Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Syarat Agar Tiga Buah Garis Berpotongan di Satu Titik
A. Pendahuluan
Dalam geometri analitik, tiga buah garis lurus dikatakan konkuren (berpotongan di satu titik) apabila ketiga garis tersebut memiliki tepat satu titik potong yang sama. Syarat ini sangat penting dalam berbagai penerapan matematika, termasuk pembuktian geometri dan penyelesaian sistem persamaan linear.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tiga garis berikut:
- Garis 1: x + y = 2
- Garis 2: 2x − y = 1
- Garis 3: x − 2y = −1
Jika kita cari titik potong garis 1 dan garis 2, apakah titik tersebut juga terletak pada garis 3? Amati dan catat hasilnya.
B. Konsep Utama
Diberikan tiga garis lurus:
g₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0
g₂ : a₂x + b₂y + c₂ = 0
g₃ : a₃x + b₃y + c₃ = 0
Ketiga garis tersebut berpotongan di satu titik (konkuren) jika dan hanya jika memenuhi salah satu syarat berikut:
Syarat 1: Metode Substitusi
Titik potong dua garis (misalnya g₁ dan g₂) juga memenuhi persamaan garis ketiga (g₃). Artinya, kita cari titik potong g₁ dan g₂, lalu substitusikan ke g₃. Jika memenuhi, maka ketiga garis konkuren.
Syarat 2: Determinan Matriks Koefisien = 0
Ketiga garis berpotongan di satu titik jika determinan matriks koefisien sama dengan nol:
Dengan perhitungan determinan menggunakan metode Sarrus:
D = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂) = 0
Kegiatan: Menanya
Mengapa determinan matriks koefisien harus sama dengan nol agar tiga garis berpotongan di satu titik? Apa hubungan antara sistem persamaan linear tiga variabel dengan konsep konkuren?
Petunjuk: Pikirkan bahwa tiga garis konkuren berarti sistem tiga persamaan memiliki solusi tunggal yang konsisten, namun karena hanya ada 2 variabel (x dan y) dan 3 persamaan, sistem tersebut harus bersifat dependen (salah satu persamaan bergantung pada dua lainnya).
Syarat 3: Kombinasi Linear
Tiga garis g₁, g₂, dan g₃ berpotongan di satu titik jika terdapat konstanta λ dan μ (tidak keduanya nol) sehingga:
g₃ = λ · g₁ + μ · g₂
Artinya persamaan garis ketiga merupakan kombinasi linear dari dua garis lainnya.
Kegiatan: Menalar
Jelaskan mengapa ketiga syarat di atas ekuivalen (saling setara). Hubungkan antara:
- Titik potong dua garis memenuhi garis ketiga
- Determinan koefisien = 0
- Salah satu garis merupakan kombinasi linear dua garis lainnya
C. Langkah-Langkah Penyelesaian
Metode 1: Substitusi Titik Potong
- Tentukan titik potong dua garis (misalnya g₁ dan g₂) menggunakan eliminasi atau substitusi.
- Substitusikan koordinat titik potong tersebut ke persamaan garis ketiga (g₃).
- Jika persamaan g₃ terpenuhi (ruas kiri = ruas kanan), maka ketiga garis konkuren.
Metode 2: Determinan
- Tulis ketiga persamaan garis dalam bentuk ax + by + c = 0.
- Susun matriks koefisien 3×3.
- Hitung determinan matriks tersebut.
- Jika determinan = 0, maka ketiga garis konkuren.
Kegiatan: Mencoba
Coba buktikan bahwa tiga garis berikut berpotongan di satu titik menggunakan kedua metode:
- g₁ : 2x + 3y − 12 = 0
- g₂ : x − y − 1 = 0
- g₃ : 3x + 2y − 13 = 0
Bandingkan hasil kedua metode. Apakah keduanya memberikan kesimpulan yang sama?
D. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Contoh 1:
Buktikan bahwa tiga garis berikut berpotongan di satu titik:
- g₁ : x + y = 4
- g₂ : x − y = 2
- g₃ : 2x + y = 7
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik potong g₁ dan g₂.
x + y = 4 … (1)
x − y = 2 … (2)
Jumlahkan (1) dan (2): 2x = 6 → x = 3
Substitusi ke (1): 3 + y = 4 → y = 1
Langkah 2: Titik potong g₁ dan g₂ adalah (3, 1).
Langkah 3: Substitusi (3, 1) ke g₃: 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 ✓
Kesimpulan: Karena titik (3, 1) memenuhi g₃, maka ketiga garis berpotongan di satu titik (3, 1).
Contoh 2:
Tentukan apakah tiga garis berikut konkuren:
- g₁ : 2x + y = 5
- g₂ : x − y = 1
- g₃ : 3x + 2y = 8
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik potong g₁ dan g₂.
2x + y = 5 … (1)
x − y = 1 … (2)
Dari (2): x = y + 1, substitusi ke (1): 2(y+1) + y = 5 → 3y + 2 = 5 → y = 1
x = 1 + 1 = 2. Titik potong: (2, 1)
Langkah 2: Substitusi (2, 1) ke g₃: 3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8 ✓
Kesimpulan: Ketiga garis konkuren di titik (2, 1).
Contoh 3:
Gunakan metode determinan untuk menunjukkan bahwa tiga garis berikut konkuren:
- g₁ : x + 2y − 5 = 0
- g₂ : 2x + y − 4 = 0
- g₃ : x − y + 1 = 0
Pembahasan:
Susun determinan:
D = 1(1·1 − (−4)(−1)) − 2(2·1 − (−4)·1) + (−5)(2·(−1) − 1·1)
D = 1(1 − 4) − 2(2 + 4) + (−5)(−2 − 1)
D = 1(−3) − 2(6) + (−5)(−3)
D = −3 − 12 + 15 = 0
Karena D = 0, ketiga garis berpotongan di satu titik.
Contoh 4:
Tentukan nilai k agar tiga garis berikut berpotongan di satu titik:
- g₁ : x + y − 3 = 0
- g₂ : 2x − y − 3 = 0
- g₃ : kx + y − 5 = 0
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik potong g₁ dan g₂.
x + y = 3 dan 2x − y = 3
Jumlahkan: 3x = 6 → x = 2, y = 1
Langkah 2: Substitusi (2, 1) ke g₃:
k(2) + 1 − 5 = 0
2k − 4 = 0
k = 2
Jadi, k = 2.
Contoh 5:
Tunjukkan bahwa tiga garis y = 2x − 1, y = −x + 5, dan y = x + 1 berpotongan di satu titik.
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik potong g₁ dan g₂.
2x − 1 = −x + 5
3x = 6 → x = 2, y = 2(2) − 1 = 3
Langkah 2: Substitusi (2, 3) ke g₃: y = x + 1 → 3 = 2 + 1 = 3 ✓
Ketiga garis berpotongan di titik (2, 3).
📙 Contoh Soal Sedang
Contoh 6:
Tentukan nilai a dan b agar tiga garis berikut berpotongan di satu titik:
- g₁ : 2x + 3y = 12
- g₂ : x − y = 1
- g₃ : ax + by = 7
dengan syarat a + b = 5.
Pembahasan:
Langkah 1: Cari titik potong g₁ dan g₂.
Dari g₂: x = y + 1. Substitusi ke g₁: 2(y+1) + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2, x = 3
Langkah 2: Substitusi (3, 2) ke g₃: 3a + 2b = 7 … (i)
Langkah 3: Gunakan syarat a + b = 5 → b = 5 − a … (ii)
Substitusi (ii) ke (i): 3a + 2(5−a) = 7 → 3a + 10 − 2a = 7 → a = −3
b = 5 − (−3) = 8
Jadi, a = −3 dan b = 8.
Contoh 7:
Dengan metode determinan, tentukan nilai p agar tiga garis berikut konkuren:
- g₁ : 3x − 2y + 1 = 0
- g₂ : 2x + y − 5 = 0
- g₃ : x + py − 3 = 0
Pembahasan:
Syarat konkuren: determinan = 0
D = 3(1·(−3) − (−5)·p) − (−2)(2·(−3) − (−5)·1) + 1(2·p − 1·1)
D = 3(−3 + 5p) + 2(−6 + 5) + (2p − 1)
D = −9 + 15p + 2(−1) + 2p − 1
D = −9 + 15p − 2 + 2p − 1 = 17p − 12
17p − 12 = 0 → p = 12/17
Jadi, p = 12/17.
Contoh 8:
Tunjukkan dengan metode kombinasi linear bahwa g₃ = 2g₁ − g₂ untuk:
- g₁ : x + y − 3 = 0
- g₂ : x − y + 1 = 0
- g₃ : x + 3y − 7 = 0
Pembahasan:
Hitung 2g₁ − g₂:
= 2(x + y − 3) − (x − y + 1)
= 2x + 2y − 6 − x + y − 1
= x + 3y − 7
Ini sama dengan g₃ ✓
Karena g₃ merupakan kombinasi linear dari g₁ dan g₂, maka ketiga garis konkuren.
Verifikasi: Titik potong g₁ dan g₂: x + y = 3 dan x − y = −1 → 2x = 2 → x = 1, y = 2. Cek g₃: 1 + 3(2) − 7 = 0 ✓
Contoh 9:
Diketahui tiga garis:
- g₁ : 3x + 4y = 10
- g₂ : 2x − y = 1
- g₃ : mx + 2y = 6
Tentukan nilai m agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kemudian tentukan titik potongnya.
Pembahasan:
Langkah 1: Titik potong g₁ dan g₂.
Dari g₂: y = 2x − 1. Substitusi ke g₁: 3x + 4(2x−1) = 10 → 11x = 14 → x = 14/11
y = 2(14/11) − 1 = 28/11 − 11/11 = 17/11
Langkah 2: Substitusi (14/11, 17/11) ke g₃:
m(14/11) + 2(17/11) = 6
14m/11 + 34/11 = 6
14m + 34 = 66
14m = 32 → m = 32/14 = 16/7
Jadi, m = 16/7 dan titik potong di (14/11, 17/11).
Contoh 10:
Buktikan bahwa garis-garis x + 2y = 7, 3x − y = 7, dan 5x + y = 13 berpotongan di satu titik menggunakan metode determinan.
Pembahasan:
Tulis dalam bentuk ax + by + c = 0:
x + 2y − 7 = 0
3x − y − 7 = 0
5x + y − 13 = 0
D = 1((−1)(−13) − (−7)(1)) − 2(3(−13) − (−7)(5)) + (−7)(3(1) − (−1)(5))
D = 1(13 + 7) − 2(−39 + 35) + (−7)(3 + 5)
D = 20 − 2(−4) + (−7)(8)
D = 20 + 8 − 56 = −28
D ≠ 0, maka ketiga garis TIDAK berpotongan di satu titik.
Verifikasi: Titik potong g₁ dan g₂: x + 2y = 7 dan 3x − y = 7. Dari g₂: y = 3x − 7. Substitusi: x + 2(3x−7) = 7 → 7x = 21 → x = 3, y = 2. Cek g₃: 5(3) + 2 = 17 ≠ 13. Terbukti tidak konkuren.
📕 Contoh Soal Sulit
Contoh 11:
Tentukan semua nilai m agar garis-garis berikut berpotongan di satu titik:
- g₁ : mx + 2y − (m+4) = 0
- g₂ : (m−1)x + y − (m+1) = 0
- g₃ : x + my − (2m+1) = 0
Pembahasan:
Gunakan syarat determinan = 0:
D = m[1·(−(2m+1)) − (−(m+1))·m] − 2[(m−1)(−(2m+1)) − (−(m+1))·1] + (−(m+4))[(m−1)·m − 1·1]
D = m[−2m−1 + m² + m] − 2[−(m−1)(2m+1) + (m+1)] − (m+4)[m² − m − 1]
D = m[m² − m − 1] − 2[−(2m² − m − 1) + m + 1] − (m+4)(m² − m − 1)
D = m(m² − m − 1) − 2[−2m² + m + 1 + m + 1] − (m+4)(m² − m − 1)
D = m(m² − m − 1) − 2(−2m² + 2m + 2) − (m+4)(m² − m − 1)
D = (m² − m − 1)[m − (m+4)] + 4m² − 4m − 4
D = (m² − m − 1)(−4) + 4m² − 4m − 4
D = −4m² + 4m + 4 + 4m² − 4m − 4 = 0 ✓
Determinan selalu = 0 untuk semua nilai m. Artinya untuk setiap nilai m, ketiga garis selalu berpotongan di satu titik (asalkan garis-garis tersebut tidak sejajar).
Catatan: Perlu diperiksa bahwa garis-garis tidak sejajar atau berimpit untuk nilai m tertentu.
Contoh 12:
Tentukan nilai a agar garis y = ax + 1, garis 2x + 3y = 12, dan garis yang melalui titik (1, 2) dan (4, 5) berpotongan di satu titik.
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan persamaan garis melalui (1,2) dan (4,5).
Gradien = (5−2)/(4−1) = 1
y − 2 = 1(x − 1) → y = x + 1 → x − y + 1 = 0
Langkah 2: Cari titik potong g₂ dan g₃.
g₂: 2x + 3y = 12 dan g₃: x − y = −1 → x = y − 1
2(y−1) + 3y = 12 → 5y = 14 → y = 14/5
x = 14/5 − 1 = 9/5. Titik: (9/5, 14/5)
Langkah 3: Substitusi ke g₁: y = ax + 1
14/5 = a(9/5) + 1
14/5 − 1 = 9a/5
9/5 = 9a/5 → a = 1
Jadi, a = 1.
Perhatikan bahwa g₁ menjadi y = x + 1, yang sama dengan g₃. Ini berarti g₁ dan g₃ berimpit, sehingga setiap titik pada g₃ (termasuk titik potong dengan g₂) juga pada g₁. Ketiga garis memang konkuren.
Contoh 13:
Tiga garis membentuk segitiga jika tidak ada dua garis yang sejajar dan ketiganya tidak konkuren. Tentukan syarat pada k agar garis-garis berikut membentuk segitiga:
- g₁ : x + 2y = 4
- g₂ : 2x − y = 3
- g₃ : kx + y = 5
Pembahasan:
Syarat membentuk segitiga: Tidak ada garis sejajar DAN tidak konkuren (D ≠ 0).
Cek sejajar:
g₁ dan g₂: gradien g₁ = −1/2, gradien g₂ = 2. Tidak sejajar ✓
g₁ dan g₃: gradien g₃ = −k. Sejajar jika −k = −1/2 → k = 1/2
g₂ dan g₃: Sejajar jika −k = 2 → k = −2
Cek konkuren (D = 0):
x + 2y − 4 = 0; 2x − y − 3 = 0; kx + y − 5 = 0
D = 1(−1·(−5) − (−3)·1) − 2(2·(−5) − (−3)·k) + (−4)(2·1 − (−1)·k)
D = 1(5 + 3) − 2(−10 + 3k) + (−4)(2 + k)
D = 8 − 2(−10 + 3k) − 4(2 + k)
D = 8 + 20 − 6k − 8 − 4k = 20 − 10k
D = 0 → k = 2
Syarat membentuk segitiga: k ≠ 1/2, k ≠ −2, dan k ≠ 2.
Contoh 14:
Buktikan bahwa garis-garis yang menghubungkan titik sudut segitiga ABC ke titik tengah sisi di hadapannya (median) berpotongan di satu titik, jika A = (0, 0), B = (6, 0), C = (2, 4).
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan titik tengah tiap sisi.
M_BC = ((6+2)/2, (0+4)/2) = (4, 2)
M_AC = ((0+2)/2, (0+4)/2) = (1, 2)
M_AB = ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3, 0)
Langkah 2: Persamaan median.
Median dari A ke M_BC: melalui (0,0) dan (4,2) → y = x/2 → x − 2y = 0
Median dari B ke M_AC: melalui (6,0) dan (1,2) → gradien = (2−0)/(1−6) = −2/5
y − 0 = −2/5(x − 6) → 5y = −2x + 12 → 2x + 5y − 12 = 0
Median dari C ke M_AB: melalui (2,4) dan (3,0) → gradien = (0−4)/(3−2) = −4
y − 0 = −4(x − 3) → y = −4x + 12 → 4x + y − 12 = 0
Langkah 3: Cari titik potong median 1 dan median 2.
x − 2y = 0 → x = 2y
2(2y) + 5y = 12 → 9y = 12 → y = 4/3, x = 8/3
Langkah 4: Cek di median 3: 4(8/3) + 4/3 − 12 = 32/3 + 4/3 − 12 = 36/3 − 12 = 0 ✓
Ketiga median berpotongan di titik (8/3, 4/3), yang merupakan titik berat (centroid) segitiga.
Contoh 15:
Diberikan keluarga garis L(k): (2+k)x + (1−2k)y + (3k−1) = 0 dengan k parameter. Tunjukkan bahwa semua garis dalam keluarga ini melalui satu titik tetap, dan tentukan titik tersebut.
Pembahasan:
Tulis ulang: (2x + y − 1) + k(x − 2y + 3) = 0
Ini merupakan kombinasi linear dari dua garis:
ℓ₁ : 2x + y − 1 = 0
ℓ₂ : x − 2y + 3 = 0
Untuk setiap nilai k, garis L(k) melalui titik potong ℓ₁ dan ℓ₂.
Cari titik potong:
2x + y = 1 … (1)
x − 2y = −3 … (2)
Dari (2): x = 2y − 3. Substitusi ke (1): 2(2y−3) + y = 1 → 5y = 7 → y = 7/5
x = 2(7/5) − 3 = 14/5 − 15/5 = −1/5
Semua garis dalam keluarga L(k) melalui titik tetap (−1/5, 7/5) untuk setiap nilai k.
Verifikasi: Ambil k = 0 → 2x + y − 1 = 0 → 2(−1/5) + 7/5 − 1 = −2/5 + 7/5 − 5/5 = 0 ✓
Ambil k = 1 → 3x − y + 2 = 0 → 3(−1/5) − 7/5 + 2 = −3/5 − 7/5 + 10/5 = 0 ✓
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi dan contoh soal, jawablah pertanyaan berikut dan presentasikan di depan kelas:
- Jelaskan dengan kata-kata sendiri mengapa determinan koefisien = 0 menjadi syarat tiga garis konkuren.
- Kapan sebaiknya menggunakan metode substitusi dan kapan menggunakan metode determinan?
- Berikan contoh penerapan konsep tiga garis konkuren dalam kehidupan sehari-hari (misalnya dalam desain, arsitektur, atau navigasi).
E. Latihan Soal
📗 Latihan Soal Mudah
1.
Buktikan bahwa garis x + y = 5, 2x − y = 4, dan x − 2y = −1 berpotongan di satu titik.
2.
Tentukan apakah garis 3x + y = 7, x − 2y = −4, dan 2x + 3y = 11 konkuren.
3.
Tentukan nilai k agar garis x + y = 3, 2x − y = 0, dan kx + 2y = 5 berpotongan di satu titik.
4.
Gunakan metode determinan untuk memeriksa apakah garis 2x + y − 5 = 0, x − y − 1 = 0, dan 3x + 2y − 8 = 0 konkuren.
5.
Tentukan titik potong ketiga garis y = x + 1, y = −2x + 7, dan y = 3x − 3 jika ketiganya konkuren.
📙 Latihan Soal Sedang
6.
Tentukan nilai a dan b agar garis ax + by = 10 melalui titik potong garis 2x + y = 7 dan x − 3y = −6, dengan syarat a − b = 3.
7.
Tentukan nilai p agar garis-garis (p+1)x + 2y = 6, 3x − y = 2, dan x + py = 4 berpotongan di satu titik menggunakan metode determinan.
8.
Tunjukkan bahwa garis x − y + 2 = 0 merupakan kombinasi linear dari garis 2x + y − 1 = 0 dan x + 2y − 3 = 0. Tentukan titik konkuren.
9.
Tentukan semua nilai m agar garis y = mx + 2, garis 3x + 2y = 14, dan garis x − y = −2 berpotongan di satu titik.
10.
Garis g₁ melalui (1, 3) dan (3, 7), garis g₂ melalui (0, 5) dan (2, 1). Tentukan persamaan garis g₃ yang melalui titik (4, 0) sehingga g₁, g₂, dan g₃ konkuren.
📕 Latihan Soal Sulit
11.
Tentukan semua nilai k agar garis-garis (k+2)x + (2k−1)y = 3k+1, kx + (k−1)y = 2k, dan 3x + y = 7 berpotongan di satu titik.
12.
Buktikan bahwa garis-garis yang menghubungkan titik sudut segitiga ke titik tengah sisi di hadapannya selalu berpotongan di satu titik untuk segitiga sembarang dengan titik sudut A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃).
13.
Tentukan syarat pada a, b, c agar keluarga garis (1+a)x + (2+b)y + (c−3) = 0 melalui satu titik tetap untuk semua a, b, c yang memenuhi a + 2b − c = 0.
14.
Diberikan segitiga dengan sisi-sisi pada garis 2x + y = 8, x − y = 2, dan x + 3y = 9. Tentukan persamaan ketiga garis tinggi segitiga tersebut dan buktikan bahwa ketiganya berpotongan di satu titik (ortosentrum).
15.
Tentukan syarat pada parameter t agar garis-garis berikut membentuk segitiga (BUKAN konkuren): g₁: (t+1)x + 2y = 5, g₂: x + ty = 3, g₃: 2x + (t−1)y = 4.
F. Rangkuman
| Metode | Syarat Konkuren | Kelebihan |
|---|---|---|
| Substitusi | Titik potong 2 garis memenuhi garis ke-3 | Intuitif, mudah dipahami |
| Determinan | Det koefisien = 0 | Cepat, bisa untuk mencari parameter |
| Kombinasi Linear | g₃ = λg₁ + μg₂ | Berguna untuk keluarga garis |