Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
A. Pendahuluan
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel yang memiliki himpunan penyelesaian bersama (irisan). SPtLDV sangat berkaitan erat dengan Program Linear karena digunakan untuk menentukan daerah feasible (daerah yang memenuhi semua kendala).
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Dua Variabel:
ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c
ax + by < c atau ax + by > c
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a, b tidak keduanya nol.
Bentuk Umum SPtLDV:
Sistem yang terdiri dari beberapa pertidaksamaan linear dua variabel, misalnya:
a₁x + b₁y ≤ c₁
a₂x + b₂y ≤ c₂
x ≥ 0
y ≥ 0
Himpunan penyelesaian SPtLDV adalah irisan dari semua himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan masalah berikut:
Seorang penjahit memiliki 20 meter kain katun dan 16 meter kain sutra. Untuk membuat baju model A diperlukan 2 meter kain katun dan 4 meter kain sutra. Untuk membuat baju model B diperlukan 4 meter kain katun dan 2 meter kain sutra.
Amati:
- Apa saja batasan (kendala) yang ada dalam masalah tersebut?
- Bagaimana cara menyatakan kendala tersebut dalam bentuk matematika?
- Apakah ada batasan bahwa jumlah baju tidak boleh negatif?
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, rumuskan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara mengubah kalimat sehari-hari menjadi pertidaksamaan linear?
- Jika x = banyak baju A dan y = banyak baju B, pertidaksamaan apa saja yang terbentuk?
- Bagaimana menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut?
- Apa arti geometris dari himpunan penyelesaian SPtLDV?
B. Materi Inti: Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV
1. Langkah-langkah Menentukan Daerah Penyelesaian
- Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan (ganti tanda ≤, ≥, <, > menjadi =)
- Gambar garis dari persamaan tersebut pada bidang koordinat. Cari titik potong dengan sumbu-x (substitusi y = 0) dan sumbu-y (substitusi x = 0).
- Tentukan jenis garis:
- Tanda ≤ atau ≥ → garis penuh (solid)
- Tanda < atau > → garis putus-putus (dashed)
- Uji titik (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melalui titik asal) ke dalam pertidaksamaan. Jika memenuhi, arsir sisi yang memuat titik uji. Jika tidak, arsir sisi sebaliknya.
- Irisan semua daerah yang memenuhi seluruh pertidaksamaan dalam sistem adalah daerah penyelesaian SPtLDV.
2. Cara Menentukan Titik Potong Dua Garis
Titik potong dua garis diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dari kedua persamaan garis tersebut menggunakan metode substitusi atau eliminasi.
Contoh: Tentukan titik potong garis 2x + y = 10 dan x + 3y = 15
Eliminasi x:
2x + y = 10 … (×3) → 6x + 3y = 30
x + 3y = 15 … (×1) → x + 3y = 15
Eliminasi y: 6x + 3y − (x + 3y) = 30 − 15 → 5x = 15 → x = 3
Substitusi: 2(3) + y = 10 → y = 4
Titik potong: (3, 4)
3. Menentukan Daerah Penyelesaian secara Grafis
Daerah penyelesaian SPtLDV adalah daerah pada bidang koordinat yang memenuhi semua pertidaksamaan secara bersamaan. Daerah ini biasanya berbentuk poligon (segi banyak) yang dibatasi oleh garis-garis batas.
Kegiatan: Menalar
Dari masalah penjahit di atas, kita dapat menyusun model matematikanya:
Misalkan x = banyak baju A, y = banyak baju B
Kendala kain katun: 2x + 4y ≤ 20 → x + 2y ≤ 10
Kendala kain sutra: 4x + 2y ≤ 16 → 2x + y ≤ 8
Syarat non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Nalar: Mengapa kita menggunakan tanda “≤”? Karena jumlah kain yang digunakan paling banyak (tidak boleh melebihi) stok yang tersedia.
Grafik Daerah Penyelesaian SPtLDV
Titik-titik pojok daerah penyelesaian: (0, 0), (4, 0), (2, 4), (0, 5)
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan daerah penyelesaian dari SPtLDV berikut:
x + y ≤ 6
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Langkah:
- Gambar garis x + y = 6 (titik potong sumbu: (6,0) dan (0,6))
- Gambar garis 2x + y = 8 (titik potong sumbu: (4,0) dan (0,8))
- Uji titik (0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 6 ✓ dan 0 + 0 = 0 ≤ 8 ✓
- Arsir daerah yang memuat titik (0,0) pada kedua pertidaksamaan
- Irisan kedua daerah + syarat x ≥ 0, y ≥ 0 = daerah penyelesaian
4. Titik Pojok (Vertex) Daerah Penyelesaian
Titik-titik pojok daerah penyelesaian diperoleh dari:
- Titik potong antar garis batas
- Titik potong garis batas dengan sumbu koordinat
Titik-titik pojok ini sangat penting dalam Program Linear karena nilai optimum (maksimum atau minimum) fungsi tujuan selalu terletak di salah satu titik pojok.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu dan presentasikan:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri: apa perbedaan antara persamaan linear dan pertidaksamaan linear?
- Mengapa daerah penyelesaian SPtLDV berbentuk bidang (area), bukan titik atau garis?
- Dalam kehidupan sehari-hari, sebutkan 2 contoh situasi yang dapat dimodelkan dengan SPtLDV!
- Komunikasikan hasil pekerjaanmu pada kegiatan “Mencoba” di atas kepada teman-temanmu.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Tentukan apakah titik (1, 2) merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 5.
Pembahasan:
Substitusi x = 1 dan y = 2 ke dalam pertidaksamaan:
1 + 2 = 3 ≤ 5 ✓ (benar)
Jadi, titik (1, 2) merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
Soal 2:
Tentukan apakah titik (3, 4) merupakan penyelesaian dari SPtLDV:
x + y ≤ 6
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Cek pertidaksamaan 1: 3 + 4 = 7 ≤ 6? → 7 > 6 ✗ (tidak memenuhi)
Jadi, titik (3, 4) bukan penyelesaian SPtLDV tersebut.
Soal 3:
Gambar garis batas dari pertidaksamaan 2x + y ≤ 6 dan tentukan daerah penyelesaiannya.
Pembahasan:
Ubah menjadi persamaan: 2x + y = 6
Titik potong sumbu-x: y = 0 → 2x = 6 → x = 3 → titik (3, 0)
Titik potong sumbu-y: x = 0 → y = 6 → titik (0, 6)
Uji titik (0, 0): 2(0) + 0 = 0 ≤ 6 ✓
Daerah penyelesaian berada di sisi yang memuat titik (0, 0), yaitu di bawah garis.
Soal 4:
Tentukan pertidaksamaan linear dari daerah yang berada di bawah garis yang melalui titik (4, 0) dan (0, 2).
Pembahasan:
Persamaan garis melalui (4, 0) dan (0, 2):
x/4 + y/2 = 1 → x + 2y = 4
Daerah di bawah garis dan garis termasuk: x + 2y ≤ 4
Verifikasi dengan titik (0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 4 ✓
Pertidaksamaannya: x + 2y ≤ 4
Soal 5:
Tuliskan SPtLDV yang memiliki daerah penyelesaian di kuadran I dan di bawah garis y = 4 serta di kiri garis x = 3.
Pembahasan:
Kuadran I: x ≥ 0 dan y ≥ 0
Di bawah garis y = 4: y ≤ 4
Di kiri garis x = 3: x ≤ 3
SPtLDV: x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 4, x ≤ 3
📙 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Tentukan daerah penyelesaian dari SPtLDV berikut:
x + y ≤ 8
x + 2y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + y = 8 → titik (8, 0) dan (0, 8)
Garis 2: x + 2y = 12 → titik (12, 0) dan (0, 6)
Titik potong kedua garis:
x + y = 8 … (i)
x + 2y = 12 … (ii)
(ii) − (i): y = 4
Substitusi ke (i): x = 8 − 4 = 4
Titik potong: (4, 4)
Uji titik (0,0): 0 ≤ 8 ✓ dan 0 ≤ 12 ✓
Titik pojok daerah penyelesaian: (0, 0), (8, 0), (4, 4), (0, 6)
Soal 7:
Tentukan SPtLDV yang daerah penyelesaiannya merupakan segitiga dengan titik pojok (0, 0), (6, 0), dan (0, 4).
Pembahasan:
Garis melalui (6, 0) dan (0, 4): x/6 + y/4 = 1 → 2x + 3y = 12
Daerah di bawah garis (memuat titik asal): 2x + 3y ≤ 12
Syarat kuadran I: x ≥ 0, y ≥ 0
SPtLDV: 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
Soal 8:
Sebuah toko kue memproduksi kue A dan kue B. Bahan tepung tersedia 24 kg dan gula 18 kg. Kue A membutuhkan 3 kg tepung dan 2 kg gula. Kue B membutuhkan 4 kg tepung dan 3 kg gula. Buatlah model SPtLDV-nya.
Pembahasan:
Misalkan x = banyak kue A, y = banyak kue B
Kendala tepung: 3x + 4y ≤ 24
Kendala gula: 2x + 3y ≤ 18
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model SPtLDV:
3x + 4y ≤ 24
2x + 3y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Soal 9:
Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian dari:
x + y ≤ 5
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + y = 5 → (5, 0) dan (0, 5)
Garis 2: 2x + y = 8 → (4, 0) dan (0, 8)
Titik potong garis 1 dan 2:
x + y = 5 → y = 5 − x
Substitusi ke garis 2: 2x + (5 − x) = 8 → x = 3, y = 2
Titik pojok:
- (0, 0) – titik asal
- (4, 0) – potong garis 2 dengan sumbu-x
- (3, 2) – potong garis 1 dan garis 2
- (0, 5) – potong garis 1 dengan sumbu-y
Titik pojok: (0, 0), (4, 0), (3, 2), (0, 5)
Soal 10:
Tentukan luas daerah penyelesaian dari SPtLDV:
x + y ≤ 6
x ≤ 4
y ≤ 5
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Titik-titik pojok:
- (0, 0)
- (4, 0) – potong x = 4 dengan sumbu-x
- (4, 2) – potong x = 4 dengan x + y = 6 → y = 2
- (1, 5) – potong y = 5 dengan x + y = 6 → x = 1
- (0, 5) – potong y = 5 dengan sumbu-y
Luas daerah (polygon dengan titik pojok berurutan) menggunakan rumus Shoelace:
Titik berurutan: (0,0), (4,0), (4,2), (1,5), (0,5)
L = ½|x₁(y₂−y₅) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₄−y₂) + x₄(y₅−y₃) + x₅(y₁−y₄)|
= ½|0(0−5) + 4(2−0) + 4(5−0) + 1(5−2) + 0(0−5)|
= ½|0 + 8 + 20 + 3 + 0| = ½ × 31 = 15,5
Luas daerah penyelesaian = 15,5 satuan luas
📕 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Tentukan nilai maksimum dari f(x, y) = 3x + 5y yang memenuhi SPtLDV:
x + 2y ≤ 12
3x + 2y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik pojok
Garis 1: x + 2y = 12 → (12, 0) dan (0, 6)
Garis 2: 3x + 2y = 18 → (6, 0) dan (0, 9)
Titik potong garis 1 dan 2:
(garis 2) − (garis 1): 2x = 6 → x = 3
Substitusi: 3 + 2y = 12 → y = 4,5
Titik pojok: (0, 0), (6, 0), (3, 4.5), (0, 6)
Langkah 2: Hitung f di setiap titik pojok
| Titik Pojok | f = 3x + 5y |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (6, 0) | 18 |
| (3, 4.5) | 3(3) + 5(4.5) = 9 + 22.5 = 31.5 |
| (0, 6) | 30 |
Nilai maksimum f = 31,5 di titik (3, 4.5)
Soal 12:
Tentukan nilai minimum dari f(x, y) = 4x + 3y pada daerah penyelesaian:
x + y ≥ 5
2x + y ≥ 8
x + 2y ≥ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Ini adalah masalah minimisasi dengan kendala “≥” (daerah di atas garis).
Titik potong garis:
Garis 1 ∩ Garis 2: x + y = 5 dan 2x + y = 8
Eliminasi: x = 3, y = 2 → titik (3, 2)
Garis 1 ∩ Garis 3: x + y = 5 dan x + 2y = 8
Eliminasi: y = 3, x = 2 → titik (2, 3)
Garis 2 ∩ sumbu-x: (4, 0)
Garis 3 ∩ sumbu-y: (0, 4) — cek: 0 + 4 ≥ 5? → 4 < 5 ✗. Tidak masuk.
Garis 3 ∩ sumbu-y: (0, 8) — cek: 0 + 8 ≥ 8 ✓ dan 0 + 8 ≥ 5 ✓
Garis 2 ∩ sumbu-x: (4, 0) — cek: 4 + 0 ≥ 5? → 4 < 5 ✗. Tidak masuk.
Garis 2 ∩ sumbu-x: Perlu cek (8, 0) — 8+0≥5 ✓, 16+0≥8 ✓, 8+0≥8 ✓
Titik-titik pojok yang valid: (3, 2), (2, 3), dan titik-titik pada sumbu yang memenuhi semua kendala.
Cek (8, 0): semua ✓. Cek (0, 8): 0+8≥5✓, 0+8≥8✓, 0+16≥8✓
| Titik Pojok | f = 4x + 3y |
|---|---|
| (3, 2) | 4(3) + 3(2) = 18 |
| (2, 3) | 4(2) + 3(3) = 17 |
| (8, 0) | 32 |
| (0, 8) | 24 |
Nilai minimum f = 17 di titik (2, 3)
Soal 13:
Seorang pengusaha memproduksi meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 4 jam pemotongan dan 2 jam perakitan. Setiap kursi membutuhkan 2 jam pemotongan dan 4 jam perakitan. Waktu pemotongan tersedia 40 jam dan perakitan 48 jam per minggu. Keuntungan meja Rp200.000 dan kursi Rp150.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan x = banyak meja, y = banyak kursi
Model SPtLDV:
4x + 2y ≤ 40 → 2x + y ≤ 20
2x + 4y ≤ 48 → x + 2y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi tujuan: f = 200.000x + 150.000y
Titik potong garis:
2x + y = 20 dan x + 2y = 24
Kalikan pers. 1 dengan 2: 4x + 2y = 40
Kurangi: 4x + 2y − (x + 2y) = 40 − 24 → 3x = 16 → x = 16/3 ≈ 5,33
Karena x, y harus bilangan bulat (jumlah barang): perlu cek titik bulat terdekat.
Substitusi x = 16/3: y = 20 − 2(16/3) = 20 − 32/3 = 28/3 ≈ 9,33
Titik pojok: (0,0), (10,0), (16/3, 28/3), (0,12)
| Titik Pojok | Keuntungan (ribuan) |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (10, 0) | 200 × 10 = 2.000 |
| (16/3, 28/3) | 200(16/3) + 150(28/3) = 3200/3 + 4200/3 = 7400/3 ≈ 2.466,67 |
| (0, 12) | 150 × 12 = 1.800 |
Karena harus bilangan bulat, cek titik (5, 9): 2(5)+9=19≤20 ✓, 5+2(9)=23≤24 ✓
f = 200(5) + 150(9) = 1000 + 1350 = 2.350 (ribuan)
Cek (5, 10): 2(5)+10=20≤20 ✓, 5+20=25≤24 ✗
Cek (6, 8): 2(6)+8=20≤20 ✓, 6+16=22≤24 ✓
f = 200(6) + 150(8) = 1200 + 1200 = 2.400 (ribuan)
Keuntungan maksimum = Rp2.400.000 saat memproduksi 6 meja dan 8 kursi.
Soal 14:
Tentukan SPtLDV yang daerah penyelesaiannya merupakan segiempat dengan titik pojok A(0, 0), B(5, 0), C(3, 4), dan D(0, 6).
Pembahasan:
Perlu menemukan persamaan garis setiap sisi:
Sisi BC: melalui (5, 0) dan (3, 4)
Gradien: m = (4−0)/(3−5) = 4/(−2) = −2
Persamaan: y − 0 = −2(x − 5) → y = −2x + 10 → 2x + y = 10
Uji (0,0): 0 ≤ 10 ✓ → pertidaksamaan: 2x + y ≤ 10
Sisi CD: melalui (3, 4) dan (0, 6)
Gradien: m = (6−4)/(0−3) = 2/(−3) = −2/3
Persamaan: y − 6 = −(2/3)(x − 0) → 3y − 18 = −2x → 2x + 3y = 18
Uji (0,0): 0 ≤ 18 ✓ → pertidaksamaan: 2x + 3y ≤ 18
Sisi AB: sumbu-x → y ≥ 0
Sisi AD: sumbu-y → x ≥ 0
SPtLDV:
2x + y ≤ 10
2x + 3y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Soal 15:
Diketahui daerah penyelesaian SPtLDV dibatasi oleh:
x + y ≤ 10
2x + y ≤ 14
x + 3y ≤ 18
x ≥ 0, y ≥ 0
Tentukan semua titik pojok dan nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y.
Pembahasan:
Garis 1 ∩ Garis 2: x + y = 10 dan 2x + y = 14
Eliminasi: x = 4, y = 6 → titik (4, 6)
Cek garis 3: 4 + 18 = 22 > 18 ✗ → titik ini tidak di daerah penyelesaian!
Garis 1 ∩ Garis 3: x + y = 10 dan x + 3y = 18
Eliminasi: 2y = 8 → y = 4, x = 6 → titik (6, 4)
Cek garis 2: 12 + 4 = 16 > 14 ✗ → tidak di daerah penyelesaian!
Garis 2 ∩ Garis 3: 2x + y = 14 dan x + 3y = 18
Kalikan pers.1 ×3: 6x + 3y = 42
Kurangi: 5x = 24 → x = 24/5 = 4,8, y = 14 − 2(4,8) = 4,4
Cek garis 1: 4,8 + 4,4 = 9,2 ≤ 10 ✓ → titik (4.8, 4.4) valid!
Garis 2 ∩ sumbu-x: (7, 0). Cek: 7+0≤10✓, 7+0≤18✓ → valid
Garis 3 ∩ sumbu-y: (0, 6). Cek: 0+6≤10✓, 0+6≤14✓ → valid
Garis 1 ∩ sumbu-y: (0, 10). Cek garis 3: 0+30=30>18✗ → tidak valid
Titik pojok valid: (0, 0), (7, 0), (4.8, 4.4), (0, 6)
| Titik Pojok | f = 5x + 4y |
|---|---|
| (0, 0) | 0 |
| (7, 0) | 35 |
| (4.8, 4.4) | 5(4.8) + 4(4.4) = 24 + 17.6 = 41.6 |
| (0, 6) | 24 |
Nilai maksimum f = 41,6 di titik (4.8, 4.4)
D. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk mengasah pemahamanmu!
📗 Latihan Mudah (1–5)
1. Tentukan apakah titik (2, 1) memenuhi pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 10.
2. Gambarkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 4 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0.
3. Tentukan pertidaksamaan linear yang daerah penyelesaiannya di bawah garis melalui (6, 0) dan (0, 3).
4. Apakah titik (1, 1) merupakan anggota himpunan penyelesaian dari SPtLDV: x + y ≤ 3 dan x − y ≤ 1?
5. Tentukan titik potong garis x + y = 5 dengan sumbu-x dan sumbu-y.
📙 Latihan Sedang (6–10)
6. Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian dari SPtLDV:
x + y ≤ 7, 2x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
7. Sebuah perusahaan memproduksi tas dan sepatu. Dibutuhkan 2 jam mesin untuk satu tas dan 3 jam mesin untuk satu sepatu. Mesin tersedia 30 jam. Dibutuhkan 3 jam tenaga kerja untuk satu tas dan 2 jam untuk satu sepatu. Tenaga kerja tersedia 36 jam. Buatlah model SPtLDV-nya.
8. Tentukan SPtLDV yang daerah penyelesaiannya berupa segitiga dengan titik pojok (0, 0), (8, 0), dan (0, 6).
9. Tentukan daerah penyelesaian:
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
10. Tentukan luas daerah penyelesaian dari SPtLDV:
x + y ≤ 5, x ≤ 3, y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
📕 Latihan Sulit (11–15)
11. Tentukan nilai maksimum f(x, y) = 4x + 5y pada daerah penyelesaian:
x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
12. Tentukan nilai minimum f(x, y) = 3x + 2y pada daerah penyelesaian:
x + y ≥ 6, x + 2y ≥ 8, 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
13. Seorang petani memiliki lahan 10 hektar. Ia menanam padi dan jagung. Biaya menanam padi Rp2 juta/hektar dan jagung Rp3 juta/hektar. Modal tersedia Rp24 juta. Keuntungan padi Rp3 juta/hektar dan jagung Rp4 juta/hektar. Tentukan keuntungan maksimum!
14. Tentukan SPtLDV yang daerah penyelesaiannya merupakan segilima dengan titik pojok (0, 0), (6, 0), (6, 2), (2, 6), dan (0, 7).
15. Diketahui daerah penyelesaian SPtLDV dibatasi oleh 2x + y ≤ 16, x + 2y ≤ 14, x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan semua titik pojok, luas daerah, dan nilai maksimum f = 6x + 5y.
E. Rangkuman
- SPtLDV adalah sistem yang terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.
- Himpunan penyelesaian SPtLDV adalah irisan dari semua himpunan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
- Untuk menentukan daerah penyelesaian: gambar garis batas, uji titik, dan cari irisan daerah.
- Titik pojok daerah penyelesaian diperoleh dari titik potong antar garis batas atau garis batas dengan sumbu koordinat.
- Pada Program Linear, nilai optimum (maks/min) fungsi tujuan selalu terletak di salah satu titik pojok daerah penyelesaian.
- Garis dengan tanda ≤ atau ≥ digambar penuh (solid); tanda < atau > digambar putus-putus.