Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Luas Segi Banyak
(Luas Poligon)
📐 Materi: Luas Segi Banyak
A. Pengertian Segi Banyak (Poligon)
Segi banyak (poligon) adalah bangun datar tertutup yang dibatasi oleh tiga atau lebih ruas garis lurus. Contoh segi banyak: segitiga, segiempat, segilima, segienam, dan seterusnya.
Luas segi banyak adalah besarnya daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi segi banyak tersebut. Untuk menghitung luas segi banyak, kita dapat membagi (mempartisi) segi banyak menjadi bangun-bangun dasar yang sudah diketahui rumus luasnya, seperti segitiga, persegi, persegi panjang, trapesium, dan jajar genjang.
Rumus-rumus Dasar yang Digunakan:
- Luas Segitiga = ½ × alas × tinggi
- Luas Persegi = sisi × sisi
- Luas Persegi Panjang = panjang × lebar
- Luas Trapesium = ½ × (jumlah sisi sejajar) × tinggi
- Luas Jajar Genjang = alas × tinggi
🔍 Kegiatan: Mengamati
Amatilah gambar segi banyak berikut. Perhatikan bagaimana segi banyak tersebut dapat dipecah menjadi bangun-bangun dasar.
Dengan menarik diagonal dari satu titik sudut, segilima dipecah menjadi 3 segitiga. Luas segilima = jumlah luas ketiga segitiga tersebut.
B. Metode Menghitung Luas Segi Banyak
1. Metode Partisi (Pemecahan)
Segi banyak dipecah menjadi beberapa bangun dasar (segitiga, persegi panjang, trapesium, dll). Luas segi banyak = jumlah luas semua bagian.
2. Metode Pengurangan
Segi banyak diapit oleh bangun yang lebih besar (biasanya persegi panjang), kemudian luas bagian yang tidak termasuk dikurangkan.
Luas Segi Banyak = Luas Bangun Besar − Luas Bagian yang Dikurangkan
3. Metode Koordinat (Rumus Shoelace / Tali Sepatu)
Jika titik-titik sudut segi banyak diketahui koordinatnya (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (xₙ,yₙ), maka:
Rumus Shoelace:
L = ½ |Σ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|
dengan (xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)
Atau secara lebih rinci:
L = ½ |(x₁y₂ − x₂y₁) + (x₂y₃ − x₃y₂) + … + (xₙy₁ − x₁yₙ)|
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, tanyakan pada diri sendiri:
- Bagaimana cara menentukan partisi yang tepat untuk segi banyak yang rumit?
- Kapan metode pengurangan lebih efektif daripada metode partisi?
- Apakah rumus Shoelace berlaku untuk semua jenis segi banyak?
- Bagaimana jika segi banyak memiliki sisi yang melengkung?
C. Luas Segi Banyak Beraturan
Segi banyak beraturan memiliki semua sisi sama panjang dan semua sudut sama besar. Luasnya dapat dihitung dengan rumus khusus.
Rumus Luas Segi-n Beraturan dengan sisi s:
L = (n × s²) / (4 × tan(π/n))
Keterangan: n = jumlah sisi, s = panjang sisi
Atau jika diketahui jari-jari lingkaran luar (R):
L = ½ × n × R² × sin(2π/n)
| Segi-n | n | Rumus Luas (sisi = s) |
|---|---|---|
| Segitiga sama sisi | 3 | L = (√3/4) × s² |
| Persegi | 4 | L = s² |
| Segilima beraturan | 5 | L = (s²/4)√(25 + 10√5) |
| Segienam beraturan | 6 | L = (3√3/2) × s² |
| Segidelapan beraturan | 8 | L = 2(1 + √2) × s² |
💡 Kegiatan: Menalar
Cobalah untuk menalar hubungan berikut:
- Segienam beraturan dapat dipecah menjadi 6 segitiga sama sisi. Jika sisi segienam = s, maka luas = 6 × (√3/4)s² = (3√3/2)s². Buktikan bahwa ini sesuai dengan rumus umum!
- Semakin banyak sisi segi-n beraturan, luasnya semakin mendekati luas lingkaran. Mengapa demikian?
- Jika dua segi banyak memiliki keliling yang sama, apakah luasnya pasti sama? Berikan alasanmu.
D. Penerapan Rumus Shoelace (Detail)
Langkah-langkah menggunakan rumus Shoelace:
- Tulis koordinat titik-titik sudut secara berurutan (searah jarum jam atau berlawanan).
- Ulangi titik pertama di baris terakhir.
- Kalikan silang: setiap xᵢ dengan yᵢ₊₁ (arah ↘) dan setiap xᵢ₊₁ dengan yᵢ (arah ↗).
- Jumlahkan masing-masing hasil perkalian silang.
- Luas = ½ |selisih kedua jumlah|.
Contoh Tabel Shoelace untuk segiempat (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃), (x₄,y₄):
| Titik | xᵢ | yᵢ | xᵢ·yᵢ₊₁ | xᵢ₊₁·yᵢ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | x₁ | y₁ | x₁·y₂ | x₂·y₁ |
| 2 | x₂ | y₂ | x₂·y₃ | x₃·y₂ |
| 3 | x₃ | y₃ | x₃·y₄ | x₄·y₃ |
| 4 | x₄ | y₄ | x₄·y₁ | x₁·y₄ |
| Jumlah | Σ₁ | Σ₂ | ||
Luas = ½ |Σ₁ − Σ₂|
🔧 Kegiatan: Mencoba
Coba hitung luas segi banyak berikut menggunakan metode yang telah dipelajari:
Soal: Tentukan luas segiempat dengan titik sudut A(1,1), B(5,1), C(6,4), D(2,5).
Penyelesaian dengan Shoelace:
| Titik | x | y | x·y(bawah) | x(bawah)·y |
|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 1 | 1×1=1 | 5×1=5 |
| B | 5 | 1 | 5×4=20 | 6×1=6 |
| C | 6 | 4 | 6×5=30 | 2×4=8 |
| D | 2 | 5 | 2×1=2 | 1×5=5 |
| Jumlah | 53 | 24 | ||
L = ½ |53 − 24| = ½ × 29 = 14,5 satuan luas
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dan presentasikan:
- Jelaskan kepada temanmu mengapa metode partisi selalu menghasilkan luas yang sama meskipun cara mempartisinya berbeda.
- Buatlah poster yang menjelaskan langkah-langkah rumus Shoelace dengan contoh yang mudah dipahami.
- Bandingkan keuntungan dan kerugian dari ketiga metode (partisi, pengurangan, koordinat) dalam bentuk tabel.
E. Segi Banyak Gabungan (Komposit)
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai bentuk-bentuk yang merupakan gabungan dari beberapa bangun datar dasar. Contoh: denah rumah berbentuk huruf L, T, atau U.
Strategi Menghitung Luas Bangun Gabungan:
- Identifikasi bangun-bangun dasar pembentuknya.
- Tentukan ukuran masing-masing bangun dasar.
- Hitung luas setiap bangun dasar.
- Jumlahkan (jika metode partisi) atau kurangkan (jika metode pengurangan).
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Contoh 1:
Sebuah segi banyak berbentuk huruf L tersusun dari dua persegi panjang. Persegi panjang pertama berukuran 8 cm × 4 cm dan persegi panjang kedua berukuran 5 cm × 3 cm. Tentukan luas segi banyak tersebut!
Pembahasan:
Luas persegi panjang 1 = 8 × 4 = 32 cm²
Luas persegi panjang 2 = 5 × 3 = 15 cm²
Luas segi banyak = 32 + 15 = 47 cm²
Contoh 2:
Sebuah segilima dibentuk oleh persegi dengan sisi 6 cm dan segitiga sama kaki di atasnya dengan tinggi 4 cm. Hitung luas segilima tersebut!
Pembahasan:
Luas persegi = 6 × 6 = 36 cm²
Luas segitiga = ½ × 6 × 4 = 12 cm²
Luas segilima = 36 + 12 = 48 cm²
Contoh 3:
Hitung luas segienam beraturan dengan panjang sisi 4 cm!
Pembahasan:
L = (3√3/2) × s²
L = (3√3/2) × 4² = (3√3/2) × 16 = 24√3
L ≈ 24 × 1,732 ≈ 41,57 cm²
Contoh 4:
Sebuah segi banyak terdiri dari persegi panjang 10 cm × 6 cm dengan segitiga dipotong di salah satu sudutnya. Segitiga tersebut memiliki alas 3 cm dan tinggi 4 cm. Hitung luas segi banyak!
Pembahasan:
Luas persegi panjang = 10 × 6 = 60 cm²
Luas segitiga yang dipotong = ½ × 3 × 4 = 6 cm²
Luas segi banyak = 60 − 6 = 54 cm²
Contoh 5:
Tentukan luas segiempat dengan titik sudut A(0,0), B(6,0), C(6,4), D(0,4) menggunakan rumus Shoelace!
Pembahasan:
Σ₁ = (0×0) + (6×4) + (6×4) + (0×0) = 0 + 24 + 24 + 0 = 48
Σ₂ = (6×0) + (6×0) + (0×4) + (0×4) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Tunggu, mari kita hitung ulang dengan benar:
Σ₁ = x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁ = 0(0) + 6(4) + 6(4) + 0(0) = 0 + 24 + 24 + 0 = 48
Σ₂ = x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄ = 6(0) + 6(0) + 0(4) + 0(4) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
L = ½|48 − 0| = 24 satuan luas
(Verifikasi: ini persegi panjang 6×4, luas = 24 ✓)
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Contoh 6:
Sebuah tanah berbentuk segilima dengan titik sudut A(0,0), B(8,0), C(10,5), D(5,9), E(0,6). Hitung luas tanah tersebut menggunakan rumus Shoelace!
Pembahasan:
Σ₁ = x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₅ + x₅y₁
= 0(0) + 8(5) + 10(9) + 5(6) + 0(0)
= 0 + 40 + 90 + 30 + 0 = 160
Σ₂ = x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₅y₄ + x₁y₅
= 8(0) + 10(0) + 5(5) + 0(9) + 0(6)
= 0 + 0 + 25 + 0 + 0 = 25
L = ½|160 − 25| = ½ × 135 = 67,5 satuan luas
Contoh 7:
Sebuah taman berbentuk huruf T. Bagian atas berupa persegi panjang 12 m × 3 m. Bagian bawah berupa persegi panjang 4 m × 8 m. Hitung luas taman!
Pembahasan:
Luas bagian atas = 12 × 3 = 36 m²
Luas bagian bawah = 4 × 8 = 32 m²
Luas taman = 36 + 32 = 68 m²
Contoh 8:
Segi banyak ABCDEF memiliki koordinat: A(1,1), B(7,1), C(7,4), D(5,4), E(5,6), F(1,6). Hitung luasnya!
Pembahasan:
Σ₁ = 1(1) + 7(4) + 7(4) + 5(6) + 5(6) + 1(1)
= 1 + 28 + 28 + 30 + 30 + 1 = 118
Σ₂ = 7(1) + 7(1) + 5(4) + 5(4) + 1(6) + 1(6)
= 7 + 7 + 20 + 20 + 6 + 6 = 66
L = ½|118 − 66| = ½ × 52 = 26 satuan luas
Verifikasi: Bangun ini berbentuk L. Persegi panjang besar 6×5=30, dikurangi persegi kecil 2×2=4, luas = 26 ✓
Contoh 9:
Sebuah kolam berbentuk segidelapan beraturan dengan sisi 3 m. Hitung luas kolam!
Pembahasan:
L = 2(1 + √2) × s²
L = 2(1 + 1,414) × 3²
L = 2 × 2,414 × 9
L = 4,828 × 9 = 43,46 m²
Contoh 10:
Sebuah segi banyak terdiri dari trapesium (sisi sejajar 10 cm dan 6 cm, tinggi 4 cm) dengan segitiga di atasnya (alas 6 cm, tinggi 3 cm). Hitung luas total!
Pembahasan:
Luas trapesium = ½ × (10 + 6) × 4 = ½ × 16 × 4 = 32 cm²
Luas segitiga = ½ × 6 × 3 = 9 cm²
Luas total = 32 + 9 = 41 cm²
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Contoh 11:
Sebuah lahan berbentuk segi tujuh memiliki koordinat: A(0,0), B(4,0), C(7,2), D(8,6), E(5,8), F(2,7), G(−1,4). Hitung luas lahan!
Pembahasan:
Σ₁ = x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₅ + x₅y₆ + x₆y₇ + x₇y₁
= 0(0) + 4(2) + 7(6) + 8(8) + 5(7) + 2(4) + (−1)(0)
= 0 + 8 + 42 + 64 + 35 + 8 + 0 = 157
Σ₂ = x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₅y₄ + x₆y₅ + x₇y₆ + x₁y₇
= 4(0) + 7(0) + 8(2) + 5(6) + 2(8) + (−1)(7) + 0(4)
= 0 + 0 + 16 + 30 + 16 + (−7) + 0 = 55
L = ½|157 − 55| = ½ × 102 = 51 satuan luas
Contoh 12:
Sebuah ruangan berbentuk segi banyak terdiri dari: persegi panjang 12 m × 8 m, dikurangi sebuah segitiga siku-siku dengan kaki 4 m dan 3 m di sudut kanan atas, dan ditambah setengah lingkaran berdiameter 4 m di sisi kiri. Hitung luas ruangan! (π = 3,14)
Pembahasan:
Luas persegi panjang = 12 × 8 = 96 m²
Luas segitiga yang dipotong = ½ × 4 × 3 = 6 m²
Luas setengah lingkaran = ½ × π × r² = ½ × 3,14 × 2² = ½ × 3,14 × 4 = 6,28 m²
Luas ruangan = 96 − 6 + 6,28 = 96,28 m²
Contoh 13:
Sebuah logo berbentuk bintang segi lima (pentagram) terdiri dari segilima beraturan di tengah dengan sisi 5 cm, dan 5 segitiga sama kaki di setiap sisinya. Setiap segitiga memiliki alas 5 cm dan tinggi 6,88 cm. Hitung luas logo!
Pembahasan:
Luas segilima beraturan = (s²/4)√(25 + 10√5)
= (25/4)√(25 + 22,36) = (25/4)√47,36 = (25/4) × 6,88 = 43,01 cm²
Luas 1 segitiga = ½ × 5 × 6,88 = 17,2 cm²
Luas 5 segitiga = 5 × 17,2 = 86 cm²
Luas logo = 43,01 + 86 = 129,01 cm²
Contoh 14:
Sebidang tanah berbentuk segi enam tidak beraturan diukur dengan membaginya menjadi 4 segitiga. Koordinat titik sudutnya: P(0,0), Q(10,0), R(14,6), S(12,12), T(4,14), U(−2,8). Gunakan rumus Shoelace untuk menghitung luasnya!
Pembahasan:
Σ₁ = 0(0) + 10(6) + 14(12) + 12(14) + 4(8) + (−2)(0)
= 0 + 60 + 168 + 168 + 32 + 0 = 428
Σ₂ = 10(0) + 14(0) + 12(6) + 4(12) + (−2)(14) + 0(8)
= 0 + 0 + 72 + 48 + (−28) + 0 = 92
L = ½|428 − 92| = ½ × 336 = 168 satuan luas
Contoh 15:
Sebuah denah bangunan berbentuk segi banyak terdiri dari: persegi 10 m × 10 m di bagian utama, trapesium (sisi sejajar 10 m dan 6 m, tinggi 4 m) di sisi kanan, dan segitiga sama kaki (alas 10 m, tinggi 5 m) di bagian atas. Di bagian tengah terdapat halaman persegi 3 m × 3 m yang dikurangi. Hitung luas bangunan!
Pembahasan:
Luas persegi utama = 10 × 10 = 100 m²
Luas trapesium = ½ × (10 + 6) × 4 = 32 m²
Luas segitiga = ½ × 10 × 5 = 25 m²
Luas halaman = 3 × 3 = 9 m²
Luas bangunan = 100 + 32 + 25 − 9 = 148 m²
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Latihan Mudah (1–5)
1.
Sebuah segi banyak terdiri dari persegi panjang 9 cm × 5 cm dan segitiga dengan alas 5 cm dan tinggi 4 cm yang menempel di sisi atas. Hitung luas segi banyak tersebut!
2.
Hitung luas segitiga sama sisi dengan sisi 10 cm!
3.
Sebuah bangun berbentuk huruf L tersusun dari dua persegi: satu persegi 5 cm × 5 cm dan satu persegi panjang 5 cm × 3 cm. Hitung luasnya!
4.
Hitunglah luas segienam beraturan dengan sisi 6 cm!
5.
Sebuah segiempat memiliki koordinat A(0,0), B(5,0), C(5,3), D(0,3). Hitung luasnya dengan rumus Shoelace!
🟡 Latihan Sedang (6–10)
6.
Sebuah taman berbentuk segilima memiliki koordinat: A(0,0), B(6,0), C(8,4), D(4,7), E(0,5). Hitung luas taman menggunakan rumus Shoelace!
7.
Sebuah ruangan berbentuk huruf U terdiri dari tiga persegi panjang: dua tegak berukuran 3 m × 8 m dan satu mendatar berukuran 10 m × 3 m. Hitung luas lantai ruangan!
8.
Sebuah plang jalan berbentuk segilima (persegi panjang 30 cm × 20 cm dengan segitiga di sisi kanan, tinggi segitiga = 20 cm dan panjang tambahan = 10 cm). Hitung luas plang!
9.
Hitung luas segidelapan beraturan dengan sisi 5 cm!
10.
Sebuah segi enam memiliki titik sudut: A(1,0), B(5,0), C(7,3), D(5,6), E(1,6), F(−1,3). Hitung luasnya!
🔴 Latihan Sulit (11–15)
11.
Sebuah lahan berbentuk segi delapan tidak beraturan memiliki koordinat: A(0,0), B(5,0), C(8,3), D(9,7), E(7,10), F(3,11), G(0,8), H(−1,4). Hitung luasnya!
12.
Sebuah gedung memiliki denah gabungan: persegi panjang 20 m × 15 m, dikurangi dua segitiga siku-siku (kaki 3 m dan 4 m) di dua sudut, ditambah trapesium (sejajar 8 m dan 12 m, tinggi 5 m) di sisi depan. Hitung luas total!
13.
Sebuah meja berbentuk segienam tidak beraturan dipecah menjadi: 2 trapesium dan 1 segitiga. Trapesium 1 (sejajar 12 cm dan 8 cm, tinggi 5 cm), Trapesium 2 (sejajar 8 cm dan 6 cm, tinggi 4 cm), Segitiga (alas 6 cm, tinggi 7 cm). Hitung luas meja!
14.
Sebuah logo perusahaan berbentuk bintang segi enam (hexagram) yang terdiri dari segienam beraturan sisi 4 cm di tengah dan 6 segitiga sama sisi sisi 4 cm di setiap sisinya. Hitung luas total logo!
15.
Seorang arsitek merancang taman dengan bentuk segi-10 tidak beraturan. Koordinat titik sudutnya: A(0,0), B(3,−1), C(6,0), D(8,3), E(7,6), F(5,8), G(3,9), H(1,8), I(−1,6), J(−1,3). Hitung luas taman menggunakan rumus Shoelace!