Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
1. Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
“Seorang pedagang memiliki modal Rp500.000. Ia ingin membeli dua jenis barang: barang A seharga Rp10.000 per unit dan barang B seharga Rp20.000 per unit. Berapa banyak barang A dan B yang bisa dibeli tanpa melebihi modal?”
Jika x = banyak barang A dan y = banyak barang B, maka:
Pernyataan di atas merupakan contoh pertidaksamaan linear dua variabel.
Kegiatan: Menanya
- Apa perbedaan pertidaksamaan dengan persamaan?
- Mengapa menggunakan tanda ≤ bukan tanda =?
- Bagaimana menentukan pasangan (x, y) yang memenuhi?
Definisi
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) adalah kalimat terbuka yang memuat dua variabel (x dan y) dengan pangkat tertinggi satu, dan dihubungkan oleh salah satu tanda ketidaksamaan: <, >, ≤, atau ≥.
Perbedaan dengan Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV):
| Aspek | PLDV | PtLDV |
|---|---|---|
| Tanda penghubung | = | <, >, ≤, ≥ |
| Penyelesaian | Titik-titik pada garis | Daerah (himpunan titik) |
| Grafik | Garis lurus | Daerah di atas/bawah garis |
2. Bentuk Umum PtLDV
Bentuk umum PtLDV dapat dituliskan sebagai berikut:
ax + by > c
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
dengan:
- a, b = koefisien variabel (a ≠ 0 atau b ≠ 0)
- c = konstanta
- x, y = variabel
- a, b, c ∈ ℝ (bilangan real)
Kegiatan: Menalar
Tentukan mana yang merupakan PtLDV dari pernyataan berikut:
- 2x + 3y ≤ 12 → PtLDV ✓ (dua variabel pangkat 1, ada tanda ≤)
- x² + y > 5 → Bukan PtLDV ✗ (ada variabel pangkat 2)
- 4x − 7 < 10 → Bukan PtLDV ✗ (hanya satu variabel)
- x + y = 8 → Bukan PtLDV ✗ (tanda sama dengan, ini PLDV)
- 5x − 2y ≥ 0 → PtLDV ✓
3. Grafik Penyelesaian PtLDV
Penyelesaian PtLDV berupa daerah (himpunan titik) pada bidang koordinat Kartesius. Langkah-langkah menggambar grafik:
Langkah-langkah Menggambar Grafik PtLDV:
- Ubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda “=” untuk mendapatkan persamaan garisnya.
- Gambar garis tersebut pada bidang koordinat:
- Garis putus-putus jika tanda < atau > (tidak termasuk garis)
- Garis penuh/solid jika tanda ≤ atau ≥ (termasuk garis)
- Tentukan daerah penyelesaian dengan menguji satu titik (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melewati titik asal).
- Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
Contoh: Grafik 2x + 3y ≤ 12
Langkah 1: Ubah menjadi persamaan: 2x + 3y = 12
Langkah 2: Tentukan titik potong sumbu:
- Potong sumbu-x (y = 0): 2x = 12 → x = 6 → titik (6, 0)
- Potong sumbu-y (x = 0): 3y = 12 → y = 4 → titik (0, 4)
Langkah 3: Gambar garis solid (karena tanda ≤) melalui (6, 0) dan (0, 4).
Langkah 4: Uji titik O(0, 0):
Karena benar, maka daerah yang memuat titik O(0,0) adalah daerah penyelesaian (daerah di bawah garis termasuk garis).
⚠️ Penting:
- Tanda ≤ atau ≥ → garis solid (titik pada garis termasuk penyelesaian)
- Tanda < atau > → garis putus-putus (titik pada garis BUKAN penyelesaian)
4. Menentukan Daerah Penyelesaian
Kegiatan: Mencoba
Lakukan langkah-langkah berikut untuk menentukan daerah penyelesaian dari x + 2y > 6:
- Gambar garis x + 2y = 6 (garis putus-putus karena tanda >)
- Titik potong: (6, 0) dan (0, 3)
- Uji titik (0, 0): 0 + 2(0) = 0 > 6? → SALAH
- Karena salah, daerah penyelesaian adalah sisi yang tidak memuat titik (0,0), yaitu di atas garis.
Aturan Cepat Menentukan Daerah
Untuk pertidaksamaan dalam bentuk y = … (variabel y di ruas kiri):
| Pertidaksamaan | Daerah Penyelesaian |
|---|---|
| y > mx + c | Di atas garis |
| y < mx + c | Di bawah garis |
| y ≥ mx + c | Di atas garis termasuk garis |
| y ≤ mx + c | Di bawah garis termasuk garis |
💡 Tips: Jika garis melewati titik O(0,0), gunakan titik uji lain seperti (1,0), (0,1), atau titik lain yang mudah dihitung.
Notasi Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaian PtLDV dapat dituliskan dalam notasi pembentuk himpunan:
5. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah gabungan dari dua atau lebih PtLDV yang harus dipenuhi secara bersamaan. Daerah penyelesaian SPtLDV adalah irisan dari semua daerah penyelesaian masing-masing PtLDV.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman: Bagaimana menentukan daerah penyelesaian dari sistem berikut?
2x + y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
Jelaskan langkah-langkahnya dan gambar daerah penyelesaiannya!
Langkah Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV:
- Gambar masing-masing garis batas dari setiap pertidaksamaan.
- Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan (dengan uji titik).
- Daerah penyelesaian SPtLDV adalah irisan (daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan).
- Perhatikan syarat x ≥ 0 dan y ≥ 0 (jika ada) berarti daerah penyelesaian hanya di kuadran I.
Contoh Grafik SPtLDV
Sistem: x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
Titik-titik sudut daerah penyelesaian: (0, 0), (6, 0), (4, 4), (0, 8)
Titik (4, 4) diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan:
2x + y = 12 … (2)
Eliminasi: (2) − (1) → x = 4, sehingga y = 4
6. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan apakah titik (2, 3) merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 18.
Pembahasan:
Substitusikan x = 2 dan y = 3 ke pertidaksamaan:
6 + 6 ≤ 18
12 ≤ 18 → BENAR
Jadi, titik (2, 3) merupakan penyelesaian dari 3x + 2y ≤ 18.
Soal 2:
Tentukan apakah titik (5, 4) merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan x + y < 8.
Pembahasan:
9 < 8 → SALAH
Jadi, titik (5, 4) bukan penyelesaian dari x + y < 8.
Soal 3:
Tentukan titik potong garis 4x + 2y = 8 dengan sumbu koordinat.
Pembahasan:
Titik potong sumbu-x (y = 0):
Titik potong sumbu-y (x = 0):
Soal 4:
Gambar garis batas untuk pertidaksamaan x − y > 2. Apakah garisnya solid atau putus-putus?
Pembahasan:
Karena tanda pertidaksamaan adalah > (tanpa sama dengan), maka garisnya putus-putus.
Garis batas: x − y = 2
Titik potong: (2, 0) dan (0, −2)
Garis digambar putus-putus karena titik-titik pada garis bukan penyelesaian.
Soal 5:
Tentukan daerah penyelesaian dari y ≥ 3 pada bidang koordinat.
Pembahasan:
Garis batas: y = 3 (garis horizontal melewati titik (0, 3))
Karena tanda ≥, garis digambar solid.
Daerah penyelesaian: semua titik yang nilai y-nya lebih dari atau sama dengan 3, yaitu daerah di atas garis y = 3 (termasuk garis).
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya memuat titik (1, 2) dan garis batasnya melalui titik (4, 0) dan (0, 6).
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan persamaan garis melalui (4, 0) dan (0, 6):
3x + 2y = 12
Langkah 2: Substitusi titik (1, 2) ke persamaan:
Karena 7 < 12, dan daerah penyelesaian memuat (1, 2), maka pertidaksamaannya:
(menggunakan ≤ karena umumnya garis termasuk dalam daerah penyelesaian pada soal program linear)
Soal 2:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 6
x ≥ 1
y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + y = 6, titik potong (6, 0) dan (0, 6). Daerah: di bawah garis (uji (0,0): 0 ≤ 6 ✓)
Garis 2: x = 1 (garis vertikal). Daerah: di sebelah kanan garis.
Garis 3: y = 0 (sumbu-x). Daerah: di atas sumbu-x.
Titik-titik sudut irisan:
- (1, 0) → perpotongan x = 1 dan y = 0
- (6, 0) → perpotongan x + y = 6 dan y = 0
- (1, 5) → perpotongan x = 1 dan x + y = 6
Daerah penyelesaian berbentuk segitiga dengan titik sudut (1, 0), (6, 0), dan (1, 5).
Soal 3:
Tuliskan sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya merupakan segitiga dengan titik sudut (0, 0), (5, 0), dan (0, 4).
Pembahasan:
Segitiga dengan titik sudut (0,0), (5,0), (0,4) dibatasi oleh:
- Sumbu-x: y ≥ 0
- Sumbu-y: x ≥ 0
- Garis melalui (5, 0) dan (0, 4): x/5 + y/4 = 1 → 4x + 5y = 20
Uji titik dalam (1, 1): 4(1) + 5(1) = 9 ≤ 20 ✓
Sistem pertidaksamaannya:
x ≥ 0
y ≥ 0
Soal 4:
Tentukan daerah penyelesaian dari: 2x + y ≥ 4 dan x + 3y ≤ 9, dengan x ≥ 0, y ≥ 0.
Pembahasan:
Garis 1: 2x + y = 4 → titik (2, 0) dan (0, 4)
Uji (0, 0): 2(0) + 0 = 0 ≥ 4? SALAH → daerah yang tidak memuat (0,0), yaitu di atas garis.
Garis 2: x + 3y = 9 → titik (9, 0) dan (0, 3)
Uji (0, 0): 0 + 0 = 0 ≤ 9? BENAR → daerah memuat (0,0), yaitu di bawah garis.
Titik potong kedua garis:
x + 3y = 9
Eliminasi: 5x = 3 → x = 3/5; y = 4 − 6/5 = 14/5
Titik potong: (3/5, 14/5) = (0,6; 2,8)
Titik-titik sudut daerah: (2, 0), (9, 0), (3/5, 14/5), (0, 4), (0, 3)
Soal 5:
Sebuah toko menjual dua jenis kue. Kue A memerlukan 2 butir telur dan kue B memerlukan 3 butir telur. Tersedia 24 butir telur. Kue A memerlukan 1 kg tepung dan kue B memerlukan 1 kg tepung. Tersedia 10 kg tepung. Modelkan situasi ini dalam sistem pertidaksamaan!
Pembahasan:
Misalkan x = banyak kue A, y = banyak kue B.
Batasan telur: 2x + 3y ≤ 24
Batasan tepung: x + y ≤ 10
Syarat non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
2x + 3y ≤ 24
x + y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 1:
Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya adalah daerah segiempat dengan titik sudut A(0, 0), B(6, 0), C(4, 3), dan D(0, 5).
Pembahasan:
Kita perlu menentukan persamaan garis setiap sisi:
Sisi AB: dari (0,0) ke (6,0) → y = 0, sehingga y ≥ 0
Sisi AD: dari (0,0) ke (0,5) → x = 0, sehingga x ≥ 0
Sisi BC: dari (6,0) ke (4,3)
y − 0 = −3/2(x − 6)
2y = −3x + 18
3x + 2y = 18
Uji titik dalam (1,1): 3(1) + 2(1) = 5 ≤ 18 ✓ → 3x + 2y ≤ 18
Sisi CD: dari (4,3) ke (0,5)
y − 5 = −1/2(x − 0)
2y − 10 = −x
x + 2y = 10
Uji titik dalam (1,1): 1 + 2(1) = 3 ≤ 10 ✓ → x + 2y ≤ 10
3x + 2y ≤ 18
x + 2y ≤ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
Soal 2:
Tentukan luas daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik sudut daerah penyelesaian:
- O(0, 0)
- Potong 2x + y = 14 dengan sumbu-x: (7, 0)
- Potong kedua garis: x + y = 10 dan 2x + y = 14
Eliminasi: x = 4, y = 6 → titik (4, 6) - Potong x + y = 10 dengan sumbu-y: (0, 10)
Langkah 2: Titik sudut: (0, 0), (7, 0), (4, 6), (0, 10)
Langkah 3: Hitung luas dengan rumus Shoelace:
L = ½|0(0−10) + 7(6−0) + 4(10−0) + 0(0−6)|
L = ½|0 + 42 + 40 + 0|
L = ½ × 82 = 41 satuan luas
Soal 3:
Diketahui daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan memiliki titik sudut (0, 0), (8, 0), (6, 4), (2, 6), dan (0, 5). Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 3x + 5y.
Pembahasan:
Substitusi setiap titik sudut ke fungsi objektif:
| Titik | f(x, y) = 3x + 5y |
|---|---|
| (0, 0) | 3(0) + 5(0) = 0 |
| (8, 0) | 3(8) + 5(0) = 24 |
| (6, 4) | 3(6) + 5(4) = 18 + 20 = 38 |
| (2, 6) | 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36 |
| (0, 5) | 3(0) + 5(5) = 25 |
Nilai maksimum f(x, y) = 38 dicapai pada titik (6, 4).
Soal 4:
Seorang pengusaha ingin memproduksi dua jenis barang. Barang I memerlukan 2 jam mesin A dan 1 jam mesin B. Barang II memerlukan 1 jam mesin A dan 3 jam mesin B. Mesin A tersedia 16 jam dan mesin B tersedia 18 jam per hari. Keuntungan barang I adalah Rp50.000 dan barang II Rp40.000 per unit. Tentukan kombinasi produksi yang memaksimumkan keuntungan!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah barang I, y = jumlah barang II.
Model matematika:
Kendala:
2x + y ≤ 16 (mesin A)
x + 3y ≤ 18 (mesin B)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik sudut:
- (0, 0): f = 0
- (8, 0): f = 400.000
- Perpotongan: 2x + y = 16 dan x + 3y = 18
Dari pers. 1: y = 16 − 2x
Substitusi: x + 3(16 − 2x) = 18 → x + 48 − 6x = 18 → −5x = −30 → x = 6, y = 4
Titik (6, 4): f = 300.000 + 160.000 = 460.000 - (0, 6): f = 240.000
Keuntungan maksimum = Rp460.000 dengan memproduksi 6 unit barang I dan 4 unit barang II.
Soal 5:
Tentukan nilai a agar titik (3, 2) terletak pada daerah penyelesaian dari sistem:
ax + 2y ≤ 16
x + ay ≤ 11
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Titik (3, 2) harus memenuhi semua pertidaksamaan:
Pertidaksamaan 1: a(3) + 2(2) ≤ 16
Pertidaksamaan 2: 3 + a(2) ≤ 11
Syarat x ≥ 0 dan y ≥ 0: sudah terpenuhi karena (3,2) positif.
Jadi, nilai a ≤ 4 agar titik (3, 2) terletak pada daerah penyelesaian.
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan kertas berpetak untuk menggambar grafik.
MUDAH Latihan Soal Tingkat Mudah
- Tentukan apakah titik (3, 1) merupakan penyelesaian dari 2x + 5y ≤ 15.
- Tentukan titik potong garis 3x + 4y = 24 dengan kedua sumbu koordinat.
- Gambar daerah penyelesaian dari x + y ≤ 5 pada kuadran I.
- Apakah garis batas untuk pertidaksamaan 5x − 3y ≥ 15 digambar solid atau putus-putus? Jelaskan!
- Tentukan daerah penyelesaian dari x ≤ 4 dan y ≥ 0 pada bidang koordinat.
SEDANG Latihan Soal Tingkat Sedang
- Tentukan pertidaksamaan linear yang garis batasnya melalui titik (3, 0) dan (0, 6) serta daerah penyelesaiannya memuat titik (1, 1).
- Gambar daerah penyelesaian dari sistem: x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan titik-titik sudutnya!
- Tuliskan sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya berbentuk segitiga dengan titik sudut (0, 0), (4, 0), dan (0, 6).
- Sebuah pabrik memproduksi dua jenis produk. Produk A memerlukan 3 kg bahan baku dan produk B memerlukan 2 kg bahan baku. Tersedia 30 kg bahan baku. Produk A memerlukan 2 jam pengerjaan dan produk B memerlukan 4 jam. Tersedia 32 jam. Buatlah model matematikanya!
- Tentukan daerah penyelesaian dari: 3x + y ≥ 6, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. Sebutkan titik-titik sudut daerah penyelesaiannya.
SULIT Latihan Soal Tingkat Sulit
- Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya berbentuk segiempat dengan titik sudut A(1, 1), B(5, 1), C(4, 4), dan D(1, 3).
- Daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear memiliki titik sudut (0, 0), (6, 0), (4, 5), dan (0, 7). Tentukan nilai minimum dan maksimum dari f(x, y) = 4x + 3y.
- Seorang petani mempunyai lahan 10.000 m² yang akan ditanami padi dan jagung. Lahan padi minimal 2.000 m² dan lahan jagung minimal 3.000 m². Biaya perawatan padi Rp5.000/m² dan jagung Rp3.000/m². Dana tersedia Rp40.000.000. Keuntungan padi Rp8.000/m² dan jagung Rp6.000/m². Tentukan luas masing-masing agar keuntungan maksimum!
- Tentukan nilai k agar daerah penyelesaian dari sistem x + y ≤ k, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 memiliki luas tepat 18 satuan luas.
- Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis barang, namun hanya variabel x dan y yang dioptimalkan (barang ke-3 tetap). Kendalanya: x + 2y ≤ 20, 3x + 2y ≤ 30, x + 4y ≤ 28, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan titik-titik sudut daerah penyelesaian dan hitung nilai f(x, y) = 5x + 4y di setiap titik sudut.