Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Syarat Tiga Titik Terletak pada Sebuah Garis
(Kolinearitas Tiga Titik)
Pengertian Tiga Titik Segaris (Kolinear)
Tiga titik dikatakan segaris (kolinear) jika ketiga titik tersebut terletak pada satu garis lurus yang sama. Artinya, tidak ada satu pun dari ketiga titik tersebut yang berada di luar garis yang dibentuk oleh dua titik lainnya.
Perhatikan ilustrasi berikut:
✓ Tiga titik segaris
✗ Tiga titik tidak segaris
Bagaimana Menentukan Tiga Titik Segaris?
Pertanyaan kunci: “Bagaimana cara membuktikan secara matematis bahwa tiga titik terletak pada satu garis lurus?”
Jawabannya menggunakan determinan matriks 3×3. Tiga titik A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), dan C(x₃, y₃) terletak pada satu garis lurus jika dan hanya jika:
Atau dapat ditulis dalam bentuk persamaan:
Penurunan Rumus dan Pemahaman Konsep
Mengapa determinan bernilai nol berarti tiga titik segaris?
Alasan geometris: Determinan matriks 3×3 di atas sebenarnya merepresentasikan dua kali luas segitiga yang dibentuk oleh ketiga titik tersebut. Jika tiga titik segaris, maka tidak terbentuk segitiga (luas = 0), sehingga determinan = 0.
Cara Menghitung Determinan 3×3
Untuk matriks:
Determinan dihitung dengan ekspansi Sarrus atau ekspansi kofaktor:
Metode Ekspansi Baris Pertama:
det = x₁(y₂·1 − 1·y₃) − y₁(x₂·1 − 1·x₃) + 1(x₂·y₃ − y₂·x₃)
det = x₁(y₂ − y₃) − y₁(x₂ − x₃) + (x₂y₃ − x₃y₂)
det = x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)
Kesimpulan: Jika hasil det = 0, maka tiga titik tersebut segaris.
Metode Alternatif: Gradien
Tiga titik A, B, C segaris jika dan hanya jika:
Dengan rumus gradien: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Catatan: Metode determinan lebih umum karena dapat menangani garis vertikal (x₁ = x₂).
Langkah-Langkah Penyelesaian
- Identifikasi koordinat ketiga titik: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)
- Susun matriks 3×3 dengan kolom: x, y, 1
- Hitung determinan matriks tersebut
- Simpulkan: Jika det = 0 → segaris; Jika det ≠ 0 → tidak segaris
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1. Tentukan apakah titik A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) segaris!
Pembahasan:
Gunakan rumus: x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)
= 1(4 − 6) + 3(6 − 2) + 5(2 − 4)
= 1(−2) + 3(4) + 5(−2)
= −2 + 12 − 10
= 0
Karena det = 0, maka titik A, B, C segaris. ✓
Contoh 2. Tentukan apakah titik P(0, 0), Q(2, 4), dan R(3, 6) segaris!
Pembahasan:
= 0(4 − 6) + 2(6 − 0) + 3(0 − 4)
= 0 + 12 − 12
= 0
Karena det = 0, maka titik P, Q, R segaris. ✓
Contoh 3. Tentukan apakah titik A(1, 1), B(2, 3), dan C(3, 5) segaris!
Pembahasan:
= 1(3 − 5) + 2(5 − 1) + 3(1 − 3)
= 1(−2) + 2(4) + 3(−2)
= −2 + 8 − 6
= 0
Karena det = 0, maka titik A, B, C segaris. ✓
Contoh 4. Tentukan apakah titik A(2, 1), B(4, 3), dan C(6, 7) segaris!
Pembahasan:
= 2(3 − 7) + 4(7 − 1) + 6(1 − 3)
= 2(−4) + 4(6) + 6(−2)
= −8 + 24 − 12
= 4
Karena det ≠ 0, maka titik A, B, C tidak segaris. ✗
Contoh 5. Tentukan apakah titik A(−1, −2), B(0, 0), dan C(2, 4) segaris!
Pembahasan:
= (−1)(0 − 4) + 0(4 − (−2)) + 2((−2) − 0)
= (−1)(−4) + 0(6) + 2(−2)
= 4 + 0 − 4
= 0
Karena det = 0, maka titik A, B, C segaris. ✓
Contoh 6. Tentukan nilai k agar titik A(1, 2), B(3, k), dan C(5, 8) segaris!
Pembahasan:
Syarat segaris: x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) = 0
1(k − 8) + 3(8 − 2) + 5(2 − k) = 0
k − 8 + 18 + 10 − 5k = 0
−4k + 20 = 0
−4k = −20
k = 5
Contoh 7. Tentukan nilai a agar titik P(2, 1), Q(a, 5), dan R(6, 9) segaris!
Pembahasan:
2(5 − 9) + a(9 − 1) + 6(1 − 5) = 0
2(−4) + a(8) + 6(−4) = 0
−8 + 8a − 24 = 0
8a − 32 = 0
8a = 32
a = 4
Contoh 8. Tentukan nilai m agar titik A(−2, m), B(1, 3), dan C(4, 7) segaris!
Pembahasan:
(−2)(3 − 7) + 1(7 − m) + 4(m − 3) = 0
(−2)(−4) + 7 − m + 4m − 12 = 0
8 + 7 − m + 4m − 12 = 0
3m + 3 = 0
3m = −3
m = −1
Contoh 9. Tiga titik A(1, −1), B(k, 3), dan C(2k+1, 7) segaris. Tentukan nilai k!
Pembahasan:
1(3 − 7) + k(7 − (−1)) + (2k+1)((−1) − 3) = 0
1(−4) + k(8) + (2k+1)(−4) = 0
−4 + 8k − 8k − 4 = 0
−8 = 0
Persamaan tidak memiliki solusi. Artinya, tidak ada nilai k yang membuat ketiga titik segaris (kontradiksi).
Catatan: Ini terjadi karena koefisien k saling menghilangkan, menghasilkan pernyataan salah.
Contoh 10. Tentukan nilai p dan q jika titik A(1, p), B(3, 5), dan C(5, q) segaris, dan diketahui p + q = 12.
Pembahasan:
Syarat segaris: 1(5 − q) + 3(q − p) + 5(p − 5) = 0
5 − q + 3q − 3p + 5p − 25 = 0
2p + 2q − 20 = 0
p + q = 10
Tetapi diketahui p + q = 12.
Karena p + q = 10 (syarat segaris) ≠ 12 (diketahui), maka tidak ada nilai p dan q yang memenuhi kedua syarat sekaligus.
Namun jika soal meminta syarat segaris saja: p + q = 10.
Dengan p + q = 12, maka ketiga titik tidak segaris untuk sembarang p, q yang memenuhi p + q = 12.
Contoh 11. Tentukan nilai a agar titik A(a², a), B(4, 2), dan C(16, 4) segaris!
Pembahasan:
a²(2 − 4) + 4(4 − a) + 16(a − 2) = 0
−2a² + 16 − 4a + 16a − 32 = 0
−2a² + 12a − 16 = 0
a² − 6a + 8 = 0
(a − 2)(a − 4) = 0
a = 2 atau a = 4
Verifikasi a = 2: A(4, 2) = B(4, 2) → titik berimpit, segaris. ✓
Verifikasi a = 4: A(16, 4) = C(16, 4) → titik berimpit, segaris. ✓
Kedua nilai valid secara matematis, namun menghasilkan titik berimpit.
Contoh 12. Titik A(2t, t+1), B(t+3, 2t), dan C(1, t) selalu segaris untuk semua nilai t. Buktikan atau sangkal pernyataan tersebut!
Pembahasan:
det = 2t(2t − t) + (t+3)(t − (t+1)) + 1((t+1) − 2t)
= 2t(t) + (t+3)(−1) + 1(1 − t)
= 2t² − t − 3 + 1 − t
= 2t² − 2t − 2
Agar segaris untuk semua t: 2t² − 2t − 2 = 0 untuk semua t → ini tidak mungkin karena merupakan fungsi kuadrat.
Pernyataan SALAH. Ketiga titik hanya segaris untuk nilai t tertentu:
t² − t − 1 = 0
t = (1 ± √5) / 2
Contoh 13. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 3) dan B(4, 9) menggunakan syarat tiga titik segaris! (Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x, y))
Pembahasan:
Titik P(x, y), A(1, 3), B(4, 9) harus segaris:
x(3 − 9) + 1(9 − y) + 4(y − 3) = 0
−6x + 9 − y + 4y − 12 = 0
−6x + 3y − 3 = 0
−2x + y − 1 = 0
y = 2x + 1
Contoh 14. Diketahui titik A(a, b), B(b, a), dan C(a+b, a−b). Tentukan syarat hubungan a dan b agar ketiga titik segaris!
Pembahasan:
det = a(a − (a−b)) + b((a−b) − b) + (a+b)(b − a)
= a(b) + b(a − 2b) + (a+b)(b − a)
= ab + ab − 2b² + ab − a² + b² − ab
= 2ab − 2b² − a² + b²
= −a² + 2ab − b²
= −(a² − 2ab + b²)
= −(a − b)²
Syarat segaris: −(a − b)² = 0
(a − b)² = 0
a = b
Jadi ketiga titik segaris jika dan hanya jika a = b.
Contoh 15. Titik-titik A(cos θ, sin θ), B(sin θ, cos θ), dan C(1, 1) segaris. Tentukan semua nilai θ yang memenuhi untuk 0° ≤ θ ≤ 360°!
Pembahasan:
cos θ(cos θ − 1) + sin θ(1 − sin θ) + 1(sin θ − cos θ) = 0
cos²θ − cos θ + sin θ − sin²θ + sin θ − cos θ = 0
(cos²θ − sin²θ) + 2sin θ − 2cos θ = 0
cos 2θ + 2sin θ − 2cos θ = 0
Gunakan: cos²θ − sin²θ = (cos θ − sin θ)(cos θ + sin θ)
(cos θ − sin θ)(cos θ + sin θ) − 2(cos θ − sin θ) = 0
(cos θ − sin θ)(cos θ + sin θ − 2) = 0
Kasus 1: cos θ − sin θ = 0 → tan θ = 1 → θ = 45° atau θ = 225°
Kasus 2: cos θ + sin θ = 2 → Nilai maksimum cos θ + sin θ = √2 < 2, maka tidak ada solusi.
Jawaban: θ = 45° atau θ = 225°
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahamanmu!
1. Tentukan apakah titik A(2, 3), B(4, 5), dan C(6, 7) segaris!
2. Tentukan apakah titik P(0, 1), Q(1, 3), dan R(2, 5) segaris!
3. Tentukan apakah titik A(−1, 0), B(1, 2), dan C(3, 5) segaris!
4. Tentukan apakah titik A(1, 4), B(2, 6), dan C(3, 8) segaris!
5. Tentukan apakah titik P(0, 0), Q(3, 3), dan R(5, 5) segaris!
6. Tentukan nilai k agar titik A(2, 3), B(4, k), dan C(6, 9) segaris!
7. Tentukan nilai a agar titik P(−1, a), Q(1, 3), dan R(3, 7) segaris!
8. Tentukan nilai m agar titik A(m, 1), B(3, 5), dan C(5, 9) segaris!
9. Titik A(1, 2), B(3, p), C(7, 10) segaris. Tentukan nilai p!
10. Tentukan nilai t agar titik A(t, 2t), B(2, 4), dan C(4, 8) segaris!
11. Tentukan nilai k agar titik A(k², 2k), B(1, 2), dan C(4, 4) segaris!
12. Buktikan bahwa titik A(a, a²), B(b, b²), dan C(c, c²) segaris jika dan hanya jika a + b + c = 0 dan a = b = c (cari syarat yang benar)!
13. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, −1) dan (5, 8) menggunakan metode tiga titik segaris!
14. Titik A(cos α, sin α), B(cos β, sin β), dan C(cos γ, sin γ) segaris dengan α + β + γ = π. Tentukan syarat yang dipenuhi!
15. Tentukan semua nilai m agar titik A(m, m+1), B(m+1, m+3), dan C(m+3, m+k) segaris untuk sembarang m. Tentukan nilai k!