Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Solusi SPLDV Menggunakan Metode Invers Matriks
A. Pengertian dan Konsep Dasar
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel (misalnya x dan y). Bentuk umum SPLDV adalah:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
SPLDV tersebut dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
Atau dapat ditulis secara singkat sebagai:
AX = B
di mana:
- A = matriks koefisien (berukuran 2×2)
- X = matriks variabel (berukuran 2×1)
- B = matriks konstanta (berukuran 2×1)
B. Bagaimana Menyelesaikan SPLDV dengan Invers Matriks?
Dari persamaan matriks AX = B, untuk mencari nilai X (yaitu nilai x dan y), kita kalikan kedua ruas dengan invers matriks A (dilambangkan A⁻¹) dari sebelah kiri:
A⁻¹ · AX = A⁻¹ · B
IX = A⁻¹ · B
X = A⁻¹ · B
Syarat: Matriks A harus memiliki invers, artinya determinan A ≠ 0 (det(A) ≠ 0).
C. Menentukan Invers Matriks 2×2
Untuk matriks A berukuran 2×2:
Langkah 1: Hitung determinan A
det(A) = ad − bc
Langkah 2: Tentukan invers A
⚠️ Catatan Penting:
- Jika det(A) = 0, maka matriks A tidak memiliki invers dan SPLDV tidak dapat diselesaikan dengan metode ini.
- Pada invers, elemen diagonal utama (a dan d) ditukar posisinya.
- Elemen diagonal samping (b dan c) dikalikan −1 (berubah tanda).
D. Langkah-Langkah Penyelesaian SPLDV dengan Metode Invers Matriks
Tuliskan SPLDV dalam bentuk matriks AX = B
Identifikasi koefisien dan konstanta dari persamaan.
Hitung determinan matriks A
Pastikan det(A) ≠ 0.
Tentukan invers matriks A (A⁻¹)
Tukar diagonal utama, ubah tanda diagonal samping, bagi dengan determinan.
Hitung X = A⁻¹ · B
Kalikan invers matriks A dengan matriks B untuk mendapatkan nilai x dan y.
Tuliskan himpunan penyelesaian
HP = {(x, y)}
E. Perkalian Matriks (Pengingat)
Untuk menghitung X = A⁻¹ · B, kita perlu mengalikan matriks 2×2 dengan matriks 2×1:
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
● Tingkat Mudah
Contoh Soal 1
Selesaikan SPLDV berikut menggunakan metode invers matriks:
x + 2y = 5
3x + 4y = 11
Pembahasan:
Langkah 1: Bentuk matriks AX = B
Langkah 2: Hitung det(A) = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2
Langkah 3: Tentukan A⁻¹
Langkah 4: Hitung X = A⁻¹ · B
x = (−2)(5) + (1)(11) = −10 + 11 = 1
y = (3/2)(5) + (−1/2)(11) = 15/2 − 11/2 = 4/2 = 2
HP = {(1, 2)}
Contoh Soal 2
Selesaikan SPLDV berikut:
2x + y = 7
x + 3y = 11
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[2,1],[1,3]], B = [[7],[11]]
Langkah 2: det(A) = (2)(3) − (1)(1) = 6 − 1 = 5
Langkah 3: A⁻¹ = 1/5 ×
Langkah 4:
x = (1/5)[(3)(7) + (−1)(11)] = (1/5)(21 − 11) = (1/5)(10) = 2
y = (1/5)[(−1)(7) + (2)(11)] = (1/5)(−7 + 22) = (1/5)(15) = 3
HP = {(2, 3)}
Contoh Soal 3
Selesaikan SPLDV berikut:
3x + y = 10
x + 2y = 10
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[3,1],[1,2]], B = [[10],[10]]
Langkah 2: det(A) = (3)(2) − (1)(1) = 6 − 1 = 5
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/5)[(2)(10) + (−1)(10)] = (1/5)(20 − 10) = (1/5)(10) = 2
y = (1/5)[(−1)(10) + (3)(10)] = (1/5)(−10 + 30) = (1/5)(20) = 4
HP = {(2, 4)}
Contoh Soal 4
Selesaikan SPLDV berikut:
x + y = 6
2x + 3y = 14
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[1,1],[2,3]], B = [[6],[14]]
Langkah 2: det(A) = (1)(3) − (1)(2) = 3 − 2 = 1
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (3)(6) + (−1)(14) = 18 − 14 = 4
y = (−2)(6) + (1)(14) = −12 + 14 = 2
HP = {(4, 2)}
Contoh Soal 5
Selesaikan SPLDV berikut:
4x + y = 9
2x + 3y = 13
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[4,1],[2,3]], B = [[9],[13]]
Langkah 2: det(A) = (4)(3) − (1)(2) = 12 − 2 = 10
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/10)[(3)(9) + (−1)(13)] = (1/10)(27 − 13) = (1/10)(14) = 7/5
y = (1/10)[(−2)(9) + (4)(13)] = (1/10)(−18 + 52) = (1/10)(34) = 17/5
HP = {(7/5, 17/5)}
● Tingkat Sedang
Contoh Soal 6
Selesaikan SPLDV berikut:
3x − 2y = 7
5x + 4y = 23
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[3,−2],[5,4]], B = [[7],[23]]
Langkah 2: det(A) = (3)(4) − (−2)(5) = 12 + 10 = 22
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/22)[(4)(7) + (2)(23)] = (1/22)(28 + 46) = (1/22)(74) = 74/22 = 37/11
y = (1/22)[(−5)(7) + (3)(23)] = (1/22)(−35 + 69) = (1/22)(34) = 34/22 = 17/11
HP = {(37/11, 17/11)}
Contoh Soal 7
Selesaikan SPLDV berikut:
2x − 5y = −1
3x + 2y = 12
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[2,−5],[3,2]], B = [[−1],[12]]
Langkah 2: det(A) = (2)(2) − (−5)(3) = 4 + 15 = 19
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/19)[(2)(−1) + (5)(12)] = (1/19)(−2 + 60) = (1/19)(58) = 58/19
y = (1/19)[(−3)(−1) + (2)(12)] = (1/19)(3 + 24) = (1/19)(27) = 27/19
HP = {(58/19, 27/19)}
Contoh Soal 8
Selesaikan SPLDV berikut:
−x + 4y = 10
3x − 2y = 0
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[−1,4],[3,−2]], B = [[10],[0]]
Langkah 2: det(A) = (−1)(−2) − (4)(3) = 2 − 12 = −10
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/5)(10) + (2/5)(0) = 2 + 0 = 2
y = (3/10)(10) + (1/10)(0) = 3 + 0 = 3
HP = {(2, 3)}
Contoh Soal 9
Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp13.000. Harga 4 buku dan 1 pensil adalah Rp11.000. Tentukan harga 1 buku dan 1 pensil menggunakan metode invers matriks!
Pembahasan:
Misalkan x = harga 1 buku, y = harga 1 pensil
SPLDV: 2x + 3y = 13000 dan 4x + y = 11000
Langkah 1: A = [[2,3],[4,1]], B = [[13000],[11000]]
Langkah 2: det(A) = (2)(1) − (3)(4) = 2 − 12 = −10
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/−10)[(1)(13000) + (−3)(11000)] = (1/−10)(13000 − 33000) = (1/−10)(−20000) = 2000
y = (1/−10)[(−4)(13000) + (2)(11000)] = (1/−10)(−52000 + 22000) = (1/−10)(−30000) = 3000
Harga 1 buku = Rp2.000, harga 1 pensil = Rp3.000
HP = {(2000, 3000)}
Contoh Soal 10
Selesaikan SPLDV berikut:
5x − 3y = 1
−2x + 7y = 9
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[5,−3],[−2,7]], B = [[1],[9]]
Langkah 2: det(A) = (5)(7) − (−3)(−2) = 35 − 6 = 29
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/29)[(7)(1) + (3)(9)] = (1/29)(7 + 27) = (1/29)(34) = 34/29
y = (1/29)[(2)(1) + (5)(9)] = (1/29)(2 + 45) = (1/29)(47) = 47/29
HP = {(34/29, 47/29)}
● Tingkat Sulit
Contoh Soal 11
Diketahui SPLDV:
(1/2)x + (2/3)y = 5
(3/4)x − (1/2)y = 1
Selesaikan dengan metode invers matriks!
Pembahasan:
Langkah 1: A = [[1/2, 2/3],[3/4, −1/2]], B = [[5],[1]]
Langkah 2: det(A) = (1/2)(−1/2) − (2/3)(3/4) = −1/4 − 1/2 = −1/4 − 2/4 = −3/4
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (2/3)(5) + (8/9)(1) = 10/3 + 8/9 = 30/9 + 8/9 = 38/9
y = (1)(5) + (−2/3)(1) = 5 − 2/3 = 15/3 − 2/3 = 13/3
HP = {(38/9, 13/3)}
Contoh Soal 12
Diketahui matriks A =
Jika det(A) = 5, tentukan nilai a. Kemudian selesaikan SPLDV: (a+1)x + 2y = 8 dan 3x + (a−1)y = 7
Pembahasan:
Mencari nilai a:
det(A) = (a+1)(a−1) − (2)(3) = a² − 1 − 6 = a² − 7 = 5
a² = 12, maka a = 2√3 atau a = −2√3
Ambil a = 2√3 ≈ 3,46 (bukan bilangan bulat, coba cek ulang)
Sebenarnya: a² − 7 = 5 → a² = 12 → a = ±2√3
Untuk a = 2√3: A = [[2√3+1, 2],[3, 2√3−1]]
det(A) = 5 (sudah diketahui)
Menyelesaikan SPLDV dengan a = 2√3:
x = (1/5)[(2√3−1)(8) + (−2)(7)] = (1/5)(16√3 − 8 − 14) = (1/5)(16√3 − 22)
y = (1/5)[(−3)(8) + (2√3+1)(7)] = (1/5)(−24 + 14√3 + 7) = (1/5)(14√3 − 17)
HP = {((16√3−22)/5, (14√3−17)/5)}
Contoh Soal 13
Umur Ani 5 tahun yang lalu adalah setengah dari umur Budi saat ini. Jumlah umur mereka saat ini adalah 35 tahun. Tentukan umur masing-masing menggunakan metode invers matriks!
Pembahasan:
Misalkan x = umur Ani sekarang, y = umur Budi sekarang
Dari soal:
• x − 5 = (1/2)y → x − (1/2)y = 5 → 2x − y = 10
• x + y = 35
Langkah 1: A = [[2,−1],[1,1]], B = [[10],[35]]
Langkah 2: det(A) = (2)(1) − (−1)(1) = 2 + 1 = 3
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/3)[(1)(10) + (1)(35)] = (1/3)(45) = 15
y = (1/3)[(−1)(10) + (2)(35)] = (1/3)(−10 + 70) = (1/3)(60) = 20
Umur Ani = 15 tahun, Umur Budi = 20 tahun
HP = {(15, 20)}
Contoh Soal 14
Selesaikan SPLDV berikut:
0,3x − 0,7y = −1,1
0,5x + 0,2y = 1,6
Pembahasan:
Kalikan semua dengan 10 agar lebih mudah: 3x − 7y = −11 dan 5x + 2y = 16
Langkah 1: A = [[3,−7],[5,2]], B = [[−11],[16]]
Langkah 2: det(A) = (3)(2) − (−7)(5) = 6 + 35 = 41
Langkah 3:
Langkah 4:
x = (1/41)[(2)(−11) + (7)(16)] = (1/41)(−22 + 112) = (1/41)(90) = 90/41
y = (1/41)[(−5)(−11) + (3)(16)] = (1/41)(55 + 48) = (1/41)(103) = 103/41
HP = {(90/41, 103/41)}
Contoh Soal 15
Jika diketahui:
dan diketahui x + y = 5, tentukan nilai k serta selesaikan SPLDV tersebut!
Pembahasan:
Dari persamaan matriks:
2x − 3y = −1 … (1)
4x + ky = 14 … (2)
x + y = 5 … (3)
Dari pers. (1) dan (3):
Dari (3): x = 5 − y, substitusi ke (1):
2(5−y) − 3y = −1 → 10 − 2y − 3y = −1 → −5y = −11 → y = 11/5
x = 5 − 11/5 = 25/5 − 11/5 = 14/5
Mencari k: substitusi ke (2):
4(14/5) + k(11/5) = 14 → 56/5 + 11k/5 = 14 → 56 + 11k = 70 → 11k = 14 → k = 14/11
Verifikasi dengan invers matriks:
A = [[2,−3],[4,14/11]], det(A) = 2(14/11) − (−3)(4) = 28/11 + 12 = 28/11 + 132/11 = 160/11
x = (11/160)[(14/11)(−1) + (3)(14)] = (11/160)(−14/11 + 42) = (11/160)(−14/11 + 462/11) = (11/160)(448/11) = 448/160 = 14/5
y = (11/160)[(−4)(−1) + (2)(14)] = (11/160)(4 + 28) = (11/160)(32) = 352/160 = 11/5
HP = {(14/5, 11/5)} dengan k = 14/11
📋 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut menggunakan metode invers matriks!
● Tingkat Mudah
1.
x + 3y = 7 dan 2x + y = 4
2.
3x + 2y = 12 dan x + y = 5
3.
2x + y = 8 dan x + 4y = 11
4.
x + 2y = 10 dan 3x + y = 10
5.
5x + y = 13 dan x + 2y = 8
● Tingkat Sedang
6.
4x − 3y = 5 dan 2x + 5y = 19
7.
−3x + 2y = 1 dan 5x − 4y = −3
8.
Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk adalah Rp85.000. Harga 1 kg apel dan 4 kg jeruk adalah Rp65.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah!
9.
7x − 2y = 3 dan 3x + 5y = 17
10.
−x + 6y = 14 dan 2x − 3y = −5
● Tingkat Sulit
11.
(2/3)x + (1/4)y = 3 dan (1/2)x − (3/5)y = −1
12.
0,4x − 0,6y = −0,8 dan 1,5x + 0,3y = 3,9
13.
Selisih dua bilangan adalah 7. Jika bilangan yang lebih besar dikurangi dua kali bilangan yang lebih kecil hasilnya −3. Tentukan kedua bilangan tersebut!
14.
Diketahui matriks A = [[p, 2],[3, p+1]] memiliki det(A) = 7. Tentukan nilai p, kemudian selesaikan SPLDV: px + 2y = 10 dan 3x + (p+1)y = 13
15.
Perahu menempuh jarak 36 km searah arus dalam 2 jam, dan 24 km melawan arus dalam 3 jam. Tentukan kecepatan perahu di air tenang dan kecepatan arus menggunakan metode invers matriks!