Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Solusi SPLDV Menggunakan Metode Determinan
(Aturan Cramer)
A. Pendahuluan
Metode Determinan (Aturan Cramer) adalah salah satu cara untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan menggunakan konsep determinan matriks. Metode ini sangat efektif karena memberikan rumus langsung untuk menentukan nilai variabel.
Bentuk umum SPLDV:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Sistem ini dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B, yaitu:
Kegiatan: Mengamati
Amatilah sistem persamaan berikut:
2x + 3y = 8
x − y = 1
Perhatikan koefisien-koefisien dari variabel x dan y serta konstanta di ruas kanan. Koefisien-koefisien inilah yang akan kita susun menjadi matriks untuk diselesaikan menggunakan determinan.
B. Determinan Matriks Ordo 2×2
Jika matriks A berordo 2×2 yaitu:
A = abcd
Maka determinan matriks A ditulis sebagai:
det(A) = |A| = abcd = ad − bc
Penjelasan: Determinan dihitung dengan mengalikan elemen diagonal utama (a × d) dikurangi hasil kali elemen diagonal samping (b × c).
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati konsep determinan matriks 2×2, cobalah ajukan pertanyaan:
- Bagaimana determinan matriks digunakan untuk menyelesaikan SPLDV?
- Apa yang terjadi jika nilai determinan sama dengan nol?
- Mengapa metode ini disebut Aturan Cramer?
C. Aturan Cramer untuk SPLDV
Diberikan SPLDV:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Langkah-langkah penyelesaian dengan Aturan Cramer:
Langkah 1: Tentukan Determinan Matriks Koefisien (D)
D = a₁b₁a₂b₂ = a₁b₂ − b₁a₂
Langkah 2: Tentukan Determinan Dₓ
Ganti kolom pertama (koefisien x) dengan kolom konstanta:
Dₓ = c₁b₁c₂b₂ = c₁b₂ − b₁c₂
Langkah 3: Tentukan Determinan Dᵧ
Ganti kolom kedua (koefisien y) dengan kolom konstanta:
Dᵧ = a₁c₁a₂c₂ = a₁c₂ − c₁a₂
Langkah 4: Hitung Nilai x dan y
x = Dₓ / D dan y = Dᵧ / D
Syarat: D ≠ 0
Catatan Penting:
- Jika D ≠ 0, maka SPLDV mempunyai tepat satu penyelesaian (konsisten dan independen).
- Jika D = 0 dan Dₓ = 0, Dᵧ = 0, maka SPLDV mempunyai tak hingga banyak penyelesaian (konsisten dan dependen).
- Jika D = 0 tetapi Dₓ ≠ 0 atau Dᵧ ≠ 0, maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian (inkonsisten).
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan rumus Aturan Cramer, coba jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa kolom koefisien x diganti dengan kolom konstanta untuk mencari Dₓ?
- Apa hubungan antara determinan matriks koefisien (D) dengan eksistensi penyelesaian?
- Jika D = 0, mengapa tidak bisa membagi Dₓ dan Dᵧ dengan D?
Kegiatan: Mencoba
Selesaikan SPLDV berikut menggunakan Aturan Cramer:
3x + 2y = 12
x − y = 1
Ikuti langkah-langkah yang telah dipelajari: tentukan D, Dₓ, Dᵧ, lalu hitung x dan y.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil pekerjaanmu di depan kelas. Jelaskan:
- Bagaimana kamu menyusun matriks koefisien dari SPLDV.
- Cara menghitung masing-masing determinan (D, Dₓ, Dᵧ).
- Hasil akhir dan cara memverifikasinya dengan substitusi ke persamaan asal.
D. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
x + y = 5
x − y = 1
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tentukan D
D = 111−1 = (1)(−1) − (1)(1) = −1 − 1 = −2
Langkah 2: Tentukan Dₓ
Dₓ = 511−1 = (5)(−1) − (1)(1) = −5 − 1 = −6
Langkah 3: Tentukan Dᵧ
Dᵧ = 1511 = (1)(1) − (5)(1) = 1 − 5 = −4
Langkah 4: Hitung x dan y
x = Dₓ / D = −6 / −2 = 3
y = Dᵧ / D = −4 / −2 = 2
Jadi, x = 3 dan y = 2. HP = {(3, 2)}
Verifikasi: 3 + 2 = 5 ✓ dan 3 − 2 = 1 ✓
Contoh 2:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
2x + y = 7
x + y = 4
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 2111 = (2)(1) − (1)(1) = 2 − 1 = 1
Langkah 2: Dₓ = 7141 = (7)(1) − (1)(4) = 7 − 4 = 3
Langkah 3: Dᵧ = 2714 = (2)(4) − (7)(1) = 8 − 7 = 1
Langkah 4: x = 3/1 = 3, y = 1/1 = 1
Jadi, x = 3 dan y = 1. HP = {(3, 1)}
Verifikasi: 2(3) + 1 = 7 ✓ dan 3 + 1 = 4 ✓
Contoh 3:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
x + 2y = 8
x + y = 5
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 1211 = (1)(1) − (2)(1) = 1 − 2 = −1
Langkah 2: Dₓ = 8251 = (8)(1) − (2)(5) = 8 − 10 = −2
Langkah 3: Dᵧ = 1815 = (1)(5) − (8)(1) = 5 − 8 = −3
Langkah 4: x = −2/−1 = 2, y = −3/−1 = 3
Jadi, x = 2 dan y = 3. HP = {(2, 3)}
Verifikasi: 2 + 2(3) = 8 ✓ dan 2 + 3 = 5 ✓
Contoh 4:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
3x + y = 10
x + y = 4
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 3111 = (3)(1) − (1)(1) = 3 − 1 = 2
Langkah 2: Dₓ = 10141 = (10)(1) − (1)(4) = 10 − 4 = 6
Langkah 3: Dᵧ = 31014 = (3)(4) − (10)(1) = 12 − 10 = 2
Langkah 4: x = 6/2 = 3, y = 2/2 = 1
Jadi, x = 3 dan y = 1. HP = {(3, 1)}
Verifikasi: 3(3) + 1 = 10 ✓ dan 3 + 1 = 4 ✓
Contoh 5:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
x + 3y = 7
2x + y = 4
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 1321 = (1)(1) − (3)(2) = 1 − 6 = −5
Langkah 2: Dₓ = 7341 = (7)(1) − (3)(4) = 7 − 12 = −5
Langkah 3: Dᵧ = 1724 = (1)(4) − (7)(2) = 4 − 14 = −10
Langkah 4: x = −5/−5 = 1, y = −10/−5 = 2
Jadi, x = 1 dan y = 2. HP = {(1, 2)}
Verifikasi: 1 + 3(2) = 7 ✓ dan 2(1) + 2 = 4 ✓
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
3x − 2y = 7
5x + 4y = 23
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 3−254 = (3)(4) − (−2)(5) = 12 + 10 = 22
Langkah 2: Dₓ = 7−2234 = (7)(4) − (−2)(23) = 28 + 46 = 74
Langkah 3: Dᵧ = 37523 = (3)(23) − (7)(5) = 69 − 35 = 34
Langkah 4: x = 74/22 = 37/11, y = 34/22 = 17/11
Jadi, x = 37/11 dan y = 17/11. HP = {(37/11, 17/11)}
Contoh 7:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
4x + 3y = 11
2x − 5y = −1
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 432−5 = (4)(−5) − (3)(2) = −20 − 6 = −26
Langkah 2: Dₓ = 113−1−5 = (11)(−5) − (3)(−1) = −55 + 3 = −52
Langkah 3: Dᵧ = 4112−1 = (4)(−1) − (11)(2) = −4 − 22 = −26
Langkah 4: x = −52/−26 = 2, y = −26/−26 = 1
Jadi, x = 2 dan y = 1. HP = {(2, 1)}
Verifikasi: 4(2) + 3(1) = 11 ✓ dan 2(2) − 5(1) = −1 ✓
Contoh 8:
Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp13.000. Harga 4 buku dan 1 pensil adalah Rp11.000. Tentukan harga 1 buku dan 1 pensil menggunakan metode determinan!
Lihat Pembahasan
Misalkan x = harga 1 buku, y = harga 1 pensil (dalam ribuan)
Model: 2x + 3y = 13 dan 4x + y = 11
Langkah 1: D = 2341 = (2)(1) − (3)(4) = 2 − 12 = −10
Langkah 2: Dₓ = 133111 = (13)(1) − (3)(11) = 13 − 33 = −20
Langkah 3: Dᵧ = 213411 = (2)(11) − (13)(4) = 22 − 52 = −30
Langkah 4: x = −20/−10 = 2, y = −30/−10 = 3
Jadi, harga 1 buku = Rp2.000 dan harga 1 pensil = Rp3.000.
Contoh 9:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
−2x + 5y = 16
3x + 2y = 5
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = −2532 = (−2)(2) − (5)(3) = −4 − 15 = −19
Langkah 2: Dₓ = 16552 = (16)(2) − (5)(5) = 32 − 25 = 7
Langkah 3: Dᵧ = −21635 = (−2)(5) − (16)(3) = −10 − 48 = −58
Langkah 4: x = 7/−19 = −7/19, y = −58/−19 = 58/19
Jadi, x = −7/19 dan y = 58/19. HP = {(−7/19, 58/19)}
Contoh 10:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
5x − 3y = 1
2x + 7y = 30
Lihat Pembahasan
Langkah 1: D = 5−327 = (5)(7) − (−3)(2) = 35 + 6 = 41
Langkah 2: Dₓ = 1−3307 = (1)(7) − (−3)(30) = 7 + 90 = 97
Langkah 3: Dᵧ = 51230 = (5)(30) − (1)(2) = 150 − 2 = 148
Langkah 4: x = 97/41, y = 148/41
Jadi, x = 97/41 dan y = 148/41. HP = {(97/41, 148/41)}
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
⅓x + ½y = 5
¼x − ⅓y = 1
Lihat Pembahasan
Kalikan persamaan 1 dengan 6 dan persamaan 2 dengan 12 untuk menghilangkan pecahan:
2x + 3y = 30
3x − 4y = 12
Langkah 1: D = 233−4 = (2)(−4) − (3)(3) = −8 − 9 = −17
Langkah 2: Dₓ = 30312−4 = (30)(−4) − (3)(12) = −120 − 36 = −156
Langkah 3: Dᵧ = 230312 = (2)(12) − (30)(3) = 24 − 90 = −66
Langkah 4: x = −156/−17 = 156/17, y = −66/−17 = 66/17
Jadi, x = 156/17 dan y = 66/17. HP = {(156/17, 66/17)}
Contoh 12:
Jumlah dua bilangan adalah 48. Selisih 3 kali bilangan pertama dan 2 kali bilangan kedua adalah 34. Tentukan kedua bilangan tersebut menggunakan metode determinan!
Lihat Pembahasan
Misalkan bilangan pertama = x, bilangan kedua = y
Model: x + y = 48 dan 3x − 2y = 34
Langkah 1: D = 113−2 = (1)(−2) − (1)(3) = −2 − 3 = −5
Langkah 2: Dₓ = 48134−2 = (48)(−2) − (1)(34) = −96 − 34 = −130
Langkah 3: Dᵧ = 148334 = (1)(34) − (48)(3) = 34 − 144 = −110
Langkah 4: x = −130/−5 = 26, y = −110/−5 = 22
Jadi, bilangan pertama = 26 dan bilangan kedua = 22.
Verifikasi: 26 + 22 = 48 ✓ dan 3(26) − 2(22) = 78 − 44 = 34 ✓
Contoh 13:
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode determinan!
0,5x + 0,3y = 4,1
0,2x − 0,7y = −3,4
Lihat Pembahasan
Kalikan kedua persamaan dengan 10:
5x + 3y = 41
2x − 7y = −34
Langkah 1: D = 532−7 = (5)(−7) − (3)(2) = −35 − 6 = −41
Langkah 2: Dₓ = 413−34−7 = (41)(−7) − (3)(−34) = −287 + 102 = −185
Langkah 3: Dᵧ = 5412−34 = (5)(−34) − (41)(2) = −170 − 82 = −252
Langkah 4: x = −185/−41 = 185/41, y = −252/−41 = 252/41
Jadi, x = 185/41 ≈ 4,51 dan y = 252/41 ≈ 6,15.
Contoh 14:
Diketahui SPLDV: (a+1)x + 2y = 10 dan 3x + (a−1)y = 5. Tentukan nilai a agar sistem tidak mempunyai penyelesaian tunggal, kemudian selesaikan untuk a = 2!
Lihat Pembahasan
Bagian 1: Sistem tidak punya penyelesaian tunggal jika D = 0
D = (a+1)(a−1) − (2)(3) = a² − 1 − 6 = a² − 7
D = 0 → a² − 7 = 0 → a = ±√7
Bagian 2: Untuk a = 2:
3x + 2y = 10 dan 3x + y = 5
Langkah 1: D = 3231 = (3)(1) − (2)(3) = 3 − 6 = −3
Langkah 2: Dₓ = 10251 = (10)(1) − (2)(5) = 10 − 10 = 0
Langkah 3: Dᵧ = 31035 = (3)(5) − (10)(3) = 15 − 30 = −15
Langkah 4: x = 0/−3 = 0, y = −15/−3 = 5
Untuk a = 2: x = 0 dan y = 5. HP = {(0, 5)}
Contoh 15:
Seorang pedagang membeli 5 kg jeruk dan 3 kg apel seharga Rp95.000. Kemudian membeli lagi 2 kg jeruk dan 4 kg apel seharga Rp82.000. Jika ia ingin membeli 3 kg jeruk dan 5 kg apel, berapa yang harus dibayar? Gunakan metode determinan!
Lihat Pembahasan
Misalkan x = harga 1 kg jeruk, y = harga 1 kg apel (dalam ribuan)
Model: 5x + 3y = 95 dan 2x + 4y = 82
Langkah 1: D = 5324 = (5)(4) − (3)(2) = 20 − 6 = 14
Langkah 2: Dₓ = 953824 = (95)(4) − (3)(82) = 380 − 246 = 134
Langkah 3: Dᵧ = 595282 = (5)(82) − (95)(2) = 410 − 190 = 220
Langkah 4: x = 134/14 = 67/7 ≈ 9,57 (Rp9.571)
y = 220/14 = 110/7 ≈ 15,71 (Rp15.714)
Langkah 5: Harga 3 kg jeruk + 5 kg apel:
= 3(67/7) + 5(110/7) = 201/7 + 550/7 = 751/7 ≈ Rp107.286
Jadi, harga 3 kg jeruk dan 5 kg apel ≈ Rp107.286.
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut menggunakan Metode Determinan (Aturan Cramer)!
Tingkat Mudah
- x + y = 7 dan x − y = 3
- 2x + y = 9 dan x + y = 5
- x + 3y = 11 dan x + y = 5
- 3x + 2y = 12 dan x + y = 5
- 2x + y = 8 dan x − y = 1
Tingkat Sedang
- 4x − 3y = 5 dan 2x + 5y = 17
- 3x + 7y = 27 dan 5x − 2y = 4
- Harga 3 buku tulis dan 2 pulpen adalah Rp21.000. Harga 5 buku tulis dan 3 pulpen adalah Rp34.000. Tentukan harga masing-masing!
- −3x + 4y = 18 dan 2x + 5y = 11
- 6x − 5y = −7 dan 3x + 4y = 22
Tingkat Sulit
- ½x + ⅓y = 4 dan ¼x − ½y = −1
- 0,4x + 0,6y = 5,2 dan 0,3x − 0,2y = 0,1
- Umur ayah 4 kali umur anaknya. Lima tahun yang lalu, umur ayah 7 kali umur anaknya. Tentukan umur mereka sekarang menggunakan metode determinan!
- Diketahui (2a+1)x + 3y = 7 dan 4x + (a−2)y = 5. Tentukan nilai a agar D = 0, lalu selesaikan untuk a = 3!
- Sebuah bilangan terdiri dari dua angka. Jumlah kedua angkanya adalah 12. Jika angka puluhan dan angka satuan ditukar, bilangan baru yang terbentuk lebih besar 36 dari bilangan semula. Tentukan bilangan semula menggunakan metode determinan!