Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Komposisi Refleksi terhadap Garis
Transformasi Geometri
A. Pengertian Komposisi Refleksi terhadap Garis
🔍 Mengamati: Perhatikan apa yang terjadi jika suatu titik atau bangun dicerminkan dua kali berturut-turut terhadap dua garis yang berbeda.
Komposisi refleksi terhadap garis adalah transformasi yang merupakan hasil dari dua refleksi (pencerminan) yang dilakukan secara berturut-turut terhadap dua garis berbeda.
Jika suatu titik P direfleksikan terhadap garis g₁ menghasilkan P’, kemudian P’ direfleksikan terhadap garis g₂ menghasilkan P”, maka transformasi dari P ke P” disebut komposisi refleksi terhadap garis g₁ dan g₂.
Notasi:
Mg₂ ∘ Mg₁ artinya: refleksi terhadap g₁ dilanjutkan refleksi terhadap g₂.
Dibaca: “Refleksi terhadap garis g₂ komposisi refleksi terhadap garis g₁“
Urutan penting! Yang dikerjakan lebih dulu adalah yang paling dekat dengan titik (yaitu Mg₁).
Mg₂ ∘ Mg₁ artinya: refleksi terhadap g₁ dilanjutkan refleksi terhadap g₂.
Dibaca: “Refleksi terhadap garis g₂ komposisi refleksi terhadap garis g₁“
Urutan penting! Yang dikerjakan lebih dulu adalah yang paling dekat dengan titik (yaitu Mg₁).
❓ Menanya: Apa hasil dari komposisi dua refleksi? Apakah hasilnya selalu sama jika garis-garisnya sejajar atau berpotongan?
Terdapat dua kasus utama dalam komposisi refleksi terhadap garis:
- Dua garis sejajar → hasilnya ekuivalen dengan translasi
- Dua garis berpotongan → hasilnya ekuivalen dengan rotasi
B. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar
🧠 Menalar: Jika dua garis cermin sejajar, maka setiap titik akan bergeser sejauh dua kali jarak antara kedua garis tersebut, searah tegak lurus terhadap kedua garis.
Teorema
Jika garis g₁ sejajar garis g₂ dengan jarak antara keduanya = d, maka:
Mg₂ ∘ Mg₁ = Translasi sejauh 2d dalam arah tegak lurus dari g₁ menuju g₂.
Mg₂ ∘ Mg₁ = Translasi sejauh 2d dalam arah tegak lurus dari g₁ menuju g₂.
Kasus Khusus: Refleksi terhadap Sumbu-X dan Garis y = h
My=h ∘ Msumbu-x menghasilkan translasi T(0, 2h)
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x, y + 2h)
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x, y + 2h)
Kasus Khusus: Refleksi terhadap Sumbu-Y dan Garis x = k
Mx=k ∘ Msumbu-y menghasilkan translasi T(2k, 0)
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x + 2k, y)
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x + 2k, y)
Kasus Umum: Refleksi terhadap y = a dan y = b (sejajar sumbu-x)
My=b ∘ My=a menghasilkan translasi T(0, 2(b−a))
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x, y + 2(b − a))
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x, y + 2(b − a))
Kasus Umum: Refleksi terhadap x = a dan x = b (sejajar sumbu-y)
Mx=b ∘ Mx=a menghasilkan translasi T(2(b−a), 0)
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x + 2(b − a), y)
Rumus bayangan titik (x, y):
(x, y) → (x + 2(b − a), y)
🔬 Mencoba: Ambil titik A(1, 3). Cerminkan terhadap garis y = 0 (sumbu-x), lalu cerminkan hasilnya terhadap garis y = 4. Bandingkan hasilnya dengan translasi T(0, 8). Apakah sama?
Contoh Soal Mudah (Dua Garis Sejajar)
Soal 1. Tentukan bayangan titik A(2, 1) oleh My=3 ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi A(2, 1) terhadap sumbu-x (y = 0):
(x, y) → (x, −y) → A'(2, −1)
Langkah 2: Refleksi A'(2, −1) terhadap y = 3:
(x, y) → (x, 2(3) − y) = (x, 6 − y) → A”(2, 6 − (−1)) = A”(2, 7)
Verifikasi dengan rumus translasi: 2h = 2(3) = 6, maka (2, 1) → (2, 1 + 6) = (2, 7) ✓
Jawaban: A”(2, 7)
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi A(2, 1) terhadap sumbu-x (y = 0):
(x, y) → (x, −y) → A'(2, −1)
Langkah 2: Refleksi A'(2, −1) terhadap y = 3:
(x, y) → (x, 2(3) − y) = (x, 6 − y) → A”(2, 6 − (−1)) = A”(2, 7)
Verifikasi dengan rumus translasi: 2h = 2(3) = 6, maka (2, 1) → (2, 1 + 6) = (2, 7) ✓
Jawaban: A”(2, 7)
Soal 2. Tentukan bayangan titik B(−3, 5) oleh Mx=4 ∘ Msumbu-y.
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi B(−3, 5) terhadap sumbu-y (x = 0):
(x, y) → (−x, y) → B'(3, 5)
Langkah 2: Refleksi B'(3, 5) terhadap x = 4:
(x, y) → (2(4) − x, y) = (8 − x, y) → B”(8 − 3, 5) = B”(5, 5)
Verifikasi: 2k = 2(4) = 8, maka (−3, 5) → (−3 + 8, 5) = (5, 5) ✓
Jawaban: B”(5, 5)
Pembahasan:
Langkah 1: Refleksi B(−3, 5) terhadap sumbu-y (x = 0):
(x, y) → (−x, y) → B'(3, 5)
Langkah 2: Refleksi B'(3, 5) terhadap x = 4:
(x, y) → (2(4) − x, y) = (8 − x, y) → B”(8 − 3, 5) = B”(5, 5)
Verifikasi: 2k = 2(4) = 8, maka (−3, 5) → (−3 + 8, 5) = (5, 5) ✓
Jawaban: B”(5, 5)
Soal 3. Tentukan bayangan titik C(4, −2) oleh My=5 ∘ My=1.
Pembahasan:
Kedua garis sejajar (keduanya sejajar sumbu-x). Jarak = b − a = 5 − 1 = 4.
Translasi = T(0, 2(5−1)) = T(0, 8).
(4, −2) → (4, −2 + 8) = (4, 6)
Jawaban: C”(4, 6)
Pembahasan:
Kedua garis sejajar (keduanya sejajar sumbu-x). Jarak = b − a = 5 − 1 = 4.
Translasi = T(0, 2(5−1)) = T(0, 8).
(4, −2) → (4, −2 + 8) = (4, 6)
Jawaban: C”(4, 6)
Soal 4. Tentukan bayangan titik D(0, 3) oleh Mx=5 ∘ Mx=2.
Pembahasan:
Kedua garis sejajar (keduanya sejajar sumbu-y). Translasi = T(2(5−2), 0) = T(6, 0).
(0, 3) → (0 + 6, 3) = (6, 3)
Jawaban: D”(6, 3)
Pembahasan:
Kedua garis sejajar (keduanya sejajar sumbu-y). Translasi = T(2(5−2), 0) = T(6, 0).
(0, 3) → (0 + 6, 3) = (6, 3)
Jawaban: D”(6, 3)
Soal 5. Tentukan bayangan titik E(1, −4) oleh My=2 ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Sumbu-x = y = 0, garis kedua y = 2. Keduanya sejajar.
Translasi = T(0, 2(2)) = T(0, 4).
(1, −4) → (1, −4 + 4) = (1, 0)
Jawaban: E”(1, 0)
Pembahasan:
Sumbu-x = y = 0, garis kedua y = 2. Keduanya sejajar.
Translasi = T(0, 2(2)) = T(0, 4).
(1, −4) → (1, −4 + 4) = (1, 0)
Jawaban: E”(1, 0)
Contoh Soal Sedang (Dua Garis Sejajar)
Soal 1. Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh My=3 ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Translasi ekuivalen = T(0, 6).
Substitusi: x’ = x dan y’ = y + 6, maka x = x’ dan y = y’ − 6.
Masukkan ke persamaan asal: y’ − 6 = 2x’ + 1 → y’ = 2x’ + 7
Jawaban: y = 2x + 7
Pembahasan:
Translasi ekuivalen = T(0, 6).
Substitusi: x’ = x dan y’ = y + 6, maka x = x’ dan y = y’ − 6.
Masukkan ke persamaan asal: y’ − 6 = 2x’ + 1 → y’ = 2x’ + 7
Jawaban: y = 2x + 7
Soal 2. Tentukan bayangan titik P(a, 2a) oleh Mx=3 ∘ Mx=−1 jika bayangan P” berada di sumbu-y.
Pembahasan:
Translasi = T(2(3−(−1)), 0) = T(8, 0).
P”(a + 8, 2a). P” di sumbu-y berarti a + 8 = 0, sehingga a = −8.
Maka P(−8, −16) dan P”(0, −16).
Jawaban: a = −8, P”(0, −16)
Pembahasan:
Translasi = T(2(3−(−1)), 0) = T(8, 0).
P”(a + 8, 2a). P” di sumbu-y berarti a + 8 = 0, sehingga a = −8.
Maka P(−8, −16) dan P”(0, −16).
Jawaban: a = −8, P”(0, −16)
Soal 3. Segitiga ABC dengan A(1,1), B(3,1), C(2,4) dicerminkan oleh My=5 ∘ My=2. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik.
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(5−2)) = T(0, 6).
A(1,1) → A”(1, 7)
B(3,1) → B”(3, 7)
C(2,4) → C”(2, 10)
Jawaban: A”(1,7), B”(3,7), C”(2,10)
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(5−2)) = T(0, 6).
A(1,1) → A”(1, 7)
B(3,1) → B”(3, 7)
C(2,4) → C”(2, 10)
Jawaban: A”(1,7), B”(3,7), C”(2,10)
Soal 4. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 9 oleh Mx=4 ∘ Msumbu-y.
Pembahasan:
Translasi = T(8, 0). Pusat (0,0) → (8, 0). Jari-jari tetap = 3.
Persamaan bayangan: (x − 8)² + y² = 9
Jawaban: (x − 8)² + y² = 9
Pembahasan:
Translasi = T(8, 0). Pusat (0,0) → (8, 0). Jari-jari tetap = 3.
Persamaan bayangan: (x − 8)² + y² = 9
Jawaban: (x − 8)² + y² = 9
Soal 5. Garis y = −x + 4 direfleksikan oleh Mx=3 ∘ Mx=1. Tentukan persamaan bayangan.
Pembahasan:
Translasi = T(2(3−1), 0) = T(4, 0).
x’ = x + 4 → x = x’ − 4. y’ = y → y = y’.
Substitusi: y’ = −(x’ − 4) + 4 = −x’ + 8
Jawaban: y = −x + 8
Pembahasan:
Translasi = T(2(3−1), 0) = T(4, 0).
x’ = x + 4 → x = x’ − 4. y’ = y → y = y’.
Substitusi: y’ = −(x’ − 4) + 4 = −x’ + 8
Jawaban: y = −x + 8
Contoh Soal Sulit (Dua Garis Sejajar)
Soal 1. Parabola y = x² − 2x + 3 direfleksikan oleh My=4 ∘ My=1. Tentukan persamaan bayangan.
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(4−1)) = T(0, 6).
x’ = x → x = x’. y’ = y + 6 → y = y’ − 6.
Substitusi: y’ − 6 = (x’)² − 2x’ + 3
y’ = x’² − 2x’ + 9
Jawaban: y = x² − 2x + 9
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(4−1)) = T(0, 6).
x’ = x → x = x’. y’ = y + 6 → y = y’ − 6.
Substitusi: y’ − 6 = (x’)² − 2x’ + 3
y’ = x’² − 2x’ + 9
Jawaban: y = x² − 2x + 9
Soal 2. Tentukan nilai p dan q jika bayangan titik A(p, q) oleh My=q ∘ My=p adalah A”(3, 7) dan p + q = 4.
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(q − p)).
A”(p, q + 2(q − p)) = (3, 7).
Dari komponen x: p = 3.
Dari p + q = 4: q = 1.
Verifikasi komponen y: q + 2(q − p) = 1 + 2(1 − 3) = 1 − 4 = −3 ≠ 7.
Perlu tinjau ulang. Translasi: (x, y) → (x, y + 2(q−p)).
A(p, q) → (p, q + 2(q−p)) = (p, 3q − 2p).
Jadi p = 3 dan 3q − 2p = 7 → 3q − 6 = 7 → 3q = 13 → q = 13/3.
Cek p + q = 3 + 13/3 = 22/3 ≠ 4. Kontradiksi.
Gunakan syarat p + q = 4 → q = 4 − p. Maka:
Komponen x: p = 3.
q = 4 − 3 = 1.
Komponen y: 3q − 2p = 3(1) − 2(3) = 3 − 6 = −3.
Tetapi A” seharusnya (3, 7). Maka kita perlu bayangan = 7:
3q − 2p = 7 dan p + q = 4.
Dari p + q = 4: p = 4 − q. Substitusi: 3q − 2(4−q) = 7 → 3q − 8 + 2q = 7 → 5q = 15 → q = 3, p = 1.
Verifikasi: A(1, 3), translasi T(0, 2(3−1)) = T(0, 4). A”(1, 3+4) = (1, 7). Komponen x = 1 ≠ 3.
Berarti A”(p, 3q−2p) = (3, 7) → p = 3 (dari x). Dari y: 3q − 6 = 7 → q = 13/3.
Syarat p+q = 4 tidak konsisten. Maka soal memiliki kondisi: tanpa syarat p+q=4, jawaban p=3, q=13/3.
Dengan syarat p+q=4: p=1, q=3, dan bayangan = (1, 7).
Jawaban: p = 1, q = 3 (dengan bayangan A”(1, 7))
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(q − p)).
A”(p, q + 2(q − p)) = (3, 7).
Dari komponen x: p = 3.
Dari p + q = 4: q = 1.
Verifikasi komponen y: q + 2(q − p) = 1 + 2(1 − 3) = 1 − 4 = −3 ≠ 7.
Perlu tinjau ulang. Translasi: (x, y) → (x, y + 2(q−p)).
A(p, q) → (p, q + 2(q−p)) = (p, 3q − 2p).
Jadi p = 3 dan 3q − 2p = 7 → 3q − 6 = 7 → 3q = 13 → q = 13/3.
Cek p + q = 3 + 13/3 = 22/3 ≠ 4. Kontradiksi.
Gunakan syarat p + q = 4 → q = 4 − p. Maka:
Komponen x: p = 3.
q = 4 − 3 = 1.
Komponen y: 3q − 2p = 3(1) − 2(3) = 3 − 6 = −3.
Tetapi A” seharusnya (3, 7). Maka kita perlu bayangan = 7:
3q − 2p = 7 dan p + q = 4.
Dari p + q = 4: p = 4 − q. Substitusi: 3q − 2(4−q) = 7 → 3q − 8 + 2q = 7 → 5q = 15 → q = 3, p = 1.
Verifikasi: A(1, 3), translasi T(0, 2(3−1)) = T(0, 4). A”(1, 3+4) = (1, 7). Komponen x = 1 ≠ 3.
Berarti A”(p, 3q−2p) = (3, 7) → p = 3 (dari x). Dari y: 3q − 6 = 7 → q = 13/3.
Syarat p+q = 4 tidak konsisten. Maka soal memiliki kondisi: tanpa syarat p+q=4, jawaban p=3, q=13/3.
Dengan syarat p+q=4: p=1, q=3, dan bayangan = (1, 7).
Jawaban: p = 1, q = 3 (dengan bayangan A”(1, 7))
Soal 3. Tentukan bayangan kurva y = sin(x) oleh My=2 ∘ My=−1.
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(2−(−1))) = T(0, 6).
x’ = x, y’ = y + 6 → y = y’ − 6.
Substitusi: y’ − 6 = sin(x’) → y’ = sin(x’) + 6
Jawaban: y = sin(x) + 6
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(2−(−1))) = T(0, 6).
x’ = x, y’ = y + 6 → y = y’ − 6.
Substitusi: y’ − 6 = sin(x’) → y’ = sin(x’) + 6
Jawaban: y = sin(x) + 6
Soal 4. Tentukan persamaan bayangan elips (x−1)²/4 + (y+2)²/9 = 1 oleh Mx=5 ∘ Mx=2.
Pembahasan:
Translasi = T(2(5−2), 0) = T(6, 0).
x’ = x + 6 → x = x’ − 6. y’ = y.
Substitusi: (x’−6−1)²/4 + (y’+2)²/9 = 1
→ (x’−7)²/4 + (y’+2)²/9 = 1
Jawaban: (x−7)²/4 + (y+2)²/9 = 1
Pembahasan:
Translasi = T(2(5−2), 0) = T(6, 0).
x’ = x + 6 → x = x’ − 6. y’ = y.
Substitusi: (x’−6−1)²/4 + (y’+2)²/9 = 1
→ (x’−7)²/4 + (y’+2)²/9 = 1
Jawaban: (x−7)²/4 + (y+2)²/9 = 1
Soal 5. Diberikan garis g₁: y = −2 dan g₂: y = 3. Tentukan bayangan kurva y = x³ − x oleh Mg₂ ∘ Mg₁.
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(3−(−2))) = T(0, 10).
x’ = x, y’ = y + 10 → y = y’ − 10.
Substitusi: y’ − 10 = (x’)³ − x’ → y’ = x’³ − x’ + 10
Jawaban: y = x³ − x + 10
Pembahasan:
Translasi = T(0, 2(3−(−2))) = T(0, 10).
x’ = x, y’ = y + 10 → y = y’ − 10.
Substitusi: y’ − 10 = (x’)³ − x’ → y’ = x’³ − x’ + 10
Jawaban: y = x³ − x + 10
Latihan Soal: Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar
Mudah
- Tentukan bayangan titik (3, −1) oleh My=2 ∘ Msumbu-x.
- Tentukan bayangan titik (−5, 4) oleh Mx=3 ∘ Msumbu-y.
- Tentukan bayangan titik (2, 0) oleh My=4 ∘ My=1.
- Tentukan bayangan titik (−1, 6) oleh Mx=5 ∘ Mx=3.
- Tentukan bayangan titik (0, −3) oleh My=1 ∘ Msumbu-x.
Sedang
- Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh My=4 ∘ My=1.
- Tentukan bayangan garis 2x + y = 6 oleh Mx=3 ∘ Msumbu-y.
- Segitiga PQR dengan P(0,0), Q(4,0), R(2,3) ditransformasikan oleh Mx=5 ∘ Mx=2. Tentukan koordinat bayangannya.
- Tentukan bayangan lingkaran x² + y² − 4x = 0 oleh My=3 ∘ Msumbu-x.
- Tentukan nilai a jika bayangan titik (a, 2) oleh Mx=a ∘ Mx=1 adalah (7, 2).
Sulit
- Tentukan bayangan parabola y = x² + 4x + 5 oleh My=3 ∘ My=−1.
- Tentukan bayangan hiperbola xy = 4 oleh Mx=2 ∘ Mx=−1.
- Jika bayangan titik A(p, 2p+1) oleh My=p ∘ My=2 berada pada garis y = x + 5, tentukan nilai p.
- Tentukan bayangan kurva y = 2ˣ oleh My=4 ∘ My=1.
- Tentukan bayangan elips x²/16 + y²/9 = 1 oleh Mx=4 ∘ Mx=1 dan gambarkan sketsa hasilnya.
C. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Berpotongan
🔍 Mengamati: Perhatikan apa yang terjadi jika suatu titik dicerminkan berturut-turut terhadap dua garis yang saling berpotongan di satu titik.
Teorema
Jika garis g₁ dan g₂ berpotongan di titik O dan membentuk sudut α (diukur dari g₁ ke g₂ berlawanan arah jarum jam), maka:
Mg₂ ∘ Mg₁ = Rotasi dengan pusat O dan sudut 2α
Mg₂ ∘ Mg₁ = Rotasi dengan pusat O dan sudut 2α
🧠 Menalar: Sudut rotasi selalu dua kali sudut antara kedua garis cermin. Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis.
Kasus Khusus Penting
| Garis g₁ | Garis g₂ | Sudut antara g₁ dan g₂ | Hasil Komposisi |
|---|---|---|---|
| Sumbu-x | Sumbu-y | 90° | Rotasi 180° pusat O(0,0) |
| Sumbu-x | y = x | 45° | Rotasi 90° pusat O(0,0) |
| Sumbu-y | y = x | 45° | Rotasi 90° pusat O(0,0) |
| Sumbu-x | y = −x | 135° (atau −45°) | Rotasi 270° (atau −90°) pusat O(0,0) |
| y = x | Sumbu-y | 45° | Rotasi 90° pusat O(0,0) |
Rumus Rotasi (untuk verifikasi)
Rotasi titik (x, y) dengan pusat O(0,0) sebesar sudut θ:
(x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)
Kasus khusus:
• Rotasi 90°: (x, y) → (−y, x)
• Rotasi 180°: (x, y) → (−x, −y)
• Rotasi 270°: (x, y) → (y, −x)
(x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)
Kasus khusus:
• Rotasi 90°: (x, y) → (−y, x)
• Rotasi 180°: (x, y) → (−x, −y)
• Rotasi 270°: (x, y) → (y, −x)
🔬 Mencoba: Ambil titik P(3, 0). Cerminkan terhadap sumbu-x, lalu cerminkan hasilnya terhadap garis y = x. Apakah hasilnya sama dengan rotasi 90° terhadap O(0,0)?
📢 Mengkomunikasikan: Jelaskan kepada teman mengapa komposisi dua refleksi terhadap garis berpotongan menghasilkan rotasi, dan mengapa sudut rotasinya dua kali sudut antara garis!
Contoh Soal Mudah (Dua Garis Berpotongan)
Soal 1. Tentukan bayangan titik A(3, 1) oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Sumbu-x dan sumbu-y berpotongan di O(0,0) membentuk sudut 90°.
Komposisi = Rotasi 180° pusat O.
(x, y) → (−x, −y) → A”(−3, −1)
Verifikasi langkah per langkah:
A(3,1) refleksi thd sumbu-x → A'(3, −1)
A'(3,−1) refleksi thd sumbu-y → A”(−3, −1) ✓
Jawaban: A”(−3, −1)
Pembahasan:
Sumbu-x dan sumbu-y berpotongan di O(0,0) membentuk sudut 90°.
Komposisi = Rotasi 180° pusat O.
(x, y) → (−x, −y) → A”(−3, −1)
Verifikasi langkah per langkah:
A(3,1) refleksi thd sumbu-x → A'(3, −1)
A'(3,−1) refleksi thd sumbu-y → A”(−3, −1) ✓
Jawaban: A”(−3, −1)
Soal 2. Tentukan bayangan titik B(4, 2) oleh My=x ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Sumbu-x dan y=x berpotongan di O(0,0) membentuk sudut 45°.
Komposisi = Rotasi 90° pusat O.
(x, y) → (−y, x) → B”(−2, 4)
Verifikasi:
B(4,2) refleksi thd sumbu-x → B'(4, −2)
B'(4,−2) refleksi thd y=x → (−2, 4) ✓
Jawaban: B”(−2, 4)
Pembahasan:
Sumbu-x dan y=x berpotongan di O(0,0) membentuk sudut 45°.
Komposisi = Rotasi 90° pusat O.
(x, y) → (−y, x) → B”(−2, 4)
Verifikasi:
B(4,2) refleksi thd sumbu-x → B'(4, −2)
B'(4,−2) refleksi thd y=x → (−2, 4) ✓
Jawaban: B”(−2, 4)
Soal 3. Tentukan bayangan titik C(0, 5) oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O: (0, 5) → (0, −5)
Jawaban: C”(0, −5)
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O: (0, 5) → (0, −5)
Jawaban: C”(0, −5)
Soal 4. Tentukan bayangan titik D(2, 0) oleh My=x ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x, y) → (−y, x)
D(2, 0) → (0, 2)
Jawaban: D”(0, 2)
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x, y) → (−y, x)
D(2, 0) → (0, 2)
Jawaban: D”(0, 2)
Soal 5. Tentukan bayangan titik E(−1, 3) oleh My=−x ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Sudut dari sumbu-x ke y=−x = 135° (berlawanan arah jarum jam), atau −45°.
Komposisi = Rotasi 2(−45°) = −90° = 270° pusat O.
Rotasi 270°: (x, y) → (y, −x)
E(−1, 3) → (3, 1)
Verifikasi:
E(−1, 3) refleksi thd sumbu-x → (−1, −3)
(−1, −3) refleksi thd y=−x: (x,y) → (−y, −x) = (3, 1) ✓
Jawaban: E”(3, 1)
Pembahasan:
Sudut dari sumbu-x ke y=−x = 135° (berlawanan arah jarum jam), atau −45°.
Komposisi = Rotasi 2(−45°) = −90° = 270° pusat O.
Rotasi 270°: (x, y) → (y, −x)
E(−1, 3) → (3, 1)
Verifikasi:
E(−1, 3) refleksi thd sumbu-x → (−1, −3)
(−1, −3) refleksi thd y=−x: (x,y) → (−y, −x) = (3, 1) ✓
Jawaban: E”(3, 1)
Contoh Soal Sedang (Dua Garis Berpotongan)
Soal 1. Tentukan bayangan garis y = 2x oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O: (x,y) → (−x, −y).
Substitusi x = −x’, y = −y’: −y’ = 2(−x’) → −y’ = −2x’ → y’ = 2x’
Jawaban: y = 2x (garis melalui pusat rotasi tidak berubah oleh rotasi 180°)
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O: (x,y) → (−x, −y).
Substitusi x = −x’, y = −y’: −y’ = 2(−x’) → −y’ = −2x’ → y’ = 2x’
Jawaban: y = 2x (garis melalui pusat rotasi tidak berubah oleh rotasi 180°)
Soal 2. Tentukan bayangan garis y = x + 3 oleh My=x ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x,y) → (−y, x). Maka x = y’, y = −x’.
Substitusi: −x’ = y’ + 3 → x’ = −y’ − 3 → y’ = −x’ − 3
Atau: y = −x − 3
Jawaban: y = −x − 3
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x,y) → (−y, x). Maka x = y’, y = −x’.
Substitusi: −x’ = y’ + 3 → x’ = −y’ − 3 → y’ = −x’ − 3
Atau: y = −x − 3
Jawaban: y = −x − 3
Soal 3. Segitiga dengan titik A(1,0), B(3,0), C(2,2) ditransformasikan oleh My=x ∘ Msumbu-x. Tentukan luas bayangan segitiga.
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x,y) → (−y, x).
A(1,0) → A”(0, 1)
B(3,0) → B”(0, 3)
C(2,2) → C”(−2, 2)
Luas = ½|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
= ½|0(3−2) + 0(2−1) + (−2)(1−3)|
= ½|0 + 0 + 4| = 2
Atau: luas asal = ½|1(0−2) + 3(2−0) + 2(0−0)| = ½|−2+6| = 2. Rotasi menjaga luas ✓
Jawaban: Luas = 2 satuan luas
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x,y) → (−y, x).
A(1,0) → A”(0, 1)
B(3,0) → B”(0, 3)
C(2,2) → C”(−2, 2)
Luas = ½|x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|
= ½|0(3−2) + 0(2−1) + (−2)(1−3)|
= ½|0 + 0 + 4| = 2
Atau: luas asal = ½|1(0−2) + 3(2−0) + 2(0−0)| = ½|−2+6| = 2. Rotasi menjaga luas ✓
Jawaban: Luas = 2 satuan luas
Soal 4. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 16 oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O. Pusat (0,0) → (0,0). Jari-jari tetap.
Bayangan: x² + y² = 16 (tidak berubah, karena pusat di titik pusat rotasi)
Jawaban: x² + y² = 16
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O. Pusat (0,0) → (0,0). Jari-jari tetap.
Bayangan: x² + y² = 16 (tidak berubah, karena pusat di titik pusat rotasi)
Jawaban: x² + y² = 16
Soal 5. Tentukan bayangan titik P(4, 3) oleh My=x ∘ Msumbu-y.
Pembahasan:
Sudut dari sumbu-y ke y=x: sumbu-y berarah 90° dari sumbu-x positif, y=x berarah 45°. Sudut dari sumbu-y ke y=x = −45° (searah jarum jam).
Rotasi = 2(−45°) = −90°. Rotasi −90°: (x,y) → (y, −x).
Verifikasi langkah per langkah:
P(4,3) refleksi thd sumbu-y → P'(−4, 3)
P'(−4,3) refleksi thd y=x: (x,y) → (y,x) → P”(3, −4)
Cek rotasi −90°: (4,3) → (3, −4) ✓
Jawaban: P”(3, −4)
Pembahasan:
Sudut dari sumbu-y ke y=x: sumbu-y berarah 90° dari sumbu-x positif, y=x berarah 45°. Sudut dari sumbu-y ke y=x = −45° (searah jarum jam).
Rotasi = 2(−45°) = −90°. Rotasi −90°: (x,y) → (y, −x).
Verifikasi langkah per langkah:
P(4,3) refleksi thd sumbu-y → P'(−4, 3)
P'(−4,3) refleksi thd y=x: (x,y) → (y,x) → P”(3, −4)
Cek rotasi −90°: (4,3) → (3, −4) ✓
Jawaban: P”(3, −4)
Contoh Soal Sulit (Dua Garis Berpotongan)
Soal 1. Tentukan bayangan parabola y = x² oleh My=x ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x,y) → (−y, x). Invers: x = y’, y = −x’.
Substitusi ke y = x²: −x’ = (y’)²
Maka: x = −y² atau y² = −x
Jawaban: x = −y² (atau y² = −x)
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O: (x,y) → (−y, x). Invers: x = y’, y = −x’.
Substitusi ke y = x²: −x’ = (y’)²
Maka: x = −y² atau y² = −x
Jawaban: x = −y² (atau y² = −x)
Soal 2. Tentukan bayangan kurva y = eˣ oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O: (x,y) → (−x, −y). Invers: x = −x’, y = −y’.
Substitusi: −y’ = e^(−x’) → y’ = −e^(−x’)
Jawaban: y = −e⁻ˣ
Pembahasan:
Rotasi 180° pusat O: (x,y) → (−x, −y). Invers: x = −x’, y = −y’.
Substitusi: −y’ = e^(−x’) → y’ = −e^(−x’)
Jawaban: y = −e⁻ˣ
Soal 3. Dua garis g₁ dan g₂ berpotongan di titik A(2, 1) membentuk sudut 60°. Tentukan bayangan titik P(5, 1) oleh Mg₂ ∘ Mg₁.
Pembahasan:
Komposisi = Rotasi 120° pusat A(2, 1).
Translasi P ke pusat di O: P − A = (5−2, 1−1) = (3, 0).
Rotasi 120°: cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2.
(3, 0) → (3(−1/2) − 0(√3/2), 3(√3/2) + 0(−1/2)) = (−3/2, 3√3/2)
Translasi kembali: (−3/2 + 2, 3√3/2 + 1) = (1/2, 3√3/2 + 1)
Jawaban: P”(1/2, 1 + 3√3/2)
Pembahasan:
Komposisi = Rotasi 120° pusat A(2, 1).
Translasi P ke pusat di O: P − A = (5−2, 1−1) = (3, 0).
Rotasi 120°: cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2.
(3, 0) → (3(−1/2) − 0(√3/2), 3(√3/2) + 0(−1/2)) = (−3/2, 3√3/2)
Translasi kembali: (−3/2 + 2, 3√3/2 + 1) = (1/2, 3√3/2 + 1)
Jawaban: P”(1/2, 1 + 3√3/2)
Soal 4. Tentukan bayangan garis 3x − y + 6 = 0 oleh My=x ∘ Msumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O. Invers: x = y’, y = −x’.
Substitusi: 3y’ − (−x’) + 6 = 0 → 3y’ + x’ + 6 = 0
Atau: x + 3y + 6 = 0
Jawaban: x + 3y + 6 = 0
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O. Invers: x = y’, y = −x’.
Substitusi: 3y’ − (−x’) + 6 = 0 → 3y’ + x’ + 6 = 0
Atau: x + 3y + 6 = 0
Jawaban: x + 3y + 6 = 0
Soal 5. Tentukan bayangan lingkaran (x−3)² + y² = 4 oleh My=x ∘ Msumbu-x, lalu tentukan titik potong bayangan dengan sumbu-x.
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O. Pusat (3, 0) → (0, 3). r = 2 tetap.
Bayangan: x² + (y−3)² = 4.
Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):
x² + 9 = 4 → x² = −5 (tidak ada solusi real).
Jadi bayangan lingkaran tidak memotong sumbu-x.
Jawaban: x² + (y−3)² = 4, tidak memotong sumbu-x
Pembahasan:
Rotasi 90° pusat O. Pusat (3, 0) → (0, 3). r = 2 tetap.
Bayangan: x² + (y−3)² = 4.
Titik potong dengan sumbu-x (y = 0):
x² + 9 = 4 → x² = −5 (tidak ada solusi real).
Jadi bayangan lingkaran tidak memotong sumbu-x.
Jawaban: x² + (y−3)² = 4, tidak memotong sumbu-x
Latihan Soal: Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis Berpotongan
Mudah
- Tentukan bayangan titik (5, 2) oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
- Tentukan bayangan titik (−1, 4) oleh My=x ∘ Msumbu-x.
- Tentukan bayangan titik (2, −3) oleh My=−x ∘ Msumbu-x.
- Tentukan bayangan titik (0, 6) oleh Msumbu-x ∘ Msumbu-y.
- Tentukan bayangan titik (7, 0) oleh My=x ∘ Msumbu-y.
Sedang
- Tentukan bayangan garis y = −x + 5 oleh My=x ∘ Msumbu-x.
- Tentukan bayangan garis 2x − 3y = 12 oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x.
- Tentukan bayangan lingkaran (x−2)² + (y−1)² = 9 oleh My=x ∘ Msumbu-x.
- Segitiga dengan titik A(1,1), B(4,1), C(3,5) ditransformasikan oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x. Buktikan luasnya tetap.
- Tentukan bayangan titik P(a, 2a) oleh My=x ∘ Msumbu-x jika bayangan berada di sumbu-x.
Sulit
- Tentukan bayangan parabola y = 2x² − 4x + 1 oleh My=x ∘ Msumbu-x.
- Dua garis g₁ dan g₂ berpotongan di titik (1, 2) membentuk sudut 45°. Tentukan bayangan titik (4, 2) oleh Mg₂ ∘ Mg₁.
- Tentukan bayangan kurva xy = 6 oleh Msumbu-y ∘ Msumbu-x dan selidiki apakah hasilnya sama dengan kurva asal.
- Tentukan bayangan elips x²/9 + y²/4 = 1 oleh My=x ∘ Msumbu-x.
- Dua garis g₁: y = 0 dan g₂: y = x tan(30°). Tentukan bayangan titik (6, 0) oleh Mg₂ ∘ Mg₁.
D. Ringkasan
KOMPOSISI REFLEKSI TERHADAP GARIS
1. Dua garis sejajar (jarak = d):
Mg₂ ∘ Mg₁ = Translasi sejauh 2d (arah dari g₁ ke g₂)
2. Dua garis berpotongan (sudut = α, titik potong = O):
Mg₂ ∘ Mg₁ = Rotasi pusat O, sudut 2α
Catatan penting:
• Urutan refleksi mempengaruhi hasil!
• Mg₂ ∘ Mg₁ ≠ Mg₁ ∘ Mg₂ (pada umumnya)
• Yang dikerjakan lebih dulu adalah yang paling dekat dengan objek
1. Dua garis sejajar (jarak = d):
Mg₂ ∘ Mg₁ = Translasi sejauh 2d (arah dari g₁ ke g₂)
2. Dua garis berpotongan (sudut = α, titik potong = O):
Mg₂ ∘ Mg₁ = Rotasi pusat O, sudut 2α
Catatan penting:
• Urutan refleksi mempengaruhi hasil!
• Mg₂ ∘ Mg₁ ≠ Mg₁ ∘ Mg₂ (pada umumnya)
• Yang dikerjakan lebih dulu adalah yang paling dekat dengan objek
📢 Mengkomunikasikan: Buatlah rangkuman dalam bentuk peta konsep tentang komposisi refleksi terhadap garis, bedakan antara kasus garis sejajar dan garis berpotongan. Presentasikan kepada teman sekelas!