Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Matriks X dari Persamaan AX = B dan XA = B
Pendahuluan
Dalam aljabar matriks, kita sering menemui persamaan yang melibatkan matriks yang tidak diketahui. Dua bentuk persamaan yang paling umum adalah:
- AX = B → matriks X berada di sebelah kanan matriks A
- XA = B → matriks X berada di sebelah kiri matriks A
Tujuan kita adalah menentukan matriks X yang memenuhi persamaan tersebut.
⚠️ Penting!
Perkalian matriks tidak komutatif, artinya AB ≠ BA pada umumnya. Oleh karena itu, cara menyelesaikan AX = B berbeda dengan XA = B.
Konsep Dasar: Menggunakan Invers Matriks
Untuk menyelesaikan persamaan matriks, kita memerlukan invers matriks. Jika A adalah matriks persegi berordo n×n dan det(A) ≠ 0, maka A memiliki invers yang dilambangkan A−1.
Invers Matriks 2×2
Jika A = abcd, maka:
A−1 = 1/(ad−bc) × d−b−ca
dengan syarat det(A) = ad − bc ≠ 0
Sifat Invers:
- A × A−1 = I (matriks identitas)
- A−1 × A = I (matriks identitas)
Bentuk I: Menentukan X dari AX = B
Langkah Penyelesaian:
Diketahui: AX = B
Langkah 1: Kalikan kedua ruas dari kiri dengan A−1
A−1 × AX = A−1 × B
Langkah 2: Karena A−1A = I, maka:
IX = A−1B
X = A−1B
🔑 Rumus: X = A−1 × B
Mengalikan dari KIRI dengan invers A
Bentuk II: Menentukan X dari XA = B
Langkah Penyelesaian:
Diketahui: XA = B
Langkah 1: Kalikan kedua ruas dari kanan dengan A−1
XA × A−1 = B × A−1
Langkah 2: Karena AA−1 = I, maka:
XI = BA−1
X = BA−1
🔑 Rumus: X = B × A−1
Mengalikan dari KANAN dengan invers A
Perbandingan Kedua Bentuk
| Aspek | AX = B | XA = B |
|---|---|---|
| Posisi X | Di kanan A | Di kiri A |
| Cara menyelesaikan | Kali kiri dengan A−1 | Kali kanan dengan A−1 |
| Hasil | X = A−1B | X = BA−1 |
Pertanyaan Kritis
- Mengapa pada AX = B kita mengalikan dari kiri, bukan dari kanan?
→ Karena A berada di kiri X, sehingga invers A harus ditempatkan di kiri agar A−1A = I. - Apa yang terjadi jika det(A) = 0?
→ Matriks A tidak memiliki invers, sehingga persamaan tidak dapat diselesaikan dengan metode invers. - Apakah A−1B selalu sama dengan BA−1?
→ Tidak! Perkalian matriks tidak komutatif, sehingga hasilnya umumnya berbeda.
Contoh Soal: Bentuk AX = B
● Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 2111 dan B = 5332
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung det(A) = (2)(1) − (1)(1) = 2 − 1 = 1
Langkah 2: Hitung A−1 = 1/1 × 1−1−12 = 1−1−12
Langkah 3: X = A−1B = 1−1−12 × 5332
= (1)(5)+(−1)(3)(1)(3)+(−1)(2)(−1)(5)+(2)(3)(−1)(3)+(2)(2)
= 2111
Jadi, X = 2111
Contoh 2:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 1203 dan B = 7496
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (1)(3) − (2)(0) = 3
Langkah 2: A−1 = 1/3 × 3−201 = 1−2/301/3
Langkah 3: X = A−1B = 1−2/301/3 × 7496
= 7−64−40+30+2 = 1032
Jadi, X = 1032
Contoh 3:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 3002 dan B = 6948
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (3)(2) − (0)(0) = 6
Langkah 2: A−1 = 1/6 × 2003 = 1/3001/2
Langkah 3: X = A−1B = 1/3001/2 × 6948
= 2324
Jadi, X = 2324
Contoh 4:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 1021 dan B = 3185
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (1)(1) − (0)(2) = 1
Langkah 2: A−1 = 10−21
Langkah 3: X = A−1B = 10−21 × 3185
= 3123
Jadi, X = 3123
Contoh 5:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 4131 dan B = 5241
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (4)(1) − (1)(3) = 4 − 3 = 1
Langkah 2: A−1 = 1−1−34
Langkah 3: X = A−1B = 1−1−34 × 5241
= 5−42−1−15+16−6+4 = 111−2
Jadi, X = 111−2
● Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 2312 dan B = 11774
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (2)(2) − (3)(1) = 4 − 3 = 1
Langkah 2: A−1 = 2−3−12
Langkah 3: X = 2−3−12 × 11774
= 22−2114−12−11+14−7+8 = 1231
Jadi, X = 1231
Contoh 7:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 5231 dan B = −1805
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (5)(1) − (2)(3) = 5 − 6 = −1
Langkah 2: A−1 = 1/(−1) × 1−2−35 = −123−5
Langkah 3: X = −123−5 × −1805
= 1+0−8+10−3+024−25 = 12−3−1
Jadi, X = 12−3−1
Contoh 8:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 3423 dan B = 1−21−1
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 9 − 8 = 1
Langkah 2: A−1 = 3−4−23
Langkah 3: X = 3−4−23 × 1−21−1
= 3−4−6+4−2+34−3 = −1−211
Jadi, X = −1−211
Contoh 9:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 1−123 dan B = 4−3131
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = (1)(3) − (−1)(2) = 3 + 2 = 5
Langkah 2: A−1 = 1/5 × 31−21 = 3/51/5−2/51/5
Langkah 3: X = 3/51/5−2/51/5 × 4−3131
= 12/5+13/5−9/5+1/5−8/5+13/56/5+1/5 = 5−8/517/5
Jadi, X = 5−8/517/5
Contoh 10:
Tentukan matriks X jika AX = B, dengan:
A = 2−143 dan B = 351610
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 6 − (−4) = 10
Langkah 2: A−1 = 1/10 × 31−42 = 3/101/10−4/102/10
Langkah 3: X = 3/101/10−2/51/5 × 351610
= 9/10+16/1015/10+10/10−6/5+16/5−10/5+10/5 = 5/25/220
Jadi, X = 5/25/220
● Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan matriks X jika 2AX + B = 3I, dengan:
A = 1213 dan B = 1001
Pembahasan:
Langkah 1: Ubah ke bentuk AX = …
2AX = 3I − B = 3003 − 1001 = 2002
AX = 1/2 × 2002 = 1001 = I
Langkah 2: det(A) = 3 − 2 = 1, A−1 = 3−2−11
Langkah 3: X = A−1 × I = A−1 = 3−2−11
Jadi, X = 3−2−11
Contoh 12:
Tentukan matriks X jika AX − 2B = A, dengan:
A = 3152 dan B = 1021
Pembahasan:
Langkah 1: AX = A + 2B = 3152 + 2042 = 5194
Langkah 2: det(A) = 6 − 5 = 1, A−1 = 2−1−53
Langkah 3: X = A−1(A+2B) = 2−1−53 × 5194
= 10−92−4−25+27−5+12 = 1−227
Jadi, X = 1−227
Contoh 13:
Tentukan matriks X jika A(X + I) = B, dengan:
A = 2132 dan B = 5385
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 4 − 3 = 1, A−1 = 2−1−32
Langkah 2: X + I = A−1B = 2−1−32 × 5385 = 2111
Langkah 3: X = 2111 − 1001 = 1110
Jadi, X = 1110
Contoh 14:
Tentukan matriks X jika AXA = B, dengan:
A = 1101 dan B = 3512
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 1 − 0 = 1, A−1 = 1−101
Langkah 2: Dari AXA = B, kalikan kiri dengan A−1: XA = A−1B
A−1B = 1−101 × 3512 = 2312
Langkah 3: Kalikan kanan dengan A−1: X = A−1B × A−1
= 2312 × 1−101 = 2111
Jadi, X = 2111
Contoh 15:
Tentukan matriks X jika A²X = B, dengan:
A = 1101 dan B = 3411
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung A² = A × A = 1101 × 1101 = 1201
Langkah 2: det(A²) = 1 − 0 = 1, (A²)−1 = 1−201
Langkah 3: X = (A²)−1B = 1−201 × 3411
= 3−24−20+10+1 = 1211
Jadi, X = 1211
Contoh Soal: Bentuk XA = B
● Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 2111 dan B = 5332
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 2 − 1 = 1, A−1 = 1−1−12
Langkah 2: X = B × A−1 = 5332 × 1−1−12
= 5−3−5+63−2−3+4 = 2111
Jadi, X = 2111
Contoh 2:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 1021 dan B = 4365
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 1, A−1 = 10−21
Langkah 2: X = BA−1 = 4365 × 10−21
= 4−60+36−100+5 = −23−45
Jadi, X = −23−45
Contoh 3:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 3002 dan B = 6498
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 6, A−1 = 1/3001/2
Langkah 2: X = BA−1 = 6498 × 1/3001/2 = 2234
Jadi, X = 2234
Contoh 4:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 1301 dan B = 2714
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 1, A−1 = 1−301
Langkah 2: X = BA−1 = 2714 × 1−301
= 2−6+71−3+4 = 2111
Jadi, X = 2111
Contoh 5:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 4311 dan B = 7554
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 4 − 3 = 1, A−1 = 1−3−14
Langkah 2: X = BA−1 = 7554 × 1−3−14
= 7−5−21+205−4−15+16 = 2−111
Jadi, X = 2−111
● Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 2312 dan B = 81157
Pembahasan:
det(A) = 4 − 3 = 1, A−1 = 2−3−12
X = BA−1 = 81157 × 2−3−12
= 16−11−24+2210−7−15+14 = 5−23−1
Jadi, X = 5−23−1
Contoh 7:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 5231 dan B = 4173
Pembahasan:
det(A) = 5 − 6 = −1, A−1 = −123−5
X = BA−1 = 4173 × −123−5
= −4+38−5−7+914−15 = −132−1
Jadi, X = −132−1
Contoh 8:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 1−231 dan B = −504−3
Pembahasan:
det(A) = 1+6 = 7, A−1 = 1/7 × 12−31
X = BA−1 = −504−3 × 1/7 × 12−31
= 1/7 × −5−10135 = −5/7−10/713/75/7
Jadi, X = −5/7−10/713/75/7
Contoh 9:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 3423 dan B = −1−256
Pembahasan:
det(A) = 9−8 = 1, A−1 = 3−4−23
X = BA−1 = −1−256 × 3−4−23
= −3+44−615−12−20+18 = 1−23−2
Jadi, X = 1−23−2
Contoh 10:
Tentukan matriks X jika XA = B, dengan:
A = 2−143 dan B = 05107
Pembahasan:
det(A) = 6+4 = 10, A−1 = 1/10 × 31−42
X = BA−1 = 05107 × 1/10 × 31−42
= 1/10 × −2010224 = −211/512/5
Jadi, X = −211/512/5
● Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan matriks X jika XA + B = 2I, dengan:
A = 1213 dan B = 0−21−1
Pembahasan:
Langkah 1: XA = 2I − B = 2002 − 0−21−1 = 22−13
Langkah 2: det(A) = 3−2 = 1, A−1 = 3−2−11
Langkah 3: X = (2I−B)A−1 = 22−13 × 3−2−11
= 6−2−4+2−3−32+3 = 4−2−65
Jadi, X = 4−2−65
Contoh 12:
Tentukan matriks X jika XA − A = B, dengan:
A = 2111 dan B = 3211
Pembahasan:
Langkah 1: XA = B + A = 5322
Langkah 2: det(A) = 1, A−1 = 1−1−12
Langkah 3: X = (B+A)A−1 = 5322 × 1−1−12
= 5−3−5+62−2−2+4 = 2102
Jadi, X = 2102
Contoh 13:
Tentukan matriks X jika (X−I)A = B, dengan:
A = 3121 dan B = 4162
Pembahasan:
Langkah 1: det(A) = 3−2 = 1, A−1 = 1−1−23
Langkah 2: X − I = BA−1 = 4162 × 1−1−23 = 2−120
Langkah 3: X = 2−120 + I = 3−121
Jadi, X = 3−121
Contoh 14:
Tentukan matriks X jika AXA = B, dengan:
A = 2111 dan B = 7443
Pembahasan:
det(A) = 1, A−1 = 1−1−12
X = A−1BA−1
A−1B = 1−1−12 × 7443 = 3112
X = 3112 × 1−1−12 = 2−1−13
Jadi, X = 2−1−13
Contoh 15:
Tentukan matriks X jika XA² = B, dengan:
A = 1101 dan B = 2513
Pembahasan:
A² = 1201, det(A²) = 1, (A²)−1 = 1−201
X = B(A²)−1 = 2513 × 1−201
= 2−4+51−2+3 = 2111
Jadi, X = 2111
Latihan Soal: Bentuk AX = B
● Tingkat Mudah
1.
Tentukan X jika AX = B, A = 1102, B = 4362
2.
Tentukan X jika AX = B, A = 2003, B = 8496
3.
Tentukan X jika AX = B, A = 1301, B = 7521
4.
Tentukan X jika AX = B, A = 3121, B = 4534
5.
Tentukan X jika AX = B, A = 1213, B = 5487
● Tingkat Sedang
6.
Tentukan X jika AX = B, A = 4332, B = −1504
7.
Tentukan X jika AX = B, A = 1−132, B = 3−4112
8.
Tentukan X jika AX = B, A = 2513, B = 9754
9.
Tentukan X jika AX = B, A = 3−251, B = 7085
10.
Tentukan X jika AX = B, A = −1234, B = 6−2210
● Tingkat Sulit
11.
Tentukan X jika 3AX − I = B, A = 2111, B = 5332
12.
Tentukan X jika A(2X − I) = B, A = 3211, B = 7432
13.
Tentukan X jika AXA = B, A = 2132, B = 1071511
14.
Tentukan X jika A²X = B + A, A = 1201, B = 0123
15.
Tentukan X jika AX + XA = 2B, A = 1002, B = 3246
Latihan Soal: Bentuk XA = B
● Tingkat Mudah
1.
Tentukan X jika XA = B, A = 1201, B = 3524
2.
Tentukan X jika XA = B, A = 2004, B = 68412
3.
Tentukan X jika XA = B, A = 1031, B = 7251
4.
Tentukan X jika XA = B, A = 3211, B = 5343
5.
Tentukan X jika XA = B, A = 2132, B = 74116
● Tingkat Sedang
6.
Tentukan X jika XA = B, A = 5321, B = −1032
7.
Tentukan X jika XA = B, A = 1−324, B = 7−251
8.
Tentukan X jika XA = B, A = 3152, B = −1073
9.
Tentukan X jika XA = B, A = 4−123, B = 1058−1
10.
Tentukan X jika XA = B, A = 2312, B = −1437
● Tingkat Sulit
11.
Tentukan X jika 2XA + I = B, A = 1102, B = 5735
12.
Tentukan X jika (X+I)A = B, A = 2132, B = 95106
13.
Tentukan X jika XA² = B, A = 1102, B = 17210
14.
Tentukan X jika AXA = B, A = 1213, B = 58813
15.
Tentukan X jika XA + AX = 2B, A = 2001, B = 4323
Rangkuman
- AX = B → X = A−1B (kalikan kedua ruas dari KIRI dengan A−1)
- XA = B → X = BA−1 (kalikan kedua ruas dari KANAN dengan A−1)
- Syarat: matriks A harus memiliki invers (det(A) ≠ 0)
- Perkalian matriks tidak komutatif, jadi posisi perkalian (kiri/kanan) sangat penting
- Untuk persamaan yang lebih kompleks, sederhanakan terlebih dahulu ke bentuk dasar AX = C atau XA = C