Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Model Matematika dari Masalah Program Linear
A. Pengertian Model Matematika
Model matematika adalah suatu bentuk pernyataan matematika yang terdiri dari variabel keputusan, fungsi tujuan (fungsi objektif), dan kendala (constraints) yang merepresentasikan suatu masalah nyata ke dalam bentuk matematika.
Dalam program linear, model matematika digunakan untuk menemukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada.
Komponen Model Matematika Program Linear:
- Variabel Keputusan: Variabel yang nilainya akan ditentukan (biasanya x dan y)
- Fungsi Tujuan: Fungsi yang akan dioptimumkan, berbentuk Z = ax + by
- Kendala/Batasan: Pertidaksamaan linear yang membatasi variabel keputusan
- Syarat Non-negatif: x ≥ 0 dan y ≥ 0
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Amatilah permasalahan berikut:
“Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti, yaitu roti manis dan roti tawar. Untuk membuat satu roti manis diperlukan 200 gram tepung dan 50 gram mentega. Untuk membuat satu roti tawar diperlukan 300 gram tepung dan 25 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 6.000 gram tepung dan 1.000 gram mentega. Keuntungan setiap roti manis Rp500 dan roti tawar Rp400.”
Dari masalah tersebut, amati hal-hal berikut:
- Apa yang ingin dicari? → Nilai optimum (keuntungan maksimum)
- Apa variabelnya? → Jumlah roti manis dan roti tawar
- Apa batasannya? → Ketersediaan tepung dan mentega
B. Langkah-Langkah Membuat Model Matematika
Langkah 1: Tentukan Variabel Keputusan
Misalkan variabel yang mewakili besaran yang dicari.
Contoh: Misalkan x = jumlah roti manis, y = jumlah roti tawar
Langkah 2: Susun Tabel (jika diperlukan)
Organisasikan informasi ke dalam tabel agar mudah dipahami.
| Bahan | Roti Manis (x) | Roti Tawar (y) | Tersedia |
|---|---|---|---|
| Tepung (gram) | 200 | 300 | 6.000 |
| Mentega (gram) | 50 | 25 | 1.000 |
| Keuntungan | Rp500 | Rp400 | — |
Langkah 3: Tentukan Fungsi Tujuan
Rumuskan apa yang ingin dioptimumkan.
Maksimumkan: Z = 500x + 400y
Langkah 4: Tentukan Kendala (Constraints)
Ubah batasan menjadi pertidaksamaan linear.
200x + 300y ≤ 6.000 (kendala tepung)
50x + 25y ≤ 1.000 (kendala mentega)
Langkah 5: Tambahkan Syarat Non-negatif
x ≥ 0, y ≥ 0
(Karena jumlah barang tidak mungkin negatif)
Model Matematika Lengkap:
Maksimumkan: Z = 500x + 400y
Dengan kendala:
- 200x + 300y ≤ 6.000
- 50x + 25y ≤ 1.000
- x ≥ 0
- y ≥ 0
❓ Kegiatan 2: Menanya
Setelah mengamati langkah-langkah di atas, coba pikirkan pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan apakah kendala menggunakan tanda “≤” atau “≥”?
- Kapan fungsi tujuan dimaksimumkan dan kapan diminimumkan?
- Mengapa syarat non-negatif selalu ada dalam model matematika program linear?
Panduan Menjawab:
- Gunakan “≤” jika bahan/sumber daya tersedia paling banyak (terbatas)
- Gunakan “≥” jika ada kebutuhan minimum yang harus dipenuhi
- Maksimumkan → keuntungan, pendapatan, produksi
- Minimumkan → biaya, waktu, pengeluaran
C. Jenis-Jenis Kendala dalam Model Matematika
| Tanda | Arti | Kata Kunci dalam Soal |
|---|---|---|
| ≤ | Paling banyak / Tidak lebih dari | tersedia, paling banyak, tidak melebihi, maksimum |
| ≥ | Paling sedikit / Tidak kurang dari | paling sedikit, minimal, setidaknya, sekurang-kurangnya |
| = | Tepat sama dengan | tepat, harus sama dengan, persis |
💡 Kegiatan 3: Menalar
Perhatikan pola-pola berikut dalam membuat model matematika:
Pola 1: Masalah Produksi
Jika masalah tentang produksi barang dengan bahan terbatas → kendala “≤” dan fungsi tujuan dimaksimumkan
Pola 2: Masalah Diet/Nutrisi
Jika masalah tentang memenuhi kebutuhan gizi minimum → kendala “≥” dan fungsi tujuan diminimumkan
Pola 3: Masalah Campuran
Beberapa masalah memiliki kendala “≤” sekaligus “≥” → analisis setiap kendala secara terpisah
Kesimpulan yang dapat ditarik:
Jenis masalah menentukan bentuk kendala dan arah optimasi fungsi tujuan. Kata kunci dalam soal menjadi petunjuk utama.
✍️ Kegiatan 4: Mencoba
Cobalah mengubah masalah berikut menjadi model matematika:
“Seorang peternak ingin memberi makan ayam dan bebek. Seekor ayam membutuhkan 100 gram pakan A dan 80 gram pakan B per hari. Seekor bebek membutuhkan 120 gram pakan A dan 60 gram pakan B per hari. Pakan A tersedia 2.400 gram dan pakan B tersedia 1.800 gram per hari. Biaya memelihara seekor ayam Rp3.000 dan bebek Rp4.000 per hari. Berapa banyak ayam dan bebek agar biaya minimum?”
Langkah penyelesaian:
- Misalkan x = jumlah ayam, y = jumlah bebek
- Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 3.000x + 4.000y
- Kendala: 100x + 120y ≤ 2.400 dan 80x + 60y ≤ 1.800
- Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
D. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Mudah Contoh 1
Seorang penjahit membuat baju dan celana. Untuk membuat satu baju diperlukan 2 meter kain dan untuk satu celana diperlukan 1,5 meter kain. Kain yang tersedia 30 meter. Baju dijual dengan keuntungan Rp20.000 dan celana Rp15.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Langkah 1: Misalkan x = jumlah baju, y = jumlah celana
Langkah 2: Tabel informasi:
| Produk | Kain (m) | Keuntungan |
|---|---|---|
| Baju (x) | 2 | Rp20.000 |
| Celana (y) | 1,5 | Rp15.000 |
| Tersedia | 30 | — |
Langkah 3: Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 20.000x + 15.000y
Langkah 4: Kendala: 2x + 1,5y ≤ 30
Langkah 5: Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 20.000x + 15.000y
Kendala: 2x + 1,5y ≤ 30; x ≥ 0; y ≥ 0
Mudah Contoh 2
Sebuah toko menjual kue A dan kue B. Kue A memerlukan 3 butir telur dan kue B memerlukan 2 butir telur. Telur yang tersedia 60 butir. Keuntungan kue A adalah Rp5.000 dan kue B adalah Rp4.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Langkah 1: Misalkan x = jumlah kue A, y = jumlah kue B
Langkah 2: Kendala telur: 3x + 2y ≤ 60
Langkah 3: Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 5.000x + 4.000y
Langkah 4: Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 5.000x + 4.000y
Kendala: 3x + 2y ≤ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
Mudah Contoh 3
Seorang petani memiliki lahan 10 hektar. Ia ingin menanam jagung dan kedelai. Keuntungan per hektar jagung Rp2.000.000 dan kedelai Rp1.500.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Langkah 1: Misalkan x = luas lahan jagung (ha), y = luas lahan kedelai (ha)
Langkah 2: Kendala lahan: x + y ≤ 10
Langkah 3: Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 2.000.000x + 1.500.000y
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 2.000.000x + 1.500.000y
Kendala: x + y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0
Mudah Contoh 4
Sebuah pabrik memproduksi meja dan kursi. Setiap meja memerlukan 4 jam kerja dan setiap kursi memerlukan 2 jam kerja. Waktu kerja yang tersedia 40 jam. Keuntungan meja Rp100.000 dan kursi Rp60.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah meja, y = jumlah kursi
Kendala waktu: 4x + 2y ≤ 40
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 100.000x + 60.000y
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 100.000x + 60.000y
Kendala: 4x + 2y ≤ 40; x ≥ 0; y ≥ 0
Mudah Contoh 5
Seseorang memiliki modal Rp600.000. Ia ingin membeli barang A seharga Rp2.000 per buah dan barang B seharga Rp3.000 per buah. Keuntungan barang A adalah Rp500 dan barang B adalah Rp800. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah barang A, y = jumlah barang B
Kendala modal: 2.000x + 3.000y ≤ 600.000
Sederhanakan: 2x + 3y ≤ 600
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 500x + 800y
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 500x + 800y
Kendala: 2x + 3y ≤ 600; x ≥ 0; y ≥ 0
📙 Contoh Soal Sedang
Sedang Contoh 6
Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk P dan Q. Setiap produk P memerlukan 2 jam mesin A dan 3 jam mesin B. Setiap produk Q memerlukan 4 jam mesin A dan 1 jam mesin B. Mesin A tersedia 28 jam dan mesin B tersedia 21 jam per hari. Keuntungan produk P adalah Rp30.000 dan produk Q Rp40.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Langkah 1: Misalkan x = jumlah produk P, y = jumlah produk Q
Langkah 2: Tabel:
| Produk P (x) | Produk Q (y) | Tersedia | |
|---|---|---|---|
| Mesin A (jam) | 2 | 4 | 28 |
| Mesin B (jam) | 3 | 1 | 21 |
| Keuntungan | Rp30.000 | Rp40.000 | — |
Langkah 3: Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 30.000x + 40.000y
Langkah 4: Kendala:
- 2x + 4y ≤ 28 (mesin A)
- 3x + y ≤ 21 (mesin B)
Langkah 5: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 30.000x + 40.000y
Kendala: 2x + 4y ≤ 28; 3x + y ≤ 21; x ≥ 0; y ≥ 0
Sedang Contoh 7
Seorang ahli gizi ingin membuat campuran makanan dari bahan X dan Y. Setiap kg bahan X mengandung 4 unit protein dan 2 unit lemak. Setiap kg bahan Y mengandung 3 unit protein dan 5 unit lemak. Kebutuhan minimum protein adalah 24 unit dan lemak adalah 20 unit. Harga bahan X Rp8.000/kg dan Y Rp6.000/kg. Buatlah model matematika agar biaya minimum!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah kg bahan X, y = jumlah kg bahan Y
| Bahan X (x) | Bahan Y (y) | Kebutuhan Min | |
|---|---|---|---|
| Protein (unit) | 4 | 3 | 24 |
| Lemak (unit) | 2 | 5 | 20 |
| Harga/kg | Rp8.000 | Rp6.000 | — |
Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 8.000x + 6.000y
Kendala (kebutuhan minimum → tanda ≥):
- 4x + 3y ≥ 24
- 2x + 5y ≥ 20
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Minimumkan Z = 8.000x + 6.000y
Kendala: 4x + 3y ≥ 24; 2x + 5y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
Sedang Contoh 8
Sebuah toko roti memproduksi roti cokelat dan roti keju. Bahan yang diperlukan: roti cokelat membutuhkan 150 gram tepung, 50 gram cokelat, dan 30 gram gula. Roti keju membutuhkan 200 gram tepung, 40 gram keju, dan 20 gram gula. Persediaan: tepung 3.000 gram, cokelat 600 gram, keju 480 gram, gula 420 gram. Keuntungan roti cokelat Rp3.000 dan roti keju Rp3.500. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah roti cokelat, y = jumlah roti keju
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 3.000x + 3.500y
Kendala:
- 150x + 200y ≤ 3.000 (tepung)
- 50x ≤ 600 → x ≤ 12 (cokelat, hanya untuk roti cokelat)
- 40y ≤ 480 → y ≤ 12 (keju, hanya untuk roti keju)
- 30x + 20y ≤ 420 (gula)
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 3.000x + 3.500y
Kendala: 150x + 200y ≤ 3.000; x ≤ 12; y ≤ 12; 30x + 20y ≤ 420; x ≥ 0; y ≥ 0
Sedang Contoh 9
Seorang pedagang memiliki modal Rp1.200.000 dan kapasitas angkut 400 barang. Barang jenis I harganya Rp4.000 per buah dengan keuntungan Rp1.000. Barang jenis II harganya Rp2.000 per buah dengan keuntungan Rp600. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah barang I, y = jumlah barang II
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 1.000x + 600y
Kendala:
- 4.000x + 2.000y ≤ 1.200.000 → 2x + y ≤ 600 (modal)
- x + y ≤ 400 (kapasitas angkut)
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 1.000x + 600y
Kendala: 2x + y ≤ 600; x + y ≤ 400; x ≥ 0; y ≥ 0
Sedang Contoh 10
Sebuah peternakan harus menyediakan paling sedikit 12 unit vitamin A dan 8 unit vitamin B per hari untuk hewan ternaknya. Makanan jenis I mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B per kg. Makanan jenis II mengandung 2 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B per kg. Harga makanan I adalah Rp5.000/kg dan makanan II Rp7.000/kg. Buatlah model matematika agar biaya minimum!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah kg makanan I, y = jumlah kg makanan II
Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 5.000x + 7.000y
Kendala (kebutuhan minimum → tanda ≥):
- 3x + 2y ≥ 12 (vitamin A)
- x + 2y ≥ 8 (vitamin B)
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Minimumkan Z = 5.000x + 7.000y
Kendala: 3x + 2y ≥ 12; x + 2y ≥ 8; x ≥ 0; y ≥ 0
📕 Contoh Soal Sulit
Sulit Contoh 11
Sebuah perusahaan furniture memproduksi lemari dan rak buku. Data produksi sebagai berikut: lemari membutuhkan 5 jam pemotongan, 4 jam perakitan, dan 2 jam finishing. Rak buku membutuhkan 3 jam pemotongan, 6 jam perakitan, dan 3 jam finishing. Kapasitas per minggu: pemotongan 90 jam, perakitan 120 jam, finishing 60 jam. Perusahaan harus memproduksi paling sedikit 5 lemari dan 4 rak buku. Keuntungan lemari Rp200.000 dan rak buku Rp150.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah lemari, y = jumlah rak buku
| Lemari (x) | Rak Buku (y) | Kapasitas | |
|---|---|---|---|
| Pemotongan | 5 | 3 | 90 |
| Perakitan | 4 | 6 | 120 |
| Finishing | 2 | 3 | 60 |
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 200.000x + 150.000y
Kendala:
- 5x + 3y ≤ 90 (pemotongan)
- 4x + 6y ≤ 120 (perakitan)
- 2x + 3y ≤ 60 (finishing)
- x ≥ 5 (produksi minimum lemari)
- y ≥ 4 (produksi minimum rak buku)
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 200.000x + 150.000y
Kendala: 5x + 3y ≤ 90; 4x + 6y ≤ 120; 2x + 3y ≤ 60; x ≥ 5; y ≥ 4
Sulit Contoh 12
Sebuah perusahaan obat membuat dua jenis obat: tablet A dan tablet B. Untuk membuat tablet A diperlukan 2 gram bahan kimia P, 3 gram bahan kimia Q, dan 1 gram bahan kimia R. Untuk tablet B diperlukan 4 gram P, 1 gram Q, dan 2 gram R. Persediaan harian: P = 80 gram, Q = 60 gram, R = 40 gram. Perusahaan harus memproduksi minimal 5 tablet A dan minimal 3 tablet B untuk memenuhi permintaan. Keuntungan tablet A Rp10.000 dan tablet B Rp12.000. Jumlah produksi total paling banyak 30 tablet. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah tablet A, y = jumlah tablet B
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 10.000x + 12.000y
Kendala:
- 2x + 4y ≤ 80 (bahan P)
- 3x + y ≤ 60 (bahan Q)
- x + 2y ≤ 40 (bahan R)
- x + y ≤ 30 (kapasitas total)
- x ≥ 5 (permintaan minimum A)
- y ≥ 3 (permintaan minimum B)
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 10.000x + 12.000y
Kendala: 2x + 4y ≤ 80; 3x + y ≤ 60; x + 2y ≤ 40; x + y ≤ 30; x ≥ 5; y ≥ 3
Sulit Contoh 13
Sebuah rumah sakit ingin menyediakan makanan untuk pasien dengan biaya minimum. Tersedia dua jenis makanan: M1 dan M2. Setiap porsi M1 mengandung 5 unit karbohidrat, 3 unit protein, 2 unit vitamin, dan 1 unit mineral. Setiap porsi M2 mengandung 2 unit karbohidrat, 4 unit protein, 3 unit vitamin, dan 2 unit mineral. Kebutuhan minimum harian: karbohidrat 20 unit, protein 24 unit, vitamin 18 unit, mineral 10 unit. Biaya M1 = Rp15.000/porsi, M2 = Rp20.000/porsi. Porsi maksimum per hari: M1 paling banyak 8 porsi, M2 paling banyak 10 porsi. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah porsi M1, y = jumlah porsi M2
Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 15.000x + 20.000y
Kendala (kebutuhan minimum → ≥):
- 5x + 2y ≥ 20 (karbohidrat)
- 3x + 4y ≥ 24 (protein)
- 2x + 3y ≥ 18 (vitamin)
- x + 2y ≥ 10 (mineral)
- x ≤ 8 (batas porsi M1)
- y ≤ 10 (batas porsi M2)
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Minimumkan Z = 15.000x + 20.000y
Kendala: 5x + 2y ≥ 20; 3x + 4y ≥ 24; 2x + 3y ≥ 18; x + 2y ≥ 10; x ≤ 8; y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0
Sulit Contoh 14
Sebuah perusahaan transportasi memiliki dua jenis truk: truk besar dan truk kecil. Truk besar berkapasitas 6 ton dengan biaya operasional Rp500.000 per perjalanan, dan truk kecil berkapasitas 4 ton dengan biaya Rp300.000 per perjalanan. Perusahaan harus mengangkut minimal 48 ton barang. Tersedia 5 truk besar dan 8 truk kecil. Setiap truk besar memerlukan 2 sopir dan truk kecil 1 sopir. Sopir yang tersedia 14 orang. Minimumkan biaya operasional!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah perjalanan truk besar, y = jumlah perjalanan truk kecil
Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 500.000x + 300.000y
Kendala:
- 6x + 4y ≥ 48 (kapasitas angkut minimum)
- x ≤ 5 (jumlah truk besar)
- y ≤ 8 (jumlah truk kecil)
- 2x + y ≤ 14 (sopir tersedia)
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Minimumkan Z = 500.000x + 300.000y
Kendala: 6x + 4y ≥ 48; x ≤ 5; y ≤ 8; 2x + y ≤ 14; x ≥ 0; y ≥ 0
Sulit Contoh 15
Sebuah pabrik elektronik memproduksi radio dan televisi. Data produksi per unit: radio memerlukan 3 jam perakitan, 2 jam pengujian, 1 jam pengemasan. Televisi memerlukan 5 jam perakitan, 4 jam pengujian, 2 jam pengemasan. Kapasitas per minggu: perakitan 150 jam, pengujian 100 jam, pengemasan 50 jam. Jumlah produksi radio paling sedikit 2 kali produksi televisi. Total produksi minimal 20 unit. Keuntungan radio Rp300.000 dan televisi Rp800.000. Buatlah model matematikanya!
Pembahasan:
Misalkan x = jumlah radio, y = jumlah televisi
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 300.000x + 800.000y
Kendala:
- 3x + 5y ≤ 150 (perakitan)
- 2x + 4y ≤ 100 (pengujian)
- x + 2y ≤ 50 (pengemasan)
- x ≥ 2y → x − 2y ≥ 0 (radio minimal 2 kali televisi)
- x + y ≥ 20 (total produksi minimal)
Syarat: x ≥ 0, y ≥ 0
Model Matematika:
Maksimumkan Z = 300.000x + 800.000y
Kendala: 3x + 5y ≤ 150; 2x + 4y ≤ 100; x + 2y ≤ 50; x − 2y ≥ 0; x + y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari model matematika program linear, komunikasikan pemahamanmu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri apa itu model matematika program linear.
- Buatlah contoh masalah nyata di sekitarmu yang dapat dimodelkan sebagai program linear.
- Presentasikan hasil pekerjaanmu di depan kelas atau diskusikan dengan teman.
- Tuliskan langkah-langkah membuat model matematika secara sistematis.
Tips Mengkomunikasikan:
- Gunakan bahasa yang jelas dan terstruktur
- Sertakan tabel untuk mengorganisir informasi
- Tuliskan model matematika secara lengkap dengan semua komponen
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut dengan membuat model matematika yang lengkap!
📗 Latihan Soal Mudah
Mudah Soal 1
Seorang pengrajin membuat gelang dan kalung. Setiap gelang memerlukan 5 manik-manik dan setiap kalung memerlukan 8 manik-manik. Manik-manik yang tersedia 120 buah. Keuntungan gelang Rp10.000 dan kalung Rp18.000. Buatlah model matematikanya!
Mudah Soal 2
Sebuah warung makan menyediakan nasi goreng dan mie goreng. Untuk membuat nasi goreng diperlukan 200 gram beras dan mie goreng diperlukan 150 gram mie. Bahan tersedia: beras 4.000 gram dan mie 3.000 gram. Keuntungan nasi goreng Rp5.000 dan mie goreng Rp4.000. Buatlah model matematikanya!
Mudah Soal 3
Seorang tukang kebun ingin menanam bunga mawar dan melati di lahan seluas 15 m². Setiap tanaman mawar memerlukan 1 m² dan melati memerlukan 0,5 m². Keuntungan mawar Rp25.000 dan melati Rp12.000. Buatlah model matematikanya!
Mudah Soal 4
Sebuah percetakan membuat brosur dan poster. Setiap brosur memerlukan 10 menit dan poster memerlukan 15 menit. Waktu tersedia 300 menit. Keuntungan brosur Rp2.000 dan poster Rp3.500. Buatlah model matematikanya!
Mudah Soal 5
Seseorang menginvestasikan uangnya pada saham A dan saham B. Modal yang tersedia Rp10.000.000. Harga saham A Rp50.000/lembar dan saham B Rp25.000/lembar. Keuntungan saham A Rp5.000/lembar dan saham B Rp3.000/lembar. Buatlah model matematikanya!
📙 Latihan Soal Sedang
Sedang Soal 6
Sebuah pabrik roti memproduksi roti gandum dan roti putih. Roti gandum memerlukan 3 kg tepung dan 2 jam tenaga kerja. Roti putih memerlukan 2 kg tepung dan 3 jam tenaga kerja. Tersedia 36 kg tepung dan 42 jam tenaga kerja per hari. Keuntungan roti gandum Rp8.000 dan roti putih Rp7.000. Buatlah model matematikanya!
Sedang Soal 7
Seorang peternak ingin mencampur pakan A dan pakan B. Setiap kg pakan A mengandung 5 unit kalsium dan 3 unit fosfor. Setiap kg pakan B mengandung 2 unit kalsium dan 4 unit fosfor. Kebutuhan minimum: kalsium 20 unit dan fosfor 24 unit per hari. Harga pakan A Rp4.000/kg dan pakan B Rp6.000/kg. Minimumkan biaya pakan!
Sedang Soal 8
Sebuah toko menjual paket A dan paket B. Paket A berisi 3 buku tulis dan 2 pensil. Paket B berisi 1 buku tulis dan 4 pensil. Stok tersedia: 60 buku tulis dan 80 pensil. Keuntungan paket A Rp6.000 dan paket B Rp5.000. Buatlah model matematikanya!
Sedang Soal 9
Sebuah perusahaan konveksi membuat kemeja dan kaos. Kemeja memerlukan 2 m kain dan 3 jam jahit. Kaos memerlukan 1,5 m kain dan 1 jam jahit. Tersedia 60 m kain dan 45 jam jahit. Perusahaan harus membuat minimal 10 kemeja. Keuntungan kemeja Rp25.000 dan kaos Rp15.000. Buatlah model matematikanya!
Sedang Soal 10
Sebuah apotek membuat dua jenis jamu: jamu A dan jamu B. Jamu A memerlukan 4 gram jahe dan 3 gram kunyit. Jamu B memerlukan 2 gram jahe dan 5 gram kunyit. Persediaan jahe 40 gram dan kunyit 50 gram. Keuntungan jamu A Rp3.000 dan jamu B Rp4.000. Jumlah total produksi paling banyak 15 bungkus. Buatlah model matematikanya!
📕 Latihan Soal Sulit
Sulit Soal 11
Sebuah perusahaan membuat produk X dan Y menggunakan tiga mesin. Produk X memerlukan 2 jam mesin I, 4 jam mesin II, dan 3 jam mesin III. Produk Y memerlukan 3 jam mesin I, 2 jam mesin II, dan 5 jam mesin III. Kapasitas mesin I = 60 jam, mesin II = 80 jam, mesin III = 90 jam. Produksi X minimal 5 unit dan Y minimal 4 unit. Jumlah X tidak boleh melebihi 3 kali jumlah Y. Keuntungan X = Rp50.000, Y = Rp70.000. Buatlah model matematikanya!
Sulit Soal 12
Sebuah perusahaan pengiriman memiliki truk tipe A (kapasitas 8 ton, biaya Rp800.000, butuh 3 pekerja) dan truk tipe B (kapasitas 5 ton, biaya Rp500.000, butuh 2 pekerja). Harus mengangkut minimal 60 ton barang. Tersedia 6 truk A dan 10 truk B. Pekerja tersedia 30 orang. Setiap truk A memerlukan 100 liter BBM dan truk B 60 liter. BBM tersedia 900 liter. Minimumkan biaya!
Sulit Soal 13
Sebuah rumah sakit menyediakan dua jenis diet: diet I dan diet II. Diet I mengandung 6 unit protein, 3 unit karbohidrat, 4 unit serat, dan 2 unit vitamin per porsi. Diet II mengandung 3 unit protein, 5 unit karbohidrat, 2 unit serat, dan 4 unit vitamin per porsi. Kebutuhan minimum harian: protein 30 unit, karbohidrat 25 unit, serat 16 unit, vitamin 20 unit. Diet I maksimal 8 porsi, diet II maksimal 10 porsi. Biaya diet I Rp25.000 dan diet II Rp30.000. Minimumkan biaya!
Sulit Soal 14
Sebuah perusahaan memproduksi cat warna A dan B. Cat A memerlukan 4 liter bahan dasar, 2 liter pewarna, dan 1 jam pengadukan. Cat B memerlukan 3 liter bahan dasar, 3 liter pewarna, dan 2 jam pengadukan. Tersedia: bahan dasar 120 liter, pewarna 90 liter, waktu pengadukan 50 jam. Cat A minimal diproduksi 5 kaleng, cat B minimal 8 kaleng. Jumlah cat A tidak boleh lebih dari 2 kali jumlah cat B. Keuntungan cat A Rp40.000 dan cat B Rp55.000. Buatlah model matematikanya!
Sulit Soal 15
Sebuah perusahaan membuat dua jenis pupuk: pupuk organik dan pupuk kimia. Pupuk organik memerlukan 5 kg bahan A, 3 kg bahan B, 2 jam proses, dan 1 unit energi. Pupuk kimia memerlukan 2 kg bahan A, 4 kg bahan B, 4 jam proses, dan 3 unit energi. Tersedia: bahan A = 100 kg, bahan B = 84 kg, waktu proses = 80 jam, energi = 45 unit. Produksi pupuk organik minimal 3 kali produksi pupuk kimia. Total produksi minimal 15 unit. Keuntungan pupuk organik Rp20.000 dan pupuk kimia Rp35.000. Buatlah model matematikanya!
F. Rangkuman
- Model matematika program linear terdiri dari: variabel keputusan, fungsi tujuan, kendala, dan syarat non-negatif.
- Langkah membuat model: tentukan variabel → susun tabel → rumuskan fungsi tujuan → tentukan kendala → tambahkan syarat non-negatif.
- Gunakan tanda ≤ untuk batasan “paling banyak” dan ≥ untuk “paling sedikit”.
- Maksimumkan untuk keuntungan/pendapatan; Minimumkan untuk biaya/pengeluaran.
- Perhatikan kata kunci dalam soal untuk menentukan jenis kendala dan arah optimasi.