Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Modul Pembelajaran Interaktif
Materi Pembelajaran
Pendahuluan
Penjumlahan dan pengurangan matriks memiliki sifat-sifat khusus yang perlu dipahami. Sifat-sifat ini membantu kita dalam menyelesaikan operasi matriks secara lebih efisien.
Syarat utama: Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama (jumlah baris dan kolom sama).
Kegiatan: Mengamati
Amatilah operasi matriks berikut:
Misalkan: [1234] + [5678] = [681012]
Dan: [5678] + [1234] = [681012]
Perhatikan: Apakah hasil keduanya sama? Sifat apakah yang berlaku?
Sifat 1: Sifat Komutatif (Penjumlahan)
A + B = B + A
Urutan penjumlahan matriks dapat dipertukarkan tanpa mengubah hasilnya.
Jika A = [a₁₁a₁₂a₂₁a₂₂] dan B = [b₁₁b₁₂b₂₁b₂₂]
Maka A + B = [a₁₁+b₁₁a₁₂+b₁₂a₂₁+b₂₁a₂₂+b₂₂] = B + A
Catatan: Sifat komutatif tidak berlaku untuk pengurangan matriks. A − B ≠ B − A (kecuali A = B).
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan untuk didiskusikan:
- Mengapa sifat komutatif berlaku pada penjumlahan matriks?
- Mengapa sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan matriks?
- Apakah ada syarat khusus agar sifat-sifat ini berlaku?
Sifat 2: Sifat Asosiatif (Penjumlahan)
(A + B) + C = A + (B + C)
Pengelompokan dalam penjumlahan matriks dapat diubah tanpa mengubah hasilnya.
Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks berordo sama, maka:
Kita boleh menjumlahkan A dan B terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan C. Atau menjumlahkan B dan C terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan A. Kedua cara menghasilkan matriks yang sama.
Catatan: Sifat asosiatif tidak berlaku untuk pengurangan matriks. (A − B) − C ≠ A − (B − C) pada umumnya.
Sifat 3: Elemen Identitas Penjumlahan (Matriks Nol)
A + O = O + A = A
Matriks nol (O) adalah elemen identitas pada penjumlahan matriks. Setiap matriks yang dijumlahkan dengan matriks nol akan menghasilkan matriks itu sendiri.
Matriks nol berordo 2×2: O = [0000]
Maka: [3579] + [0000] = [3579]
Sifat 4: Invers Penjumlahan (Lawan Matriks)
A + (−A) = (−A) + A = O
Setiap matriks A memiliki lawan (invers penjumlahan) yaitu −A, sehingga jika dijumlahkan menghasilkan matriks nol.
Jika A = [2−341], maka −A = [−23−4−1]
Sehingga A + (−A) = [2+(−2)−3+34+(−4)1+(−1)] = [0000] = O
Sifat 5: Sifat Distributif Skalar terhadap Penjumlahan/Pengurangan Matriks
k(A + B) = kA + kB
k(A − B) = kA − kB
(k + m)A = kA + mA
dengan k dan m adalah skalar (bilangan real).
Contoh: Jika k = 2, A = [1324], B = [5102]
Maka k(A + B) = 2 × [6426] = [128412]
Dan kA + kB = [2648] + [10204] = [128412] ✓ (sama)
Sifat 6: Pengurangan sebagai Penjumlahan dengan Lawan
A − B = A + (−B)
Pengurangan matriks sama dengan menjumlahkan matriks pertama dengan lawan matriks kedua.
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan sifat-sifat di atas, jawablah pertanyaan berikut secara logis:
- Jika A + B = C, apakah B + A = C juga? Jelaskan!
- Jika (A + B) + C = D, apakah A + (B + C) = D juga? Mengapa?
- Mengapa A − B ≠ B − A pada umumnya? Berikan alasannya!
- Buktikan bahwa (A − B) − C ≠ A − (B − C) dengan contoh numerik!
Kegiatan: Mencoba
Cobalah verifikasi sifat-sifat berikut dengan matriks:
A = [2103], B = [4−125], C = [−131−2]
- Buktikan A + B = B + A
- Buktikan (A + B) + C = A + (B + C)
- Buktikan A + O = A
- Buktikan A + (−A) = O
- Buktikan 3(A + B) = 3A + 3B
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil kerjamu:
- Tuliskan ringkasan sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks beserta contoh masing-masing.
- Jelaskan perbedaan sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan vs pengurangan matriks.
- Buatlah tabel perbandingan sifat-sifat bilangan real dan matriks pada operasi penjumlahan/pengurangan.
Rangkuman Sifat-Sifat
| Sifat | Penjumlahan | Pengurangan |
|---|---|---|
| Komutatif | ✓ Berlaku | ✗ Tidak berlaku |
| Asosiatif | ✓ Berlaku | ✗ Tidak berlaku |
| Elemen Identitas (O) | ✓ Berlaku | ✓ Berlaku (A−O=A) |
| Invers Penjumlahan | ✓ Berlaku | − |
| Distributif Skalar | ✓ Berlaku | ✓ Berlaku |
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1:
Buktikan sifat komutatif untuk A = [1234] dan B = [5678]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
A + B = [1+52+63+74+8] = [681012]
B + A = [5+16+27+38+4] = [681012]
Kesimpulan: A + B = B + A (terbukti komutatif) ✓
Soal 2:
Tentukan A + O jika A = [4−127]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
O (matriks nol 2×2) = [0000]
A + O = [4+0−1+02+07+0] = [4−127] = A ✓
Kesimpulan: A + O = A (sifat elemen identitas terbukti)
Soal 3:
Tentukan −A jika A = [3−5−28], kemudian buktikan A + (−A) = O.
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
−A = [−352−8]
A + (−A) = [3+(−3)−5+5−2+28+(−8)] = [0000] = O ✓
Soal 4:
Tunjukkan bahwa A − B = A + (−B) untuk A = [6214] dan B = [3122]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
A − B = [6−32−11−24−2] = [31−12]
−B = [−3−1−2−2]
A + (−B) = [6+(−3)2+(−1)1+(−2)4+(−2)] = [31−12] ✓
Kesimpulan: A − B = A + (−B) terbukti.
Soal 5:
Buktikan 2(A + B) = 2A + 2B untuk A = [1023] dan B = [4102]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
A + B = [5125]
2(A + B) = [102410]
2A = [2046], 2B = [8204]
2A + 2B = [102410] ✓
Kesimpulan: 2(A + B) = 2A + 2B (sifat distributif terbukti)
Tingkat Sedang
Soal 6:
Buktikan sifat asosiatif (A + B) + C = A + (B + C) untuk:
A = [1−230], B = [41−12], C = [−352−4]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
Ruas kiri:
A + B = [5−122]
(A + B) + C = [5+(−3)−1+52+22+(−4)] = [244−2]
Ruas kanan:
B + C = [161−2]
A + (B + C) = [1+1−2+63+10+(−2)] = [244−2]
Kesimpulan: (A + B) + C = A + (B + C) = [244−2] ✓
Soal 7:
Tunjukkan bahwa A − B ≠ B − A untuk A = [5317] dan B = [2461]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
A − B = [5−23−41−67−1] = [3−1−56]
B − A = [2−54−36−11−7] = [−315−6]
Kesimpulan: A − B ≠ B − A (pengurangan tidak komutatif)
Catatan: A − B = −(B − A), artinya hasilnya saling berlawanan.
Soal 8:
Buktikan (2+3)A = 2A + 3A untuk A = [2−143]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
Ruas kiri: (2+3)A = 5A = [10−52015]
Ruas kanan:
2A = [4−286], 3A = [6−3129]
2A + 3A = [10−52015] ✓
Soal 9:
Tunjukkan bahwa (A − B) − C ≠ A − (B − C) untuk:
A = [8426], B = [3152], C = [1213]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
Ruas kiri:
A − B = [53−34]
(A − B) − C = [41−41]
Ruas kanan:
B − C = [2−14−1]
A − (B − C) = [65−27]
Kesimpulan: (A − B) − C ≠ A − (B − C) (pengurangan tidak asosiatif) ✓
Soal 10:
Buktikan 3(A − B) = 3A − 3B untuk A = [72−15] dan B = [3142]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
Ruas kiri:
A − B = [41−53]
3(A − B) = [123−159]
Ruas kanan:
3A = [216−315], 3B = [93126]
3A − 3B = [123−159] ✓
Tingkat Sulit
Soal 11:
Diketahui A + B = [7359] dan A − B = [1−131]. Tentukan matriks A dan B!
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
Dari sifat penjumlahan: (A + B) + (A − B) = 2A
2A = [7+13+(−1)5+39+1] = [82810]
A = ½ × [82810] = [4145]
Dari (A + B) − (A − B) = 2B:
2B = [7−13−(−1)5−39−1] = [6428]
B = [3214]
Verifikasi: A + B = [7359] ✓
Soal 12:
Jika 2A + 3B = [1371119] dan A − B = [1−120], tentukan A dan B!
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
Dari A − B → A = B + [1−120]
Substitusi ke persamaan pertama:
2(B + [1−120]) + 3B = [1371119]
2B + [2−240] + 3B = [1371119]
5B = [119719]
B = [11/59/57/519/5]
A = B + [1−120] = [16/54/517/519/5]
Soal 13:
Buktikan bahwa untuk matriks 3×3, sifat komutatif tetap berlaku. Gunakan:
A = [123456789], B = [987654321]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
A + B = [101010101010101010]
B + A = [101010101010101010]
Kesimpulan: A + B = B + A terbukti untuk matriks 3×3 ✓
Hal ini berlaku karena penjumlahan dilakukan per elemen, dan penjumlahan bilangan real bersifat komutatif (a+b = b+a).
Soal 14:
Diketahui A − 2B + C = [0000] dan A = [4628], C = [−204−2]. Tentukan B!
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan:
A − 2B + C = O
2B = A + C
A + C = [4+(−2)6+02+48+(−2)] = [2666]
B = ½(A + C) = [1333]
Verifikasi: A − 2B + C = [4−2−26−6+02−6+48−6−2] = [0000] ✓
Soal 15:
Buktikan bahwa jika A + B = C dan A − B = D, maka A = ½(C + D) dan B = ½(C − D). Verifikasi dengan:
C = [104612], D = [2−240]
▶ Lihat Pembahasan
Pembahasan (Pembuktian):
Dari A + B = C … (1) dan A − B = D … (2)
(1) + (2): 2A = C + D → A = ½(C + D)
(1) − (2): 2B = C − D → B = ½(C − D)
Verifikasi:
A = ½(C + D) = ½ × [1221012] = [6156]
B = ½(C − D) = ½ × [86212] = [4316]
Cek: A + B = [104612] = C ✓
A − B = [2−240] = D ✓
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan!
Tingkat Mudah
1.
Buktikan sifat komutatif A + B = B + A untuk A = [2513] dan B = [4162]
2.
Tentukan −A dan buktikan A + (−A) = O untuk A = [7−305]
3.
Hitunglah A + O dan O + A untuk A = [−146−2]
4.
Tunjukkan A − B = A + (−B) untuk A = [9327] dan B = [4153]
5.
Buktikan 4(A + B) = 4A + 4B untuk A = [1201] dan B = [3012]
Tingkat Sedang
6.
Buktikan (A + B) + C = A + (B + C) untuk A = [3−124], B = [−251−3], C = [40−12]
7.
Tunjukkan bahwa A − B ≠ B − A dan buktikan A − B = −(B − A) untuk A = [81−35] dan B = [264−1]
8.
Buktikan (3+2)A = 3A + 2A untuk A = [−143−2]
9.
Tunjukkan bahwa (A − B) − C ≠ A − (B − C) untuk A = [10538], B = [4213], C = [2132]
10.
Buktikan 2(A − B) = 2A − 2B untuk A = [6−352] dan B = [14−27]
Tingkat Sulit
11.
Diketahui A + B = [95711] dan A − B = [3−115]. Tentukan A dan B!
12.
Jika 3A − 2B = [71−510] dan A + B = [5316], tentukan A dan B!
13.
Buktikan bahwa untuk matriks 3×3 berikut, sifat asosiatif berlaku:
A = [102−1314−25], B = [21−1304−251], C = [−12301−2130]
14.
Diketahui 2A − B + 3C = O, A = [1−234], C = [−120−3]. Tentukan B!
15.
Tentukan matriks X yang memenuhi: X + 2[13−24] − 3[2−110] = [50−32]