Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Persamaan Matriks
Pengertian Persamaan Matriks
Persamaan matriks adalah suatu persamaan yang memuat variabel (unsur yang belum diketahui nilainya) di dalam matriks. Untuk menyelesaikan persamaan matriks, kita menggunakan sifat kesamaan dua matriks.
Definisi
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika:
- Kedua matriks memiliki ordo yang sama
- Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) pada kedua matriks bernilai sama
Secara matematis, jika matriks A = matriks B, maka:
| a11 | a12 |
| a21 | a22 |
| b11 | b12 |
| b21 | b22 |
artinya: a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua matriks berikut:
| 2x + 1 | 5 |
| 3 | y − 4 |
| 7 | 5 |
| 3 | 2 |
Amatilah! Jika A = B, elemen-elemen mana saja yang mengandung variabel? Bagaimana cara menentukan nilai variabel tersebut?
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana menentukan nilai x dan y agar matriks A = matriks B?
- Apakah semua persamaan matriks selalu memiliki penyelesaian?
- Bagaimana jika variabel terdapat pada lebih dari satu elemen?
Kegiatan: Menalar
Karena A = B, maka elemen-elemen yang seletak harus sama:
- Elemen baris 1 kolom 1: 2x + 1 = 7 → 2x = 6 → x = 3
- Elemen baris 2 kolom 2: y − 4 = 2 → y = 6
- Elemen baris 1 kolom 2: 5 = 5 ✓ (sudah sesuai)
- Elemen baris 2 kolom 1: 3 = 3 ✓ (sudah sesuai)
Kegiatan: Mencoba
Cobalah substitusikan nilai x = 3 dan y = 6 ke matriks A:
| 2(3) + 1 | 5 |
| 3 | 6 − 4 |
| 7 | 5 |
| 3 | 2 |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Untuk menyelesaikan persamaan matriks, kita menyamakan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian posisinya) pada kedua ruas persamaan, kemudian menyelesaikan persamaan aljabar yang terbentuk untuk menemukan nilai variabel yang dicari.
Langkah-langkah Menyelesaikan Persamaan Matriks
- Pastikan kedua matriks memiliki ordo yang sama. Jika ordo berbeda, maka persamaan tidak memiliki penyelesaian.
- Samakan elemen-elemen yang seletak (posisi baris dan kolom yang sama) dari kedua ruas persamaan.
- Selesaikan persamaan aljabar yang terbentuk dari masing-masing pasangan elemen yang seletak.
- Periksa kembali jawaban dengan mensubstitusikan nilai variabel ke matriks awal.
⚠️ Penting!
Jika persamaan matriks melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, atau perkalian skalar, selesaikan terlebih dahulu operasi tersebut sehingga membentuk satu matriks di masing-masing ruas, baru samakan elemen-elemen yang seletak.
Persamaan Matriks yang Melibatkan Operasi
1. Persamaan dengan Penjumlahan/Pengurangan Matriks
Jika diberikan persamaan A + B = C, dengan A mengandung variabel, maka A = C − B. Selesaikan dengan menyamakan elemen seletak.
| x | y |
| z | w |
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 7 |
| 9 | 11 |
Maka: x + 1 = 5, y + 2 = 7, z + 3 = 9, w + 4 = 11
2. Persamaan dengan Perkalian Skalar
Jika diberikan kA = B, maka setiap elemen A dikalikan k sama dengan elemen B yang seletak.
| x | 3 |
| y | −1 |
| 8 | 6 |
| −4 | −2 |
Maka: 2x = 8 → x = 4, dan 2y = −4 → y = −2
3. Persamaan dengan Transpose
Jika AT = B, maka elemen baris ke-i kolom ke-j pada A sama dengan elemen baris ke-j kolom ke-i pada AT (= B).
| a | b |
| c | d |
| a | c |
| b | d |
Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai x dan y jika:
| x + 2 | 5 |
| 3 | y − 1 |
| 6 | 5 |
| 3 | 4 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Samakan elemen seletak.
Elemen baris 1 kolom 1: x + 2 = 6
Elemen baris 2 kolom 2: y − 1 = 4
Langkah 2: Selesaikan persamaan.
x + 2 = 6 → x = 6 − 2 → x = 4
y − 1 = 4 → y = 4 + 1 → y = 5
Langkah 3: Verifikasi.
| 4 + 2 | 5 |
| 3 | 5 − 1 |
| 6 | 5 |
| 3 | 4 |
Contoh 2
Tentukan nilai a jika:
| 3a | 9 |
| 7 | 2 |
| 12 | 9 |
| 7 | 2 |
Lihat Pembahasan
Elemen baris 1 kolom 1: 3a = 12
a = 12 ÷ 3 → a = 4
Contoh 3
Tentukan nilai p dan q jika:
| 2p | q + 3 |
| 10 | 8 |
Lihat Pembahasan
Elemen kolom 1: 2p = 10 → p = 5
Elemen kolom 2: q + 3 = 8 → q = 5
Contoh 4
Tentukan nilai x, y, dan z jika:
| x |
| y |
| z |
| 7 |
| −3 |
| 5 |
Lihat Pembahasan
Langsung dari kesamaan elemen seletak:
x = 7, y = −3, z = 5
Contoh 5
Tentukan nilai m jika:
| m | 3 |
| 1 | 4 |
| 14 | 6 |
| 2 | 8 |
Lihat Pembahasan
Kalikan skalar 2 ke setiap elemen matriks kiri:
| 2m | 6 |
| 2 | 8 |
| 14 | 6 |
| 2 | 8 |
Elemen baris 1 kolom 1: 2m = 14 → m = 7
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan nilai x dan y jika:
| 2x + y | 5 |
| 3 | x − y |
| 7 | 5 |
| 3 | 1 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Bentuk sistem persamaan.
Persamaan (1): 2x + y = 7
Persamaan (2): x − y = 1
Langkah 2: Eliminasi/substitusi.
Dari (2): x = 1 + y, substitusi ke (1):
2(1 + y) + y = 7 → 2 + 2y + y = 7 → 3y = 5 → y = 5/3
x = 1 + 5/3 = x = 8/3
Contoh 7
Tentukan nilai a dan b jika:
| a + b | 4 |
| 6 | ab |
| 5 | 4 |
| 6 | 6 |
Lihat Pembahasan
Persamaan (1): a + b = 5
Persamaan (2): ab = 6
Dari (1): b = 5 − a. Substitusi ke (2):
a(5 − a) = 6 → 5a − a² = 6 → a² − 5a + 6 = 0
(a − 2)(a − 3) = 0 → a = 2 atau a = 3
Jika a = 2 maka b = 3, jika a = 3 maka b = 2
Jawaban: (a, b) = (2, 3) atau (3, 2)
Contoh 8
Tentukan nilai x dan y jika:
| x | 2 |
| −1 | y |
| 3 | y |
| x | 1 |
| 7 | 6 |
| 2 | 5 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Jumlahkan matriks di ruas kiri:
| x + 3 | 2 + y |
| −1 + x | y + 1 |
| 7 | 6 |
| 2 | 5 |
Langkah 2: Samakan elemen seletak:
x + 3 = 7 → x = 4
2 + y = 6 → y = 4
Verifikasi: −1 + x = −1 + 4 = 3 ≠ 2… Cek ulang: −1 + x = 2 → x = 3
Terdapat kontradiksi: dari elemen (1,1) x = 4, dari elemen (2,1) x = 3.
Mari periksa kembali: elemen (2,1): −1 + x = 2 → x = 3, elemen (1,1): x + 3 = 7 → x = 4.
Kesimpulan: Persamaan ini TIDAK memiliki penyelesaian karena terdapat kontradiksi pada nilai x.
Contoh 9
Tentukan nilai x dan y jika:
| x | 1 |
| 2 | y |
| 2 | −1 |
| 4 | 3 |
| 7 | 4 |
| 2 | 6 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Kalikan skalar:
| 3x | 3 |
| 6 | 3y |
| 2 | −1 |
| 4 | 3 |
| 7 | 4 |
| 2 | 6 |
Langkah 2: Kurangkan:
| 3x − 2 | 4 |
| 2 | 3y − 3 |
| 7 | 4 |
| 2 | 6 |
3x − 2 = 7 → 3x = 9 → x = 3
3y − 3 = 6 → 3y = 9 → y = 3
Contoh 10
Diketahui AT = B. Tentukan nilai x dan y jika:
| 1 | x + y |
| 3 | 5 |
| 1 | 3 |
| 4 | 5 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tentukan AT:
| 1 | 3 |
| x + y | 5 |
Langkah 2: AT = B, samakan elemen seletak:
Elemen (2,1): x + y = 4
Karena hanya ada satu persamaan dengan dua variabel, kita perlu informasi tambahan. Namun dari konteks soal, elemen lain sudah cocok.
Jawaban: x + y = 4 (banyak solusi, misalnya x = 1, y = 3 atau x = 2, y = 2)
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan nilai x, y, dan z jika:
| x | y |
| z | 1 |
| y | z |
| x | 3 |
| 11 | 7 |
| 9 | 5 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Sederhanakan ruas kiri:
| 2x + y | 2y + z |
| 2z + x | 5 |
| 11 | 7 |
| 9 | 5 |
Langkah 2: Sistem persamaan:
(1): 2x + y = 11
(2): 2y + z = 7
(3): 2z + x = 9
Langkah 3: Selesaikan SPLTV.
Dari (1): y = 11 − 2x
Substitusi ke (2): 2(11 − 2x) + z = 7 → 22 − 4x + z = 7 → z = 4x − 15
Substitusi ke (3): 2(4x − 15) + x = 9 → 8x − 30 + x = 9 → 9x = 39 → x = 13/3
y = 11 − 2(13/3) = 11 − 26/3 = 33/3 − 26/3 = y = 7/3
z = 4(13/3) − 15 = 52/3 − 45/3 = z = 7/3
Contoh 12
Tentukan nilai x dan y jika:
| x² | 2x + y |
| 3 | y² |
| 9 | 5 |
| 3 | 1 |
Lihat Pembahasan
Elemen (1,1): x² = 9 → x = 3 atau x = −3
Elemen (2,2): y² = 1 → y = 1 atau y = −1
Elemen (1,2): 2x + y = 5
Uji kombinasi:
• x = 3, y = 1: 2(3) + 1 = 7 ≠ 5 ✗
• x = 3, y = −1: 2(3) + (−1) = 5 ✓
• x = −3, y = 1: 2(−3) + 1 = −5 ≠ 5 ✗
• x = −3, y = −1: 2(−3) + (−1) = −7 ≠ 5 ✗
Jawaban: x = 3 dan y = −1
Contoh 13
Tentukan matriks X jika:
| 1 | −2 |
| 3 | 0 |
| 5 | 4 |
| −1 | 6 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Pindahkan matriks ke ruas kanan:
| 5 | 4 |
| −1 | 6 |
| 1 | −2 |
| 3 | 0 |
| 4 | 6 |
| −4 | 6 |
Langkah 2: Bagi kedua ruas dengan 2:
| 4 | 6 |
| −4 | 6 |
| 2 | 3 |
| −2 | 3 |
Contoh 14
Tentukan matriks A dan B jika:
| 7 | 4 |
| 3 | 8 |
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Jumlahkan kedua persamaan:
(A + B) + (A − B) = 2A
| 7+3 | 4+2 |
| 3+1 | 8+4 |
| 10 | 6 |
| 4 | 12 |
| 5 | 3 |
| 2 | 6 |
Langkah 2: Kurangkan: (A + B) − (A − B) = 2B
| 7−3 | 4−2 |
| 3−1 | 8−4 |
| 4 | 2 |
| 2 | 4 |
| 2 | 1 |
| 1 | 2 |
Contoh 15
Tentukan nilai a, b, c, dan d jika:
| a + b | 2a − c |
| b + d | c − d |
| 3 | 1 |
| 7 | −2 |
dengan syarat a + c = 4.
Lihat Pembahasan
Sistem persamaan:
(1): a + b = 3
(2): 2a − c = 1
(3): b + d = 7
(4): c − d = −2
(5): a + c = 4 (syarat tambahan)
Penyelesaian:
Dari (2): c = 2a − 1. Substitusi ke (5):
a + (2a − 1) = 4 → 3a = 5 → a = 5/3
c = 2(5/3) − 1 = 10/3 − 3/3 = c = 7/3
Dari (1): b = 3 − 5/3 = 9/3 − 5/3 = b = 4/3
Dari (4): d = c + 2 = 7/3 + 6/3 = d = 13/3
Verifikasi (3): b + d = 4/3 + 13/3 = 17/3 ≠ 7
Karena 17/3 ≠ 7, maka persamaan ini tidak memiliki penyelesaian yang memenuhi semua syarat sekaligus.
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk mengasah pemahamanmu!
Mudah
1.
Tentukan nilai x dan y jika:
| x − 3 | 7 |
| 4 | 2y |
| 5 | 7 |
| 4 | 10 |
2.
Tentukan nilai a jika:
| 4a + 1 | 2 |
| 6 | 9 |
| 13 | 2 |
| 6 | 9 |
3.
Tentukan nilai p dan q jika:
| p | 2 |
| q | 4 |
| 9 | 6 |
| −6 | 12 |
4.
Tentukan nilai m dan n jika:
| m + 4 | n − 2 | 7 |
| 9 | 3 | 7 |
5.
Tentukan nilai x jika:
| x + 1 | 8 |
| 5 | x − 1 |
| 4 | 8 |
| 5 | 2 |
Sedang
6.
Tentukan nilai x dan y jika:
| x + y | 6 |
| 2 | x − y |
| 8 | 6 |
| 2 | 2 |
7.
Tentukan nilai a dan b jika:
| 2a − b | 7 |
| 4 | a + 2b |
| 4 | 7 |
| 4 | 7 |
8.
Tentukan matriks X jika:
| 3 | −1 |
| 2 | 5 |
| 4 | 7 |
| −3 | 1 |
9.
Tentukan nilai x dan y jika:
| x | 3 |
| y | −2 |
| 1 | y |
| x | 4 |
| 9 | 8 |
| 0 | 0 |
10.
Tentukan nilai p dan q jika AT = B, dengan:
| 2 | p + q |
| 5 | 7 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
dan diketahui p − q = 1.
Sulit
11.
Tentukan nilai x, y, dan z jika:
| x + y + z | 6 |
| x − y | y + z |
| 10 | 6 |
| 2 | 7 |
12.
Tentukan matriks A dan B jika:
| 5 | 3 |
| 1 | 7 |
| 4 | 6 |
| 5 | 8 |
13.
Tentukan nilai a dan b jika:
| a² | ab |
| a + b | b² |
| 4 | −6 |
| −1 | 9 |
14.
Tentukan matriks X jika:
| 1 | −3 |
| 4 | 2 |
| 7 | 0 |
| −2 | 8 |
15.
Tentukan semua nilai x yang memenuhi:
| x² − 4 | x + 2 |
| 2x | x² − x − 6 |
| 0 | x + 2 |
| 2x | 0 |