom 1: (½√2)(½√2)+(½√2)(−½√2) = ½ − ½ = 0
Baris 1 kolom 2: (½√2)(−½√2)+(½√2)(−½√2) = −½ − ½ = −1
Baris 2 kolom 1: (−½√2)(½√2)+(½√2)(−½√2) = −½ − ½ = −1
Baris 2 kolom 2: (−½√2)(−½√2)+(½√2)(−½√2) = ½ − ½ = 0
M = (0−1−10)
Ini adalah matriks refleksi terhadap garis y = −x!
Kesimpulan: Rotasi 45° → refleksi sumbu-x → rotasi −45° ≡ refleksi terhadap y = −x
Contoh 15
Tentukan bayangan kurva xy = 4 oleh komposisi refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dilanjutkan dilatasi [O, ½].
Penyelesaian:
M₁ = (0110), M₂ = (0−110), M₃ = (½00½)
M₂ × M₁ = (0−110) × (0110) = (−1001)
M = M₃ × (M₂ × M₁) = (½00½) × (−1001) = (−½00½)
det(M) = (−½)(½) − 0 = −¼
M⁻¹ = 1/−¼ (½00−½) = (−2002)
x = −2x’, y = 2y’
Substitusi ke xy = 4:
(−2x’)(2y’) = 4
−4x’y’ = 4
x’y’ = −1
Jadi, bayangan kurva xy = 4 adalah xy = −1
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Latihan — Tingkat Mudah
- Tentukan matriks komposisi dari refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.
- Tentukan matriks komposisi dari dilatasi [O, 3] dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x.
- Tentukan bayangan titik (4, −2) oleh komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
- Tentukan matriks komposisi dari rotasi 180° dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
- Tentukan bayangan titik (1, 5) oleh komposisi refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.
Latihan — Tingkat Sedang
- Tentukan bayangan kurva y = 3x − 2 oleh komposisi refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
- Tentukan bayangan kurva y = x² oleh komposisi rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y.
- Diketahui matriks komposisi dua transformasi adalah (03−30). Jika transformasi kedua adalah dilatasi [O, 3], tentukan matriks transformasi pertama.
- Tentukan bayangan garis x + 2y = 4 oleh komposisi refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O.
- Tentukan bayangan titik (−3, 2) oleh komposisi rotasi 270° dilanjutkan refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
Latihan — Tingkat Sulit
- Tentukan bayangan kurva y = x³ − 3x oleh komposisi refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan dilatasi [O, 2].
- Tentukan matriks komposisi dari rotasi 30° dilanjutkan rotasi 60° dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x (semua terhadap O). Identifikasi transformasi tunggal yang ekuivalen.
- Bayangan kurva y = 1/x oleh suatu komposisi transformasi adalah y = −2/x. Jika transformasi pertama adalah refleksi terhadap sumbu-x, tentukan matriks transformasi kedua.
- Tentukan bayangan kurva x² − y² = 1 oleh komposisi rotasi 45° berlawanan arah jarum jam dilanjutkan dilatasi [O, √2] terhadap O.
- Tentukan semua titik yang invarian (tidak berubah) terhadap komposisi refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan dilatasi [O, −1].