Contoh 1:

Tentukan bayangan titik A(3, 5) oleh translasi T = (2, −4).

Pembahasan:

Rumus: P'(x + a, y + b)

A'(3 + 2, 5 + (−4)) = A'(5, 1)

Jawaban: A'(5, 1)

Contoh 2:

Tentukan bayangan titik B(4, −2) oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:

Refleksi terhadap sumbu-x: P(x, y) → P'(x, −y)

B'(4, −(−2)) = B'(4, 2)

Jawaban: B'(4, 2)

Contoh 3:

Tentukan bayangan titik C(−1, 6) oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Pembahasan:

Refleksi terhadap sumbu-y: P(x, y) → P'(−x, y)

C'(−(−1), 6) = C'(1, 6)

Jawaban: C'(1, 6)

Contoh 4:

Tentukan bayangan titik D(2, 3) oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k = 3.

Pembahasan:

Rumus: P'(kx, ky)

D'(3×2, 3×3) = D'(6, 9)

Jawaban: D'(6, 9)

Contoh 5:

Tentukan bayangan titik E(5, −3) oleh refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:

Refleksi terhadap y = x: P(x, y) → P'(y, x)

E'(−3, 5)

Jawaban: E'(−3, 5)

Contoh 6:

Tentukan bayangan titik A(4, 1) oleh rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0, 0).

Pembahasan:

θ = 90°, cos 90° = 0, sin 90° = 1

x’ = x cos 90° − y sin 90° = 4(0) − 1(1) = −1

y’ = x sin 90° + y cos 90° = 4(1) + 1(0) = 4

Jawaban: A'(−1, 4)

Contoh 7:

Tentukan bayangan titik B(3, −2) oleh refleksi terhadap garis x = 4.

Pembahasan:

Refleksi terhadap x = h: P'(2h − x, y)

B'(2(4) − 3, −2) = B'(8 − 3, −2) = B'(5, −2)

Jawaban: B'(5, −2)

Contoh 8:

Tentukan bayangan titik C(2, 5) oleh dilatasi dengan pusat A(1, 2) dan faktor skala k = 2.

Pembahasan:

Rumus: P'(a + k(x−a), b + k(y−b))

x’ = 1 + 2(2−1) = 1 + 2(1) = 3

y’ = 2 + 2(5−2) = 2 + 2(3) = 8

Jawaban: C'(3, 8)

Contoh 9:

Tentukan bayangan titik D(−3, 4) oleh rotasi 180° terhadap O(0, 0).

Pembahasan:

θ = 180°, cos 180° = −1, sin 180° = 0

x’ = (−3)(−1) − 4(0) = 3

y’ = (−3)(0) + 4(−1) = −4

Jawaban: D'(3, −4)

Contoh 10:

Tentukan bayangan titik E(6, 1) oleh refleksi terhadap garis y = 3.

Pembahasan:

Refleksi terhadap y = k: P'(x, 2k − y)

E'(6, 2(3) − 1) = E'(6, 5)

Jawaban: E'(6, 5)

Contoh 11:

Tentukan bayangan titik A(2, −1) oleh rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat P(1, 3).

Pembahasan:

Pusat (a, b) = (1, 3), θ = 90°

x’ = a + (x−a)cos θ − (y−b)sin θ = 1 + (2−1)cos 90° − (−1−3)sin 90°

x’ = 1 + (1)(0) − (−4)(1) = 1 + 0 + 4 = 5

y’ = b + (x−a)sin θ + (y−b)cos θ = 3 + (2−1)sin 90° + (−1−3)cos 90°

y’ = 3 + (1)(1) + (−4)(0) = 3 + 1 = 4

Jawaban: A'(5, 4)

Contoh 12:

Titik B(4, 2) ditranslasikan oleh T = (−1, 3) kemudian direfleksikan terhadap sumbu-y. Tentukan bayangan akhirnya.

Pembahasan:

Langkah 1 – Translasi: B₁(4 + (−1), 2 + 3) = B₁(3, 5)

Langkah 2 – Refleksi sumbu-y: B'(−3, 5)

Jawaban: B'(−3, 5)

Contoh 13:

Titik C(−2, 3) direfleksikan terhadap garis y = x kemudian dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0). Tentukan bayangan akhirnya.

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi y = x: C₁(3, −2)

Langkah 2 – Rotasi 90°: x’ = 3cos 90° − (−2)sin 90° = 0 + 2 = 2

y’ = 3sin 90° + (−2)cos 90° = 3 + 0 = 3

Jawaban: C'(2, 3)

Contoh 14:

Titik D(1, −4) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan k = 2, kemudian ditranslasikan oleh T = (3, −1), lalu direfleksikan terhadap sumbu-x. Tentukan bayangan akhirnya.

Pembahasan:

Langkah 1 – Dilatasi: D₁(2×1, 2×(−4)) = D₁(2, −8)

Langkah 2 – Translasi: D₂(2 + 3, −8 + (−1)) = D₂(5, −9)

Langkah 3 – Refleksi sumbu-x: D'(5, 9)

Jawaban: D'(5, 9)

Contoh 15:

Titik E(3, 1) dirotasi 270° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0) kemudian didilatasikan dengan pusat A(2, −1) dan k = −1. Tentukan bayangan akhirnya.

Pembahasan:

Langkah 1 – Rotasi 270°: cos 270° = 0, sin 270° = −1

x’ = 3(0) − 1(−1) = 1

y’ = 3(−1) + 1(0) = −3

E₁(1, −3)

Langkah 2 – Dilatasi pusat (2, −1), k = −1:

x’ = 2 + (−1)(1 − 2) = 2 + (−1)(−1) = 3

y’ = −1 + (−1)(−3 − (−1)) = −1 + (−1)(−2) = 1

Jawaban: E'(3, 1)

Contoh 1:

Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh translasi T = (3, −2).

Pembahasan:

Translasi: x’ = x + 3, y’ = y − 2

Invers: x = x’ − 3, y = y’ + 2

Substitusi: y’ + 2 = 2(x’ − 3) + 1

y’ + 2 = 2x’ − 6 + 1

y’ = 2x’ − 7

Jawaban: y = 2x − 7

Contoh 2:

Tentukan bayangan garis y = x + 4 oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:

Refleksi sumbu-x: x’ = x, y’ = −y

Invers: x = x’, y = −y’

Substitusi: −y’ = x’ + 4

y’ = −x’ − 4

Jawaban: y = −x − 4

Contoh 3:

Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh refleksi terhadap sumbu-y.

Pembahasan:

Refleksi sumbu-y: x’ = −x, y’ = y

Invers: x = −x’, y = y’

Substitusi: y’ = 3(−x’) − 2 = −3x’ − 2

Jawaban: y = −3x − 2

Contoh 4:

Tentukan bayangan kurva y = x² oleh dilatasi pusat O(0,0) dan k = 2.

Pembahasan:

Dilatasi k = 2: x’ = 2x, y’ = 2y

Invers: x = x’/2, y = y’/2

Substitusi: y’/2 = (x’/2)²

y’/2 = x’²/4

y’ = x’²/2

Jawaban: y = x²/2

Contoh 5:

Tentukan bayangan garis y = −x + 5 oleh refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:

Refleksi y = x: x’ = y, y’ = x

Invers: x = y’, y = x’

Substitusi: x’ = −y’ + 5

y’ = −x’ + 5

Jawaban: y = −x + 5 (garis ini merupakan bayangannya sendiri karena tegak lurus terhadap y = x)

Contoh 6:

Tentukan bayangan kurva y = x² − 3x + 2 oleh translasi T = (1, −2).

Pembahasan:

Invers: x = x’ − 1, y = y’ + 2

Substitusi: y’ + 2 = (x’ − 1)² − 3(x’ − 1) + 2

y’ + 2 = x’² − 2x’ + 1 − 3x’ + 3 + 2

y’ + 2 = x’² − 5x’ + 6

y’ = x’² − 5x’ + 4

Jawaban: y = x² − 5x + 4

Contoh 7:

Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0).

Pembahasan:

Rotasi 90°: x’ = −y, y’ = x

Invers: x = y’, y = −x’

Substitusi: −x’ = (y’)²

x’ = −y’²

Jawaban: x = −y² (atau y² = −x)

Contoh 8:

Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 oleh dilatasi pusat O(0,0) dan k = 3.

Pembahasan:

Invers: x = x’/3, y = y’/3

Substitusi: 2(x’/3) + 3(y’/3) = 6

2x’/3 + y’ = 6

2x’ + 3y’ = 18

Jawaban: 2x + 3y = 18

Contoh 9:

Tentukan bayangan kurva y = 2x² + 1 oleh refleksi terhadap garis y = −x.

Pembahasan:

Refleksi y = −x: x’ = −y, y’ = −x

Invers: x = −y’, y = −x’

Substitusi: −x’ = 2(−y’)² + 1

−x’ = 2y’² + 1

x’ = −2y’² − 1

Jawaban: x = −2y² − 1

Contoh 10:

Tentukan bayangan kurva y = √x oleh dilatasi pusat O(0,0) dan k = 4.

Pembahasan:

Invers: x = x’/4, y = y’/4

Substitusi: y’/4 = √(x’/4)

y’/4 = (1/2)√x’

y’ = 2√x’

Jawaban: y = 2√x

Contoh 11:

Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 3 oleh translasi T = (2, 1) dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x.

Pembahasan:

Langkah 1 – Translasi T = (2, 1): x₁ = x’ − 2, y₁ = y’ − 1

Langkah 2 – Refleksi sumbu-x: x₂ = x₁, y₂ = −y₁, maka x₁ = x₂, y₁ = −y₂

Gabungan invers: x = x’ − 2, y = −(y’ − 1) = −y’ + 1

Substitusi: −y’ + 1 = (x’ − 2)² + 2(x’ − 2) − 3

−y’ + 1 = x’² − 4x’ + 4 + 2x’ − 4 − 3

−y’ + 1 = x’² − 2x’ − 3

y’ = −x’² + 2x’ + 4

Jawaban: y = −x² + 2x + 4

Contoh 12:

Tentukan bayangan kurva x² + y² = 25 (lingkaran) oleh dilatasi pusat O(0,0), k = 2 dilanjutkan translasi T = (3, −1).

Pembahasan:

Gabungan transformasi:

Dilatasi k = 2: x₁ = 2x, y₁ = 2y → x = x₁/2, y = y₁/2

Translasi T = (3, −1): x’ = x₁ + 3, y’ = y₁ − 1 → x₁ = x’ − 3, y₁ = y’ + 1

Gabungan invers: x = (x’ − 3)/2, y = (y’ + 1)/2

Substitusi: ((x’−3)/2)² + ((y’+1)/2)² = 25

(x’−3)²/4 + (y’+1)²/4 = 25

(x’−3)² + (y’+1)² = 100

Jawaban: (x−3)² + (y+1)² = 100

Contoh 13:

Tentukan bayangan kurva y = x³ oleh rotasi 180° terhadap O(0,0) dilanjutkan dilatasi pusat O(0,0) k = 2.

Pembahasan:

Rotasi 180°: x₁ = −x, y₁ = −y → x = −x₁, y = −y₁

Dilatasi k = 2: x’ = 2x₁, y’ = 2y₁ → x₁ = x’/2, y₁ = y’/2

Gabungan invers: x = −x’/2, y = −y’/2

Substitusi: −y’/2 = (−x’/2)³ = −x’³/8

y’/2 = x’³/8

y’ = x’³/4

Jawaban: y = x³/4

Contoh 14:

Tentukan bayangan kurva y = 1/x oleh refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan translasi T = (2, 3).

Pembahasan:

Refleksi y = x: x₁ = y, y₁ = x → x = y₁, y = x₁

Translasi T = (2, 3): x’ = x₁ + 2, y’ = y₁ + 3 → x₁ = x’ − 2, y₁ = y’ − 3

Gabungan invers: x = y’ − 3, y = x’ − 2

Substitusi: x’ − 2 = 1/(y’ − 3)

y’ − 3 = 1/(x’ − 2)

y’ = 1/(x’ − 2) + 3

Jawaban: y = 1/(x − 2) + 3

Contoh 15:

Tentukan bayangan kurva y = 2x² − 4x + 5 oleh refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0).

Pembahasan:

Refleksi y = −x: x₁ = −y, y₁ = −x → x = −y₁, y = −x₁

Rotasi 90°: x’ = −y₁, y’ = x₁ → x₁ = y’, y₁ = −x’

Gabungan invers: x = −(−x’) = x’, y = −y’

Maka transformasi gabungan: x = x’, y = −y’

Substitusi: −y’ = 2(x’)² − 4(x’) + 5

y’ = −2x’² + 4x’ − 5

Jawaban: y = −2x² + 4x − 5

Contoh 1:

Tentukan bayangan titik A(2, 3) oleh translasi T₁ = (1, 4) dilanjutkan translasi T₂ = (−3, 2).

Pembahasan:

Komposisi dua translasi: T = (1 + (−3), 4 + 2) = (−2, 6)

A'(2 + (−2), 3 + 6) = A'(0, 9)

Jawaban: A'(0, 9)

Contoh 2:

Tentukan bayangan titik B(−1, 5) oleh refleksi sumbu-x dilanjutkan refleksi sumbu-y.

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi sumbu-x: B₁(−1, −5)

Langkah 2 – Refleksi sumbu-y: B'(1, −5)

Jawaban: B'(1, −5)

Contoh 3:

Tentukan bayangan titik C(4, 0) oleh dilatasi pusat O, k = 2 dilanjutkan translasi T = (1, 3).

Pembahasan:

Langkah 1 – Dilatasi: C₁(8, 0)

Langkah 2 – Translasi: C'(8 + 1, 0 + 3) = C'(9, 3)

Jawaban: C'(9, 3)

Contoh 4:

Tentukan bayangan titik D(3, −2) oleh translasi T = (−1, 5) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:

Langkah 1 – Translasi: D₁(3 + (−1), −2 + 5) = D₁(2, 3)

Langkah 2 – Refleksi y = x: D'(3, 2)

Jawaban: D'(3, 2)

Contoh 5:

Tentukan bayangan titik E(6, 2) oleh refleksi sumbu-y dilanjutkan dilatasi pusat O, k = 3.

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi sumbu-y: E₁(−6, 2)

Langkah 2 – Dilatasi k = 3: E'(−18, 6)

Jawaban: E'(−18, 6)

Contoh 6:

Tentukan matriks komposisi dari refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan rotasi 90° (berlawanan arah jarum jam terhadap O).

Pembahasan:

M₁ (refleksi sumbu-x) = ((1, 0), (0, −1))

M₂ (rotasi 90°) = ((0, −1), (1, 0))

M_komposisi = M₂ × M₁ = ((0, −1), (1, 0)) × ((1, 0), (0, −1))

= ((0×1 + (−1)×0, 0×0 + (−1)×(−1)), (1×1 + 0×0, 1×0 + 0×(−1)))

= ((0, 1), (1, 0))

Jawaban: M = ((0, 1), (1, 0)) yang sama dengan matriks refleksi terhadap y = x

Contoh 7:

Tentukan bayangan garis y = 2x − 1 oleh rotasi 90° terhadap O(0,0) dilanjutkan refleksi sumbu-y.

Pembahasan:

Rotasi 90°: x₁ = −y, y₁ = x → invers: x = y₁, y = −x₁

Refleksi sumbu-y: x’ = −x₁, y’ = y₁ → invers: x₁ = −x’, y₁ = y’

Gabungan invers: x = y’, y = −(−x’) = x’

Substitusi ke y = 2x − 1: x’ = 2y’ − 1

y’ = (x’ + 1)/2

Jawaban: y = (x + 1)/2 atau 2y = x + 1

Contoh 8:

Tentukan bayangan titik (−2, 4) oleh rotasi 90° terhadap O dilanjutkan rotasi 90° terhadap O lagi.

Pembahasan:

Rotasi 90° + Rotasi 90° = Rotasi 180°

Rotasi 180° terhadap O: P'(−x, −y)

Bayangan: (−(−2), −4) = (2, −4)

Jawaban: (2, −4)

Contoh 9:

Tentukan bayangan titik (5, 1) oleh refleksi garis y = x dilanjutkan dilatasi pusat O, k = −2, dilanjutkan translasi T = (4, −3).

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi y = x: (1, 5)

Langkah 2 – Dilatasi k = −2: (−2×1, −2×5) = (−2, −10)

Langkah 3 – Translasi T = (4, −3): (−2 + 4, −10 + (−3)) = (2, −13)

Jawaban: (2, −13)

Contoh 10:

Tentukan matriks komposisi dari dilatasi k = 3 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x.

Pembahasan:

M₁ (dilatasi k = 3) = ((3, 0), (0, 3))

M₂ (refleksi y = x) = ((0, 1), (1, 0))

M_komposisi = M₂ × M₁ = ((0, 1), (1, 0)) × ((3, 0), (0, 3))

= ((0×3 + 1×0, 0×0 + 1×3), (1×3 + 0×0, 1×0 + 0×3))

= ((0, 3), (3, 0))

Jawaban: M = ((0, 3), (3, 0))

Contoh 11:

Tentukan bayangan kurva y = x² − 4 oleh refleksi sumbu-x dilanjutkan rotasi 90° terhadap O(0,0) dilanjutkan dilatasi pusat O, k = 2.

Pembahasan:

M₁ (refleksi sumbu-x) = ((1, 0), (0, −1))

M₂ (rotasi 90°) = ((0, −1), (1, 0))

M₃ (dilatasi k = 2) = ((2, 0), (0, 2))

M = M₃ × M₂ × M₁ = ((2, 0), (0, 2)) × ((0, −1), (1, 0)) × ((1, 0), (0, −1))

M₂ × M₁ = ((0, 1), (1, 0))

M = ((2, 0), (0, 2)) × ((0, 1), (1, 0)) = ((0, 2), (2, 0))

Dari M(x, y)ᵀ = (x’, y’)ᵀ: x’ = 2y, y’ = 2x

Invers: x = y’/2, y = x’/2

Substitusi: x’/2 = (y’/2)² − 4 → x’/2 = y’²/4 − 4 → x’ = y’²/2 − 8

Jawaban: x = y²/2 − 8

Contoh 12:

Suatu titik A setelah dirotasi 90° terhadap O menghasilkan bayangan A'(−3, 5). Tentukan koordinat A.

Pembahasan:

Rotasi 90°: x’ = −y, y’ = x → maka x = y’, y = −x’

A’ = (−3, 5), maka: x = y’ = 5, y = −x’ = −(−3) = 3

Jawaban: A(5, 3)

Contoh 13:

Titik P(a, b) ditranslasikan T = (2, −1) menghasilkan P₁. Kemudian P₁ direfleksikan terhadap garis y = x menghasilkan P'(4, 7). Tentukan a + b.

Pembahasan:

P'(4, 7) adalah hasil refleksi y = x dari P₁, maka P₁ = (7, 4)

P₁ = P + T → (7, 4) = (a + 2, b − 1)

a + 2 = 7 → a = 5

b − 1 = 4 → b = 5

a + b = 10

Jawaban: a + b = 10

Contoh 14:

Tentukan bayangan kurva x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 oleh translasi T = (3, −2) dilanjutkan dilatasi pusat O, k = 2.

Pembahasan:

Translasi: x₁ = x + 3, y₁ = y − 2 → x = x₁ − 3, y = y₁ + 2

Dilatasi k = 2: x’ = 2x₁, y’ = 2y₁ → x₁ = x’/2, y₁ = y’/2

Gabungan invers: x = x’/2 − 3, y = y’/2 + 2

Substitusi:

(x’/2 − 3)² + (y’/2 + 2)² − 6(x’/2 − 3) + 4(y’/2 + 2) − 12 = 0

x’²/4 − 3x’ + 9 + y’²/4 + 2y’ + 4 − 3x’ + 18 + 2y’ + 8 − 12 = 0

x’²/4 + y’²/4 − 6x’ + 4y’ + 27 = 0

x’² + y’² − 24x’ + 16y’ + 108 = 0

Jawaban: x² + y² − 24x + 16y + 108 = 0

Contoh 15:

Diketahui transformasi T₁ adalah refleksi terhadap sumbu-y dan T₂ adalah rotasi 270° terhadap O. Tentukan bayangan kurva y = (x−1)² + 2 oleh T₂ ∘ T₁.

Pembahasan:

M₁ (refleksi sumbu-y) = ((−1, 0), (0, 1))

M₂ (rotasi 270°): cos 270° = 0, sin 270° = −1 → M₂ = ((0, 1), (−1, 0))

M = M₂ × M₁ = ((0, 1), (−1, 0)) × ((−1, 0), (0, 1)) = ((0, 1), (1, 0))

Dari M(x, y)ᵀ = (x’, y’)ᵀ: x’ = y, y’ = x

Invers: x = y’, y = x’

Substitusi: x’ = (y’ − 1)² + 2

Jawaban: x = (y − 1)² + 2

Contoh 1:

Diketahui f(x) = x² + 1. Tentukan persamaan bayangan setelah ditranslasikan (3, 0).

Pembahasan:

Translasi (3, 0): y = f(x − 3) = (x − 3)² + 1 = x² − 6x + 9 + 1 = x² − 6x + 10

Jawaban: y = x² − 6x + 10

Contoh 2:

Diketahui f(x) = 2x + 3. Tentukan bayangan setelah refleksi sumbu-x.

Pembahasan:

Refleksi sumbu-x: y = −f(x) = −(2x + 3) = −2x − 3

Jawaban: y = −2x − 3

Contoh 3:

Diketahui f(x) = x³. Tentukan bayangan setelah refleksi sumbu-y.

Pembahasan:

Refleksi sumbu-y: y = f(−x) = (−x)³ = −x³

Jawaban: y = −x³

Contoh 4:

Diketahui f(x) = x². Tentukan bayangan setelah translasi (0, 5).

Pembahasan:

Translasi (0, 5): y = f(x) + 5 = x² + 5

Jawaban: y = x² + 5

Contoh 5:

Diketahui f(x) = |x|. Tentukan bayangan setelah translasi (−2, 4).

Pembahasan:

Translasi (−2, 4): y = f(x − (−2)) + 4 = |x + 2| + 4

Jawaban: y = |x + 2| + 4

Contoh 6:

Grafik y = x² − 2x + 3 digeser 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke bawah. Tentukan persamaan baru.

Pembahasan:

Translasi (2, −1): y = f(x − 2) − 1

f(x − 2) = (x−2)² − 2(x−2) + 3 = x² − 4x + 4 − 2x + 4 + 3 = x² − 6x + 11

y = x² − 6x + 11 − 1 = x² − 6x + 10

Jawaban: y = x² − 6x + 10

Contoh 7:

Grafik y = sin x direfleksikan terhadap sumbu-x lalu ditranslasikan (π/2, 0). Tentukan persamaan bayangan.

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi sumbu-x: y = −sin x

Langkah 2 – Translasi (π/2, 0): y = −sin(x − π/2) = −(−cos x) = cos x

Jawaban: y = cos x

Contoh 8:

Grafik y = 1/x didilatasikan secara vertikal dengan faktor 2 lalu ditranslasikan (0, 3). Tentukan persamaan bayangan.

Pembahasan:

Langkah 1 – Dilatasi vertikal k = 2: y = 2·(1/x) = 2/x

Langkah 2 – Translasi (0, 3): y = 2/x + 3

Jawaban: y = 2/x + 3

Contoh 9:

Diketahui grafik y = √x. Tentukan persamaan bayangan setelah refleksi sumbu-y dilanjutkan translasi (4, 0).

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi sumbu-y: y = √(−x)

Langkah 2 – Translasi (4, 0): y = √(−(x − 4)) = √(4 − x)

Jawaban: y = √(4 − x)

Contoh 10:

Grafik y = 2ˣ digeser 3 satuan ke kiri dan 1 satuan ke atas. Tentukan persamaan baru.

Pembahasan:

Translasi (−3, 1): y = f(x − (−3)) + 1 = 2^(x+3) + 1

Jawaban: y = 2^(x+3) + 1

Contoh 11:

Grafik y = x² − 4x + 7 ditranslasikan sehingga titik puncaknya berpindah ke (5, −1). Tentukan vektor translasi dan persamaan baru.

Pembahasan:

y = x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3, titik puncak (2, 3)

Puncak baru (5, −1), maka vektor translasi T = (5−2, −1−3) = (3, −4)

Persamaan baru: y = (x − 5)² − 1 = x² − 10x + 25 − 1 = x² − 10x + 24

Jawaban: T = (3, −4), y = x² − 10x + 24

Contoh 12:

Grafik y = x² dicerminkan terhadap sumbu-x lalu didilatasikan vertikal k = 1/2, kemudian ditranslasikan (1, 4). Tentukan persamaan akhir.

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi sumbu-x: y = −x²

Langkah 2 – Dilatasi vertikal k = 1/2: y = (1/2)(−x²) = −x²/2

Langkah 3 – Translasi (1, 4): y = −(x−1)²/2 + 4

y = −(x² − 2x + 1)/2 + 4 = −x²/2 + x − 1/2 + 4 = −x²/2 + x + 7/2

Jawaban: y = −(x−1)²/2 + 4 atau y = −x²/2 + x + 7/2

Contoh 13:

Diketahui f(x) = x² + 2x − 8. Bayangan kurva oleh suatu translasi T = (a, b) adalah g(x) = x² − 4x − 1. Tentukan nilai a dan b.

Pembahasan:

f(x) = (x + 1)² − 9, puncak (−1, −9)

g(x) = (x − 2)² − 5, puncak (2, −5)

T = (2 − (−1), −5 − (−9)) = (3, 4)

Verifikasi: g(x) = f(x − 3) + 4 = (x−3)² + 2(x−3) − 8 + 4 = x² − 6x + 9 + 2x − 6 − 4 = x² − 4x − 1 ✓

Jawaban: a = 3, b = 4

Contoh 14:

Grafik y = log₂(x) direfleksikan sumbu-y lalu ditranslasikan (8, 2). Tentukan domain dan persamaan bayangan.

Pembahasan:

Langkah 1 – Refleksi sumbu-y: y = log₂(−x), domain x < 0

Langkah 2 – Translasi (8, 2): y = log₂(−(x−8)) + 2 = log₂(8−x) + 2

Domain: 8 − x > 0 → x < 8

Jawaban: y = log₂(8−x) + 2, domain x < 8

Contoh 15:

Kurva y = 2x² + 3x − 5 ditransformasikan oleh matriks M = ((2, 0), (0, 2)) dilanjutkan translasi T = (−1, 3). Tentukan persamaan bayangan.

Pembahasan:

Matriks M = ((2, 0), (0, 2)) adalah dilatasi k = 2 pusat O.

Dilatasi k = 2: x₁ = 2x, y₁ = 2y → x = x₁/2, y = y₁/2

Translasi (−1, 3): x’ = x₁ − 1, y’ = y₁ + 3 → x₁ = x’ + 1, y₁ = y’ − 3

Gabungan: x = (x’ + 1)/2, y = (y’ − 3)/2

Substitusi: (y’−3)/2 = 2((x’+1)/2)² + 3((x’+1)/2) − 5

(y’−3)/2 = 2(x’+1)²/4 + 3(x’+1)/2 − 5

(y’−3)/2 = (x’+1)²/2 + 3(x’+1)/2 − 5

y’ − 3 = (x’+1)² + 3(x’+1) − 10

y’ − 3 = x’² + 2x’ + 1 + 3x’ + 3 − 10

y’ = x’² + 5x’ − 3

Jawaban: y = x² + 5x − 3