Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Persamaan Garis dan Jarak yang Melalui Dua Titik
Materi Geometri Analitik
A. Persamaan Garis Melalui Dua Titik
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua titik pada bidang koordinat berikut:
Dari gambar di atas, terdapat titik A(1, −1) dan B(4, 2). Kedua titik tersebut dihubungkan oleh sebuah garis lurus. Bagaimana cara menentukan persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut?
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menentukan persamaan garis lurus jika diketahui dua titik yang dilalui?
- Apa hubungan antara gradien (kemiringan) dan dua titik pada garis?
- Bagaimana bentuk umum persamaan garis melalui dua titik?
Kegiatan: Menalar
Untuk menentukan persamaan garis melalui dua titik, kita perlu memahami konsep gradien (kemiringan) terlebih dahulu.
1. Gradien Garis Melalui Dua Titik
Jika garis melalui titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂), maka gradien garis tersebut adalah:
m = y₂ − y₁x₂ − x₁ , dengan x₂ ≠ x₁
Keterangan:
- m = gradien (kemiringan garis)
- (x₁, y₁) = koordinat titik pertama
- (x₂, y₂) = koordinat titik kedua
2. Persamaan Garis Melalui Dua Titik
Persamaan garis yang melalui dua titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) dapat dinyatakan dengan rumus:
y − y₁y₂ − y₁ = x − x₁x₂ − x₁
Atau dapat juga dituliskan sebagai:
y − y₁ = m(x − x₁)
dengan m = y₂ − y₁x₂ − x₁
3. Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk:
| Bentuk | Persamaan | Keterangan |
|---|---|---|
| Bentuk Umum | ax + by + c = 0 | a, b, c ∈ ℝ |
| Bentuk Gradien | y = mx + c | m = gradien, c = konstanta |
| Bentuk Dua Titik | y − y₁y₂ − y₁ = x − x₁x₂ − x₁ | Melalui (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) |
Kegiatan: Mencoba
Contoh Penerapan:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, −1) dan B(4, 2).
Penyelesaian:
Diketahui: (x₁, y₁) = (1, −1) dan (x₂, y₂) = (4, 2)
Langkah 1: Hitung gradien
m = y₂ − y₁x₂ − x₁ = 2 − (−1)4 − 1 = 33 = 1
Langkah 2: Gunakan rumus y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−1) = 1(x − 1)
y + 1 = x − 1
y = x − 2
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Persamaan garis melalui dua titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) ditentukan dengan menghitung gradien terlebih dahulu, kemudian disubstitusi ke rumus persamaan garis.
- Gradien menunjukkan tingkat kemiringan garis: positif (naik ke kanan), negatif (turun ke kanan), nol (horizontal), tak terdefinisi (vertikal).
- Hasil akhir dapat disederhanakan ke bentuk y = mx + c atau ax + by + c = 0.
Contoh Soal: Persamaan Garis Melalui Dua Titik
● Tingkat Mudah
1. Tentukan persamaan garis melalui titik (0, 0) dan (2, 4).
Pembahasan
m = 4 − 02 − 0 = 42 = 2
y − 0 = 2(x − 0)
y = 2x
2. Tentukan persamaan garis melalui titik (1, 3) dan (3, 7).
Pembahasan
m = 7 − 33 − 1 = 42 = 2
y − 3 = 2(x − 1)
y − 3 = 2x − 2
y = 2x + 1
3. Tentukan persamaan garis melalui titik (0, 5) dan (5, 0).
Pembahasan
m = 0 − 55 − 0 = −55 = −1
y − 5 = −1(x − 0)
y = −x + 5
4. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, 1) dan (4, 5).
Pembahasan
m = 5 − 14 − 2 = 42 = 2
y − 1 = 2(x − 2)
y − 1 = 2x − 4
y = 2x − 3
5. Tentukan persamaan garis melalui titik (−1, 2) dan (1, 6).
Pembahasan
m = 6 − 21 − (−1) = 42 = 2
y − 2 = 2(x − (−1))
y − 2 = 2(x + 1)
y − 2 = 2x + 2
y = 2x + 4
● Tingkat Sedang
1. Tentukan persamaan garis melalui titik (−2, 3) dan (4, −1).
Pembahasan
m = −1 − 34 − (−2) = −46 = −23
y − 3 = −23(x − (−2))
y − 3 = −23(x + 2)
3(y − 3) = −2(x + 2)
3y − 9 = −2x − 4
2x + 3y − 5 = 0
2. Tentukan persamaan garis melalui titik (3, −2) dan (−1, 6).
Pembahasan
m = 6 − (−2)−1 − 3 = 8−4 = −2
y − (−2) = −2(x − 3)
y + 2 = −2x + 6
y = −2x + 4
3. Tentukan persamaan garis melalui titik (12, 3) dan (32, 7).
Pembahasan
m = 7 − 332 − 12 = 41 = 4
y − 3 = 4(x − 12)
y − 3 = 4x − 2
y = 4x + 1
4. Garis melalui titik (−3, 5) dan (2, −5). Nyatakan dalam bentuk ax + by + c = 0.
Pembahasan
m = −5 − 52 − (−3) = −105 = −2
y − 5 = −2(x − (−3))
y − 5 = −2(x + 3)
y − 5 = −2x − 6
2x + y + 1 = 0
2x + y + 1 = 0
5. Tentukan persamaan garis melalui titik (−4, −3) dan (2, 9). Tentukan juga titik potong garis dengan sumbu-y.
Pembahasan
m = 9 − (−3)2 − (−4) = 126 = 2
y − 9 = 2(x − 2)
y − 9 = 2x − 4
y = 2x + 5
Titik potong sumbu-y: substitusi x = 0 → y = 5
y = 2x + 5, titik potong sumbu-y di (0, 5)
● Tingkat Sulit
1. Garis melalui titik A(a, 2a) dan B(3a, 6a) dengan a ≠ 0. Tentukan persamaan garisnya dalam variabel x dan y.
Pembahasan
m = 6a − 2a3a − a = 4a2a = 2
y − 2a = 2(x − a)
y − 2a = 2x − 2a
y = 2x
Catatan: Persamaan garis tidak bergantung pada nilai a (selama a ≠ 0).
2. Tentukan persamaan garis melalui titik (−1, 5) dan (3, −3). Kemudian tentukan titik potong garis dengan garis y = x + 1.
Pembahasan
m = −3 − 53 − (−1) = −84 = −2
y − 5 = −2(x + 1) → y = −2x + 3
Titik potong dengan y = x + 1:
−2x + 3 = x + 1
−3x = −2 → x = 23
y = 23 + 1 = 53
Titik potong: (23, 53)
3. Titik P(2, k) terletak pada garis yang melalui A(−1, 3) dan B(5, −9). Tentukan nilai k.
Pembahasan
m = −9 − 35 − (−1) = −126 = −2
Persamaan garis: y − 3 = −2(x + 1) → y = −2x + 1
Substitusi x = 2: k = −2(2) + 1 = −4 + 1 = −3
k = −3
4. Garis ℓ melalui titik (2, −1) dan (−4, 5). Tentukan persamaan garis yang tegak lurus ℓ dan melalui titik tengah dari kedua titik tersebut.
Pembahasan
mℓ = 5 − (−1)−4 − 2 = 6−6 = −1
Gradien garis tegak lurus: m⊥ = 1 (karena m₁ × m₂ = −1)
Titik tengah = (2 + (−4)2, −1 + 52) = (−1, 2)
y − 2 = 1(x − (−1))
y = x + 3
5. Garis melalui A(1, 2) dan B(4, 8) dipotong oleh garis melalui C(0, 7) dan D(3, 1). Tentukan koordinat titik potong kedua garis.
Pembahasan
Garis AB: m = 8−24−1 = 2 → y − 2 = 2(x−1) → y = 2x
Garis CD: m = 1−73−0 = −2 → y − 7 = −2(x−0) → y = −2x + 7
Titik potong: 2x = −2x + 7 → 4x = 7 → x = 74
y = 2 × 74 = 72
Titik potong: (74, 72)
Latihan Soal: Persamaan Garis Melalui Dua Titik
● Tingkat Mudah
- Tentukan persamaan garis melalui titik (0, 0) dan (3, 6).
- Tentukan persamaan garis melalui titik (1, 1) dan (3, 5).
- Tentukan persamaan garis melalui titik (2, 0) dan (0, 4).
- Tentukan persamaan garis melalui titik (−1, 0) dan (0, 3).
- Tentukan persamaan garis melalui titik (4, 2) dan (6, 6).
● Tingkat Sedang
- Tentukan persamaan garis melalui titik (−3, 4) dan (5, −2) dalam bentuk ax + by + c = 0.
- Garis melalui (2, −3) dan (−4, 9). Tentukan gradien dan persamaan garisnya.
- Tentukan persamaan garis melalui titik (−2, −5) dan (6, 3). Tentukan titik potong dengan sumbu-x.
- Garis melalui A(1, 4) dan B(−3, −4). Tentukan apakah titik C(2, 6) terletak pada garis tersebut.
- Tentukan persamaan garis melalui titik (13, 2) dan (1, 8).
● Tingkat Sulit
- Garis melalui (a, 2) dan (3, a+1). Jika gradien garis = 12, tentukan nilai a.
- Garis ℓ₁ melalui (1, 3) dan (4, 9). Garis ℓ₂ melalui (2, 1) dan (5, k). Jika ℓ₁ ∥ ℓ₂, tentukan nilai k.
- Tentukan persamaan garis yang melalui titik (−2, 4) dan (6, −2), kemudian tentukan luas segitiga yang dibentuk garis tersebut bersama kedua sumbu koordinat.
- Garis melalui P(2, 5) dan Q(−1, −1). Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan PQ dan berjarak 5 satuan dari titik asal.
- Garis ℓ melalui (1, 2) dan (5, 10). Tentukan persamaan garis yang tegak lurus ℓ dan melalui titik potong ℓ dengan sumbu-x.
B. Jarak Antara Dua Titik
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua titik A dan B pada bidang koordinat berikut:
Dari gambar, terlihat bahwa jarak antara dua titik dapat dihitung menggunakan segitiga siku-siku yang terbentuk dari selisih koordinat x dan y.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik pada bidang koordinat?
- Apa hubungan antara jarak dua titik dengan teorema Pythagoras?
- Apakah urutan pengurangan koordinat mempengaruhi hasil jarak?
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan Teorema Pythagoras, jika kita menggambar segitiga siku-siku dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinat, maka jarak antara dua titik adalah hipotenusa dari segitiga tersebut.
Rumus Jarak Antara Dua Titik
Jarak antara titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) adalah:
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Penurunan Rumus:
- Panjang sisi horizontal = |x₂ − x₁|
- Panjang sisi vertikal = |y₂ − y₁|
- Menurut Pythagoras: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
- Maka: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Sifat-sifat Jarak
- Jarak selalu bernilai positif atau nol (d ≥ 0)
- d = 0 hanya jika kedua titik berimpit
- Jarak bersifat simetris: d(A,B) = d(B,A)
- Urutan pengurangan tidak mempengaruhi hasil karena dikuadratkan
Titik Tengah dari Dua Titik
Titik tengah M dari ruas garis AB dengan A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂):
M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)
Kegiatan: Mencoba
Contoh Penerapan:
Tentukan jarak antara titik A(1, −1) dan B(4, 2).
Penyelesaian:
d = √[(4 − 1)² + (2 − (−1))²]
d = √[(3)² + (3)²]
d = √[9 + 9]
d = √18 = 3√2
Jarak AB = 3√2 ≈ 4,24 satuan
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Jarak antara dua titik dihitung menggunakan rumus yang diturunkan dari Teorema Pythagoras.
- Jarak selalu bernilai positif (atau nol jika titiknya sama).
- Rumus ini berlaku untuk semua posisi dua titik pada bidang koordinat.
Contoh Soal: Jarak Antara Dua Titik
● Tingkat Mudah
1. Tentukan jarak antara titik A(0, 0) dan B(3, 4).
Pembahasan
d = √[(3−0)² + (4−0)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
2. Tentukan jarak antara titik P(1, 2) dan Q(4, 6).
Pembahasan
d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
3. Tentukan jarak antara titik (−2, 0) dan (1, 4).
Pembahasan
d = √[(1−(−2))² + (4−0)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
4. Tentukan jarak antara titik (2, 3) dan (5, 7).
Pembahasan
d = √[(5−2)² + (7−3)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
5. Tentukan jarak antara titik (0, −3) dan (4, 0).
Pembahasan
d = √[(4−0)² + (0−(−3))²] = √[16 + 9] = √25 = 5
● Tingkat Sedang
1. Tentukan jarak antara titik A(−3, 2) dan B(5, −4).
Pembahasan
d = √[(5−(−3))² + (−4−2)²]
d = √[(8)² + (−6)²] = √[64 + 36] = √100 = 10
2. Tentukan jarak antara titik P(−1, −5) dan Q(4, 7).
Pembahasan
d = √[(4−(−1))² + (7−(−5))²]
d = √[(5)² + (12)²] = √[25 + 144] = √169 = 13
3. Jarak antara titik A(2, a) dan B(6, 5) adalah 5. Tentukan nilai a yang mungkin.
Pembahasan
5 = √[(6−2)² + (5−a)²]
25 = 16 + (5−a)²
(5−a)² = 9
5 − a = ±3
a = 2 atau a = 8
4. Tentukan titik tengah dan jarak antara titik (−4, 3) dan (6, −1).
Pembahasan
Titik tengah = (−4+62, 3+(−1)2) = (1, 1)
d = √[(6−(−4))² + (−1−3)²] = √[100 + 16] = √116 = 2√29
5. Titik A(1, 3), B(5, 6), C(4, −1). Tentukan apakah segitiga ABC siku-siku.
Pembahasan
AB² = (5−1)² + (6−3)² = 16 + 9 = 25
BC² = (4−5)² + (−1−6)² = 1 + 49 = 50
AC² = (4−1)² + (−1−3)² = 9 + 16 = 25
Cek: AB² + AC² = 25 + 25 = 50 = BC²
Ya, segitiga ABC siku-siku di A.
● Tingkat Sulit
1. Titik P(x, y) berjarak sama dari A(1, 3) dan B(5, −1). Tentukan persamaan tempat kedudukan titik P.
Pembahasan
PA = PB
√[(x−1)² + (y−3)²] = √[(x−5)² + (y+1)²]
(x−1)² + (y−3)² = (x−5)² + (y+1)²
x² − 2x + 1 + y² − 6y + 9 = x² − 10x + 25 + y² + 2y + 1
−2x − 6y + 10 = −10x + 2y + 26
8x − 8y − 16 = 0
x − y − 2 = 0
2. Tentukan keliling segitiga dengan titik sudut A(0, 0), B(6, 0), dan C(3, 4).
Pembahasan
AB = √[(6−0)² + 0²] = 6
BC = √[(3−6)² + (4−0)²] = √[9+16] = 5
AC = √[(3−0)² + (4−0)²] = √[9+16] = 5
Keliling = 6 + 5 + 5 = 16 satuan
3. Titik A(−2, 1) dan B(4, 9). Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = 1 : 3. Tentukan jarak OC (O titik asal).
Pembahasan
C = (1(4) + 3(−2)1+3, 1(9) + 3(1)1+3)
C = (4−64, 9+34) = (−12, 3)
OC = √[(−12)² + 3²] = √[14 + 9] = √374 = √372
4. Titik A(1, 2), B(5, 2), C(5, 5), D(1, 5) membentuk segiempat. Buktikan bahwa kedua diagonalnya sama panjang.
Pembahasan
Diagonal AC = √[(5−1)² + (5−2)²] = √[16 + 9] = √25 = 5
Diagonal BD = √[(1−5)² + (5−2)²] = √[16 + 9] = √25 = 5
AC = BD = 5, terbukti kedua diagonal sama panjang (persegi panjang).
5. Titik P terletak pada sumbu-x dan berjarak √13 dari titik Q(2, 3). Tentukan semua koordinat P yang mungkin.
Pembahasan
P = (x, 0) karena terletak pada sumbu-x
√[(x−2)² + (0−3)²] = √13
(x−2)² + 9 = 13
(x−2)² = 4
x − 2 = ±2
P(4, 0) atau P(0, 0)
Latihan Soal: Jarak Antara Dua Titik
● Tingkat Mudah
- Tentukan jarak antara titik (0, 0) dan (5, 12).
- Tentukan jarak antara titik (1, 1) dan (4, 5).
- Tentukan jarak antara titik (−3, 0) dan (0, 4).
- Tentukan jarak antara titik (2, −1) dan (−1, 3).
- Tentukan jarak antara titik (6, 0) dan (0, 8).
● Tingkat Sedang
- Jarak antara titik (a, 1) dan (4, 5) adalah 5. Tentukan nilai a.
- Tentukan titik tengah dan jarak antara A(−5, 2) dan B(7, −3).
- Buktikan bahwa segitiga dengan titik sudut (0, 0), (5, 0), (0, 5) adalah segitiga sama kaki.
- Titik A(2, 3) dan B(8, 11). Tentukan koordinat titik yang membagi AB menjadi dua sama panjang, lalu hitung jarak titik tersebut ke titik asal.
- Tentukan jarak antara titik (−2, −3) dan (4, 5), kemudian nyatakan dalam bentuk sederhana.
● Tingkat Sulit
- Titik P(x, y) berjarak 5 dari titik A(1, 2) dan berjarak 5 dari titik B(7, 2). Tentukan koordinat P jika P terletak pada sumbu-y.
- Tentukan luas segitiga dengan titik sudut A(1, 1), B(7, 1), dan C(4, 5) menggunakan rumus jarak.
- Titik A(0, 0), B(8, 0), C(8, 6), D(0, 6). Tentukan panjang kedua diagonal dan buktikan saling membagi dua sama panjang.
- Titik P terletak pada garis y = 2x dan berjarak √20 dari titik Q(4, 2). Tentukan semua koordinat P yang mungkin.
- Tiga titik A(1, 1), B(4, 5), C(7, 1). Hitung keliling segitiga ABC dan tentukan jenis segitiganya.
C. Jarak Titik ke Garis
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan titik P dan garis ℓ pada gambar berikut. Jarak titik P ke garis ℓ adalah jarak terpendek, yaitu panjang ruas garis yang tegak lurus dari P ke ℓ.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menghitung jarak dari suatu titik ke garis lurus?
- Mengapa jarak yang dimaksud adalah jarak tegak lurus?
Kegiatan: Menalar
Jarak dari titik P(x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0 dapat dihitung menggunakan rumus:
d = |ax₁ + by₁ + c|√(a² + b²)
Syarat penggunaan rumus:
- Garis harus dalam bentuk umum ax + by + c = 0
- Jika garis dalam bentuk y = mx + n, ubah dulu menjadi mx − y + n = 0
Langkah-langkah Menghitung Jarak Titik ke Garis:
- Pastikan persamaan garis dalam bentuk ax + by + c = 0
- Identifikasi nilai a, b, dan c
- Substitusikan koordinat titik (x₁, y₁) ke dalam rumus
- Hitung nilai mutlak pada pembilang
- Hitung √(a² + b²) pada penyebut
- Sederhanakan hasilnya
Kegiatan: Mencoba
Contoh: Tentukan jarak titik P(3, 4) ke garis 3x + 4y − 5 = 0.
Penyelesaian:
a = 3, b = 4, c = −5, (x₁, y₁) = (3, 4)
d = |3(3) + 4(4) + (−5)|√(3² + 4²) = |9 + 16 − 5|√(9 + 16) = |20|√25 = 205 = 4
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Jarak titik ke garis adalah jarak terpendek (tegak lurus).
- Rumus ini berlaku jika garis sudah dalam bentuk umum ax + by + c = 0.
- Nilai mutlak memastikan hasilnya selalu positif.
Contoh Soal: Jarak Titik ke Garis
● Tingkat Mudah
1. Tentukan jarak titik (0, 0) ke garis 3x + 4y − 10 = 0.
Pembahasan
d = |3(0) + 4(0) − 10|√(9 + 16) = 105 = 2
2. Tentukan jarak titik (1, 2) ke garis x + y − 5 = 0.
Pembahasan
d = |1 + 2 − 5|√(1 + 1) = 2√2 = 2√22 = √2
3. Tentukan jarak titik (2, 3) ke garis 4x − 3y + 1 = 0.
Pembahasan
d = |4(2) − 3(3) + 1|√(16 + 9) = |8 − 9 + 1|5 = 05 = 0
Artinya titik (2, 3) terletak pada garis.
4. Tentukan jarak titik (−1, 3) ke garis 5x + 12y − 2 = 0.
Pembahasan
d = |5(−1) + 12(3) − 2|√(25 + 144) = |−5 + 36 − 2|13 = 2913 = 2913
5. Tentukan jarak titik (4, 0) ke garis x − y + 2 = 0.
Pembahasan
d = |4 − 0 + 2|√(1 + 1) = 6√2 = 6√22 = 3√2
● Tingkat Sedang
1. Tentukan jarak titik (2, −1) ke garis y = 3x + 4.
Pembahasan
Ubah ke bentuk umum: 3x − y + 4 = 0
d = |3(2) − (−1) + 4|√(9 + 1) = |6 + 1 + 4|√10 = 11√10 = 11√1010
2. Jarak titik P(a, 3) ke garis 4x − 3y + 1 = 0 adalah 2. Tentukan nilai a.
Pembahasan
2 = |4a − 3(3) + 1|√(16 + 9) = |4a − 8|5
10 = |4a − 8|
4a − 8 = 10 → a = 92
4a − 8 = −10 → a = −12
a = 92 atau a = −12
3. Tentukan jarak antara dua garis sejajar 2x + y − 3 = 0 dan 2x + y + 7 = 0.
Pembahasan
Ambil satu titik pada garis pertama, misal x = 0: 0 + y − 3 = 0 → y = 3, jadi titik (0, 3)
Hitung jarak titik (0, 3) ke garis 2x + y + 7 = 0:
d = |2(0) + 3 + 7|√(4 + 1) = 10√5 = 2√5
4. Garis melalui A(1, 3) dan B(5, 7). Tentukan jarak titik C(3, 0) ke garis AB.
Pembahasan
m = 7−35−1 = 1. Persamaan: y − 3 = 1(x−1) → x − y + 2 = 0
d = |3 − 0 + 2|√(1+1) = 5√2 = 5√22
5. Tentukan jarak titik (−3, 4) ke garis yang melalui (0, 0) dan (3, 4).
Pembahasan
Persamaan garis melalui (0,0) dan (3,4): m = 43 → y = 43x → 4x − 3y = 0
d = |4(−3) − 3(4)|√(16+9) = |−12−12|5 = 245 = 245
● Tingkat Sulit
1. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan 3x − 4y + 6 = 0 dan berjarak 2 dari titik asal.
Pembahasan
Garis sejajar: 3x − 4y + k = 0
Jarak dari (0,0): 2 = |3(0) − 4(0) + k|√(9+16) = |k|5
|k| = 10 → k = 10 atau k = −10
3x − 4y + 10 = 0 atau 3x − 4y − 10 = 0
2. Segitiga ABC memiliki titik A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4). Tentukan luas segitiga ABC menggunakan konsep jarak titik ke garis.
Pembahasan
Alas = AB = 6 (terletak pada sumbu-x)
Garis AB: y = 0 atau 0x + 1y + 0 = 0
Tinggi = jarak C(2,4) ke garis y = 0:
t = |0(2) + 1(4) + 0|√(0+1) = 4
Luas = 12 × 6 × 4 = 12 satuan luas
3. Dua garis sejajar: ℓ₁: 5x − 12y + 10 = 0 dan ℓ₂: 5x − 12y − 16 = 0. Tentukan jarak antara kedua garis dan persamaan garis yang terletak di tengah-tengah keduanya.
Pembahasan
Jarak = |10 − (−16)|√(25+144) = 2613 = 2
Garis tengah: 5x − 12y + 10+(−16)2 = 0
Jarak = 2, garis tengah: 5x − 12y − 3 = 0
4. Garis ℓ melalui titik A(1, 2) dan B(4, 8). Titik C(7, 3). Tentukan luas segitiga ABC.
Pembahasan
Persamaan garis AB: m = 2, y − 2 = 2(x−1) → 2x − y = 0
Panjang AB = √[(4−1)² + (8−2)²] = √[9+36] = √45 = 3√5
Tinggi = jarak C(7,3) ke garis 2x − y = 0:
t = |2(7) − 3|√(4+1) = 11√5
Luas = 12 × 3√5 × 11√5 = 332 = 16,5 satuan luas
5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis x + 2y = 5 dan 2x − y = 5, serta berjarak 3 dari titik (1, −2).
Pembahasan
Titik potong: x + 2y = 5 dan 2x − y = 5
Dari pers.2: y = 2x − 5, substitusi: x + 2(2x−5) = 5 → 5x = 15 → x = 3, y = 1
Titik potong = (3, 1). Garis: y − 1 = m(x − 3) → mx − y + (1−3m) = 0
Jarak dari (1, −2): 3 = |m(1) − (−2) + 1 − 3m|√(m²+1) = |3 − 2m|√(m²+1)
9(m²+1) = (3−2m)²
9m² + 9 = 9 − 12m + 4m²
5m² + 12m = 0 → m(5m+12) = 0
m = 0 → y = 1
m = −125 → y − 1 = −125(x−3) → 12x + 5y − 41 = 0
y = 1 atau 12x + 5y − 41 = 0
Latihan Soal: Jarak Titik ke Garis
● Tingkat Mudah
- Tentukan jarak titik (0, 0) ke garis 5x + 12y − 26 = 0.
- Tentukan jarak titik (1, 1) ke garis 3x − 4y + 5 = 0.
- Tentukan jarak titik (2, 5) ke garis x + y − 3 = 0.
- Tentukan jarak titik (−1, 2) ke garis 3x + 4y − 10 = 0.
- Tentukan jarak titik (0, 4) ke garis 4x − 3y + 6 = 0.
● Tingkat Sedang
- Tentukan jarak titik (3, −2) ke garis y = 2x − 1.
- Jarak titik (k, 2) ke garis 3x + 4y − 1 = 0 adalah 3. Tentukan nilai k.
- Tentukan jarak antara dua garis sejajar 3x + 4y − 5 = 0 dan 3x + 4y + 10 = 0.
- Garis melalui (−2, 1) dan (4, 4). Tentukan jarak titik (1, 5) ke garis tersebut.
- Tentukan jarak titik (5, −1) ke garis yang melalui titik (1, 1) dan (3, 5).
● Tingkat Sulit
- Tentukan persamaan garis sejajar dengan 5x − 12y + 3 = 0 dan berjarak 3 dari titik (1, 2).
- Segitiga ABC: A(0, 0), B(8, 0), C(3, 6). Tentukan tinggi segitiga dari C ke AB dan luas segitiga.
- Garis ℓ₁: 2x − y + 3 = 0, garis ℓ₂: 2x − y − 7 = 0. Tentukan persamaan garis yang berjarak sama dari kedua garis tersebut.
- Titik P terletak pada garis y = x + 3 dan berjarak 4 dari garis 3x + 4y − 2 = 0. Tentukan koordinat P.
- Tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh garis 2x + 3y = 12 dengan kedua sumbu koordinat menggunakan konsep jarak titik ke garis.